_Lista sistemas lineares

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Nota: 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Numérico Lista 2 : Sistemas Lineares Turma: 
Professor: Data: 2016 
 
Aluno (a): 
 
RQ 0501 Rev. 14 
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1. O valor do determinante de uma matriz triangular pode ser determinado pelo produto dos elementos 
da diagonal principal. 
Sendo assim, para cada sistema abaixo, resolva e calcule o determinante da matriz dos coeficientes, 
usando o método de Eliminação de Gauss com pivotamento parcial. 
 
 a) { 
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 5
4𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 3
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = −1
 b) { 
 −5.8𝑥1 + 7.0𝑥2 + 𝑥3 − 10.2𝑥4 = −12.6
 7.5𝑥1 − 6.0𝑥3 + 1.5𝑥4 = −8.4
2.3𝑥1 + 1.8𝑥2 + 4.5𝑥3 − 0.5𝑥4 = 0.2
 −4.2𝑥1 + 6.1𝑥2 − 1.5𝑥3 = 17.9
 
 
2. Após o escalonamento, surge a chamada retro substituição para determinar o conjunto de variáveis 
que atendem o sistema linear. 
Construa no Scilab uma rotina para este fim, nos sistemas abaixo. 
 
a) { 
−𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 1
 3𝑥2 + 𝑥3 = 9
 −4𝑥3 = −12
 b) 
{
 
 
 
 
 
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑥4 − 5𝑥5 = 13
 4𝑥2 − 3𝑥3 − 𝑥5 = 10
 𝑥3 − 5𝑥4 + 6𝑥5 = −1 
 3𝑥4 − 2𝑥5 = 4
 8𝑥5 = 8
 
 
3. A equação diferencial de Laplace: 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2 
= 0 , é usada para avaliar a distribuição de temperatura, 
em regime estacionário, numa região plana. Quando transformada numa equação de diferenças finitas 
assume o aspecto: 
 
 
𝑇𝐿−2𝑇𝐶+𝑇𝑂
Δ𝑥2
+ 
𝑇𝑆−2𝑇𝐶+𝑇𝑁
Δ𝑦2
 =0 e para Δ𝑥 = Δ𝑦 temos a equação 𝑇𝐿 + 𝑇𝑂 − 4𝑇𝐶 + 𝑇𝑆 + 𝑇𝑁 = 0 
 
Onde: 𝑇𝐿 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 , 𝑇𝑂 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 , 𝑇𝐶 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 
 𝑇𝑆 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 , 𝑇𝑁 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
 
Considere a placa aquecida em regime estacionário, determine as temperaturas na região interna: 
Use: Eliminação de Gauss e Gauss-Seidel 
 
 
 
 
 Ex. Equação avaliada no nó 6 
 
 𝑇5 + 100 − 4 𝑇6 + 25 + 𝑇3 = 0 
 
 Ou ainda 𝑇3 + 𝑇5 − 4𝑇6 = −125 
 
 
 
 
 
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4. Nos Anos 80 uma equipe pesquisadores de Cambridge, comandada pelo Dr. Howard, desenvolveu 
uma dieta que se tornou famosa. Após anos de estudos, chegaram numa proporção ideal para 
tratamento de obesos que se baseia numa certa quantidade diária de 33g de proteína, 45g de 
carboidrato e 3g de gordura. 
 
 Quantidades (gramas) fornecidas por 100g de ingrediente 
Nutriente (g) Leite desnatado Farinha de soja Soro de leite 
Proteína 36 51 13 
Carboidrato 52 34 74 
Gordura 0 7 1,1 
 
Determine a quantidade correta para cada ingrediente para atender as necessidades diárias, usando os 
métodos de pivotamento parcial e Gauss-Seidel. 
Obs. Use o método da matriz inversa no Scilab para comparar o resultado. 
Normalize o resultado para 100g desse suplemento alimentar. 
 
 
 
5. As quatro notas dos seis alunos estão na tabela abaixo, com as médias ponderadas dos quatro 
primeiros: 
 
Alunos Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Média 
A 6.5 5.0 7.2 4.0 6.08 
B 7.5 4.0 6.4 5.0 5.76 
C 4.3 5.0 3.5 8.0 4.56 
D 5.6 4.0 5.5 7.0 5.22 
F 3.8 5.1 4.3 0.0 
G 8.0 7.6 9.2 8.0 
 
 Calcule os pesos usados e as médias dos alunos E e F. ( considere soma dos pesos = 10 ). 
 Qual método mais adequado: iterativo ou direto? 
 
