08-Diagramas de esforços

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Resistência dos Materiais Paulo Cavalvante Ormonde 22 
88 –– DDiiaaggrraammaass ddee eessffoorrççooss 
88..11 -- CCoonnvveennççããoo ddee ssiinnaaiiss 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento fletor será positivo quando tracionar as fibras do bordo inferior da seção transversal e 
negativo quando tracionar as fibras do bordo superior. 
 
Tração Compressão
Esforço Normal
s
Esforço Cortante
s’
s
s’
LN
s
Momento Fletor
s’
s
s’
LN
 
Resistência dos Materiais Paulo Cavalvante Ormonde 23 
 
88..22 –– MMeettooddoollooggiiaa ppoorr mmeeiioo ddee eexxeerrccíícciioo rreessoollvviiddoo 
Determinar as reações de apoio e os diagramas de esforços das vigas representadas abaixo. 
 
 
1º Passo – Classificação da estrutura 
Primeiramente devemos classificar a estrutura entre hipostática, isostática e hiperestática. De acordo 
com a figura abaixo podemos obter com base nas vinculações da barra (apoios) o número de 
incógnitas ou reações de apoio geradas por estas vinculações. 
 
Como, neste caso, o número de incógnitas é igual ao número de equações, as três (3) equações da 
estática, concluímos ser esta uma estrutura isostática e passível de resolução por meio destas 
equações. 
 
 
 
P = 10 kN
4 m 6 m
L = 10 m
A C B
HA = 2 kN
A B
HB = ?
VB = ?VA = ?
 
Resistência dos Materiais Paulo Cavalvante Ormonde 24 
2º Passo – Cálculo das reações de apoio 
Façamos inicialmente a soma das forças horizontais. Para que a estrutura seja estável nesta direção 
é necessário que a soma das forças horizontais resultem em zero, o que define a primeira equação. 
O sentido positivo adotado está indicado no início da equação. 
 ΣFH = 0; HA + HB = 0 → 2 + HB = 0 → HB = -2 kN (compressão) 
 
Fazendo a soma das forças horizontais e igualando a zero obtemos a segunda equação de equilíbrio. 
Por meio desta equação conseguimos calcular a resultante vertical, mas ainda é necessário 
determinar as parcelas VA e VB, só obtidas com o uso de uma terceira equação. 
 ΣFV = 0; VA + VB -10 = 0 → VA + VB = 10 kN 
 
A terceira equação que utilizaremos para determinar as parcelas VA e VB é a da soma dos 
momentos fletores que, como nas equações anteriores, debe resultar em zero. 
 
Inicialmente realizamos o somatório de momentos em torno do ponto A, traçando para este fim um 
diagrama de corpo livre para determinar o sentido positivo deste somatório de momentos. Será 
positivo o momentos fletor que tracionar o bordo inferior da barra. Neste diagrama de corpo livre 
devemos substituir os apoios por forças equivalentes as reações cujo valor se deseja aferir. 
 
 
 ΣMA = 0; -10 . 4 + VB . 10 = 0 → VB = 40/10 → VB = 4 kN 
 
 
A B
VB = ?
L = 10 m
P = 10 kN
4 m
 
Resistência dos Materiais Paulo Cavalvante Ormonde 25 
Com o valor de VB determinado podemos calcular diretamente o valor de VA por meio da segunda 
equação. Á título de validação da metodologia adotada faz-se o somatório de momentos em torno 
do ponto B com base no respectivo diagrama de corpo livre. 
 
 
 ΣMB = 0; -10 . 6 + VA . 10 = 0 → VA = 60/10 → VA = 6 kN 
 
Para comprovar se as reações foram calculadas de forma correta, basta substituir seus respectivos 
valores na equação da somatória dos esforços verticais como demonstrado no cálculo abaixo. 
 
VA + VB = 10 kN → 6 + 4 = 10 c.q.d 
 
2º Passo – Traçado dos diagramas 
Como base no sentido das forças HA e HB, concluímos que a barra AB esta sendo submetida a um 
esforço normal de compressão. No diagrama de esforço normal, os esforços de compressão são 
indicados abaixo da barra com sinal negativo. 
 
