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ELETRICIDADE AULA 3 Prof. Felipe Neves Souza 2 CONVERSA INICIAL Após compreendidas a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff, principais leis que regem a análise de circuitos, vamos apresentar os dois principais métodos de análise de circuitos elétricos: análise de tensão dos nós (análise nodal) e o método de análise das correntes de malha (análise de malha). Veremos também duas condições especiais para esses métodos, chamados de supernó e supermalha. Com essas técnicas, seremos capazes de equacionar todos os circuitos elétricos lineares e, com base nessas equações, calcular as grandezas elétricas em cada um dos elementos do circuito. TEMA 1 – ANÁLISE NODAL Tendo conhecimento das leis fundamentais que regem a teoria de análise de circuitos elétricos (lei de Ohm e leis de Kirchhoff), podemos aplicá-las no desenvolvimento de métodos de análise. Um dos principais métodos é o de análise por tensões dos nós, também conhecido como análise nodal, que consiste em um procedimento para equacionar um circuito elétrico. Nesse equacionamento, serão utilizadas as tensões dos nós como variáveis. Essa escolha reduz o número de equações necessárias para resolvê-lo. Para determinar a tensão de um dos nós do circuito, devemos adotar um destes como referência, ou seja, este nó será definido com potencial nulo (zero volts). O nó de referência também é conhecido como terra. Os nós restantes do circuito terão um potencial fixo em relação ao nó de referência. Portanto, em um circuito com N nós, teremos (N-1) nós com potencial fixo em relação ao nó de referência. O equacionamento de cada um destes (N-1) nós é obtido através da aplicação da lei das correntes de Kirchhoff (LCK). O método da análise nodal segue os seguintes passos: 1. Determinar o número de nós do circuito com três ou mais elementos conectados a ele. Escolha um destes nós como sendo o nó de referência. Este nó de referência geralmente é chamado de terra (ou GND), pois assume-se que ele possui um potencial zero. Rotule os nós restantes com valores subscritos de tensão (por exemplo: V1, V2 e assim por diante). 2. Adotar os sentidos das correntes em cada um dos ramos. 3 3. Aplicar a lei das correntes de Kirchoff (LCK) em todos os nós, exceto o de referência. Utilize a lei de Ohm para expressar a corrente do ramo em termos da tensão do nó. 4. Resolver as equações resultantes para obter as tensões dos nós. Dado o circuito a seguir, vamos aplicar o método da análise nodal para determinar as tensões em cada um dos nós. Considerando que um nó é um ponto de conexão entre dois ou mais elementos, este circuito apresenta três nós, conforme indicados na Figura 1 Porém, para o método de análise nodal serão considerados apenas os nós com três ou mais elementos conectados a ele. Sendo assim, para realizar a análise nodal a esse circuito, iremos considerar apenas dois nós, sendo um na parte superior e outro na parte inferior. Conforme apresentado na primeira aula, uma tensão elétrica é dada por uma diferença de potencial entre dois pontos. Por isso, será necessário adotar qualquer um destes nós como referência, ou seja, este nó