Avaliando o Aprendizado - Matemática Discreta I -94

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2) 15.240 
3) 15.540 
4) 15.000 
 
AULA 4 
 
Definição de Relações: 
Pode-se definir relações como um subconjunto do produto cartesiano entre conjuntos. 
Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por 
todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente 
a B. O símbolo do produto cartesiano é x. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os 
pares ordenados:A x B = {(x, y) | x A e y B} 
Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x 
B)descrito a seguir:A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)} 
O produto cartesiano não é comutativo, isto é, AxB ≠ BxA 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, encontre os produtos cartesianos de A em B e de B em A. 
A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)} 
B x A = {(2,1), (2,2), (2,5), (4,1), (4,2), (4,5), (9,1), (9,2), (9,5)} 
Relações Binárias 
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação binária entre A e B é um subconjunto obtido do produto 
cartesiano AxB destes conjuntos. 
Uma relação binária de A em B é um conjunto R de pares ordenados, onde o 1º elemento de cada par vem de A e o 
2º vem de B, ou seja R  A x B. 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}. O conjunto R= {(1,2), (2,4), (2,9)} é um subconjunto (A x B), 
logo é define uma Relação Bináriade A em B. 
Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um subconjunto do produto cartesiano (AxA), ou seja, um 
subconjunto de pares ordenados de elementos de A. 
O produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo, denotado por (A x A)ouA2,é o conjunto de todos os pares 
ordenados de elementos de A. 
Dado um conjunto A = {1,2,3}, 
A x A= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} 
 O subconjunto R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}do conjunto (A x A) define uma Relação Binária sobre A. 
Podemos descrever a relação binária R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}como:R = {(x, y)A x A | y = x} ou x R y ↔ y = x 
(lê-se x está relacionado por R com y se e somente se y=x) 
Uma relação binária R sobre um conjunto A nada mas é do que um subconjunto de (AxA) que pode ser descrita na 
forma abreviada por:x R y ↔ (x, y) R 
Exemplo: Seja A = {1,2}. Temos que, A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2)}. Seja R a relação sobre A definida por: 
x R y ↔ x + y é ímpar.A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}R = {(1,2), (2,1)} 
par ímpar ímpar par 
Generalizando: 
Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, n > 2, uma relação n-ária em A1x A2x A3x ... An é um subconjunto do produto 
cartesiano (A1x A2x ... x An). 
Relação Ternária: 
R = {(x, y, z)| x, y e z estão relacionados} 
Exemplos: 
Para cada uma das relações binárias R, decida quais os pares ordenados pertencem a R. 
a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2) 
b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6) 
c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)