A B
VA = ?
L = 10 m
P = 10 kN
6 m
L = 10 m
A B
D.E.N
N (kN)
_
-2-2
 
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O traçado do diagrama de esforços cortantes D.E.V é iniciado na extremidade esquerda da barra e 
finalizado na extremidade direita à partir da ordenada zero. As figuras abaixo esquematizam o 
procedimento adotado para o traçado e a apresentação final do diagrama. 
 
Os valores de momento fletor, em qualquer ponto da barra, podem ser obtidos pelo somatório de 
áreas do gráfico de esforços cortantes tanto à direita quanto à esquerda do referido ponto. Áreas 
positivas e negativas do diagrama de esforços cortantes representam respectivamente momentos 
fletores positivos e negativos. 
 
 
 
 
L = 10 m
A B
D.E.V
V (kN)
+
VA
0
P
VB
_
4 m 6 m
C
0
Inicia 
em zero
Termina 
em zero
Da esquerda para a direita
L = 10 m
A B
D.E.V
V (kN)
+
6
0 _
4 m 6 m
C
0
0
6
-4 -4
 
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Para o traçado do diagrama de momentos fletores, iniciamos calculando os momentos nos pontos de 
transição ou descontinuidade de carregamentos e em pontos de apoio. 
Neste caso o valor de momento fletor nos apoios é nulo, bastando calcular inicialmente o momento 
fletor no ponto C, ponto onde temos aplicada a força P. Por meio de um diagrama de corpo livre 
calculamos o momento fletor no ponto C pelo lado esquerdo, definindo adicionalmente a expressão 
de momento fletor para todo o trecho compreendido entre os pontos A e C. 
 
 
 
Por meio do diagrama de corpo livre podemos escrever a equação para cálculo do momento fletor 
em qualquer ponto entre A e C, incluindo o ponto C, a uma distância x horizontal em relação ao 
ponto A. 
 
 
Como a da equação de momento fletor entre os pontos A e C é uma equação do Primeiro Grau, 
concluímos que o diagrama entre A e C é uma reta. De forma análoga definimos também o 
diagrama no trecho CB. 
 
A C
VA
X = 4 m
X
L = 10 m
A B
D.E.M
M (kN.m)
+
0
4 m 6 m
C
0
+24
 
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Montando o diagrama de corpo livre pelo lado direito obtemos o mesmo resultado, com mesmo 
sinal, obtido por meio do diagrama do lado esquerdo. É importante ressaltar que o sentido positivo 
ou negativo do momento fletor varia em função do ponto de observação. 
 
 
 
 
 
 
 
88..33 –– EExxeerrccíícciiooss 
Calcule as reações de apoio e trace os diagramas de força cortante e momento fletor nos seguintes 
casos: 
 
C B
VB
x = 6 m
x
P=1000 kgf
L / 2 L / 2
L= 5 m
A C B
 
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P = 50 tf
3 m 4 m
L=7 m
A C B
p = 2 kN/m
L = 5 m
A B
q = 8 kN/m
L = 500 cm
A B
P = 20 kN
L / 2 L / 2
 
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L=3 m
A B
W=10 kN/m
q = 10 kN/m
L = 600 cm
A B
P = 30 kN
L / 3
P = 30 kN
L / 3 L / 3
P = 100 kN
200 cm 800 cm
AC B
 
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4 m 6 m
AC B
W = 5 kN/m
4 m 6 m
AC B
W = 5 kN/m
3 m
A B
W = 10 kN/m
300 cm 500 cm
AC B
W = 30 kN/m
200 cm
 
Resistência dos Materiais Paulo Cavalvante Ormonde 323 m 4 m
L = 10 m
A C B
3 m
D
W = 1500 kgf/m
3 m 4 m
L = 10 m
A C B
3 m
D
W = 3000 kgf/m
3 m 4 m
A CB D
800 kgf/m
1200 kgf/m
600 kgf/m
4 m
P=1415 kgf
P = 1000 kgf
θ=45º
 
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Exercícios adicionais