Aula 03_Juros Simples_Taxa proporcional e Juros exatos

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ceira 
Juros Simples 
Professor: Wanderlan 
Definições 
• A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise 
de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos 
de bens de consumo. 
• A ideia básica é simplificar a operação financeira a um 
Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos 
matemáticos. 
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• Quando tratamos de dinheiro e tempo, alguns elementos 
básicos devem ser levados em considerações, tais como: 
 
▫ Inflação; Risco; Incerteza; Utilidade e Oportunidade. 
Com relação a Juros, existem duas operações básicas: 
• Capitalização 
• Desconto 
 
 
Capitalização 
Corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro 
de um determinado valor presente, considerando uma taxa 
de juro previamente fixada. 
 
Existem dois tipos de capitação, simples e composta, 
conforme o tipo de juro a que se refira, ou seja simples ou 
composto 
 
Elementos de uma operação de juros 
• VP - Simboliza o valor do capital no momento presente, 
chamado de valor atual, capital ou principal. Em língua 
inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras 
financeiras pela tecla PV; 
 
• VF - Simboliza o montante, o valor do capital após um certo 
período de tempo, também chamado de valor futuro. É a soma 
do Capital com os juros. Em língua inglesa, usa-se Future Value, 
indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV; 
 
• n - Simboliza o número de períodos transcorridos entre o 
principal e o montante, denominado período de capitalização; 
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Elementos de uma operação de juros 
• i - A taxa de juros deverá estar indicada na mesma 
unidade de tempo que o número de períodos n, ou seja, se 
a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número 
indicado em meses, do inglês interest rate; 
 
• PMT – Simboliza a série de pagamentos (ou recebimento) 
com valores nominais e distribuídos em intervalos 
regulares de tempo, do inglês payment; 
 
• Se a taxa de juros e períodos não forem compatíveis faz-
se necessário a conversões de unidades, seja, da taxa ou 
do período. 
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Juros 
• Juros representam a remuneração do Capital empregado 
em alguma atividade produtiva. 
 
• “Juro é o valor que se paga pelo uso de dinheiro que se 
toma emprestado” 
 
• “Juro é o dinheiro produzido quando o capital é investido” 
 
• “Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo ser 
entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel 
paga pelo uso do dinheiro” (SOBRINHO 2000, p.19). 
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Capitalização 
Corresponde à operação destinada a calcular o valor 
futuro de um determinado valor presente, considerando 
uma taxa de juro previamente fixada. 
Existem dois tipos de capitação, simples e composta, 
conforme o tipo de juro a que se refira, ou seja simples 
ou composto. 
Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: 
▫Capitalização Simples 
▫Capitalização Compostos 
Juros Simples 
• Podemos definir juros como a remuneração recebida 
pela aplicação de um capital (VP) a uma taxa de juros (i) 
durante certo tempo (n). Se essa remuneração incide 
somente sobre o capital e ao final do tempo, dizemos 
que esses juros (J) são juros simples. 
Juros Simples 
• Juros pode ser representado pela seguinte fórmula: 
 
 J = VP x i x n 
 
• Sendo que: 
 
▫ J = Juros recebido (ou pago) referente ao período; 
▫ VP = Capital aplicado (ou tomado); 
▫ i = Taxa de juros (forma unitária); 
▫ n = Período de aplicação (ou prazo da operação). 
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J = c i t 
Pode ser calculado também desta forma: 
 Onde: 
 J = Juros 
 C = Capital 
 i = Taxa de juros (unitária ou centesimal) 
 t = Tempo 
J = c i t/100 
Juros Simples 
• Regime de capitalização simples, corresponde a uma 
progressão aritmética (PA), onde os juros crescem de forma 
linear ao longo do tempo, como mostra o gráfico abaixo, um 
capital de R$ 1.000 aplicado por dez meses a uma taxa de 
10% a.m., acumula um montante de R$ 2.000 no final. 
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Juros Simples 
• É aquele em que a taxa de juros incide somente sobre o 
capital inicial, ou seja, não incide sobre os juros 
acumulados. Neste regime, a taxa vária linearmente em 
função do tempo. 
▫ R$ 1.000,00 aplicados a 10% ao período renderão 
sempre R$ 100,00 ao período, se for aplicado em 4 
períodos teremos 4 x 100,00 = R$ 400,00 
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1.000,00 
100,00 100,00 100,00 100,00 
1.400,00 
0 1 2 3 4 
Ao trabalhando com a fórmulas de juros devemos nos 
atentar há algumas particularidade das mesma, tais como: 
 i deve está em sua forma decimal, ou seja, se a taxa for de 
10%, devemos dividir por 100, transformando-a em 0,10; 
 
