Aula 8 - Dimensionamento - parte 3-1

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Dimensionamento às Forças Cortantes 
As tabelas de Rüsch não determinam os esforços cortantes
nas lajes. Assim sendo, foi utilizada a metodologia baseada na
teoria de vigas, uma vez que as lajes são unidirecionais
Antes de determinar os diagramas de esforços cortantes para
cada ação, é imprescindível escolher as seções mais críticas
sujeitas à ruptura.
SEÇÃO PARA CORTANTE 
3,9 KN.m/m
LAJE
DEFENSA
PAVIMENTAÇÃO
LAJE
DEFENSA
PAVIMENTAÇÃO
8.2
5.5
- 8.2
-5.5
-3.4
6.1
- 6.1
3.4
Para os esforços cortantes devido às cargas móveis, adotou-se uma
largura efetiva de 6 metros, tendo todas cargas do trem-tipo inclusa nessa
faixa.
Logo, no modelo estrutural as ações devido ao veículo na seção são
transformadas em duas cargas distribuídas linearmente por metro linear de
laje (qeq).
qeq = 
6Q
6 . (2t)
=
6.121,88
6 . (2. 0,73)
= 83,48 kN/m²
seção S1 para as cargas móveis
83.5 kN.m/m 83.5 kN.m/m
86.0
- 60.2
66.0
25.2
11.4
- 2.9
seção S2 para as cargas móveis
83.5 kN.m/m 83.5 kN.m/m
70.6
-11.4
-61.0
11.3
-54.5
6.2
-7
56.2
Verificação de Dispensa de Estribos 
Para que a laje não precise de estribos, deve-se obedecer a equação abaixo,
na qual indica que se a força cortante solicitante de cálculo na seção (VSd) for
menor ou igual que a força cortante resistente de cálculo (VRd1), relativa a
elementos sem armaduras para esforços cortantes
VSd ≤ VRd1
Desta forma, determina-se a força cortante solicitante de cálculo a partir da
combinação normal último, sem as ações horizontais, gerando assim um
resultado para cada seção crítica
VSd, S1 = VSd, S4 = 1,35 (Vk, ppl + Vk, pav + Vk,def ) + 1,5 Vk, mov
VSd, S1 = VSd, S4 = 1,35 (7,9 + 3,4 + 8,5) + 1,5. 60,2 = 117,03 kN/m
VSd, S2 = VSd, S3 = 1,35 (Vk, ppl + Vk, pav + Vk,def ) + 1,5 Vk, mov
VSd, S2 = VSd, S3 = 1,35 (9,8+ 6,1+ 0) + 1,5. 70,6 = 127,37 kN/m
A força cortante resistente de cálculo é dada por:
VRd1 = τRd. k. 1.2 + 40ρ1 + 0,15 σcp . bw. d 
O coeficiente k para a condição de que mais que 50% da armadura inferior
chega até o apoio é determinado através
k = 1.6 − d ≥1 ⟹ k = 1.6 − 0.215 =1,385 ≥1
A taxa de armadura de tração (ρ1) é calculado a partir da área de aço efetiva
adotada para as armaduras longitudinais de tração As,ef , para tal, as armaduras
negativas nos apoios foram adotadas φ16 c/ 8
�� = 
As1
bw.d
=
As, ef
bw.d
=
25
100.21,5
= 0,012 ≤ 0,02
O cálculo da tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento (τRd)
é exposto a seguir, ressalta-se que a unidade da resistência característica à
compressão do concreto é expressa em Mpa.
