Exemplo 5: (EsPCEx 2018) O conjunto solução da inequação 2sen2(x) − cos(x) − 1 ≥ 0, no intervalo ]0, 2π] é: a) [2π3, 4π3] b) [π3, 5π6] c) [π3, 5π3...

Para resolver a inequação 2sen²(x) - cos(x) - 1 ≥ 0, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1) Substituir sen²(x) por 1 - cos²(x), utilizando a identidade trigonométrica fundamental sen²(x) + cos²(x) = 1. 2) Obter uma equação quadrática em cos(x), resolvê-la e encontrar os valores de x que satisfazem a inequação. Seguindo esses passos, temos: 2(1 - cos²(x)) - cos(x) - 1 ≥ 0 2cos²(x) - cos(x) - 1 ≤ 0 (2cos(x) - 1)(cos(x) + 1) ≤ 0 Agora, precisamos encontrar os valores de x que fazem a expressão acima ser menor ou igual a zero. Para isso, podemos utilizar o método da análise de sinais: Intervalo ]0, 2π]: | x | 0 | π/2 | π | 3π/2 | 2π | |-------|-----|-----|-----|------|-----| | 2cos(x) - 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | | cos(x) + 1 | 1 | 0 | -1 | -2 | -1 | | sinal | - | + | - | + | - | Analisando os sinais, temos que a solução da inequação é o intervalo [π/3, 5π/3], que corresponde à alternativa c).