terá tensão de zero volts em relação aos demais nós do circuito e será chamado de terra. Nesse exemplo, vamos adotar o nó inferior como referência e o nó superior será nomeado como V1. Figura 1 – Circuito elétrico 4 Figura 2 – Circuito com os nós de referência e V1 identificados Em seguida, devem-se adotar os sentidos das correntes em cada um dos ramos do circuito, as quais foram definidas como 𝒊𝟏, 𝒊2 e 𝒊3. É importante destacar que a polaridade da tensão dos elementos passivos depende do sentido da corrente que flui através dele. Em um elemento passivo a corrente sempre entra pelo terminal (+) e sai pelo terminal (-). Na Figura 3 o sentido das correntes foi adotado de forma arbitrária, induzindo a polaridade das tensões nos resistores conforme indicado. Figura 3 – Circuito com os sentidos das correntes adotados Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff (LCK) ao nó V1: 𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖3 Quando aplicamos a lei de Ohm para expressar a corrente do ramo em termos da tensão do nó, a ideia-chave que temos de ter em mente é que a tensão 5 sobre o resistor será sempre a diferença entre a tensão do maior potencial e o menor potencial, ficando: 𝑖 = 𝑣𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑣𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑅 A corrente 𝒊1 será dada por: 𝑖1 = 𝑣𝑅1 𝑅1 Sendo a tensão vR1: 𝑣𝑅1 = 𝑣1 − 24 Onde o maior potencial do resistor está conectado ao nó v1 e o menor potencial conectado ao terminal positivo da fonte de 24 V. Portanto a corrente 𝒊1 será: 𝑖1 = 𝑣1 − 24 6 Da mesma forma, a corrente 𝒊2 será relacionada com a corrente do resistor R2, ficando: 𝑖2 = 𝑣𝑅2 𝑅2 A tensão VR2 é dada por: 𝑣𝑅2 = 𝑣1 − 0 Sendo o maior potencial do resistor conectado ao nó v1 e o menor potencial conectado ao terra, portanto, 0 V. 𝑖2 = 𝑣1 − 0 12 = 𝑣1 12 Note que, nesse circuito, a corrente 𝒊3 será a própria corrente fornecida pela fonte, portanto 𝒊3= 1 A. Substituindo os valores de 𝒊𝟏, 𝒊2 e 𝒊3 na equação obtida pela LCK: 𝑣1 − 24 6 + 𝑣1 12 = 1 6 Agora basta resolver a equação e obter o valor de v1. Existem diversas formas de calcular o valor de v1. Nesta resolução vai ser aplicado o mínimo múltiplo comum (MMC), resultando: 2. 𝑣1 − 48 12 + 𝑣1 12 = 1 Isolando o termo v1: 2. 𝑣1 − 48 + 𝑣1 = 12 3. 𝑣1 = 12 + 48 Sendo assim, 𝑣1 = 60 3 𝑣1 = 20 𝑉 Sabendo a tensão de todos os nós, as correntes podem ser calculadas: 𝑖1 = 𝑣1 − 24 6 = 20 − 24 6 𝑖1 = −0,667 𝐴 𝑖2 = 𝑣1 12 = 20 12 𝑖2 = 1,667 𝐴 O valor negativo de 𝒊𝟏 nos indica que o sentido real dessa corrente no circuito é o inverso adotado para a resolução desse problema Considere agora o circuito da Figura 4. Podemos observar que esse circuito possui três nós. O nó inferior foi escolhido como referência e as tensões dos demais nós foram denominadas 𝑽𝟏 e 𝑽𝟐. Os sentidos das correntes foram adotados de forma arbitrária, induzindo a polaridade da tensão em cada um dos resistores, conforme ilustrado na figura. 