coordenadas polares

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE 
CURSO DE ENGENHARIA CÍVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas Polares 
Comprimento de Arcos em Curvas Polares, Cálculo de área em Coordenadas Polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS 
2020 
 
 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE 
CURSO DE ENGENHARIA CÍVIL 
 
 
 
Alejandro Marques Cajado 
Anny Letícia Silva Dias 
David da Silva Gonçalves 
Pedro Henrique Paiva 
Priscila Dutra Figueiredo 
Samuel Leite de Matos 
Vanessa de Lima Vieira 
 
 
 
 
 
Coordenadas Polares 
Comprimento de Arcos em Curvas Polares, Cálculo de área em Coordenadas Polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS 
2020 
Trabalho apresentado ao Centro 
Universitário do norte Uninorte, 
como requisito para obtenção de 
créditos na Disciplina de CalculoII, 
ministrado pelo professor Luciano 
ramos 
 
 
Sumário 
Introdução ..................................................................................................................................... 4 
Desenvolvimento .......................................................................................................................... 5 
1.Coordenadas polares ................................................................................................................. 5 
2. Comprimento de Arcos em coordenadas Polares ..................................................................... 6 
3.Área de coordenadas polares .................................................................................................... 8 
Conclusão .................................................................................................................................... 10 
Bibliografia .................................................................................................................................. 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Introdução 
 
 
É de conhecimento geral que os Sistema de Coordenadas possuem grande importância 
dentro das matérias de ciências exatas. Entre ele podemos citar o Sistema de Coordenadas 
Cartesiano que uma enorme contribuição dentro dos estudos de Álgebra linear e Calculo, nele 
os valores são especificados por um ponto no plano que tem os Eixos das Ordenadas (y) e 
Abscissas (x) e o mesmo é definido por um ponto genérico que possui valores de x e y 𝒂(𝒙, 𝒚). 
Visto que a aplicação desse sistema tem tamanha utilidade surgiu-se a problemática de 
calcular pontos que seriam determinados por uma distância e um ângulo em relação a um ponto 
fixo de referência, esse ponto (análogo a origem do plano cartesiano) é chamado de Polo, e a 
semirreta do mesmo na direção referenciada é chamada Eixo polar. A distância partida do polo 
é chamada de Raio, e o ângulo também chamado de Coordenada Angular representado por θ . 
Com essas definições foi possível fazer convenções das coordenadas cartesianas para as 
polares por meio de funções trigonométricas, dentre as muitas possibilidades de estudo também 
é possível fazer o cálculo de área em coordenadas polares e cálculo de comprimento de arco, 
utilizando-se da soma de Riemann e conteúdo de integração vistos na disciplina de Cálculo II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Desenvolvimento 
 
1.Coordenadas polares 
 
Visto que além dos pontos serem dados por meio de suas coordenadas cartesianas, 
surgiu-se a necessidade de serem calculados pontos por outros sistemas de coordenadas 
bidimensionais. Um deles é o sistema de coordenadas polares que consiste em uma distância e 
da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo, esses valores estão representados pela 
origem também chamada de polo, e o eixo polar, juntamente com um ângulo θ chamado de 
coordenada angular e seu raio R que representa a distância. 
 
 
Figura 1 – Demonstração do Sistema de coordenadas polares 
 
Fonte: http://www.dex.ufla.br/Ivana/sistemasdecoordenadas/polares.html 
 
 
Exemplo 1: Utilizando como base a Figura 1 poderíamos representá-la com os respectivos 
valores. Sua altura (y) receberá o valor 3, e a sua distância (x) será dado o valor 4. Com esses 
valores é dada a resolução do cálculo das coordenadas polares nesse gráfico por meio do 
teorema de Pitágoras; 
𝑅2 = 32 + 42 
𝑅2 = 25 
𝑅 = ±5 
http://www.dex.ufla.br/Ivana/sistemasdecoordenadas/polares.html
6 
 
 
 
𝑡𝑔 𝛉 =
4
3
 
 
 𝛉 = arctan
4
3
≅ 53,1 
 
Assim podemos verificar que o ponto que indica essas coordenadas polares é formado pelos 
valores de A onde o valor da sua distância representado pelo raio 𝑟 é ±5, onde na figura 1 foi 
apenas assumido apenas o seu valor positivo, e o valor do seu ângulo teta é de 53,1 
 
