E. Basico - Calculo I_P1_gabarito

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 2º bimestre data: / /2017 
P1 polo: aplicador responsável: turma/ período: 
nome: RA: 
 
Use o resumo da matéria que foi disponibilizado. Não é permitido o uso de calculadora ou qualquer outro 
equipamento eletrônico. 
 
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. 
Evite escrever no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova! 
 
Disciplina: Cálculo I NOTA (0-10): 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Escreva o Polinômio de Taylor de ordem 2, da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒(𝑥𝑥2−2𝑥𝑥), desenvolvido em torno de 𝑥𝑥0 = 0. 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Uma esteira está transportando areia e despejando-a em forma de um cone. O raio da base r=r(t) e a altura 
h=h(t) variam com o tempo. No instante em que a altura vale 10 cm, ela está aumentando a uma taxa de 
1cm/s e, nesse mesmo instante, o raio da base vale 12cm e está aumentando a uma taxa de 2cm/s. Calcule 
a taxa de variação do volume do cone neste instante. Adote 𝜋𝜋 = 3. 
 
 
 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥−3
𝑥𝑥2
. Determine seu domínio e determine o(s) intervalo(s) em que a função é 
crescente e o(s) intervalo(s) em que ela é decrescente. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Calcule a área da região limitada por 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 , e 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, com 𝑥𝑥 ≥ 0. 
 
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GABARITO 
 
 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 2o bimestre P1 
 
Disciplina: Cálculo I NOTA (0-10): 
 
Na correção das provas, atentar para o seguinte: 
 
• Descontar 0,25 pontos por erros ou omissões de unidades. 
• As respostas podem ser expressas em termos de raiz quadrada, cossenos e senos de ângulos. 
Não há necessidade de utilizar calculadoras. 
• Se perceber que o aluno errou a conta, dar a ele o crédito de metade da questão. Vale muito o 
raciocínio. 
 
Questão 1 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒(𝑥𝑥2−2𝑥𝑥) ⇒𝑓𝑓(0) = 𝑒𝑒0 = 1 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (2𝑥𝑥 − 2)𝑒𝑒(𝑥𝑥2−2𝑥𝑥) ⇒𝑓𝑓′(0) = −2𝑒𝑒0 = −2 
 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 2𝑒𝑒�𝑥𝑥2−2𝑥𝑥� + (2𝑥𝑥 − 2)2𝑒𝑒�𝑥𝑥2−2𝑥𝑥� ⇒𝑓𝑓′′(0) = 2𝑒𝑒0 + (−2)2𝑒𝑒0 = 6 
Pol. Taylor = 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 1 − 2(𝑥𝑥 − 0) + 6
2
(𝑥𝑥 − 0)2 = 1 − 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 
 
Questão 2 
O volume é dado por 𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 1
3
𝜋𝜋𝑟𝑟2(𝑡𝑡)ℎ(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟2(𝑡𝑡)ℎ(𝑡𝑡). (usamos 𝜋𝜋 = 3) 
A taxa de variação é a derivada: 𝑉𝑉′(𝑡𝑡) = 2𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑟𝑟′(𝑡𝑡)ℎ(𝑡𝑡) + 𝑟𝑟2(𝑡𝑡)ℎ′(𝑡𝑡). Usando os dados do enunciado: 
𝑉𝑉′(𝑡𝑡) = 2 ∙ 12 ∙ 2 ∙ 10 + 122 ∙ 1 = 480 + 144 = 624𝑐𝑐𝑐𝑐3/𝑠𝑠. 
 
Questão 3 
𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐(𝑓𝑓) = ℝ − {0} 𝐷𝐷𝑜𝑜 {𝑥𝑥 ∈ ℝ|𝑥𝑥 ≠ 0} = ℝ∗ 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1∙𝑥𝑥
2−(𝑥𝑥−3)2𝑥𝑥
𝑥𝑥4
= −𝑥𝑥
2+6𝑥𝑥
𝑥𝑥4
 Como o denominador é positivo, o sinal de 𝑓𝑓′ é determinado pelo numerador, 
que é um polinômio do segundo grau com concavidade para baixo e raízes iguais a 0 e 6. 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 ⇔ 0 < 𝑥𝑥 < 6 e 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 0 ou 𝑥𝑥 > 6. Assim 
𝑓𝑓 é crescente no intervalo ]0, 6[ e é decrescente em ]−∞, 0[ e em ]6, +∞[ 
 
Questão 4 
Resolvendo 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥 , encontramos as abscissas dos pontos de intersecção dos gráficos. 
São −1, 0 1. Como 𝑥𝑥 ≥ 0 e 𝑥𝑥3 ≤ 𝑥𝑥 para 
 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 , então a área é dada por 
A = ∫ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3)𝑑𝑑𝑥𝑥10 = �
𝑥𝑥2
2
− 𝑥𝑥
4
4
� |10 =
1
2
− 1
4
= 1
4