Se unidade utilizada no período não for compatível ao da 
taxa de juros, deve ser feito a conversão de uma dela, 
ou seja, uma taxa de 5% a.m. e o período de 12 anos, 
devemos converter, a taxa para ano (para juros simples) 
ou o período para mês. 
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10% ao ano = 10% a.a. 
6% ao semestre = 6% a.s. 
1% ao mês = 1% a.m. 
 Taxa Percentual 20% 
 Taxa Unitária 0,20 
Taxas de Juros - Exemplos 
• Taxa Unitária 
• Um capital de $ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano 
rende de juros, ao final deste período: 
A Remuneração total da aplicação no período é, 
portanto, de $ 200,00. 
Taxa Percentual 
• Um capital de $ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano 
rende de juros, ao final deste período: 
 
 
 
 
 
 
• A Remuneração total da aplicação no período é, 
portanto, de $ 200,00. 
LEMBREM SEMPRE 
A taxa de juros i deverá estar indicada na 
mesma unidade de tempo que o número de 
períodos t!!! 
Abreviatura Significado 
a.d. ao dia 
a.m. ao mês 
a.b. ao bimestre 
a.t. ao trimestre 
a.s. ao semestre 
a.a. ao ano 
a.p. ao período 
• Montante: É o valor do capital inicial somando aos 
juros acumulados no decorrer do período, onde usamos 
a seguinte fórmula: 
 
 VF = VP + J 
ou 
VF = VP (1 + in) 
Sendo que: 
VF = Representa o montante ou valor futuro 
 
 
 
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M = C (1 + i × n) 
MONTANTE 
Montante é a soma do Capital com os Juros 
e pode ser calculado de duas formas. 
 
M = C + J 
• Por meio das fórmulas básica de juros simples podemos 
extrair outras fórmulas para facilitar o cálculo de outras 
variáveis, como: 
 
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nVP
J
=i

niVP=J 
iVP
J
=n

ni
J
=VP

Valor presente 
Prazo 
Taxa de juros 
• Por meio das fórmulas básica de valor futuro podemos 
extrair outras fórmulas para facilitar o cálculo de outras 
variáveis, como: 
 
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n
VP
VF
=i






1
)1( inVP=VF 
i
VP
VF
=n






1
n)i+(
VF
=PV
1
Valor futuro Prazo Taxa de juros 
Ex: Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de 5% a.m., para que se 
resgate $ 3.300,00 ao final de seis meses? 
 
VP=? 
i= 5% am = 0,05 am 
VF= $ 3.300,00 
n= 6 meses 
Obs: verifique sempre antes de empregar a fórmula se a taxa (i) e o tempo 
(n) estão na mesma unidade 
 
VF=VP (1+in) 
3.300 = VP (1+0,05X6) 
3.300 = VP (1+0,3) 
3.300 = VP (1,3) 
3.300/1,3 = VP 
2.538,46 = VP ou VP = 2.538,46 
 
EXERCÍCIOS 
1) Kellen aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês 
durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa 
aplicação. 
 R: O valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a 
ser resgatado é de R$ 1.536,00. 
 
2) Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de 
investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 
meses o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. 
Qual a taxa de juros desse fundo de investimento? 
 R: A taxa de juros do fundo de investimentos é igual a 12% 
(corresponde a 2% a.m). 
 
3) Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1% ao mês, rende 
R$ 3.000,00 de juros em 45 dias? 
 R: O capital é de R$ 200.000,00 
 
 TAXAS PROPORCIONAIS 
 1 – Definição 
 Taxas proporcionais são taxas que geram o mesmo 
resultado financeiro se aplicados ao mesmo capital 
durante o mesmo período de tempo. 
 
 
• No Regime de Juros Simples, as taxasproporcionais também são consideradas 
equivalentes. 
 
Exemplo: 
• Proporcionais: Em juros simples, 3% a.m. e 9% a.t. 
são consideradas proporcionais. 
 