7 Figura 4 – Circuito elétrico Aplicando a LCK ao nó V1, temos: 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 Do circuito, podemos observar que a corrente i1 será a corrente fornecida pela fonte de 5 A. Para a corrente i2, a tensão sobre o resistor de 4 Ω será dada por V1 – V2 e a tensão sobre o resistor de 2 Ω será dada por V1 – 0. Portanto: 𝑖1 = 5 𝐴 𝑖2 = 𝑉1 − 𝑉2 4 𝑖3 = 𝑉1 − 0 2 Substituindo na equação da LCK: 5 = 𝑉1 − 𝑉2 4 + 𝑉1 2 Aplicando mínimo múltiplo comum (MMC): 5 = 𝑉1 − 𝑉2 4 + 2. 𝑉1 4 Organizando a equação, teremos: 20 = 𝑉1 − 𝑉2 + 2. 𝑉1 + _ + _ + _ 8 Por fim, 3. 𝑉1 − 𝑉2 = 20 Agora aplicando a LCK ao nó V2: 𝑖2 + 𝑖4 = 𝑖1 + 𝑖5 Mas 𝑖1 = 5 𝐴 𝑖2 = 𝑉1 − 𝑉2 4 𝑖4 = 10 𝐴 𝑖5 = 𝑉2 − 0 6 Substituindo estas equações: 𝑉1 − 𝑉2 4 + 10 = 5 + 𝑉2 6 Aplicando o MMC: 3. 𝑉1 − 3. 𝑉2 12 + 120 12 = 60 12 + 2. 𝑉2 12 Organizando a equação: 3. 𝑉1 − 3. 𝑉2 − 2. 𝑉2 12 = 60 − 120 12 3. 𝑉1 − 5. 𝑉2 = ( 60 − 120 12 ) . 12 Portanto: 3. 𝑉1 − 5. 𝑉2 = −60 Para esse circuito foram obtidas duas equações com duas incógnitas. Agora basta resolver essas equações simultaneamente. Existem diversas 9 formas de se resolver um sistema linear, podendo-se utilizar o método de Gauss- Jordan, regra de Cramer, escalonamento, substituição, matrizes e etc. { 3. 𝑉1 − 𝑉2 = 20 3. 𝑉1 − 5. 𝑉2 = −60 Saiba mais Existem diversas ferramentas matemáticas disponíveis para ajudar nas resoluções deste tipo de problema, como os softwares matemáticos Geogebra, Matlab, MathCad, Octave, etc. Além de alguns modelos de calculadorasgráficas programáveis, na internet é possível utilizar alguns sites, como: Matrix Calc: <https://matrixcalc.org/pt/slu.html>; Wolfram Alpha: <https://www.wolframalpha.com>; Sybomlab: <https://symbolab.com>. Resolvendo pelo método de Gauss-Jordan, podemos multiplicar a segunda equação por -1, resultando em: { 3. 𝑉1 − 𝑉2 = 20 −3. 𝑉1 + 5. 𝑉2 = 60 Somando as duas equações: 0. 𝑉1 + 4. 𝑉2 = 80 Isolando V2: 𝑉2 = 80 4 = 20 𝑉 Sabendo o valor de V2, basta substituir em qualquer uma das equações anteriores. Substituindo na primeira equação: 3. 𝑉1 − 20 = 20 3. 𝑉1 = 40 𝑉1 = 40 3 = 13,33 𝑉 Agora, com os valores, podemos obter as correntes, i2, i3 e i4: 10 𝑖2 = −1,667 𝐴 𝑖3 = 6,667 𝐴 𝑖5 = 3,33 𝐴 Através do método de análise nodal, foi possível obter todas as correntes e tensões de um circuito utilizando um conjunto de equações reduzidos. Em um circuito com N nós, teremos sempre N-1 equações a serem resolvidas. TEMA 2 – ANÁLISE NODAL (SUPER NÓ) Quando utilizamos a análise nodal em circuitos com fonte de corrente, a corrente que flui pelo ramo será sempre o valor da própria fonte de corrente independente ou dependente. Porém, em circuitos com fontes de tensão é preciso ter uma atenção especial. Considere o circuito apresentado na Figura 5. Note que neste exercício temos duas fontes de tensão, ilustrando duas possibilidades. No primeiro caso, temos uma fonte conectada entre os nós V1 e o de referência. Sabendo que uma tensão é a diferença de potencial entre dois pontos, podemos dizer que: 𝑉1 − 0 = 32 Portanto a tensão do nó 𝑉1 é o próprio valor da fonte, ficando 𝑉1 = 32 𝑉 Agora no segundo caso, temos uma fonte de tensão conectada entre os nós V2 e V3. Esse é um caso especial, pois temos como equacionar a corrente que flui por esse ramo, apenas a tensão. Portanto, sempre que uma fonte de tesão (dependente ou independente) estiver conectada entre dois nós, que não sejam o de referência, eles