Lista - Radiciação II

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Lista 34 
Radiciação II 
Propriedades dos radicais, operações com 
radicais e Radiciação 
 
Propriedades dos radicais 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs 27 – 29. Adaptado. 
 
Propriedade I 
 
 Considerando o radical 53
3
, temos: 
 
53
3
 = 5
3
3 = 51 = 5 
 
 Da mesma forma: 
 
54
4
 = 5 e (-5)3
3
 = -5 
 
mas 
 
(-5)4
4
 = 5, 
 
pois (-5)4 = (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = 625 e 6254 = 5. 
 Ao calcular (-5)3
3
, estamos extraindo uma raiz de índice ímpar de um 
número negativo, ou seja, -1253 . O resultado é um número negativo, -5, pois 
(-5)3 = -125. 
 Entretanto ao calcular (-5)4
4
, extraímos a raiz de índice par de um 
número positivo, isto é 6254 , que é 5, positivo, pois 54 = 625. 
De modo geral: 
 
• Se n é um número natural ímpar, então ann = a, sendo a um 
número real; 
• Se n é um número natural par não nulo, então ann = |a|, sendo a 
um número real. 
 
 Veja alguns exemplos: 
 
Exemplo 01: 23
3
 = 2. 
 
Exemplo 02: (-2)33 = -2. 
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	 2 
Exemplo 03: 52 = |5| = 5. 
 
Exemplo 04: (-5)2 = |-5| = 5. 
 
Propriedade II 
 
 Observe: 
 
38
12
 = 3
8
12 = 3
2
3 = 32
3
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 38
12
 = 38 : 4
12 : 4
 = 32
3
. 
 Ou seja: 
 
Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número 
natural maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja: 
amn = am : p	n : p , 
sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número 
natural não nulo e p divisor de m e n. 
 
 Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-
los em radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados. 
 Vamos, como exemplo, simplificar os seguintes radicais: 
 
Exemplo 05: 29
12
 = 29 : 3
12 : 3
 = 23
4
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 06: 715
20
 = 715 : 5
20 : 5
 = 73
4
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 07: 1256 = 53
6
 = 53 : 3
6 : 3
 = 5 
 
 
 
 
 
Escrevendo na 
forma de potência 
Simplificando a 
fração do expoente 
Escrevendo na 
forma de raiz 
Dividindo o índice e o 
expoente por 3, que é 
divisor de 12 e de 9 
Dividindo o índice e o 
expoente por 3, que é 
divisor de 12 e de 9 
Decompondo 
125 em fatores 
primos 
Dividindo o 
índice e o 
expoente por 3 
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	 3 
Propriedade III 
 
 Observe: 
 
3 . 5 = 3 . 5
1
2 = 3
1
2 . 5
1
2 = 3 . 5 
 
Em geral, sendo a e b números reais positivos e n um número natural 
não nulo, temos: 
a . bn = an . bn 
Ou seja, o radical de um produto é igual ao produto dos radicais. 
 
 Veja outros exemplos: 
 
Exemplo 08: 4 . 33 = 43 . 33 
 
Exemplo 09: 7 . 105 = 75 . 103 
 
Propriedade IV 
 
 Observe: 
 
2
3 	=
2
3
1
2
	= 
2
1
2
3
1
2
	= 
2
3
 
 
Em geral, sendo a e b números reais positivos, b ≠ 0, e n um número 
natural não nulo, temos: 
a
b
n
= 
an
bn
 
Ou seja, o radical de um quociente é igual ao quociente dos radicais. 
 
 Veja outros exemplos: 
 
Exemplo 10: 2
7
 = 2
7
 . 
 
Exemplo 11: 3
5
3
 = 3
3
53
 . 
 
Operações com radicais 
 
Adição e subtração 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs 30 e 31. Adaptado. 
 
 Acompanhe três formas de efetuar a adição e a subtração com radicais. 
 
1ª forma 
 Substituímos as raízes por seus valores e fazemos os cálculos indicados. 
Por exemplo: 
 
Exemplo 12: 49 + 16 = 7 + 4 = 11. 
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	 4 
Exemplo 13: 83 + 164 = 2 – 2 = 0. 
 
Exemplo 14: - 5 0,1253 + 2 1,693 = -5 . 0,5 + 2 . 1,3 = -2,5 + 2,6 = 0,1. 
 
2ª forma 
Havendo radicais semelhantes, ou seja, com radicando e índice iguais, 
podemos somar seus coeficientes (números que estão o multiplicando) e 
conservar o(s) radical(is). Por exemplo: 
 
Exemplo 15: 10 23 + 4 23 - 23 = (10 + 4 – 1)	 23 = 13 23 . 
 