τRd = 0,25 
0,7. 0,3. fck
23
γc
τRd = 0,25 
0,7. 0,3. 502 
3
1,4
= 0,51 MPa ou 0,051 kN/cm²
Logo, a força cortante resistente de cálculo (VRd1) é
VRd1 = 0,051. 1,385. 1.2 + 40. 0,012 + 0 . 100. 21,5 = 255,13 kN/m 
VRd1 = τRd. k. 1.2 + 40ρ1 + 0,15 σcp . bw. d 
VSd ≤ VRd1 ⟹ ���, ��≤ 255,13
Por fim, não há necessidade de armar a laje para as forças cortantes atuantes
na seção mais crítica
Flecha Elástica Imediata
O modelo para obtenção dos deslocamentos verticais é similar ao item de
dimensionamento aos esforços cortantes, ou seja, considera-se que as lajes
estão apoiadas nas longarinas e estas são indeslocáveis com a rigidez à
torção desprezada. Utilizam-se as propriedades inerciais como viga de seção
retangular com largura de 100 centímetros e altura de 25 centímetros. Desta
forma, as cargas distribuídas são obtidas por metro linear
3,9 KN.m/m
LAJE
DEFENSA
PAVIMENTAÇÃO
3,9 KN.m/m
-0.98 -0.98
0.16
83.5 kN.m/m 83.5 kN.m/m
4.2
0.9
-0.72
83.5 kN.m/m 83.5 kN.m/m
-3.23 - 3.23
2. 40
-0.98
0.25
0.06 0.16
1.56
-0.71 -0.72
4.20
-3.23
2.40
Por fim, foram determinadas as flechas para as combinações quase
permanentes de serviço. Assim sendo, os valores máximos e mínimos dos
deslocamentos verticais são:
∆I,t0,max= ∆ppl+∆pav+∆def + 0,3 ∆mov,max
∆I,t0,min= ∆ppl+∆pav+∆def + 0,3 ∆mov,min
Nas bordas das lajes as envoltórias das flechas são
∆I,t0,max,b= ∆ppl,b + ∆pav,b + ∆def,b + 0,3 ∆mov,max,b
∆I,t0,min,b= ∆ppl,b + ∆pav,b + ∆def,b + 0,3 ∆mov,min,b
∆I,t0,max,b= 0,25 − 0,06 +1,56 + 0,3. 4,20 = 3,01 mm
∆I,t0,min,b= 0,06 + 0,16 + 1,56 - 0,3. 3,23 = 0,81 mm
No centro das lajes as envoltórias das flechas são
∆I,t0,max,c= ∆ppl,c + ∆pav,c + ∆def,c + 0,3 ∆mov,max,c
∆I,t0,min,c= ∆ppl,c + ∆pav,c + ∆def,c + 0,3 ∆mov,min,c
∆I,t0,max,c= 0,06 + 0,16 − 0,71 + 0,3. 2,40 = 0,23 mm
∆I,t0,min,c= 0,06 + 0,16 − 0,71 - 0,3. 0,72 = − 0,71 mm
Formação de Fissuras
Para verificação do estado de formação de fissuras, determina-se o
momento de fissuração da seção no estádio I.
Mr = 
α. fct. Ic
yt
→ Mr = 
1,5.0,285.130208,34
12,5
 = 4453,13 kN.cm/m
Onde
� = 1,5 ; yt = 
h
2
= 
25
2
= 12,5 
Ic = 
b.h3
12
 = 
100.253
12
 = 130208,34
fct = 0,7. 0,3. ���
�� = 0,7. 0,3. 50�
�
= 2,85 Mpa ou 0,285 kN/cm²
Verificação nos Apoios 
Inicialmente são realizadas as verificações nos apoios das lajes, uma vez que
são as seções que apresentam maiores momentos fletores negativos ao
longo das lajes.Assim sendo, as combinações rara de serviço (Md;rara) são:
Nas lajes em balanço:
Nas bordas das lajes centrais são:
Md,rara = Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def + Mxe,mov
Md,rara = Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def + Mxe,mov
Md,rara = 10,13 + 2,45 + 15,30 + 106,3 = 134,18 kN.m/m 
Md,rara = 9,18 + 3,67 + 0 + 88,97 = 101,82 kN.m/m 
Md,rara = 134,18 kN.m/m ou 13418 kN.cm/m
Utilizamos o maior favor fornecido faz combinações
Md,rara = 134,18 kN.m/m ou 13418 kN.cm/m
Por fim, avalia-se que o momento de fissuração é menor que o momento
fletor máximo das combinações raras de serviço, ou seja, ocorrem as
fissuras e a peça trabalhará no estádio II
4453,13 kN.cm/cm < 13418 kN.cm/m
Mr < Md,rara
Verificação no Meio do Vão das Lajes Centrais
Repetindo-se o procedimento de para os momentos fletores positivos
máximos das lajes centrais, encontra-se que o momento fletor da
combinação rara de serviço
Md,rara = Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,mov
Md,rara = 4,78 + 1,84 + 45,71 = 52,33 kN.m/m ou 5233 kN.cm/m 
Assim como a verificação nos apoios, o momento de fissuração também é
menor que o momento fletor obtido na combinação rara de serviço,
gerando fissuras na peça
4453,13 kN.cm/cm < 5233 kN.cm/m
Mr < Md,rara
Abertura de Fissuras 
Quando Md;rara > Mr, ocorre a abertura das fissuras e esta deve ser
controlada, uma vez que podem comprometer a durabilidade e integridade
da estrutura. O valor característico da abertura de fissuras (wk),
determinado para cada parte da região de envolvimento, é o menor obtido
pelas seguintes expressões
ωk = 
ϕi
12,5η1
. 