formarão um nó genérico chamado de supernó. Um supernó será pode envolver uma região composta por dois ou mais nós. 11 Figura 5 – Circuito elétrico O primeiro passo para resolução é equacionar todos os supernós do circuito. Considerando que a tensão é a diferença de potencial entre os nós, neste circuito temos V2 conectado ao maior potencial da fonte, enquanto V3 está conectado ao menor potencial da fonte, sendo assim teremos: Figura 6 – Fonte de tensão entre dois nós, formando um supernó 𝑉2 − 𝑉2 = 32 O segundo passo consiste em remover fonte do circuito e substituir esta região por um supernó, conforme indicado na figura 7. 12 Figura 7 – Representação do supernó no circuito Os demais passos são os já apresentados para a aplicação do método de análise nodal. Portanto, basta aplicar a LCK no supernó e nos demais nós, exceto o de referência. Aplicar a lei de Ohm para reescrever as equações em função das tensões dos nós e, por fim, resolver as equações obtidas. Aplicando a LCK ao supernó: 𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖4 Reescrevendo as correntes utilizando a lei de Ohm: 𝑖1 = 𝑉1 − 𝑉3 4 𝑖2 = 𝑉1 − 𝑉2 2 𝑖3 = 𝑉2 − 0 8 𝑖4 = 𝑉3 − 0 6 Substituindo na LCK: 𝑉1 − 𝑉3 4 + 𝑉1 − 𝑉2 2 = 𝑉2 − 0 8 + 𝑉3 − 0 6 Aplicando o MMC: 6. 𝑉1 − 6. 𝑉3 24 + 12. 𝑉1 − 12. 𝑉2 24 = 3. 𝑉2 24 + 4. 𝑉3 24 13 6. 𝑉1 − 6. 𝑉3 + 12. 𝑉1 − 12. 𝑉2 24 = 3. 𝑉2 + 4. 𝑉3 24 Por fim, temos que: 18. 𝑉1 − 15. 𝑉2 − 10. 𝑉3 = 0 Sabendo que V1 = 32 V, basta substituir V1 na equação anterior: 18. (32) − 15. 𝑉2 − 10. 𝑉3 = 0 −15. 𝑉2 − 10. 𝑉3 = −576 Para esse circuito foram obtidas duas equações com duas incógnitas, agora basta resolver o sistema linear. { 𝑉2 − 𝑉3 = 32 𝑉 −15. 𝑉2 − 10. 𝑉3 = −576 Conforme mencionado, existem diversos métodos para resolução. Neste exemplo iremos resolver por substituição. Da primeira equação podemos isolar uma das variáveis, resultando em: 𝑉2 − 𝑉3 = 32 𝑉 𝑉2 = 32 + 𝑉3 Substituindo V2 na segunda equação: −15. (32 + 𝑉3) − 10. 𝑉3 = −576 Aplicando a multiplicação distributiva: −480 − 15. 𝑉3 − 10. 𝑉3 = −576 Isolando V3: −25. 𝑉3 = 96 𝑉3 = 96 25 = 3,84 𝑉 14 Substituindo V3 em uma das equações anteriores: 𝑉2 − 3,84 = 32 𝑉 𝑉2 = 32 + 3,84 𝑉2 = 35,84 𝑉 Tendo os valores de tensões de todos os nós, é possível calcular todas as correntes e tensões em cada um dos elementos do circuito. TEMA 3 – ANÁLISE DE MALHA Uma outra técnica amplamente utilizada na análise de circuitos é o método de análise das correntes de malha, ou análise de malha. Enquanto a análise nodal aplica a Lei das Correntes de Kirchoff (LCK), a análise por correntes de malha utiliza a Lei das Tensões de Kirchoff (LTK) para encontrar as correntes desconhecidas do circuito. A análise por correntes de malha só pode ser aplicada em circuitos planos, nos quais não existe cruzamento entre ramos, como no circuito abaixo, à esquerda, o qual pode ser redesenhado para um circuito equivalente, à direita, no qual se pode aplicar a análise por correntes de malha visto que não há cruzamento entre ramos, como o indicado no circuito à esquerda. Figura 8 – Circuito com cruzamento de ramos e circuito sem cruzamento de ramos. = 15 O método das correntes de malha segue os seguintes passos: 1. Designar todas as N correntes das N malhas do circuito. Deve-se adotar uma corrente fictícia percorrendo cada umas das malhas, podendo ser horário ou anti-horário. 