 
 
 
 
Exemplo 16: 3 5 + 2 7 - 5 5 + 7 + 4 7 = (3 – 5)	 5 + (2 + 1 + 4)	 7 = -2 5 + 7 7 
A expressão -2 5 + 7 7 não pode mais ser reduzida, porque seus termos não têm radicais 
iguais. Contudo, se desejarmos ou, se necessário for, podemos encontrar um valor 
aproximado para ela. 
Como 5 ≅ 2,2 e 7 ≅ 2,6, temos: 
-2 5 + 7 7 ≅	- 2 . 2,2 + 7 . 2,6 
-2 5 + 7 7 ≅	13,8. 
 
3ª forma 
Depois de simplificar os radicais, obtendo radicais semelhantes, procedemos 
como na 2ª forma. 
 
Exemplo 17: 18 + 50 = 2 . 32 + 2 . 52 = 3 2 + 5 2 = 8 2. 
 
Exemplo 18: 2 27 + 5 12 - 2 75 = 2 . 3 . 32 + 5 . 22 . 3 - 2 . 3 . 52 = 2 . 3 3 + 5 . 2 3 
- 2 . 5 3 = 6 3 + 10 3 - 10 3 = 6 3. 
 
Multiplicação 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Pág 32. Adaptado. 
 
 Para multiplicar radicais de mesmo índice, aplicamos a Propriedade III 
dos radicais: 
 
a . bn = an . bn , 
 
sendo n um número natural não nulo e a e b números reais positivos. 
 Logo, para multiplicar radicais de mesmo índice, devemos conservar o 
índice e multiplicar os radicandos, simplificando, sempre que possível, o 
resultado obtido. 
 Veja os exemplos: 
 
Exemplo 19: 24 . 84 = 2 . 84 = 164 = 24
4
 = 2. 
 
Exemplo 20: -5 3 . 3 2 = (-5 . 3)	 3 . 2 = -15 6 
 
Radicais 
semelhantes 
Somamos os 
coeficientes 
Conservamos 
o radical 
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	 5 
Exemplo 21: 2 . ( 2 + 2) = 4 + 2 2 = 2 + 2 2 
 
 
 
 
 
Exemplo 22: 
 
 
 
 
 
 
 
(5 + 7) . (2 - 7) = 5 . 2 - 5 7 + 2 7 - 72 = 10 - 5 7 + 2 7 – 7 = 3 - 3 7 
 
 
 Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da multiplicação, 
reduzimos esses radicais a um mesmo índice. Veja, por exemplo, como 
fazemos a redução dos radicais 22
3
 e 34 a um mesmo índice: 
 
22
3
 = 2
2
3 = 2
8
12 = 28
12
 
 
34 = 3
1
4 = 3
3
12 = 33
12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então, multiplicamos esses dois radicais: 
 
22
3
 . 34 = 28
12
	. 33
12
 = 28	.		33
12
 = 691212 
 
 Observe que, no desenvolvimento acima, os números considerados são 
positivos. Mas também poderíamos ter, por exemplo: 
 
Exemplo 23: -53 . 23 = (-5) . 23 = -103 . 
 
Exemplo 24: -273 . -83 = (-27) . (-8)3 = 2163 = 6. 
 
Divisão 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs 32 e 33. Adaptado. 
 
 Para dividir radicais de mesmo índice, aplicamos a Propriedade IV dos 
radicais: 
Aplicando a 
propriedade 
distributiva 
Aplicando a 
propriedade 
distributiva 
Escrevemos 
os radicais 
na forma de 
potência 
Determinamos, 
no expoente, 
frações 
equivalentes 
de mesmo 
denominador 
Escrevemos as 
potências na 
forma de 
radical 
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	 6 
a
b
n = a
n
bn
 , 
 
sendo n um número natural não nulo, a e b números reais positivos. 
 Logo, para dividir radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice 
e dividir os radicandos, simplificando, sempre que possível, o resultado obtido. 
 Veja os exemplos: 
 
Exemplo 25: 203 : 103 = 20 : 103 = 23 . 
 
Exemplo 26: 28 : 7 = 28 : 7 = 4 = 2. 
 
Exemplo 27: 30 15 : 5 3 = (30 : 5)	 15 :	3 = 6 5. 
 
 Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da divisão, reduzimos 
esses radicais a um mesmo índice. 
 Veja um exemplo: 
 
Exemplo 28: 2 : 23 = 23
6
 : 22
6
 = 26 . 
 
