Aula 6 Dimensionamento à flexão simples de seções retangulares com armadura dupla e seções T

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Dimensionamento à flexão 
simples de seções retangulares 
com armadura dupla e seções 
em “T” 
Disciplina: Concreto Estrutural I 
Prof. Daniel de Lima Araújo 
Escola de Engenharia Civil - UFG 
1. SEÇÃO RETANGULAR COM 
ARMADURA DUPLA 
2 
Seção retangular com armadura dupla 
 Permite a redução da altura da seção sem que a 
mesma trabalhe no domínio 4; 
 Aumenta a resistência à compressão da peça, 
evitando-se peças superarmadas; 
 Procura-se dimensionar a seção para a condição 
de peça normalmente armada (domínio 3) 
utilizando-se uma altura inferior à obtida com o 
uso de armadura simples; 
 Para seções subarmadas (domínio 2), dispensa-
se o uso de armadura na zona comprimida. 
3 
Seção retangular com armadura dupla 
 O dimensionamento 
de seções com 
armadura dupla 
consiste em se 
determinar as 
armaduras de 
compressão e de 
tração que se deve 
adicionar à seção de 
concreto simples de 
forma a que a mesma 
se situe no domínio 3 
4 
Dimensionamento 
5 
cd = 0,35%
X
sd
cd = 0,85 fcd
R1cd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
As’
R2cd
d”
d-d”
’sd
 
 
Onde, 
R1cd - é a resultante de compressão no concreto; 
R2cd - é a resultante na armadura comprimida; 
Rsd - é a resultante na armadura tracionada. 
Dimensionamento 
6 
O momento de dimensionamento Md pode ser dividido em duas 
parcelas, M1d e M2d 
ddd 2M1MM 
 (1) 
a primeira dada pelo momento a que a seção resiste sem o emprego de 
armadura de compressão. 
cd = 0,85 fcd
R1cd
R1sd
0,8 X
Z = L d M1d
R2cd
cf = d-d”
R2sd
M2d
 
Dimensionamento 
7 
A parcela M1d é função apenas das dimensões da peça e da 
resistência de cálculo do concreto. 
2
wcdLd dbf1M 
 (2) 
onde, L é definido por 
Momento fletor positivo: 
 L = 0,32 na fronteira entre os domínios 3 e 4 e aço CA-50 
Momento fletor negativo: 
251,0L e 82,0L para concretos com fck  50 MPa 
205,0L e 86,0L para concretos com fck  50 MPa 
Dimensionamento 
8 
A parcela M1d está associada à parcela As1 da armadura de 
tração que se obtém por equilíbrio de momento fletor na seção 
transversal. 
ydL fd
d1M
1As

 (3) 
Uma vez conhecida a parcela M1d , obtém-se a parcela M2d da 
expressão (1), 
ddd 1MM2M 
 (4) 
Dimensionamento 
9 
A deformação na fibra correspondente à armadura comprimida pode 
ser obtida pela equação de compatibilidade. 
cd
L
L
cdsd
d
"dd
x
"dx
' 




 (5) 
Assim, é possível se obter a tensão na armadura de compressão por ocasião da 
ruptura, a qual se designa ’sd. Onde, 
sdssd 'E' 
 para 
ydsd' 
 (6.a) 
ydsd f' 
 para 
ydsd' 
 (6.b) 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura superior obtém-se 
ydf
d
fc
2M
2As  (7) 
Dimensionamento 
10 
A armadura de tração pode então ser calculada pela soma das 
expressões (3) e (7). 
2As1AsAs 
 (8) 
ou seja, 
ydf
d
ydL
d
fc
2M
fd
1M
As 

 (9) 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura inferior obtém-
se a armadura de compressão, 
sdf
d
'c
2M
s'A

 (10) 
Vantagens da adoção de armadura dupla 
 Redução das deformações sob ações 
permanentes 
 
11 
Vantagens da adoção de armadura dupla 
 Aumento da ductilidade da seção 
 
12 
Vantagens da adoção de armadura dupla 
 Mudança da forma de ruptura de compressão do 
concreto para tração na armadura 
 Facilidade de execução 
 
 
 
EXEMPLO 
 
13 
Verificação do exemplo 
Revisão 
(http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/) 
2. SEÇÃO EM “T” 
14 
Seções com largura variável 
15 
( a )
( b )
Largura efetiva segundo a NBR-6118 
16 
Largura efetiva segundo a NBR-6118 
17 
Largura efetiva segundo a NBR-6118 
18 
 para vigas simplesmente apoiadas la  
 para tramo com momento em uma só extremidade 
l75,0a 
 
 para tramo com momentos nas duas extremidades 
l60,0a 
 
 para trecho de viga em balanço 
l2a 
 
31af bbbb 
 (3) 
bef
bf
1 1
2 2
abertura
Laje com aberturas ou interrupções 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se situa na mesa 
19 
O caso em que a linha neutra situa-se na mesa pode ser expresso pela 
igualdade (4) 
fhx8,0 
 (4) 
cd 
X
sd
cd = 0,85 fcd
Rcd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
bf
hf
 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se situa na mesa 
20 
Equilíbrio de momentos em relação à armadura: 
 x4,0dx8,0bf85,0M fcdd 
 (5) 
Tomando-se a expressão (5) na situação limite da linha neutra, isto é para 
0,8 x = hf, tem-se 
2
h
hbf85,0
M
d f
ffcd
d
0 
 (6) 
Para d  do  0,8 x < hf  seção retangular (bf x h). 
 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se situa na nervura 
21 
Nos casos em que se tem d < do, torna-se necessário considerar a área 
comprimida na região da nervura. 
cd 
X
sd
cd = 0,85 fcd
Rmd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
bf
hf
Rnd
d-hf/2
 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se 
situa na nervura 
22 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se situa na nervura 
23 
Nesse caso, pode-se dividir o momento de dimensionamento em 
duas parcelas, Mmd e Mnd, relativas, respectivamente, à compressão na 
mesa e na nervura. 







2
h
dRmMm fdd
 (7) 
 wffcdd bbhf85,0Rm 
 (8) 
  






2
h
dbbhf85,0Mm fwffcdd
 (9) 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se situa na nervura 
24 
A parcela de momento à qual a nervura deve resistir, pode então ser 
calculada por, 
ddd MmMMn 
 (10) 
Para se obter a armadura necessária, deve-se então dimensionar a 
seção ( bw x h ) para o momento de dimensionamento Mnd. A posição real da 
linha neutra pode ser calculada pela expressão (11). 







68,0
6,1
1125,1 (11) 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se situa na nervura 
25 
Nesse caso, 
2
wcd
d
dbf
Mn
 (12) 
Calcula-se então o coeficiente, 
 4,01
 (13) 
que fornece o braço de alavanca z = .d . 
Assim a resultante no concreto é dada por, 
d
Mn
RmRc ddd

 (14) 
Dimensionamento no estádio III 
 A linha neutra se situa na nervura 
26 
 1 
Portanto, 
yd
cd
f
R
As  (15) 
ou ainda, 
nm AsAsAs 
 (16) 
onde, 
 
yd
wffcd
yd
d
m
f
bbhf85,0
f
Rm
As

 (17) 
yd
d
n
fd
Mn
As

 (18) 
EXEMPLOS 
Revisão