• Equivalentes: Essas mesmas taxas, em um 
mesmo período de tempo, geram num capital de 
mesmo valor um mesmo resultado de montante. 
Período (n)
Taxa (i) 3% a.m. 9% a.t. 3% a.m. 9% a.t.
PV 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$ 80.000,00R$ 
Cálculo 80.000x(1+0,03x3) 80.000x(1+0,09x1) 80.000x(1+0,03x12) 80.000x(1+0,09x4)
FV 87.200,00R$ 87.200,00R$ 108.800,00R$ 108.800,00R$ 
3 meses 12 meses
Por exemplo: 
Em um juros simples, um capital aplicado de R$ 
500.000,00 à taxa de 2,5% ao mês ou 15% ao semestre 
pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear 
de juros. Isto é: 
A) J: CIT/100 J= 500.000x 2,5x12/100 
J= 150.000,00 
 
B) J= CIT/100 J= 500.000X15X2/100 
J= 150.000,00 
 
1) CALCULE A TAXA ANUAL PROPORCIONAL A: 
6% am = x12 (72%) % aa 
10% ab = x 6 (60%) % aa 
 
 
2) CALCULAR A TAXA DE JUROS SEMESTRAL 
PROPORCIONAL A: 
60% aa= (60/2= 30) % a.s. 
9% a.t.= (9x2=18) % a.s. 
Manoel emprestou R$2.800,00 a um amigo por 22 
dias, cobrando juros simples de 6% ao mês. Qual o 
valor a ser resgatado por Manoel? 
Taxa de juros do período i= (6%/30 dias) x 22 dias = 4,4% = 0,044
Valor dos Juros (R$) R$ 2800 x 0,044 = R$ 123,20
Fator de Correção FATOR = (1 + i) = 1 + 0,044 = 1,044
Valor Futuro (FV) FV = R$ 2800 x 1,044 = R$ 2923,20
JUROS EXATOS E JUROS COMERCIAIS 
 Juros comerciais são considerados aqueles juros onde 
cada mês equivale a 30 dias, ou seja, o ano equivale a 
360 dias. 
 Obs: na solução de algum exercício, quando o enuciado 
não mencionar nada, nós trabalhamos com o Juros 
comerciais. 
 Juros exatos são considerados aqueles juros onde 
cada mês equivale realmente aos seus dias, ou seja, o 
ano equivale a 365 dias ou 366 dias, se o ano for 
bissexto. 
 Obs: nem sempre na questão irá mencionar juros 
exatos, mas no enunciado aparece algum dado que nos 
indica esse tipo de juros. 
Exemplo 
 Um capital de R$ 15.000,00 esteve aplicado durante 45 
dias à taxa de juros simples de 30% a.a. Determinar os 
juros comerciais e os juros exatos dessa aplicação. 
 
Juros comerciais 
 j = 15.000 × 0,30 × 45/360 
 j = R$ 562,50 
 
Juros exatos 
 j = 15.000 × 0,30 × 45/365 
 j = R$ 554,79 
 
 01) Um capital de R$14.400,00, aplicado a 
22% ao ano, rendeu R$880,00 de juros. Durante 
quanto tempo esteve empregado? 
 a) 3 meses e 3 dias 
 b) 3 meses e 8 dias 
 c) 2 meses e 23 dias 
 d) 3 meses e 10 dias 
 e) 27 dias 
 
 02) A quantia de R$30.000,00 foi aplicada a juros 
simples exatos do dia 17 de maio ao dia 10 de outubro 
do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% 
ao ano, desprezando os centavos. 
 a) R$2.100,00 
 b) R$2.160,00 
 c) R$2.360,00 
 d) R$2.420,00 
 e) R$2.500,00 
 
 03) (FCC) Um capital de R$ 5 500,00 foi aplicado a juro 
simples e ao final de 1 ano e 8 meses foi retirado o 
montante de R$ 7 040,00. A taxa mensal dessa 
aplicação era de: 
 a) 1,8% 
 b) 1,7% 
 c) 1,6% 
 d) 1,5% 
 e) 1,4% 
 Dada uma taxa simples de 30% aa. Quanto será essa 
taxa ao quadrimestre, ao bimestre, ao semestre e ao 
mês? 
Quantos: 
 quadrimestres tem em 1 ano? 3quadrimestres 
30/3= 10% a.q. 
Bimestres tem em 1 ano? 6 bimestres 
30/6= 5%a.b. 
Semestres tem em 1 ano? 2 semestres 
30/2= 15%a.s. 
Meses tem em 1 ano? 12 meses 
30/12= 2,5%a.m.