Potenciação 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Pág 34. Adaptado. 
 
 Observe: 
 
35
4
 = 35 . 35 . 35 . 35 = 3 . 3 . 3 . 35 = 34
5
 
 
Então 35
4
 = 34
5
. 
 Para elevar um radical a uma potência, basta elevar o radicando à 
potência indicada.Veja os exemplos: 
 
Exemplo 28: 2
3
 = 23 = 22 . 2 = 2 2. 
 
Exemplo 29: 93
2 = 323
2
 = 32
23
 = 34
3
 = 33 . 3
3
 = 3 33 . 
 
Exemplo 30: 4 5
3
 = 43 . 53 = 64 . 52 . 5 = 64 . 5 5 = 320 5. 
 
Radiciação 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Pág 34. Adaptado. 
 
 Observe: 
 
62
35
 = 62
1
3
5
 = 6
2
3
5
 = 6
2
3
1
5
 = 6
2
15 = 62
15
 
 
75
4
3
 = 75
1
4
3
 = 7
5
4
3
 = 7
5
4
1
2
3
 = 7
5
8
3
 = 7
5
8
1
3
 = 7
5
24 = 75
24
 
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	 7 
 Para extrair a raiz de um radical, devemos multiplicar os índices desses 
radicais e conservar o radicando, simplificando o radical obtido sempre que 
possível (considerando o radicando um número real positivo e os índices 
números naturais não nulos). 
 Veja alguns exemplos: 
 
Exemplo 31: 73 = 72 . 3 = 76 
 
Exemplo 32: 52
3
 = 52
2 . 3 . 2
 = 52
12
 = 56 
 
Exemplo 33: 2 53
4
 = 23 . 5
3
4
 = 8 . 54 . 2 . 3 = 4024 
 
Racionalização de denominadores 
Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Pág 38 e 39. Adaptado. 
 
 Considere o quociente de 2 por 3. Ele pode ser indicado por 2
3
. 
 Um quociente não se altera quando multiplicamos o dividendo e o divisor 
por um mesmo número não nulo. Veja o que acontece quando multiplicamos 
os dois termos da expressão 2
3
 por 3: 
 
2
3
 = 2	.	 3	
3	. 3
 = 2 3
3
2 = 
2 3
3
 
 
 Obtemos uma expressão com denominador racional. A esse 
procedimento chamamos de racionalização de denominadores. 
 É mais fácil efetuar cálculos com radicais quando eles não estão no 
denominador. Por isso, quando necessário, racionalizamos o denominador de 
uma expressão fracionária. 
 Veja outros exemplos a seguir. 
 
Exemplo 34: Racionalizaremos o denominador da expressão 2
3 2
 . 
Multiplicando os dois termos dessa expressão por 2, temos: 
 
2
3 2
 = 2	.	 2	
3 2	. 2
 = 2 2
3 . 2
2 = 
2 2
3 . 2
 = 2
3
 . 
 
Exemplo 35: Racionalizaremos o denominador da expressão 2
72
5 . 
Para multiplicar os dois termos da expressão, convém escolher um número que multiplicado 
por 72
5
 resulte em 75
5
, isto é, 7. Esse número é o quociente 75
5
 : 72
5
 = 73
5
. 
Logo, multiplicando os dois termos da expressão por 73
5
, temos: 
 
2
72
5 = 
2 . 73
5
72
5
 . 73
5 = 
2 . 73
5
72	.	73
5 = 
2 . 73
5
75
5 = 
2 73
5
7
 . 
 
Exemplo 36: Racionalizaremos o denominador da expressão 2
7	- 3
 . 
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	 8 
Neste caso convém aplicar o produto notável* (a + b)(a – b) = a2 – b2. 
Multiplicando os dois termos da expressão por 7	+ 3, temos: 
 
2
7	- 3
 = 2 . ( 7 + 3) 
7 - 3 . ( 7 + 3)
 = 2( 7 + 3) 
7
2
- 3
2
 
 = 2( 7 + 3)
7 - 3
 = 2( 7 + 3)
4
 = 7 + 3
2
 . 
* Estudaremos este tema no sábado! 
 
Exemplo 37: Simplificaremos a expressão abaixo. 
 
2
7	+ 2
 - 7
7	- 2
 = 2 . ( 7 – 2) - 7 . ( 7 + 2) 
( 7 + 2) . ( 7 – 2)
 = 2 7 – 4	–	7	-	2 7 
7	-	2 7	+	2 7	– 4
 = -11
7 - 4
 = - 11
3
 . 
 
