Manutenção Aula 3 - Distribuições de tempos até falha

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Prof. Jairo José de Oliveira Andrade 
Porto Alegre, agosto de 2018
Distribuições de tempos até 
falha (TTF)
Engenharia da Manutenção
1
• Confiabilidade de uma unidade → probabilidade 
de operação até um tempo t de projeto 
– Como? → modelagem dos tempos até a falha 
– Aspecto importante nos estudos de confiabilidade
Introdução
2
Introdução
https://doi.org/10.1016/B978-0-7506-8987-8.00011-1
3
Introdução
http://bit.ly/2DHzhA6
4
Introdução
http://bit.ly/2xpZBfo
5
Introdução
https://goo.gl/images/5Cq8Yg
6
• Dados de falha → modelos de probabilidade 
– Por quê? 
• Generalização de comportamento ao invés de olhar um 
caso isolado 
– Comportamento típico → verificar o comportamento 
futuro 
• Desde que não ocorram mudanças nos padrões de 
funcionamento do sistema avaliado 
• Duas etapas 
1) Escolher os modelos candidatos 
2) Verificar a aderência (erro) do ajuste do modelo 
aos dados
Introdução
7
• Eventualmente 2 modelos podem representar o 
mesmo comportamento de falhas 
– Escolher o mais adequado à realidade do 
comportamento/sistema 
– Quanto menor o erro de estimação maior a aderência 
do modelo
Introdução
8
• Efeito de múltiplos modos de falha em conjunto 
Introdução
Tam e Nagarajan (2008)
https://www.researchgate.net/publication/221787189 
9
• Amostra de dados de uma população 
– Ex.: submeter 1000 lâmpadas a um teste e registrar o 
tempo até a falha (TTF) de cada uma delas 
– 1000 dados → amostra aleatória dos TTF 
• Determinar o tipo de distribuição 
• Média 
• Desvio-padrão
Introdução
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• Conhecimento acumulado da equipe 
– Experiência com o sistema estudado 
– Análises em produtos similares 
– Conhecimento dos modos de falha 
• Justificativas com base estatística 
– Outros setores da empresa (financeiro...)
Introdução
Importante!!
Métodos de teste 
de aderência
Experiência do 
analista/equipe
11
Introdução
Exemplo!!
Avaliação da taxa de 
mortalidade ao longo do 
tempo para 2 distribuições: 
Cuidado no momento da 
escolha do modelo!!!
http://bit.ly/2vVV9a8
Experiência do 
analista/equipe
12
• Distribuição de probabilidade → definida pela 
função densidade de probabilidade (f.d.p.) 
– f(x) 
• Variável aleatória X → valores individuais xi
Introdução
13
Introdução
Aziz e Chassapis (2011)
14
Introdução
http://www.controldesign.com/articles/2004/194/
15
• Modelo matemático que representa o 
desempenho de um item → desempenho 
adequado 
• Modelo matemático mais simples → modelo 
binário 
– Estado de funcionamento ou falha
Introdução
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http://bit.ly/2ftfixI
Distribuições aplicadas à confiabilidade
17
• Distribuições discretas 
– Binomial 
– Poisson 
• Distribuições contínuas 
– Normal 
– Lognormal 
– Gamma 
– Exponencial 
– Weibull
Distribuições aplicadas à confiabilidade
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• Mais usadas em confiabilidade 
– Normal ou gaussiana 
– Exponencial 
– Lognormal 
– Gamma 
– Weibull
Distribuições contínuas
http://bit.ly/2g2IY68
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• Função densidade de probabilidade – f.d.p.
Distribuição normal
– µ = média (parâmetro de localização) 
– σ = desvio-padrão (parâmetro de forma) 
• Cuidado → aceita valores negativos de x 
– -∞ < x < +∞
– Problemas em alguns casos
20
Distribuição normal
• Valor médio (MTTF)
http://www.cbpf.br/cat/pdsi/gauss.html
21
Distribuição normal
• Valor médio (MTTF)
http://bit.ly/2DHzhA6
22
• Aplicação 
– Grande concentração de observações em torno da 
média 
– Probabilidades iguais de ocorrência das observações 
acima e abaixo da média 
– Modela processos de fadiga e desgaste 
• Taxa de falha sempre crescente com o tempo
Distribuição normal
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• Muito empregada em confiabilidade 
• Fácil de usar matematicamente 
– Quantificação de apenas um parâmetro 
• Lei das falhas 
– Admite-se que a taxa de falhas é constante 
– Padrão de falhas aleatório e imprevisíveis 
individualmente 
– Não admite-se o efeito de desgaste do elemento 
• A probabilidade de falha é independente do que tenha se 
passado 
• Ex.: um fusível é “tão bom quanto novo” enquanto estiver em 
funcionamento
Distribuição exponencial
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Distribuição exponencial
https://doi.org/10.1016/B978-0-7506-8987-8.00011-1
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Distribuição exponencial
• Lei das falhas 
- O componente/sistema não apresenta maior ou menor 
probabilidade de vir a falhar com o acúmulo do tempo 
operacional 
- Admitindo-se esse tipo de distribuição → não há razão 
para substituir um item que está funcionando 
• Pode-se assumir que a taxa de renovação é 
constante
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• Aplicações 
– Idealmente → modelagem do período de vida útil 
– Caso tenha-se distintos comportamentos de h(t) 
• Distribuição exponencial → região cuja h(t) constante é 
dominante 
– Sistemas com dados de falhas mostrando causas 
muito heterogêneas 
• Sistemas complexos → dados de falha limitados ou 
insuficientes para ajustar distribuição complexa 
• Não se justifica empregar uma distribuição mais complicada 
do que os dados disponíveis permitam! 
