prova 1ª chamada Calculo III

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Gabarito
Questão 1
A mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas faz-se necessário em algumas situações envolvendo o cálculo de integrais triplas. Com base em informações sobre esse tipo de mudança de coordenadas, analise os itens que seguem.
I- A função f(x,y,z) = x+y em coordenadas cilíndricas é representada por
.
II- A função f(x,y,z) = y em coordenadas cilíndricas é representada por
III- A função f(x,y,z) = x² em coordenadas cilíndricas é representada por
.
Obs.:
Assinale a alternativa correta.
A) Apenas os itens I e II estão corretos.
B) Apenas o item I está correto.
C) Apenas os itens II e III estão corretos.
D) Apenas o item II está correto.
E) Apenas o item III está correto.
Questão 2
Suponha que seja necessário resolver um problema de cálculo de volume de uma determinada região e para isso é preciso que se realize uma mudança de variáveis. Sabe-se que o jacobiano associado a essa mudança é dado por
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = u2, y = v + w , z = u + w2
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita.
A) J = 4vu.
B) J = 2vw.
C) J = 4u.
D) J = 2uw. 
E) J = 4uw.
Questão 3
O cálculo das integrais triplas sobre determinadas regiões torna-se muitas vezes complicado o que requer uma mudança de variáveis, tornando a região de integração mais simples. Para tal mudança é necessário encontrar o jacobiano associado a mudança de variáveis. Sabendo que
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por x = u + w, y = v2 + w , z = u + w2
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita.
A) J = 0.
B) J = 2v + 4vw.
C) J = 2v + 4w. 
D) J = 2v.
E) J = 4vw – 2v.
Questão 4
Considere os itens apresentados no que segue, os quais apresentam equações diferenciais ordinárias e possíveis classificações das mesmas:
C1: Equação diferencial ordinária não linear de 3ª ordem
C2: Equação diferencial ordinária linear de 3ª ordem
C3: Equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem
Associe as equações diferenciais (denotadas por I, II e III) com as respectivas classificações (indicadas por C1, C2 e C3) nas quais os mesmos podem ser incluídos.
Assinale a alternativa que indica todas as associações corretamente:
A) I – C3; II – C2; III – C1.
B) I – C3; II – C1; III – C2.
C) I – C1; II – C2; III – C3.
D) I – C1; II – C3; III – C2.
E) I – C2; II – C3; III – C1.
Questão 5
Equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem aparecem, várias vezes, na modelagem de vários problemas em Física, entre outras ciências. Considere a equação diferencial ordinária de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes y'' - 16 y = 0. Assinale a alternativa que contém a solução da equação característica associada a equação diferencial.
A) r1 = 4; r2 = - 4.
B) r1 = 0; r2 = 4.
C) r1 = 0; r2 = - 4.
D) r1 = 4; r2 = 2.
E) r1 = 4; r2 = -2.
Questão 6
Para representar determinados fenômenos, bem como para auxiliar no estudo de máximos e mínimos de funções de duas variáveis, podemos utilizar o recurso de determinar planos tangentes. Sabe-se que 
Considerando o ponto de coordenadas P(6,3,2) pertencente ao plano π e o vetor normal n = (-2,1,5), assinale a alternativa que contém a equação do plano π.
A) x + y + z + 6 = 0.
B) -x - y - 5z -1= 0
C) -2x + y + 5z -1= 0
D) 2x – y + 3z + 2 = 0.
E) 2x + y + 5z +1= 0
Questão 7
No cálculo de integrais triplas podemos adotar diferentes sistemas de coordenadas que são selecionados de acordo com as características da região de integração, ou mesmo da função a ser integrada.
Considere que determinado problema envolve o cálculo da integral tripla da função f(x,y,z) = y² em coordenadas esféricas sobre uma região R conveniente.
Observação:
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente a representação da função f em coordenadas esféricas.
A) A representação da função f em coordenadas esféricas é:
B) A representação da função f em coordenadas esféricas é:
C) A representação da função f em coordenadas esféricas é:
D) A representação da função f em coordenadas esféricas é:
E) A representação da função f em coordenadas esféricas é:
Questão 8
Determinado problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial ordinária:
y’’ + 2y’ – 3y = 0
Para resolver essa equação é necessário determinar qual a solução geral da equação diferencial, por meio da avaliação da equação característica associada.
Assinale a alternativa que contém as raízes da equação diferencial apresentada.
A) r1 = 1 e r2 = -3.
B) r1 = -1 e r2 = 3.
C) r1 = -3 e r2 = 2.
D) r1 = 0 e r2 = 0.
E) r1 = -1 e r2 = -3.
Questão 9
Ao realizarmos uma mudança de variáveis no cálculo de integrais requer que se calcule o jacobiano associado a mudança de variáveis. Sabe-se que
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por x = u , y = v2 , z = w3
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita.
A) J = 2vw.
B) J = 6uvw2.
C) J = 6vw.
D) J = 6vw2.
E) J = uv2w3.
Questão 10
Suponha que para a resolução de determinado problema, um pesquisador precisa analisar e calcular a seguinte integral tripla:
Assinale a alternativa que descreve corretamente a região de integração R envolvida no problema em questão:
A)A região de integração R é dada por:
B) A região de integração R é dada por:
C) A região de integração R é dada por:
D)A região de integração R é dada por:
E) A região de integração R é dada por:
Questão 11
Considere a mudança de variáveis descrita pelas seguintes expressões
Por meio dessa mudança, o objetivo é converter objetos escritos em coordenadas cartesianas para um novo sistema de coordenadas. Sabe-se que
A respeito dessa mudança, assinale a alternativa que apresenta corretamente o jacobiano associado a essa transformação:
A)O jacobiano da transformação é dado por
B) O jacobiano da transformação é dado por
C) O jacobiano da transformação é dado por
D) O jacobiano da transformação é dado por
E) O jacobiano da transformação é dado por
Questão 12
Classificar as equações diferenciais é essencial no estudo de problemas que envolvem esse tipo de equação, pois cada tipo de equação possui métodos diferentes de resolução. Com base em informações sobre esse assunto analise os itens que seguem.
I- As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo em equações diferenciais ordinárias ou equações diferenciais parciais.
II- A equação y’ + y = sen(x) é uma equação diferencial parcial não linear de primeira ordem.
III- As equações diferenciais podem ser classificadas quanto a linearidade em equações diferenciais lineares, equações diferenciais semi lineares ou equações diferenciais não lineares.
Assinale a alternativa correta.
A) Apenas os itens II e III estão corretos.
B) Apenas o item III está correto.
C) Apenas o item I está correto.
D) Apenas os itens I e II estão corretos.
E) Apenas o item II está correto.