σSi
ESi
. 
3.σSi
fct,m
ωk = 
ϕi
12,5η1
. 
σSi
ESi
. 
4
ρri
+45
Verificação nos Apoios 
Inicialmente determina-se os momentos fletores devido às combinações
frequentes de serviço (Md;freq), ressalta-se que existem combinações
frequentes de serviço para verificação de abertura de fissuras e de fadiga
Nas lajes em balanço:
Nas bordas das lajes centrais são:
Md,freq = (Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def ) + 0,5 Mxe,mov
Md,freq = (Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def ) + 0,5 Mxe,mov
Md,freq = 10,13 + 2,45 + 15,30 + (0,5.106,3) = 81,03 kN.m/m 
Md,freq = 9,18 + 3,67 + 0 + (0,5. 88,97) = 57,34 kN.m/m 
Md,freq = 81,03 kN.m/m ou 8103 kN.cm/m
O diâmetro das armaduras negativas foi adotado como φi = 16mm
espaçadas a cada 8 cm, desta forma a área de aço efetiva As;ef é 25 cm²/m.
Desta forma, calcula-se a taxa de armadura passiva em relação à área da
região de envolvimento (Acri) a partir da área de aço adotada por metro
linear de laje. A determinação de Acri para lajes é simplificado, uma vez que se
considera apenas uma camada de armaduras.
Acri = bw (cob + 7,5φi) ou bw (h/2) Acri = 100. (4,5 + 7,5. 1,6) = 1650 cm²→
ρri =
As, ef
As
= 
25
1650
= 0,0151 ou 1,51 %
A determinação da tensão de tração no centro de gravidade das armaduras é realizada a
partir da obtenção da posição da linha neutra no estádio II. Para tal, foi considerado uma
seção retangular sem armaduras longitudinais de compressãoe a relação αe entre os
módulos de elasticidade do aço e do concreto é tomado como sendo 15 de acordo com
o item 17.3.3.2 da NBR 6118.
�II= 
−15. 25 + 15. 25
2
�2. 100. 15. 25. 21,5 
100
= 9,49 cm
xII= 
−αe.As,ef+ αe.As,ef
2+2. b.αe.As,ef.d 
b
O momento de inércia no estádio II é:
III= 
bw. �II
3
3
+ αeAs,ef (d - �II)²
III= 
100. 9,49³
3
+ 15. 25. (21,5 - 9,49)² = 82579 cm4
Δσss= 15. 
8103 (21,5 − 9,49)
82579
= 17,68 kN/cm²
σsi = αe. 
Md,freq (d − �II)
III
A tensão de tração σSi é
Desta forma, os valores das aberturas de fissuras são
ωk = 
ϕi
12,5η1
. 
σSi
ESi
. 
3.σSi
fct,m
=
1,6
12,5. 2,25
 . 
17,68
2100
 . 
3. 17,68
0,3.502 3�
= 0,006 cm 
ωk = 
ϕi
12,5η1
. 
σSi
ESi
. 
4
ρri
+45 = 
1,6
12,5. 2,25
. 
17,68
21000
. 