2. Comprimento de Arcos em coordenadas Polares 
 
Dado o exemplo acima em que foi calculado um ponto em um sistema de coordenadas 
polares, será abordado agora a problemática onde precisamos calcular o um comprimento de 
arco com base no mesmo sistema 
Para isso será fixado um semieixo 𝑂𝑥 (eixo polar) no plano com origem 0 (Polo ), 
qualquer ponto p do plano fica determinado pelo ângulo θ e [0,2𝜋] que OP faz com que o eixo 
polar(contando a partir do eixo polar e no sentido anti-horário)e do comprimento P>0 do 
seguimento OP. Os numero o e p são chamados de coordenadas polares de P. Conhecidos as 
coordenadas polares de P e fixando um sistema ortogonal de coordenadas em que a origem 
conhecida com {( θ, p ): o e [0, 
𝜋
2
] , p≥0} 
 
𝑥 = 𝑝 cos 𝜃 𝑦 = 𝑃𝑠ⅇ𝑛𝜃 
 
𝑃 = √𝑥2 + 𝑦2, cos 𝜃 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2
, 𝑠ⅇ𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥2+𝑦2
 
 
Se p:[α, β] ͢ [0, ∞] é uma função continuamente diferençável, o comprimento L da curva 
descrita pelos pontos (O,p0), O € [α, β] é 
𝐿 = ∫ √𝑝(𝜃)2 + (𝑃)(𝜃)2 ⅆ𝜃
𝐵
𝑎
 
 
Exemplo 2: 
Calcular o comprimento de arco das curvas dado por: 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎, 𝑟 = ⅇ𝜃, 𝑜 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
3
 
 
 
𝜃 r 
0 ⅇ0 = 1 
𝜋
6
 
ⅇ𝜋
6
≅ 1,69 
𝜋
3
 ⅇ
𝜋
3 ≅ 2,85 
 
𝜋
6
⋅
180
𝜋
= 300 
𝜋
3
⋅
180
𝜋
= 600 
𝑟 = ⅇ𝜃 
0 < 𝜃 <
𝜋
3
 
𝑠 = ∫ √[𝐹′(𝜃)]2 + [𝑓(𝜃)]2 ⅆ𝜃
𝜋
3
0
 
𝑠 = ∫ √[(ⅇ𝜃)′]2 + [ⅇ𝜃]2 ⅆ𝜃
𝜋
3
0
 
𝑠 = ∫ √2√(ⅇ𝜃)2 ⅆ𝜃
𝜋
3
0
 
𝑆 = ∫
𝜋
3
0
√2√(ⅇ𝜃)2 
8 
 
𝑠 = ∫ √2ⅇ𝜃 ⅆ𝜃
𝜋
3
0
 
𝑠 = √2ⅇ0|0
𝜋
3 
𝑠 = √2ⅇ
𝜋
3 − √2ⅇ𝜃 
𝑠 = √2 (ⅇ
𝜋
3 − 1) 𝑈 ⋅ 𝐶 
 
3.Área de coordenadas polares 
 
Assim como o calculo de arco em coordenadas polares também podemos assumir uma 
situação onde será necessário calcular a área dentro desse sistema, para isso será necessário 
que tenhamos uma curva qualquer esboçada no plano polar, assim, ao invés de analisarmos 
retângulos, serão analisados pequenos setores circulares e faremos o uso de dois ângulos 
 
𝑠 =
𝑄 ⋅ 𝑟2
2
 
1. A formula acima é utilizada para o calculo de um setor circular normal 
2. Como o problema proposto para o cálculo da área envolve coordenadas polares ao invés da 
cartesiana, usaremos setores circulares menores onde; 
ⅆ0 = ⅆ𝑥 
 
3. Tratando ⅆ𝑥 como um setor circular pequeno, usaremos para o cálculo de área a somatória 
de vários setores circulares por meio da Soma de Riemann. 
 
