terceiro ano terceira apostila Função

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COL. EST. INDIGENA PROFESSOR SERGIO KRIGRIVAJA 
COMPONENETE CURRICULAR – MATEMATICA 	ANO 2020
PROFESSORA SUELE KASNODZEI – 3º ANO E.M
NOME_______________________________DATA:___/___/____
OPERAÇÕES COM POLINOMIOS – ADIÇÃO – SUBTRAÇÃO – MULTIPLICAÇÃO E DIVISAO
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes, requerem a utilização, redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinômio. A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos. 
Adição
Exemplo 1. Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e Q(x) = x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12. Calcule P(x) + Q(x).
Para a operação de adição valem as seguintes propriedades:
a) Propriedade comutativa
P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
b) Propriedade associativa
[P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)]
c) Elemento neutro
P(x) + Q(x) = P(x)
Basta tomar Q(x) = 0.
d) Elemento oposto
P(x) + Q(x) = 0
Basta tomar Q(x) = – P(x)
Solução:
P(x) + Q(x) = (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + ( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12)
P(x) + Q(x) = (8x5 + x5 ) + ( 4x4 + 2x4 ) + ( 7x3 – 2x3 ) + (– 12x2 + 8x2 ) + (– 3x – 6x) + ( – 9 + 12)
P(x) + Q(x) = 9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3
AGORA COM MUITA ATENÇÃO VEJA AO PROXIMO, PARA QUE A SEGUIR VC CONSIGA REALIZAR UMA ATIVIDADE!!!
Exercício 01
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7
AGORA É COM VOCÊ!
ATIVIDADE 01 ADIÇÃO DE POLINONOMIO 
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → Lembre – se que ao eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → deve – se reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7 Portanto:
 (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = Calcule??????
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Exercício 2. Considere os polinômios:
A(x) = – 9x3 + 12x2 – 5x + 7
B(x) = 8x2 + x – 9
C(x) = 7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2
Calcule A(x) + B(x) + C(x).
Solução:
A(x) + B(x) + C(x) = 
(– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) +
 (8x2 + x – 9) +
 (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2)
A(x) + B(x) + C(x) =
 7x4 + (– 9x3 + x3) +
 (12x2 + 8x2 – 8x2) +
 (– 5x + x + 4x) + (7 – 9 + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = CALCULE?????????????
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Subtração de Polinômios.
A subtração é feita de maneira análoga à adição, mas deve-se ficar muito atento aos jogos de sinais. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo . Considere os polinômios:
P(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11
Q(x) = – 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15
Efetue P(x) – Q(x).
Solução:
P(x) – Q(x) = (10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11) – (– 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15)
P(x) – Q(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11 + 3x6 – 4x5 + 3x4 – 2x3 – 12x2 – 3x – 15
P(x) – Q(x) = 13x6 + 3x5 – 6x4 – 8x3 + x2 – 7x – 4
AGORA PRESTE ATENÇÃO QUE O PROXIMO VOCÊ REALIZARA SOZINHO!!!
Exemplo. Dados os polinômios:
A(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7
B(x) = 5x3 + 3x2 – 2x + 1
C(x) = 6x3 + 5x2 – 5x + 8
Calcule A(x) + B(x) – C(x).
Solução:
A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 2x2 – 3x + 7) + (5x3 + 3x2 – 2x + 1) – (6x3 + 5x2 – 5x + 8)
A(x) + B(x) – C(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7 + 5x3 + 3x2 – 2x + 1 – 6x3 – 5x2 + 5x – 8
A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 5x3 – 6x3) + (2x2 + 3x2 – 5x2) + (– 3x – 2x + 5x) + (7 + 1 – 8)
A(x) + B(x) – C(x) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
AGORA É COM VOCÊ
EXERCICIO 01
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → Primeiro devo eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 →Depois reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto:
 (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) =Agora realize o CÁLCULO, respeitando os números com x, e logo depois só os números).
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 EXERCICIO 02
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → elimine os parênteses através do jogo de sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → reduza os termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16 Portanto:
 (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = E Calcule???????
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Exercício 03
Considere os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
Então A + B + C =____________________________
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
Então A – B – C = ________________________
Multiplicação com polinômios
multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:
Multiplicação de monômio com polinômio.
Multiplicação de número natural com polinômio.
Multiplicação de polinômio com polinômio.
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m
• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.
Multiplicação de monômio com polinômio
• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)
15x3 + 9x2 – 3x
Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x
• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)
- 10x3 + 2x2
Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2
Multiplicação de número natural
• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5
6x2 + 3x + 15.
Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.
Multiplicação de polinômio com polinômio
• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)
(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2
15x3 + 6x – 5x2 – 2
Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2
• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2
10x3+ x2 + 3x – 2
Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
Multiplicação de monômio por polinômio
O monômio é multiplicado por cada termo do polinômio como vemos a seguir:
Não importa se o monômio aparece antes ou depois do polinômio. O monômio deve ser multiplicado por todos os elementos componentes do polinômio. Para evitar confusões, o polinômio deve ficar contido entre parênteses.