4
0,0151
+45 = 0,015 cm 
Portanto, a abertura de fissura é o menor dentre os valores
calculados, que é 0,006 cm
Verificação no Meio do Vão das Lajes Centrais 
Md,freq = (Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def ) + 0,5 Mxe,mov
Md,freq = 4,78 + 1,84 + 0 + (0,5.45,71) = 29,48 kN.m/m ou 2948 kNcm/m
Para φi = 12,5 mm, temos 
Acri = bw (cob + 7,5φi) ou bw (h/2) Acri = 100. (4,5 + 7,5. 1,25) = 1387,5 cm²
ρri =
As, ef
As
= 
10,25
1387,5
= 0,0738 ou 0,74 %
→
�II= 
−15. 10,25 + 15. 10,25 2�2. 100. 15. 10,25. 21,5 
100
= 6,74 cm
xII= 
−αe.As,ef+ αe.As,ef
2+2. b.αe.As,ef.d 
b
A posição da linha neutra no estádio II, desprezando as armaduras
de compressão e considerando a seção como retangular é
O momento de inércia no estádio II é:
III= 
bw. �II
3
3
+ αeAs,ef (d - �II)²
III= 
100. 6,74³
3
+ 15. 10,25. (21,5 - 6,74)² = 43712,80 cm4
Δσss= 15. 
2948 (21,5 − 6,74)
43712,80
= 14,93 kN/cm²
σsi = αe. 
Md,freq (d − �II)
III
A tensão de tração σSi é
Desta forma, os valores das aberturas de fissuras são
ωk = 
ϕi
12,5η1
. 
σSi
ESi
. 
3.σSi
fct,m
=
1,25
12,5. 2,25
 . 
14,93
2100
 . 
3. 14,93
0,3.502 3�
= 0,0035 cm 
ωk = 
ϕi
12,5η1
. 
σSi
ESi
. 
4
ρri
+45 = 
1,25
12,5. 2,25
. 
14,93
21000
. 
4
0,0738
+45 = 0,031 cm 
Portanto, a abertura de fissura é o menor dentre os valores
calculados, que é 0,0035 cm
Flecha Imediata no Estádio II
Após a conclusão de que Mr < Md;rara para as envoltórias de momentos
fletores nos apoios e no meio do vão das lajes centrais para as combinações,
deve-se determinar a flecha imediata no estádio II, ou seja, aquela gerada
após a formação de fissuras ao longo da peça.
Assim sendo, a rigidez equivalente de uma seção transversal é
(EI)eq,t0 = Ecs
Mr
Ma
3
. Ic+ 1− 
Mr
Ma
3
III ≤ Ecs Ic
Flecha Imediata no Estádio II
A relação αe entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto para
verificação de flechas no estádio fissurado e o momento de inercia são:
Para determinação do momento de fissuração no estado limite de
deformação excessiva
Mr = 
α. fct. Ic
yt
→ Mr = 
1,5.0,407.130208,34
12,5
 = 6359,40 kN.cm/m
Onde
� = 1,5 ; yt = 
h
2
= 
25
2
= 12,5 
Ic = 
b.h3
12
 = 
100.253
12
 = 130208,34
fct = 0,3. ���
�� = 0,3. 50�
�
= 4,07 Mpa ou 0,407 kN/cm²
Verificação nos Apoios 
O momento fletor na seção crítica (Ma) é calculado de acordo as
combinação quase permanentes (Md;qp),
Md,pq = (Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def ) + 0,3 Mxe,mov
Nas lajes em balanço:
Nas bordas das lajes centrais são:
Md,pq = (Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def ) + 0,3 Mxe,mov
Md,pq = (Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def ) + 0,3 Mxe,mov
Md,freq = 10,13 + 2,45 + 15,30 + (0,3.106,3) = 59,77 kN.m/m 
Md,freq = 9,18 + 3,67 + 0 + (0,3. 88,97) = 39,54 kN.m/m 
Ma = Md,freq = 59,77 kN.m/m ou 5977 kN.cm/m
�II= 
−5,74. 25 + 5,74. 25 2� 2. 100. 5,74. 25. 21,5 
100
= 6,55 cm
xII= 
−αe.As,ef+ αe.As,ef
2+2. b.αe.As,ef.d 
b
A posição da linha neutra no estádio II é
O momento de inércia no estádio II é:
III= 
bw. �II
3
3
+ αeAs,ef (d - �II)²
III= 
100. 6,55³
3
+ 5,74. 25. (21,5 - 6,55)² = 41439,65 cm4
(EI)eq,t0 = Ecs
Mr
Ma
3
. Ic+ 1− 
Mr
Ma
3
III ≤ Ecs Ic
A rigidez equivalente é
(EI)eq,t0 = 3660 
6359,40
5977
3
.130208,34 + 1− 
6359,40
5977
3
41439,65 ≤ 3660. 130208,34
(EI)eq,t0 = 5,43. 10
8 ≤ 4,77. 108 
Desta forma, a seção fissurada apresenta mais rigidez que íntegra,
uma vez que nesta verificação foi considerada a rigidez das
armaduras longitudinais de tração, logo a NBR 6118 não permite
a utilização de uma rigidez equivalente superior àquela obtida no
estádio I. Portanto, as flechas imediatas no estádio II são iguais as
obtidas no estádio I.