Distribuição exponencial
27
Distribuição exponencial
• Função densidade de probabilidade – f.d.p.
• Para sistemas onde a variável é o tempo (t), λ é 
chamada de taxa de falhas 
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• Confiabilidade – R(t)
Distribuição exponencial
• Função densidade acumulada – F(t)
• Valor médio (MTTF)
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Distribuição exponencial
Adaptado de Kapur (1988)
http://bit.ly/2xpZBfo
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• A variabilidade do tempo de falha aumenta com a 
confiabilidade 
– Maiores valores de MTTF 
• Um equipamento cujos TTF sigam uma 
distribuição exponencial tem uma chance um 
pouco maior que 33% de sobreviver até o MTTF
Distribuição exponencial
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• Mais versátil que a distribuição normal 
– Melhores ajustes da população 
– Peças sujeitas a desgastes 
– Não aceita valores negativos 
• Modelagem no tempo até o reparo para unidades 
reparáveis
Distribuição lognormal
32
Distribuição lognormal
• Função densidade de probabilidade – f.d.p.
– µ = parâmetro de localização 
– σ = parâmetro de forma 
• MTTF
http://www.portalaction.com.br/1192-densidade-da-distribuição-log-normal
33
Distribuição lognormal
• Confiabilidade – R(t)
– Φ(x) = valor da função de distribuição normal 
padronizada avaliada em x 
• Determinação → verificar tabela correspondente
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Distribuição lognormal
• Taxa de falha – h(t)
– Comportamento pouco comum na prática 
• Falhas recentes → dominam o comportamento do 
equipamento
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• Aplicações 
– Determinação dos ciclos para a falha à fadiga de 
metais e componentes metálicos 
– Determinação da distribuição de tempos para a falha 
de componentes mecânicos sujeitos à desgaste 
– Determinação da vida útil de equipamentos 
– Determinação do tempo médio para manutenção de 
componentes mecânicos
Distribuição lognormal
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• Também bastante empregada em confiabilidade 
• Generalização da exponencial 
• É uma distribuição “coringa” 
– Depende dos parâmetros de entrada 
• Caso não se tenha uma idéia da distribuição dos 
dados, pode-se supor inicialmente um ajuste a tal 
tipo de distribuição
Distribuição de Weibull
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• Função densidade de probabilidade – f.d.p.
Distribuição de Weibull
– γ = parâmetro de forma (shape parameter) 
– θ = parâmetro de escala (scale parameter) 
– t0 = parâmetro de localização 
• Alguns autores → vida característica da unidade
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http://bit.ly/2wlj6J4
Distribuição de Weibull
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• Função densidade de probabilidade – f.d.p.
Distribuição de Weibull
http://bit.ly/2DHzhA6
40
• Função densidade de probabilidade – f.d.p.
