Laboratório de matematica e fisica Atividade 04

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06/06/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA1583 ...
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Usuário DIEGO IOCA
Curso GRA1583 LABORATORIO DE MATEMATICA E FISICA ENGCI201 - 202010.ead-29770698.06
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 06/06/20 14:45
Enviado 06/06/20 15:29
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 43 minutos
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Pergunta 1
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resposta:
Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, de�nem um plano, e suas coordenadas coincidem
com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto  é de�nido  em que 
 é valor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de coordenadas seguintes em um sistema de eixos
cartesianos: A(6, 9, 3), B(6, 3, -3) e C(6, 6, -6). 
Com base no exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. Os pontos A, B e C de�nem um triângulo retângulo. 
PORQUE 
II. O produto escalar . 
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
Resposta correta. Justi�cativa: São três pontos distintos em ℝ 3 
o que de�ne os vértices de um triângulo. O produto escalar = (0, -6, -6)  (0, -3, 3) =
. Signi�ca que os vetores  e  são ortogonais
entre si e implica que o triângulo é retângulo em B.
Pergunta 2
Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de coordenadas e soma
deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY. Considere que uma delas executa movimentos de
acordo com o desenho superior. Os vetores  representam os deslocamentos parciais a partir do
formigueiro. A posição �nal da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os
deslocamentos. 
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Fonte: Elaborada pelo autor. 
  
De acordo com o enunciado e apoiado pela �gura apresentada, analise as asserções a seguir e a relação
proposta entre elas. 
I. O vetor  representa a trajetória integral da formiga. 
PORQUE 
II. O vetor  possui origem em (0, 0) e término na posição �nal. 
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta correta. Justi�cativa: O vetor deslocamento  possui origem nas coordenadas em
que o movimento de um corpo tem início e término na posição �nal do corpo em análise. Ele
representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, não possui qualquer relação com
a trajetória real do corpo estudado.
Pergunta 3
Duas partículas movem-se, linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é
origem de um sistema de coordenadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo  = 1 m/s,
inclinação de 45º, e a velocidade da partícula 2 é . Em t = 0 s, a partícula 1 dista 20 m
de , horizontal, e a partícula 2 ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1. 
  
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Fonte: Elaborada pelo autor. 
  
A partir do exposto, analise as a�rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. (  ) A posição da partícula 1 pode ser de�nida por: 
II. (  ) A posição da partícula 2 pode ser de�nida por: 
III. (  ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si. 
IV. (  ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x = 0 em instantes diferentes. 
  
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, F, V.
V, V, F, V.
Resposta correta. Justi�cativa: Para a partícula 1,  com  .
Logo, . Para a partícula 2,  e
. Como não existe um momento t no qual
 as partículas nunca se chocam. Para   
 s. Para ⇒ s. Ou seja, a passagem da
partícula 1 pela coordenada x = 0 é anterior à passagem da partícula 2 pela mesma
coordenada.
Pergunta 4
Os vetores ,  e , na �gura a seguir, podem ser indicados  = (16, 30 o ) em coordenadas polares, ou  =
(10, 0) e  = (-25, 30) em coordenadas cartesianas. Suponha que eles representem deslocamentos
consecutivos de um corpo, , a partir do ponto de origem (0, 0). 
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Fonte: Elaborada pelo autor. 
  
Assinale a alternativa que indica a posição �nal do corpo.
(-15+8 , 38).
(-15+8 , 38).
Resposta correta. Justi�cativa: O vetor deslocamento total do corpo é  = (R x, R y) com R x
= 10 + 16cos30 o - 25 e R y = 0 + 16sen30 
o 
+ 30, por conversão das coordenadas polares do vetor  em coordenadas cartesianas.
Assim, a posição �nal do corpo é (0,0) +  = (-15+ 8 , 38).
Pergunta 5
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Nos estudos da Física, algumas grandezas necessitam que lhes sejam atribuídas uma direção e um sentido.
Não é su�ciente especi�carmos somente o valor numérico e uma unidade). Essas grandezas são
denominadas vetoriais. Muitas vezes, operações matemáticas simples, aplicadas sobre grandezas vetoriais,
não são possíveis de serem realizadas pelo uso direto de uma calculadora. 
A seguir, assinale a alternativa que lista grandezas cujas somas podem ser realizadas somente pelo uso
direto de uma calculadora.
Massa, potência, resistência elétrica.
Massa, potência, resistência elétrica.
Resposta correta. Justi�cativa: Grandezas como massa, potência e resistência elétrica são
denominadas escalares. Para de�ni-las completamente, basta conhecermos os valores
numéricos e as unidades. O resultado da soma de várias massas, por exemplo, pode ser
conhecido aplicando-se os valores individuais diretamente em uma calculadora. Basta que as
unidades de medida utilizadas sejam as mesmas.
Pergunta 6
No cálculo vetorial, a função gradiente é de�nida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por
unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é de�nido por
 , em que ,  e  são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem módulo
unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identi�cados com as direções dos eixos cartesianos x,
y e z. 
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A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
 