𝑠1 =
ⅆ𝜃 ⋅ [𝐹(𝜃)]2
2
 
 
4. Os limites de integração serão os ângulos; 
𝐴 = ∫
𝜃1
𝜃ⅈ
1
2
[𝑓(𝜃)]2 
 
Obs: Em alguns livros a formula pode variar para: 𝐴 =
1
2
∫ [𝐹(𝜃)]2 ⅆ𝜃
𝜃1
𝜃𝑖
 
 
Exemplo 3: Encontrar a área do utilizando as coordenadas do gráfico abaixo; 
 
9 
 
 
1. Começaremos achando a área do gráfico da função utilizando a formula: 
 
𝐴 =
1
2
⋅ ∫
𝜃2
𝜃1
[𝐹(𝜃)]2 ⋅ ⅆ 
 
 
2. Substituindo os valores na fórmula teremos 
𝐴 =
1
2
∫ (2 ⋅ 𝑠ⅇ𝑛𝜃)2 ⋅ ⅆ𝜃𝜋
𝜃
 
1
2
⋅ ∫ 4𝑠ⅇ𝑛2𝜃 ⅆ𝜃
𝜋
𝜃
 
 
3. Simplificando a seguir e dividindo por ∫ 1 ⅆ𝜃
𝜋
0
− ∫
𝜋
0
 
 
2 ⋅ ∫ 𝑠ⅇ𝑛2𝜃 ⅆ𝜃
𝜋
𝜃
 
2 ⋅ ∫ (
1 − cos 20
2
) ⅆ𝜃
𝜋
0
 
 
4. Utilizando integração por substituição chamaremos: 
 
2𝜃 = 𝑈 
ⅆ𝑢 = 2 ⅆ𝜃 
 
∫ cos 𝑈 ⋅
ⅆ𝑈
2
 
 
1
2
⋅ 𝑠ⅇ𝑛𝑈 
1
2
⋅ 𝑠ⅇ𝑛2𝜃 
 
 
2 ⋅
1
2
∫(1 − cos 2𝜃) ⅆ𝑜 == 
𝜋
0
∫ 1 ⅆ𝑂
𝜋
 0
− ∫ ⅆ𝑂
𝜋
0𝐼
− ∫ cos 2𝜃 ⅆ𝑂
𝜋
0
 
 
10 
 
5. Substituir os limites superiores e inferiores e achar o resultado: 
[0 −
1
2
⋅ 𝑠ⅇ𝑛2𝜃]|
𝜃
𝜋
 
 
 
[𝜋 −
1
2
⋅ 𝑠ⅇ𝑛2𝜋 − (0 −
1
2
⋅ 𝑠ⅇ𝑛2𝜃)] 
𝜋 ⋅ 0 − (0) = 𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Conclusão 
 
Em síntese visto que com a necessidade de serem feitos cálculos e também 
demonstrações de valores em outros sistemas de coordenadas bidimensionais que não fosse o 
convencional plano cartesiano, foi proposta a utilização do sistema de coordenadas polares com 
as suas devidas conversões, exemplos e utilidades no meio matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Bibliografia 
 
Flemming, Diva Marilia. Livro Cálculo A. 6ed. Local: Pearson, ano.2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório 
13 
 
 
 
O trabalho proposto foi composto por oito membros iniciais, no qual um membro saiu 
permanecendo assim os outros sete: 
 
- Alejandro Marques Cajado 
- Anny Letícia Silva Dias 
- Samuel Leite de Matos 19203934 
- David da Silva Gonçalves 19175175 
- Pedro Henrique Andrade e Paiva 19186770 (Líder) 
- Priscila Dutra Figueiredo 
- Vanessa de Lima Vieira 
 
1. A primeira reunião para organização do trabalho foi feita dia 16/05 onde foram definidos o 
que cada um faria. O grupo ficou dividido em dois; a parte da apresentação e do trabalho 
escrito 
 
*Parte da apresentação: 
-Samuel Leite de Matos (Cálculo de Arco em Coordenadas Polares) 
-Priscila Dutra Figueiredo (Cálculo de áreas em coordenadas polares) 
-Vanessa de Lima Vieira e Pedro Henrique Andrade e Paiva ( 
 
*Parte escrita 
-Anny Leticia Silva Dias e Alejandro Marques Cajado (Cálculo de Arco em Coordenadas Polares) 
-Pedro Henrique Andrade e Paiva (Cálculo de áreas em coordenadas polares) 
-Pedro Henrique Andrade e Paiva (Revisão e finalização do trabalho) 
 
2. Depois de divididas as atividades, o prazo de entrega para o esboço de cada parte escrita foi 
para o dia 22/05 juntamente com os slides 
3. O prazo de revisão foi até o dia 25/05 e a finalização do mesmo para o dia 29/05