Verificação no Meio do Vão das Lajes Centrais 
Md,freq = (Mxe,ppl + Mxe,pav + Mxe,def ) + 0,3 Mxe,mov
Ma = Md,freq = 4,78 + 1,84 + 0 + (0,3.45,71) = 20,34 kN.m/m ou 2034 kNcm/m
Repetem-se as expressões para obtenção do momento fletor na
seção crítica (Ma), porém utiliza-se apenas os momentos fletores
positivos máximos obtidos nas lajes centrais no sentido x.
�II= 
−5,74. 10,25 + 5,74. 10,25 2�2. 100. 5,74. 10,25. 21,5 
100
= 4,48 cm
xII= 
−αe.As,ef+ αe.As,ef
2+2. b.αe.As,ef.d 
b
A posição da linha neutra no estádio II, desprezando as armaduras
de compressão e considerando a seção como retangular é
O momento de inércia no estádio II é:
III= 
bw. �II
3
3
+ αeAs,ef (d - �II)²
III= 
100. 4,48³
3
+ 5,74. 10,25. (21,5 - 4,48)² = 20040,53 cm4
(EI)eq,t0 = Ecs
Mr
Ma
3
. Ic+ 1− 
Mr
Ma
3
III ≤ Ecs Ic
A rigidez equivalente é
(EI)eq,t0 = 3660 
6359,40
2034
3
.130208,34 + 1− 
6359,40
2034
3
20040,53 ≤ 3660. 130208,34
(EI)eq,t0 = 1,23. 10
10 ≤ 4,77. 108 
Assim como no item anterior, as flechas no estádio II são empregadas como as mesmas dos 
estádio I, posto que a rigidez equivalente no estádio fissurado é superior ao estado íntegro
Flecha Diferida no Tempo 
Adotando as simplificações:
(a) tempo de análise da flecha diferida maior que 70 meses (t),
(b) idade relativa à aplicação da carga de longa duração como sendo 1 mês
(t0)
(c) não há armaduras de compressão (�′)
Logo,
αf= 
ξ t − ξ(t0)
1+50.ρʹ
=
2 − 0,68
1+0
= 1,32 
Então os deslocamentos verticais finais para um tempo superior a 70 meses
são descritos da seguinte forma:
∆II,tf,max = ∆II,t0,max (1+αf ) ∆II,tf,min = ∆II,t0,min (1+αf ) 
∆II,tf,max,b = ∆II,t0,max,b (1+αf ) = 3,01. (1 + 1,32) = 6,96 mm 
∆II,tf,min,b = ∆II,t0,min,b (1+αf ) = 0,81. (1 + 1,32) = 1,88 mm 
∆II,tf,max,c = ∆II,t0,max,c (1+αf ) = 0,23. (1 + 1,32) = 0,54 mm 
∆II,tf,min,c = ∆II,t0,min,c (1+αf ) = - 0,71. (1 + 1,32) = -1,65 mm 
Os deslocamentos máximos permitidos pela NBR 6118. Assim sendo, para
condições de aceitabilidade sensorial, as flechas limites (∆lim) são
determinadas pela seguinte equação
Δlim= 
�
250
Sendo:
� - Dobro da distância entre os pontos de verificação de deslocamentos e
os pontos considerados indeslocáveis
Desta forma, as distâncias � são ilustradas
Portanto, os valores limites das flechas para as extremidades dos balanços
(∆lim;b) e para o meio do vão das lajes centrais (∆lim;c) são
Δlim,b = 
2, 1,80
250
= 0,0144 m ou 14,4 mm
Δlim,c = 
2, 2,10
250
= 0,0168 m ou 16,8 mm
