TRABALHO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO I – DIMENSIONAMENTO DE VIGA

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TRABALHO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO I – DIMENSIONAMENTO DE VIGA 
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DADOS 
fck : 20 MPa Qv: 15kN/m h = 45cm 
Cobrimento (c): 2,5cm 𝛾𝑐 = 25kN/m³ bw = 20cm 
Aço CA-50 Brita 1 – 𝜙 9,5-19mm 
 
a) O carregamento da estrutura (Peso Próprio + Sobrecarga) 
𝐏𝐩 = γc ∗ bw ∗ h 
𝐏𝐩 = 25 ∗ 0,2 ∗ 0,45 
𝐏𝐩 = 2,25 kN/m 
Qv = 15kN/m 
Qt = Pp+Qv 
Qt = 2,25 + 15 = 17,25 kN/m 
 
b) O momento de cálculo e cortante de cálculo 
𝑀𝑘 =
𝑞 ∗ 𝑙2
8
 
𝑀𝑘 =
17,25 ∗ 5,452
8
 
𝑀𝑘 = 64,05 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑉𝑘 =
𝑞 ∗ 𝑙
2
 
𝑉𝑘 =
17,25 ∗ 5,45
2
 
 
𝑀𝑑 = 𝑀𝑘 ∗ 1,4 = 64,05 ∗ 1,4 = 𝟖𝟗, 𝟗𝟕 𝒌𝑵. 𝒎 𝑉𝑑 = 𝑉𝑘 ∗ 1,4 = 47,00 ∗ 1,4 = 𝟔𝟓, 𝟖𝟎 𝒌𝑵 
 
c) As deformações dos materiais e o domínio em que a viga se encontra (𝜀𝑐 e 𝜀𝑠) 
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
1,4
=
20
1,4
= 14,2857𝑀𝑝𝑎 = 14,2857. 103𝑘𝑁 𝑚2⁄ = 𝟏, 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 𝒌𝑵/𝒄𝒎𝟐 
ALTURA ÚTIL 
𝑑 = ℎ − 𝑐 − Ø𝑡 −
Ø𝑙
2
= 45 − 2,5 − 0,5 −
1,0
2
= 𝟒𝟏, 𝟓 𝒄𝒎 
 
𝑑𝑚í𝑛 = 2 ∗ √
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∗ 𝑓𝑐𝑑
 
𝑑𝑚í𝑛 = 2 ∗ √
89,97 ∗ 100
0,2 ∗ 1,42857
 
𝒅𝒎í𝒏 = 𝟑𝟓, 𝟐𝟗𝒄𝒎 
 
 
 
 
 
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LINHA NEUTRA 
𝑥 = 
0,68 ∗ 𝑑 ∓ √(0,68 ∗ 𝑑)2 − 4 ∗ 0,272 ∗
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑓𝑐𝑑
0,544
 
𝑥 = 
0,68 ∗ 41,5 ∓ √(0,68 ∗ 41,5)2 − 4 ∗ 0,272 ∗
89,97 ∗ 100
20 ∗ (1,42857)
0,544
 
𝒙+ = 𝟗𝟏, 𝟎𝟑𝟐𝟓 𝒄𝒎 
𝒙− = 𝟏𝟐, 𝟕𝟐 𝒄𝒎 
DOMÍNIO DEFORMAÇÕES 
𝒙𝟐𝟑 = 0,259 ∗ 𝑑 = 0,259 ∗ 41,5 = 𝟏𝟎, 𝟕𝟓 𝒄𝒎 
𝒙𝟎,𝟒𝟓 = 0,45 ∗ 𝑑 = 0,45 ∗ 41,5 = 𝟏𝟖, 𝟔𝟖 𝒄𝒎 
A linha neutra da viga encontra-se em x = 12,72cm, 
portanto, a viga está em DOMÍNIO 3 (três) e não 
é necessária armadura dupla. 
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
 → 𝜀𝑠 = 
𝜀𝑐 ∗ (𝑑 − 𝑥)
𝑥
 