PORQUE
2. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
Resposta correta. Justi�cativa: Esta é a própria de�nição de uma grandeza vetorial. A função
 identi�ca o módulo, a direção e o sentido em que a função
escalar  apresenta a maior taxa de variação por unidade de comprimento em um dado
ponto de coordenadas .
Pergunta 7
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resposta:
Um teorema da geometria a�rma que o volume de um tetraedro, quando de�nido por meio de três vetores
linearmente independentes, ,   e , pode ser expresso como um produtomisto do tipo
 . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e
S(30, -20, 30) de�nem os vértices de um tetraedro. 
  
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
Resposta correta. Justi�cativa: Denominando   (20-(-10), 10-20, -30-0), 
 (10-(-10), 10-20, 10-0) e   (30-(-10), -20-20, 30-0) temos, pelo teorema, que
X = u.v.
Pergunta 8
Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada ponto de coordenadas (x,
y, z). Quando os valores são somente numéricos, o campo é denominado escalar. Seja, então, um campo de
forças F:  de�nido por . 
  
Considere as �guras a seguir: 
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Fonte: Elaborada pelo autor. 
  
Qual delas representa o campo vetorial F?
IV.
IV.
Resposta correta. Justi�cativa: O módulo da função vetorial F decai segundo o inverso da
distância em relação à origem do sistema de coordenadas, ou seja,  pois  =
, em que d é o valor da distância do ponto (x, y),
em relação ao ponto (0, 0). Como o vetor F é anti-horário para qualquer coordenada (x, y), a
orientação do campo de forças F é anti-horário.
Pergunta 9
Suponha que uma partícula P desenvolve movimento circular cujo módulo da velocidade seja constante). O
deslocamento ocorre em torno da origem O de um sistema de coordenadas cartesiano. O vetor   = (r x , r y )
indica a posição de P, e A, B, C e D são quatro pontos da trajetória que coincidem com os eixos x ou y. O
ponto E da trajetória coincide com a bissetriz do quarto quadrante). 
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Fonte: Elaborada pelo autor. 
  
A partir do exposto, analise as a�rmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. (  ) Nas posições B ou D, as componentes verticais r y do vetor posição possuem os maiores módulos. 
II. (  ) Nas posições A ou C, as componentes horizontais v x do vetor velocidade possuem os menores
módulos. 
III. (  ) Na posição E, as componentes vertical r x e horizontal r y 
do vetor posição possuem o mesmo  módulo. 
IV. (  ) Nas posições A, B, C, D e E, os vetores aceleração de P possuem o mesmo módulo. 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justi�cativa: Sendo , , a componente
vertical possui valor máximo para  ou  que coincide com
B e D. Em A ou C, a velocidade somente possui componente vertical e a componente horizontal
é zero. Na posição E, as projeções do vetor posição são as mesmas nas direções horizontal e
vertical, porque . E, em um MCU, a aceleração possui módulo constante com o vetor
sempre orientado para o centro.
Pergunta 10
Resposta
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Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto  está relacionado ao volume
do paralelepípedo de�nido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um
espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles de�nem os vetores  = (1, -1, 1),
  = (1, -3, -1),  = (-2, 1, -3), dentre outros. 
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. Pertencem ao mesmo plano. 
PORQUE 
II. . 
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
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Sábado, 6 de Junho de 2020 15h29min36s BRT
Resposta Correta:
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As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa correta da
I.
Resposta correta. Justi�cativa: Pelo cálculo do produto misto  X = 0.
Então, o volume do paralelepípedo de�nido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os
vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer
vetores de�nidos por eles também serão coplanares.
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