 
Exercícios 
 
 Nos exercícios 1 – 39, efetue. 
1. 81 + 64 + 100 
2. 36 - 400 + 16 
3. 643 + 273 + 83 + 13 
4. 64 - 144 + 256 
5. 169 - 81 + 36 
6. 2 643 - 3 273 
7. 4 3 - 7 3 + 9 3 - 3 
8. 10 5 - 2 5 + 16 5 - 4 5 
9. 4 23 + 12 23 - 8 23 + 2 23 
10. 4 32 - 20 8 + 3 50 
11. 2 20 - 9 45 + 3 605 
12. 98 + 5 147 
13. 3 - 2 27 + 363 
14. 12 + 18 - 48 - 50 
15. 20 + 5 - 3 
16. 4 2 . 5 
17. 3 . 8 
18. 6 . 10 
19. 8 . 2 
20. 5 . 125 
21. 33 . 93 
22. 2 . (3 + 2) 
23. 4 3 ( 3 + 2) 
24. 2 5 . (1 - 5) 
25. 6 2 . ( 2 - 3) 
26. 12
3
 
27. 28
7
 
28. 32
2
 
29. 6
216
 
30. 23
6
 
31. 43
2
 
32. 7
4
 
33. 5
6
 
34. 6
-2
 
35. 10
-4
 
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	 9 
36. 5 
37. 23 
38. 734 
39. 10 
 
40. Racionalize o denominador das expressões: 
a. 6
3
 
b. 1
2
 
c. 2
3 5
 
d. 3
2 3
 
e. 5
53
 
f. 4
25
8 
 
41. Simplifique as expressões: 
a. 2
2
	- 2
2
 
b. 1
3	+ 2
	- 1
3	- 2
 
c. 6	+ 11 . 6 - 11
6	-	1
 
d. 2 3	+	1 2 3	+	1 	-	4 3
13
 
 
42. (UFV) A expressão 7
7+a- a
 , em que a é um número real positivo, 
equivale a: 
a. 7 
b. 7+a	+ a 
c. 7 
d. 7
7
 
e. 1 
 
43. (UFMG) O valor de m = (2 8 + 3 5 - 7 2)(	 72 + 20 - 4 2) é: 
a. 6 
b. 6 6 
c. 16 
d. 18 
e. 12 5 
 
44. (PUC/MG) O valor da expressão y = 8 . 10-3
3
 . 5 . 10-3 é: 
a. 40 
b. 40 . 102 
c. 40-2 
d. 4 . 10-3 
e. 40 . 10-3 
 
45. (UNIFEI) Sejam A = x
y
 , B = y
2
x
3
 e C = x
y
6 . Então, o produto A . B . C é 
igual a: 
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	 10 
a. y3 
b. x3 
c. x
y
3 
d. xy3 
 
46. (UFPEL) O valor da expressão 1
4
0,5
 ÷ 1
32
0,2
 é: 
a. 0,125 
b. 0,25 
c. 0,5 
d. 0,75 
e. 1 
 
47. (UECE) Considerando os números a = 5	+ 3
2
 e b = 5	- 3
2
 , o valor de a2 – 
b2 é: 
a. 5 3 b. 2 3 c. 3
2
 d. 3
4
 
 
48. (FUVEST) Qual é o valor da expressão 3 +	1
3 - 1
 + 3 -	1
3 + 1
 ? 
a. 3 b. 4 c. 3 d. 2 e. 2 
 
49. (PUC/MG) Se x = 2
3	+	2 2
 e y = 56
4	-	 2
 , então x + y é igual a: 
a. 22 
b. 2 2 
c. 8 2 
d. 2 + 8 2 
e. 160 + 4 2 
 
50. (CESGRANRIO) Efetuando e simplificando 1
1	+ x
 + 1
1	- x
 , obtemos: 
a. 1
1	– x2
 
b. 2
1	– x2
 
c. 1
1	– x
 
d. 1
1	+ x
 
e. 2
1	- x
 
 
51. (PUC/RJ) Seja a = 12( 2 - 1), b = 4 2 e c = 3 3, então: 
a. a < c < b 
b. c < a < b 
c. a < b < c 
d. b < c < a 
e. b < a < c 
 
52. (PUC/RS) O valor numérico de 3
4
	-	x	+ 2x	- 3
2
 . 1	-	4x para x = 1
12
 é: 
a. 12 b. 10 c. 6 d. 0 e. -2
 
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	 11 
53. (UECE) Se p = 3 + 2 e q = 2 - 2, então, p . q – p é igual a: 
a. 1 - 2 2 
b. 1 - 2 
c. 1 + 2 
d. 1 + 2 2 
 
54. (FUVEST) Se a = 2 e b = 24 então, o valor de a . b é: 
a. 84 b. 44 c. 8 d. 4 e. 48 
 
55. (FCC/BA) Simplificando a expressão 9
2
 - 2
9
 , obtemos: 
a. 3 – 2
2 – 3
 b. 7 2
6
 c. 7 2
3
 d. 2
18
 
 
Quer praticar um pouco mais? 
Exercícios extras 
 
Nos exercícios 56 – 96, efetue. 
 