 𝜀𝑠 = 
0,0035 ∗ (41,5 − 12,72)
12,72
= 7,92‰ 
𝜀𝑐 = 3,5‰ 
 
d) Dimensionar a viga sujeito a flexão simples (encontrar linha neutra e área de aço) 
Linha neutra já calculada no passo anterior. 
ÁREA DE AÇO 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
(𝑑 − 0,4 ∗ 𝑥) ∗ 𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 =
89,97 ∗ 100
(41,5 − 0,4 ∗ 12,72) ∗ 43,48
 
𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟔𝟖 𝒄𝒎² 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑
 
𝐾𝑀𝐷 =
89,97
0,2 ∗ 0,4152 ∗ 14,2857 ∗ 103
 
𝑲𝑴𝑫 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟑 
BITOLA DE AÇO ESCOLHIDA Kz = 0,8796 Kx = 0,301 𝜀𝑐 = 3,5‰ 𝜀𝑠 = 8,131‰ 
Ø𝒍𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝟑 Ø𝟏𝟔, 𝟎𝟎𝒎𝒎 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑧 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 =
89,97 ∗ 100
0,8796 ∗ 41,5 ∗ 43,48
 
𝑨𝒔 = 5,67 cm² 
 
 
e) Verificar a altura útil final e se respeita a condição de proximidade de valores (centro de 
gravidade das barras) 
𝑑𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = ℎ − (Ø𝑡 + 𝑐 +
Ø𝑙
2
) 
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𝑑𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = 45 − (0,5 + 2,5 +
1,6
2
) 
𝒅𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝟒𝟏, 𝟐 𝒄𝒎 
 
 
f) Verificar prescrições mínimas e máximas (espaçamentos vertical e horizontal, armadura 
mínima e máxima) 
Verificação - ARMADURAS 
1. Armadura mínima 
𝐴𝑠𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 ∗ 𝐴𝑐 
𝐴𝑠𝑚í𝑛 =
0,15
100
∗ 𝑏𝑤 ∗ ℎ 
𝐴𝑠𝑚í𝑛 = 0,0015 ∗ 20 ∗ 45 = 𝟏, 𝟑𝟓 𝒄𝒎
𝟐 
Portanto  OK! 
2. Armadura máxima 
As = 5,67cm² 
As’ = 0,0 cm², pois, não houve necessidade de armadura dupla, portanto, não há 
armadura dimensionada para colaborar com à resistência a compressão do concreto. 
Com isto, temos que: 
𝐴𝑠 + 𝐴𝑠
′ ≤ 0,04 ∗ 𝐴𝑐 
𝐴𝑠 + 𝐴′𝑠 ≤ 0,04 ∗ (𝑏𝑤 ∗ ℎ) 
5,67 + 0 ≤ 0,04 ∗ (20 ∗ 45) 
𝟓, 𝟔𝟕 ≤ 𝟑𝟔 𝒄𝒎² 
 
Portanto  OK 
3. Espaçamento horizontal 
𝑎ℎ, 𝑟𝑒𝑎𝑙 =
𝑏𝑤 − (2 ∗ 𝑐 + 2 ∗ Ø𝑡 + 𝑛. º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ∗ Ø𝑙)
(𝑛. º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1)
 
𝑎ℎ, 𝑟𝑒𝑎𝑙 =
20 − (2 ∗ 2,5 + 2 ∗ 0,5 + 3 ∗ 1,6)
(3 − 1)
 
𝒂𝒉, 𝒓𝒆𝒂𝒍 = 𝟒, 𝟔𝒄𝒎 
𝑎ℎ, 𝑚í𝑛 ≥ {
2𝑐𝑚
Ø𝑙 = 1,6𝑐𝑚
1,2 ∗ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑑𝑜 = 1,2 ∗ 1,9 = 2,28𝑐𝑚
 
Portanto, 𝒂𝒉, 𝒓𝒆𝒂𝒍 > 𝒂𝒉, 𝒎í𝒏 OK! 
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4. Espaçamento vertical 
𝑎𝑣, 𝑚í𝑛 ≥ {
2𝑐𝑚
Ø𝑙 = 1,6𝑐𝑚
0,5 ∗ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑑𝑜 = 0,5 ∗ 1,9 = 0,95𝑐𝑚
 