 
6. No polígono de abaixo, cada vértice apresenta uma quantidade desconhecida que pode ser determinada 
pelos valores definidos nas arestas. 
Seguindo a lógica apresentada a seguir, construa o sistema linear para determinação das quantidades 
associadas aos vértices e use 3 iterações para determinação desse sistema por Gauss-Seidel. 
 
 
 # vértice oposto ao lado tem peso 6 
 
 
 
 6,5
10
6

 FEDCB
 
 
 
 
 
 
 
7. A solução de um problema de engenharia está relacionada ao sistema abaixo: 
 
 





Qyx
Pyx
2882,04322,0
5944,28907,3
 onde: 
44960,2
05155,22


Q
P
 
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Dois engenheiros foram resolver este sistema, usando 4 casas decimais, e adotaram critérios de 
arredondamentos diferentes, gerando os sistemas abaixo: 
 
Sistema I: 





4496,22882,04322,0
0515,225944,28907,3
yx
yx
 Sistema II: 





4496,22882,04322,0
0516,225944,28907,3
yx
yx
 
 
a) Determine as soluções exatas (método direto) dos sistemas I e II; 
b) Dê uma justificativa técnica para os resultados aparentemente curiosos. 
 
 
 
8. Sistemas lineares apresenta aplicação em circuitos elétricos. Determine as correntes solicitadas usando 
o método direto: Eliminação de Gauss 
 
 
 
 
9. Considere o sistema 








5 2z5y 3x -
 10 z64x -
 19 z2y 7x 
. 
 
a) Seria possível garantir a convergência da sequência gerada usando o método de Gauss- 
 Jacob só trocando linhas? Faça a possível montagem. 
b) Seria possível garantir a convergência da sequência gerada usando o método de Gauss- 
 Seidel só trocando linhas? Faça a possível montagem. 
 Obs.: Use critério de convergência adequado para justificar as montagens. 
 
 
 
 
10. Avalie o sistema e faça a montagem por troca de linhas, caso exista, para ter garantia de convergência 
nos métodos: Jacobi e Gauss-Seidel. 
 
 
{
 
 
 
 
5𝑥1 + 7𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = −12
−2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = 5
 8𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥5 = 2
−3𝑥1 − 𝑥3 + 2𝑥4 + 5𝑥5 = 8
 2𝑥2 + 3𝑥3 + 6𝑥4 + 𝑥5 = −4
 
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Respostas: 
 
1a. 𝑥𝑡 = [1 , 2 , 3 ] 1b. 𝑥𝑡 = [−1.5 , 2 , 0.4 , 3.5 ] 
 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −20 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −3451.008 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 a) 𝑥𝑡 = [ 1 , 2 , 3 ] 
 
b) 𝑥𝑡 = [ 8 , 5 , 3 , 2 . 1 ] 
 
 
3 𝑇1 = 39.64 𝑇2 = 49.30 𝑇3 = 64.36 
 𝑇4 = 34.26 𝑇5 = 43.19 𝑇6 = 58.14 
 𝑇7 = 29.22 𝑇8 = 31.08 𝑇9 = 26.53 𝑇10 = 26.90 ( °𝐶 ) 
 
 
 4 
 
 
 
 
5 Método direto: 𝑝1 = 2 𝑝2 = 3 𝑝3 = 4 𝑝4 = 1 ; 𝑀𝐹 = 4.01 𝑀𝐺 = 8.36 
 
6 𝐴 = 1 ; 𝐵 = 13 ; 𝐶 = 8 ; 𝐷 = 5 ; 𝐸 = 3 ; 𝐹 = 2 ; 𝐺 = 1 
 
7 Solução: sist.1 {
1
7
} sist.2 {
481.33
−713.33
} , Sistema mal condicionado ( det(𝐴) = 0.00000006 ) 
 
8 𝐼1 = 1 𝐴 ; 𝐼2 = 4 𝐴 , 𝐼3 = 3 𝐴 
 
9 a) Para Jacobi é impossível garantir convergência ( falha o critério na 2°linha) 
 b) Para Gauss-Seidel é possível garantir 
 
 
10 Só temos garantia por Gauss-Seidel: 
 Com base em Sassenfeld