Dimensionamento de Armadura Dupla para Flexão Simples

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AULA 4 – Dimensionamento: flexão simples – armadura dupla 
Quando x > 0,45d, o mais recomendado é aumentar a altura h da seção. Caso contrário é necessário armadura 
dupla, ou seja armadura na parte comprimida. 
 
1) Cálculo da armadura dupla 
A armadura é obtida pelas equações de equilíbrio na seção: 
 
 
Equilíbrio de forças: 
Σ𝐹ℎ = 0 
𝑅𝑐𝑐 + 𝑅𝑠𝑐 − 𝑅𝑠𝑡 = 0 
𝑅𝑐𝑐 + 𝑅𝑠𝑐 = 𝑅𝑠𝑡 (1) 
 
Equilíbrio de momentos em torno de Rst: 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑐𝑧𝑠𝑐 + 𝑅𝑐𝑐𝑧𝑐𝑐 (2) 
 
Da equação (2) obtemos a armadura comprimida Rsc: 
𝑅𝑠𝑐 = 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠
′ 
𝑧𝑠𝑐 = 𝑑 − 𝑑
′ 
 
𝑅𝑐𝑐 = 0,85 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑦 
𝑅𝑐𝑐 = 0,85 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 0,8 ∗ 𝑥 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥 
 
Limite da NBR 6118: 𝑥 = 0,45𝑑 
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 0,45𝑑 
𝑅𝑐𝑐 = 0,306 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 
𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 −
𝑦
2
= 𝑑 −
0,8𝑥
2
 
𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 − 0,4𝑥 
𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 − 0,4 ∗ 0,45𝑑 
𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 − 0,18𝑑 
𝑧𝑐𝑐 = 0,82𝑑 
 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐𝑧𝑐𝑐 + 𝑅𝑠𝑐𝑧𝑠𝑐 
𝑀𝑑 = 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠
′ (𝑑 − 𝑑′) + 0,306𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑 ∗ 0,82𝑑 
𝑀𝑑 = 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠
′ (𝑑 − 𝑑′) + 0,25092𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑
2 
𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠
′ (𝑑 − 𝑑′) = 𝑀𝑑 − 0,25092𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑
2 
 
𝐴𝑠
′ =
𝑀𝑑 − 0,25092𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑
2
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 𝑑
′)
 
 
Para se obter a armadura tracionada As, podemos utilizar a equação (1): 
𝑅𝑐𝑐 + 𝑅𝑠𝑐 = 𝑅𝑠𝑡 
0,306 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 + 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 
𝐴𝑠 =
0,306 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 + 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠
′
𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠 =
0,306 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑
𝑓𝑦𝑑
+ 𝐴𝑠
′ 
 
2) Verificação do escoamento da armadura comprimida (𝜺𝒔𝒅
′ ) 
 
𝜀𝑐𝑑
0,45𝑑
=
𝜀𝑠𝑑
′
0,45𝑑 − 𝑑′
 
 
 
𝜀𝑠𝑑
′ =
0,35
0,45𝑑
(0,45𝑑 − 𝑑′) > 𝜀𝑦𝑑 = 0,207 
 
 
 
2) Dimensionamento 
1) Verificar se a LN passa do limite 
𝑥𝐿𝑁 > 0,45𝑑 → armadura dupla 
 
2) Verificar o 𝜀𝑠𝑑
′ 
𝜀𝑠𝑑
′ =
0,35
0,45𝑑
(0,45𝑑 − 𝑑′) > 0,207 
 
3) Calcular armadura comprimida (As’) 
𝐴𝑠
′ =
𝑀𝑑 − 0,25092𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑
2
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 𝑑
′)
 
 
4) Calcular armadura tracionada (As) 
𝐴𝑠 =
0,306 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑
𝑓𝑦𝑑
+ 𝐴𝑠
′ 
 
5) Detalhamento 
 
Exemplo 1: Dimensione a armadura de flexão. Dados: 
 
 
1) Cálculo da LN e limite da NBR 
𝑥𝐿𝑁 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
] = 1,25 ∗ 45 [1 − √1 −
21980
0,425 ∗ 20 ∗ 452 ∗ 1,79
] 
𝑥𝐿𝑁 = 26,23 𝑐𝑚 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45𝑑 = 0,45 ∗ 45 = 20,25 𝑐𝑚 
 
𝑥𝐿𝑁 = 26,33 > 𝑥lim = 20,25 → armadura dupla 
 
2) Verificar o 𝜀𝑠𝑑
′ 
𝜀𝑠𝑑
′ =
0,35
0,45𝑑
(0,45𝑑 − 𝑑′) =
0,35
0,45 ∗ 45
(0,45 ∗ 45 − 5) = 0,263 
𝜀𝑠𝑑
′ = 0,263 > 𝜀𝑦𝑑 = 0,207 Ok! 
 
3) Cálculo armadura comprimida (As’) 
𝐴𝑠
′ =
𝑀𝑑 − 0,25092𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑
2
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 𝑑
′)
=
21980 − 0,25092 ∗ 1,79 ∗ 20 ∗ 452
43,48 ∗ (45 − 5)
 
𝐴𝑠
′ = 2,18 𝑐𝑚2 
 
4) Calcular armadura tracionada (As) 
𝐴𝑠 =
0,306 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑
𝑓𝑦𝑑
+ 𝐴𝑠
′ =
0,306 ∗ 1,79 ∗ 20 ∗ 45
43,48
+ 2,18 
𝐴𝑠 = 13,52 𝑐𝑚
2 
 
5) Detalhamento 
Armadura de compressão: 2𝜙12,5 → 2,50 𝑐𝑚² 
Armadura de tração: 3𝜙20 + 2𝜙16 → 13,45 𝑐𝑚² 
 
φφ 
Exemplo 2: Dimensione a armadura de flexão. Dados: 
 
 
1) Cálculo da LN e limite da NBR 
𝑥𝐿𝑁 = 1,25𝑑 [1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
] = 1,25 ∗ 56 [1 − √1 −
25900
0,425 ∗ 14 ∗ 562 ∗ 2,14
] 
𝑥𝐿𝑁 = 28,51 𝑐𝑚 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45𝑑 = 0,45 ∗ 56 = 25,20 𝑐𝑚 
 
𝑥𝐿𝑁 = 28,51 > 𝑥lim = 25,20 → armadura dupla 
 
2) Verificar o 𝜀𝑠𝑑
′ 
𝜀𝑠𝑑
′ =
0,35
0,45𝑑
(0,45𝑑 − 𝑑′) =
0,35
0,45 ∗ 56
(0,45 ∗ 56 − 4) = 0,294 
𝜀𝑠𝑑
′ = 0,294 > 𝜀𝑦𝑑 = 0,207 Ok! 
 
3) Cálculo armadura comprimida (As’) 
𝐴𝑠
′ =
𝑀𝑑 − 0,25092𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑
2
𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 𝑑
′)
=
25900 − 0,25092 ∗ 2,14 ∗ 14 ∗ 562
43,48 ∗ (56 − 4)
 
𝐴𝑠
′ = 1,03 𝑐𝑚2 
 
4) Calcular armadura tracionada (As) 
𝐴𝑠 =
0,306 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑
𝑓𝑦𝑑
+ 𝐴𝑠
′ =
0,306 ∗ 2,14 ∗ 14 ∗ 56
43,48
+ 1,03 
𝐴𝑠 = 12,84 𝑐𝑚
2 
 
5) Detalhamento 
Armadura de compressão: 2𝜙8,0 → 1,00 𝑐𝑚² 
Armadura de tração: 4𝜙20 → 12,57 𝑐𝑚²