Para este espaçamento adota-se um valor igual ao mínimo, portanto, 𝒂𝒗, 𝒓𝒆𝒂𝒍 =
𝒂𝒗, 𝒎í𝒏. 
 
 
g) Dimensionar a viga sujeita a cisalhamento (armadura transversal, armadura de pele se 
necessário). 
1. Armadura transversal 
1.1 Verificação de esmagamento de compressão nas bielas 
𝛼𝑣2 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) 
𝛼𝑣2 = (1 −
20
250
) 
𝜶𝒗𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟐 Mpa 
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∗ 𝛼𝑣2 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∗ 0,92 ∗ 1,42857 ∗ 20 ∗ 41,2 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∗ 0,92 ∗ 1,42857 ∗ 20 ∗ 41,2 
𝑽𝑹𝒅𝟐 = 𝟐𝟗𝟐, 𝟒 𝒌𝑵 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 
𝟔𝟓, 𝟖 𝒌𝑵 ≤ 𝟐𝟗𝟐, 𝟒 𝒌𝑵 
Portanto OK! 
1.2 Para cálculo da armadura transversal 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∗ 𝑓𝑐𝑘
2
3 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∗ 20
2
3 
𝒇𝒄𝒕𝒅 = 𝟏, 𝟏𝟎𝟓𝟐 𝑴𝒑𝒂 
 
𝑉𝑐 = 0,6 ∗ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 
𝑉𝑐 = 0,6 ∗ (
1,1052
10
) ∗ 20 ∗ 41,2 
𝑽𝒄 = 𝟓𝟒, 𝟔𝟒 𝒌𝑵 
 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐 
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𝑉𝑠𝑤 = 65,80 − 54,64 
𝑽𝒔𝒘 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟔 𝒌𝑵 
𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
𝑉𝑅𝑑3 = 54,64 + 11,16 
𝑽𝑹𝒅𝟑 = 𝟔𝟓, 𝟖 𝒌𝑵 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 
𝟔𝟓, 𝟖 ≤ 𝟔𝟓, 𝟖 
Portanto OK! 
 
 
h) Verificar armadura transversal mínima, bem como espaçamentos máximos transversais 
e longitudinais. 
1. Armadura transversal 
1.1 Armadura necessária para colaborar com a resistência do concreto 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) =
𝑉𝑠𝑤
0,9 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑤𝑑
 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) =
11,16
0,9 ∗ 41,2 ∗ 43,48
 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) =
11,16
0,9 ∗ 41,2 ∗ 43,48
 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) = 0,0069221
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 ∗ 100 
(
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) = 0,69221
𝑐𝑚2
𝑚
 
(
𝐴𝑠𝑤
2
) = 0,69221
𝑐𝑚2
𝑚
 
𝑨𝒔𝒘 =
𝟎, 𝟔𝟗𝟐𝟐𝟏
𝟐
𝒄𝒎𝟐 𝒎⁄ = 𝟎, 𝟑𝟒𝟔 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
1.2 Área de aço mínima para estribos 
𝐴𝑠, 𝑚í𝑛 =
𝑝𝑤, 𝑚í𝑛
100
∗ 𝑏𝑤 
𝐴𝑠, 𝑚í𝑛 =
0,09
100
∗ 20 
𝑨𝒔, 𝒎í𝒏 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏, 𝟖𝒄𝒎𝟐/𝒎 
Sendo As,mín > Asw, então usar As,mín. 
Ø𝑡𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜= 5mm 
 
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 𝑆Ø𝑡𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 =
2 ∗ 𝐴𝑠Ø𝑡𝑎𝑑.
𝐴𝑠𝑤
𝑠
 
𝑆Ø𝑡𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 =
2 ∗
𝜋 ∗ 0,52
4
0,0069221
 