Multiplicação de binômio por binômio
Um binômio é a soma ou subtração de dois monômios. Ao multiplicar um binômio por outro diferente, devemos aplicar novamente a propriedade distributiva. Os dois termos de um monômio devem ser multiplicados pelos dois termos do segundo monômio. Desse modo, obteremos uma resposta com quatro termos, que ainda poderá ser unida aos termos semelhantes, somando-os ou subtraindo-os. Vejamos alguns exemplos:
Multiplicação de polinômio por polinômio
O processo para multiplicação de polinômio por polinômio é análogo ao anterior, com o agravante de que a resoluçãopode tornar-se muito longa. Vejamos um exemplo:
Visualmente já podemos observar que “ficou uma bagunça”! Uma alternativa que temos é usar o algoritmo da multiplicação. Com ele, estaremos igualmente aplicando a propriedade distributiva, apenas tentaremos fazer de uma forma mais organizada. Vejamos outros dois exemplos, agora com o algoritmo da multiplicação:
Multiplicação do polinômio (2a² + a – 1) por (a² – 2a – 2) e também a multiplicação de (x + y – xy) por (2xy – x + y)
A multiplicação de polinômios pode ser de duas formas, sendo elas:
· Monômio X Polinômio.
· Polinômio X Polinômio.
Recorde-se que um polinômio é formado por monômios e que o monômio é a menor parte de um polinômio. Todo monômio é composto por coeficiente (número) e parte literal (letra).
Propriedades da multiplicação de polinômio
As propriedades da multiplicação de polinômio são:
Associativa: Ao associar os polinômios o produto não se altera.
[P(x) . Q(x)] . T(x) = P(x) . [Q(x) . T(x)]
Comutativa: A ordem do polinômio não altera o produto.
P(x) . Q(x) = P(x) . Q(x)
Elemento neutro: O elemento neutro na multiplicação de polinômio é representado por I(x), sendo I(x) = 1.
P(x) . I(x) = I(x) . P(x) = 1 . P(x) = P(x)
Distributiva: O produto de dois polinômios (P e Q) é definido como sendo a soma dos produtos de cada monômio de P por todos os monômios de Q.
[P(x) + B(x)] . [Q(x) + T(x)] = P(x) . Q(x) + P(x) . T(x) + B(x) . Q(x) + B(x) . T(x)
Produto de monômio
Ao realizamos um produto de monômios, multiplicamos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Veja
· 3x2 . 4x = 3 . 4 . x2 + 1 = 12 . x3 = 12x3 → Multiplicamos o coeficiente 3 com 4 e a parte literal x2 e x, conservamos a base e somamos os expoentes.
· 5y . 2y3 = 5 . 2 . y1 + 3 = 10y4 → Multiplicamos o coeficiente 5 com 2 e a parte literal y e y3, conservamos a base e somamos os expoentes
Produto de monômios com polinômio
Para multiplicarmos um monômio por cada termo de um polinômio, utilizamos a propriedade distributiva. Observe o exemplo:
z . (3z + 2y)
= z . 3z + z . 2y =
= 3z2 + 2zy
· Multiplicamos z por 3z e obtivemos 3z2
· Multiplicamos z por 2y e obtivemos 2zy
Produto de polinômio com polinômio
Para realizarmos a multiplicação de polinômio com polinômio, utilizamos a propriedade distributiva, com isso multiplicamos cada termo (monômio) de um dos polinômios pelo outro termo (monômio) do outro polinômio. Caso haja termos semelhantes, ou seja, com mesma parte literal devemos reduzi-los. Acompanhe o exemplo a seguir:
(3x + 2y) . (2x - 5y) =
= 3x . 2x + 3x . -5y + 2y . 2x + 2y . -5y =
= 6x2 - 15xy + 4xy - 10y2 =
Reduza os termos semelhantes: – 15xy + 4xy
= 6x2 - 11xy - 10y2
· Multiplicamos 2x por 3x, o que resultou 6x2
· Multiplicamos 2x por 2y o que resultou 4xy.
· Multiplicamos – 5y por 3x o que resultou – 15 xy.
· Multiplicamos – 5y por + 2y o que resultou – 10y2.
Atividades
1. Sobre aas propriedades de um polinômios relacione-as 
a)[P(x) . Q(x)] . T(x) = P(x) . [Q(x) . T(x)] ( )Elemento neutro
b)3x2 . 4x = 3 . 4 . x2 + 1 = 12 . x3 = 12x3  ( )Associativa
c)P(x) . Q(x) = P(x) . Q(x) ( ) Distributiva:
d)[P(x) + B(x)] . [Q(x) + T(x)] = P(x ( )Produto de monômio
2. Explique a diferença entre polinômio com monômio e polinômio com monômio:
 
3. Quais são as propriedades da multiplicação de polinômios?
4. Fale sobre subtração e adição de polinômios:
REFERENCIAS
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao-subtracao-e-multiplicacao-de-polinomios.htm
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/multiplicacao-polinomios.html
https://www.infoescola.com/matematica/multiplicacao-de-polinomios/