Portanto, verifica-se que as flechas diferidas no tempo, em módulo, são
inferiores as limites, satisfazendo o dimensionamento
|∆II,tf,max e min| ≤ ∆Iim 
|∆II,tf,max,b| = 6,96 mm ≤ ∆Iim = 14,4 mm
|∆II,tf,min,b| = 1,88 mm ≤ ∆Iim = 14,4 mm
|∆II,tf,max,c| = 0,54 mm ≤ ∆Iim = 16,8 mm
|∆II,tf,min,c| = 1,65 mm ≤ ∆Iim = 16,8 mm
DIMENSIONAMENTO DAS DEFENSAS 
 De acordo com o DNER (1996) a execução de barreiras laterais no
mesmo alinhamento das extremidades das lajes em balanço exige
cuidados especiais; não sendo utilizados elementos pré-moldados. Assim
sendo, elas são dimensionadas e detalhadas como elementos moldados
no local
 A NBR 7188 (2013) determina que os dispositivos de contenção
(defensas) devem ser dimensionados para uma força horizontal
perpendicular à direção do tráfego de 100 kN.
Combinações Últimas Excepcionais
No dimensionamento das defensas é necessário utilizar as combinações
últimas excepcionais, posto que as ações derivadas das colisões possuem
duração extremamente curta e muito baixa probabilidade de ocorrência
durante a vida da construção,mas que devem ser consideradas no projeto
(NBR 8681, 2003)
Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras
Adotando um cobrimento de 3,5 cm para agressividade III
bw = 100 cm 
d = h – d’ = 18 - 3,5 = 14,5 cm 
fck = 50 Mpa = 5 kN/cm²
fyk = 500 Mpa = 50 kN/cm²
Md = Md,xec = 9750 kN.cm
Cálculo da ductilidade (�)
0,4. ξ2− ξ+ 
Md
0,68. bw.d
2.fcd
fcd= 
fck
γc
= 
5
1,4
= 3,57 kN/cm² e fcd= 
fyk
γs
= 
50
1,15
= 43,48 k/cm²
0,4. ξ2− ξ+ 
Md
0,68. bw.d2.fcd
= 0 ⇒ 0,4. ξ2− ξ+ 
9750
0,68. 100.14,52.3,57
= 0
ξ = 0,228 ≤ ξlim= 0,45 → Não precisa de armadura dupla 
Área do aço (As)
As= 
0,68. bw.d.ξ.fcd
fyd
⇒ As= 
0,68. 100. 14,5. 0,228. 3,57
43,48
⇒ As = 18,46cm²/m
Asmin = ρmin%. bw. h ⇒ Asmin = 
0,208
100
 . 100. 18 ⇒ Asmin= 3,75 cm²/m
As > Asmin
Escolha da bitola (�)
ϕmáx= 
h
8
= 
18
8
= 2,25 cm ou 22,5 mm 
Espaçamento máximo (smáx):
smáx ⇒ �
20 cm 
2. h = 2. 18 = 36 cm
 ⇒ smáx= 20 cm
Adotando ϕ
dot
= 20 mm, podemos calcular a área de uma barra (As1b)
As
1b
= 
π. ϕ
dot
4
= 
π. 2²
4
= 3,14 m²
Espaçamento entre barras (sdot)
s
dot
= 
As
1b
As
= 
3,14
18,46
= 0,170 m ou 17 cm
s
dot
< s
máx
Logo a configuração da armadura é igual � 20 c/17
Adotando ϕ
dot
= 16 mm, podemos calcular a área de uma barra (As1b)
As
1b
= 
π. ϕ
dot
4
= 
π. 1,6²
4
= 2,01 m²
Espaçamento entre barras (sdot)
s
dot
= 
As
1b
As
= 
2,01
18,46
= 0,108 m ou 10 cm
s
dot
< s
máx
Logo a configuração das armaduras é igual � 16 c/10