Distribuição de Weibull
41
Distribuição de Weibull
http://bit.ly/2vmnSBr
42
Distribuição de Weibull
• Confiabilidade – R(t)
• Função densidade acumulada – F(t)
• Taxa de falha - h(t)
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Distribuição de Weibull
• Confiabilidade – R(t)
http://bit.ly/W2Y2Ru
44
Distribuição de Weibull
• Tempo médio até a falha - MTTF
– Γ = função gama (integral indefinida com valor 
tabelado) 
• Determinação → verificar tabela correspondente
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• Modela casos onde há funções de risco distintas
Distribuição de Weibull
γ = 3,26
γ = 1
γ = 2
γ =0,5
t
h(t)
γ < 1 → h(t) decrescente
γ = 1 → h(t) constante 
 Weibull → exponencial
γ = 2 → h(t) reta com inclinação (2/θ)2 
 Weibull → Rayleigh
γ = 3,26 → f.d.p. ≅ normal
46
Distribuição de Weibull
• Exemplo
– γ = 2,50; θ = 700 h 
– MTBF = 621 h
R(500) = 0,65 
= 65%
F(500) = 0,35 
 = 35%
47
http://bit.ly/2HHZ1Cf
48
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
http://www.belge.com.br/fluxus/2013/Outono/artigo_tecnico.htm
49
Ajustes dos dados a distribuições
Gráficos Analíticos
Papéis de probabilidade Testes de Qui-Quadrado 
e de Kolmogorov-Smirnov
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
50
• Gráfica 
– Histograma de frequência 
– Papéis de probabilidade 
• Analítica 
– Testes de aderência
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
51
• Papéis de probabilidade 
– Dados amostrais são transformados para serem 
distribuídos em torno de uma reta 
• Comportamento esperado 
• Distribuição hipotetizada 
– Quanto mais próximos os dados transformados 
estiverem da reta-base que representa a 
distribuição → melhor o ajuste à distribuição 
hipotetizada
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
52
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
53
• Testes analíticos 
– Geralmente mais preferidos para verificar ajustes de 
dados 
– Requerem o emprego de um software ou planilha 
eletrônica 
– Calcula um erro de ajuste 
• Diferença entre os valores obtidos na amostra e os 
esperados, caso o modelo escolhido seja adequado 
– Estima se esse erro é grande ou pequeno 
• Erros grandes levam à rejeição do modelo
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
54
• Comparativos entre os testes analíticos 
– Qui-Quadrado 
• Apropriado para dados discretos 
• Apresenta sensibilidade ao agrupamento dos dados em 
classes (histograma) 
• Normalmente precisa de uma quantidade maior de 
amostras 
– Kolmogorov-Smirnov 
• Mais apropriado para dados contínuos 
• Emprega toda a amostra para a realização das análises 
• Funciona com qualquer tamanho de amostra 
– Amostras pequenas
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
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• Exemplo 
– Os tempos até a falha de um dado componente estão 
apresentados na tabela a seguir. O analista deseja 
saber o tipo de distribuição que mais se ajusta dos 
dados de falha (em horas). 
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
15 23 62 80 85 97 105 110 112 119
121 125 128 132 137 140 145 149 153 158
162 167 171 175 183 189 190 197 210 218
225 230 237 242 255 264 273 282 301 312
330 345 360 383 415 436 457 472 78
Fogliatto e Ribeiro (2009)
56
• Exemplo
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
Weibull Lognormal
Fogliatto e Ribeiro (2009)
57
• Exemplo
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
Weibull Lognormal
Fogliatto e Ribeiro (2009)
58
• Exemplo 
– Qui-Quadrado 
• Weibull → Nível de significância = 62% 
• Lognormal → Nível de significância = 82%
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
Fogliatto e Ribeiro (2009)
Pacotes estatísticos (Weibull++7®, Statistica®, 
Statigraphics®, Proconf®)
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• Teste de aderência 
– Não vai dizer que aquele modelo é o que representa 
os dados 
– Vai dizer que o modelo pode ser usado para 
representar os dados 
– Vai dizer que o modelo não é adequado para 
representar os dados
Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
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• Quando tem-se apenas o conjunto dos dados e 
sabe-se o tipo de distribuição 
– Exponencial, normal, entre outras 
• Como determinar os parâmetros da distribuição? 
→ estimadores 
– Gera informações sobre os parâmetros de interesse
Estimadores
61
Estimador da distribuição exponencial
Parâmetro a ser estimado
• Estimador
62
Estimador da distribuição exponencial
• Exemplo 
– Os tempos até a falha de um sistema de comunicação 
apresentam uma distribuição exponencial. Determine 
a estimativa da taxa de falha considerando os 
seguintes TTF 
• 84, 96, 110, 125, 132, 148
63
Estimador da distribuição normal
Parâmetros a serem estimados
• Estimadores
64
Estimador da distribuição lognormal
Parâmetros a serem estimados
• Estimadores
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• Lafraia, J. R. B. Manual de confiabilidade, mantenabilidade e 
disponibilidade. Qualitymark. Rio de Janeiro, 2001. 
• Siqueira, I. P. Manutenção centrada na confiabilidade. Qualitymark. Rio 
de Janeiro, 2005. 
• Piazza, G. Introdução à engenharia da confiabilidade. EDUCS. Caxias 
do Sul, 2000. 
• Elsayed, E. A. Reliability engineering. Addison Wesley Longman. 1996. 
• Aziz, E.; Chassapis, C. Probabilistic Simulation Approach to Evaluate the 
Tooth-Root Strength of Spur Gears with FEM-Based Verification. 
Engineering, Vol. 3 No. 12, 2011, pp. 1137-1148. doi: 10.4236/eng.
2011.312142. 
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croquis disponíveis na bibliografia e eventualmente em sites da internet com objetivos 
didático-pedagógicos. Preservam-se os direitos dos autores originais, recomendando-
se fortemente a consulta à bibliografia citada para aprofundamento do conteúdo. 
Bibliografia
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