56. 25 + 273 + 814 
57. -643 + 64 + 646 
58. 2 4,41 - 3 2,56 
59. 6 103 - 2 103 - 3 103 + 103 
60. 6 53 + 11 53 - 2 53 + 9 53 
61. 23 - 2 23 - 13 23 + 44 23 
62. 3 5 + 5 - 6 5 
63. 4 2 + 6 3 - 2 2 + 9 3 
64. 2 35 - 2 3 + 3 3 + 3 35 
65. 3 + 2 + 7 - 5 2 
66. 20 + 45 
67. 4 63 - 7 
68. 50 + 98 - 72 
69. 12 + 75 + 108 
70. 53 . 63 
71. 2 . 8 
72. 2 . 6 . 3 
73. 5 . 10 
74. 43 . 63 
75. 2 . 53 
76. 5 (1 + 5) 
77. (3 2 - 2) . ( 2 + 3) 
78. ( 3 + 2) . (2 3) 
79. 12 : 3 
80. 50 : 2 
81. 12 -63 : 3 23 
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	 12 
82. 63 : 3 
83. ( 15)2 
84. 33
3
 
85. (3 7)2 
86. 3 34
4
 
87. ( 10)3 
88. 2 33
4
 
89. 10 
90. 33 
91. 2 
92. 33
3
 
93. 53
6
 
94. 2 24
3
 
95. 154 
96. 3 54 
 
97. Racionalize os denominadores das frações seguintes. 
a. 1
5
 b. 3
3
 c. 1
2 2
 d. 9
2 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 13 
Lista 34 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. 27 
2. -10 
3. 10 
4. 12 
5. 10 
6. -1 
7. 5 3 
8. 20 5 
9. 10 23 
10. -9 2 
11. 10 5 
12. 7 2 + 35 7 
13. 6 3 
14. -2 3 - 2 2 
15. 3 5 - 3 
16. 4 10 
17. 24 = 2 6 
18. 60 = 2 15 
19. 16 = 4 
20. 625 = 25 
21. 273 = 3 
22. 2 3 + 2 
23. 12 + 4 6 
24. 2 5 - 10 
25. 12 - 6 6 
26. 4 = 2 
27. 4 = 2 
28. 16 = 4 
29. 1
36
	= 1
6
 
30. 4 
31. 2 23 
32. 49 
33. 125 
34. 1
6
 
35. 1
100
 
36. 54 
37. 212 
38. 724 
39. 1016 
40. 
a. 2 3 
b. 2
2
 
c. 2 5
15
 
d. 3
2
 
e. 52
3
 
f. 2 23
8
 
41. 
a. 2
2
 b. -2 2
7
 c. 6 + 1 d. 13 
42. B 
43. D 
44. D 
45. B 
46. E 
47. A 
48. B 
49. A 
50. E 
51. A 
52. D 
53. A 
54. A 
55. B 
 
 
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Exercícios extras 
 
56. 11 
57. 6 
58. -0,6 
59. 2 103 
60. 24 53 
61. 30 23 
62. -2 5 
63. 2 2 + 15 3 
64. 5 35 + 3 
65. 10 - 4 2 
66. 5 5 
67. 11 7 
68. 6 2 
69. 13 3 
70. 303 
71. 16 = 4 
72. 36 = 6 
73. 50 = 5 2 
74. 243 = 2 33 
75. 2006 
76. 5 + 5 
77. 7 2 
78. 6 + 4 3 
79. 4 = 2 
80. 25 = 5 
81. 4 -33 
82. 4
3
6
 
83. 15 
84. 3 
85. 63 
86. 243 
87. 10 10 
88. 48 33 
89. 104 
90. 36 
91. 28 
92. 318 
93. 54 
94. 2 
95. 15 
96. 458 
97. 
a. 5
5
 b. 
3
3
 c. 1
2 2
 d. 9
2 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 15 
Lista 34 
Bibliografia 
 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 
2011. 
• Apostila de Matemática: Volume 01. Editora Bernoulli: Belo Horizonte, 
2012.