𝑺Ø𝒕𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝟓𝟔, 𝟕𝟑𝒄𝒎 
2. Espaçamentos 
2.1 Espaçamento Longitudinal Máximo 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
0,6 ∗ 𝑑 ≤ 30𝑐𝑚 𝑠𝑒 𝑉𝑆𝑑 ≤ 0,67 ∗ 𝑉𝑅𝑑2
0,3 ∗ 𝑑 ≤ 20𝑐𝑚 𝑠𝑒 𝑉𝑆𝑑 > 0,67 ∗ 𝑉𝑅𝑑2
 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
0,6 ∗ 41,2 ≤ 30𝑐𝑚 𝑠𝑒 65,8 ≤ 0,67 ∗ 292,4
0,3 ∗ 41,2 ≤ 20𝑐𝑚 𝑠𝑒 65,8 > 0,67 ∗ 292,4
 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
24,72 ≤ 30𝑐𝑚 𝑠𝑒 65,8 ≤ 195,91
12,36 ≤ 20𝑐𝑚 𝑠𝑒 65,8 > 195,91
 
2.2 Espaçamento Transversal Máximo 
𝑆𝑡𝑚á𝑥 ≤ {
𝑆𝑒 𝑉𝑆𝑑 ≤ 0,2 ∗ 𝑉𝑅𝑑2 → 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑡, 𝑚á𝑥 = 𝑑 ≤ 80𝑐𝑚
𝑆𝑒 𝑉𝑆𝑑 > 0,2 ∗ 𝑉𝑅𝑑2 → 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑡, 𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑑 ≤ 35𝑐𝑚
 
𝑆𝑡𝑚á𝑥 ≤ {
𝑆𝑒 65,8 ≤ 0,2 ∗ 292,4 → 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑡, 𝑚á𝑥 = 41,2 ≤ 80𝑐𝑚
𝑆𝑒 65,8 > 0,2 ∗ 292,4 → 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑡, 𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 41,2 ≤ 35𝑐𝑚
 
𝑆𝑡𝑚á𝑥 ≤ {
𝑆𝑒 65,8 ≤ 58,48 → 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑡, 𝑚á𝑥 = 41,2 ≤ 80𝑐𝑚
𝑆𝑒 65,8 > 58,48 → 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆𝑡, 𝑚á𝑥 = 24,72 ≤ 35𝑐𝑚
 
𝑺𝒍𝒐𝒏𝒈𝒂𝒅𝒐𝒕 = 𝟐𝟒, 𝟎𝟎𝒄𝒎 
 
i) Elaborar Detalhamento da Viga 
ANEXO 1 
j) Calcular o custo 
Barras Diâmetro (mm) Comprimento (L) das barras 
Estribo Øt = 5 39 + 14 + 39 + 14 + 6 + 6 = 118𝑐𝑚 = 1,18𝑚 
Suspensão Øls = 6.3 585𝑐𝑚 = 5,85𝑚 
Tração Øl = 16 604𝑐𝑚 = 6,04𝑚 
 
 
Barras Diâmetro (mm) Quantidade de barras 
Estribo Øt = 5 24 
Suspensão Øls = 6.3 2 
Tração Øl = 16 3 
 
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Barras Diâmetro (mm) Valor (R$) 
Estribo Øt = 5 12,01/kg 
Suspensão Øls = 6.3 11,62/kg 
Tração Øl = 16 7,68/kg 
 
Barras Diâmetro (mm) Peso (kg/m) 
Estribo Øt = 5 0,154 
Suspensão Øls = 6.3 0,245 
Tração Øl = 16 1,578 
 
Barras Diâmetro (mm) Valor total (R$) 
Estribo Øt = 5 1,18 ∗ 24 ∗ 0,154 ∗ 12,01 = 52,38 
Suspensão Øls = 6.3 5,85 ∗ 2 ∗ 0,245 ∗ 11,62 = 33,31 
Tração Øl = 16 6,04 ∗ 3 ∗ 1,578 ∗ 7,68 = 219,60 
Total = R$ 305,30 
 
Fck (MPa Valor (R$) 
20 388,76/m³ 
 
Volume de Concreto (m³) Valor total doconcreto para viga (R$) 
𝑏𝑤 ∗ ℎ ∗ 𝐿 = 0,2 ∗ 0,45 ∗ 5,9 = 0,531 0,531 ∗ 388,76 = 𝑅$ 206,43 
 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 = 305,3 + 206,43 = 𝑹$ 𝟓𝟏𝟏, 𝟕𝟐