2. Aplicar a Lei das Tensões de Kirchoff (LTK) a todas as malhas. 3. Resolver as N equações simultâneas resultantes para obter as correntes de malha. No circuito apresentado na figura 9, vamos aplicar o método de análise de malhas. Figura 9 – Circuito elétrico Conforme apresentado, uma malha consiste em qualquer caminho fechado, desde que não tenha outro caminho fechado em seu interior. Nesse circuito, conseguimos identificar duas malhas. Neste exemplo as correntes fictícias percorrem as malhas no sentido horário. Figura 10 – Circuito elétrico com os sentidos das correntes indicados 16 Assim como na análise nodal, a polaridade das tensões em todos os elementos passivos será determinada pelo sentido das correntes adotadas. Sendo que, para um elemento passivo, a corrente sempre irá entrar pelo terminal positivo e sair pelo terminal negativo. Quando o circuito possui elementos que pertencem a mais de uma malha, a tensão que surge nos terminais do resistor pode ser considerada de duas formas: a primeira delas considera que a polaridade da tensão que surge nos terminais do resistor possui uma polaridade diferente em cada malha. A segunda forma é escolher uma polaridade da tensão e mantê-la para a análise de todas as malhas. Nos exemplos será considerado o primeiro caso. Na Figura 11, a corrente i1 induziu na malha 1 as polaridades conforme indicadas na figura 8(a), enquanto a corrente i2 induziu na malha 2 as polaridades conforme indicadas na figura 8(b). Figura 11 – Polaridade em cada um dos elementos devido às correntes de malha Agora, com as tensões de cada elemento das malhas identificadas, podemos aplicar a lei das tensões de Kirchoff (LTK), lembrando que, pela convenção adotada, se a corrente entra no (-) e sai no (+), a tensão será considerada negativa. Se a corrente entra no (+) e sai no (-), a tensão será considerada positiva. Da malha 1 temos que: ∑ 𝑉𝑛 = 0 −15 + 𝑉1 + 𝑉2 + 10 = 0 𝑉1 + 𝑉2 = 5 17 Entretanto, pela lei de Ohm, temos que: 𝑉1 = 5. 𝑖1 Para V2, observe que a corrente real que flui pelo resistor de 10 Ω será uma composição entre as correntes fictícias i1 e i2. A corrente i1 está de acordo com a polarização indicada, sendo representada com sinal positivo, enquanto a corrente i2 está no sentido oposto, sendo indicada com um sinal negativo.A tensão V2 será dada da seguinte forma: 𝑉2 = 10. (𝑖1 − 𝑖2) Substituindo as equações de V1 e V2 na equação da LTK, teremos a equação da malha 1: −15 + 5. 𝑖1 + 10. (𝑖1 − 𝑖2) + 10 = 0 Organizando a equação, temos: 15. 𝑖1 − 10. 𝑖2 = 5 Aplicando a LTK na malha 2: −10 + 𝑉2 + 𝑉3 + 𝑉4 = 0 𝑉2 + 𝑉3 + 𝑉4 = 10 Aplicando a lei de Ohm, vamos reescrever as tensões em cada um dos resistores. É importante observar que polaridade da tensão V2 foi alterada, estando de acordo com o sentido da corrente i2. Nessa nova condição, a corrente i2 está no sentido correto da polaridade adotada, enquanto a corrente i1 está no sentido oposto. 𝑉2 = 10. (𝑖2 − 𝑖1) 𝑉3 = 6. 𝑖2 𝑉4 = 4. 𝑖2 Substituindo na equação da LTK: 10. (𝑖2 − 𝑖1) + 6. 𝑖2 + 4. 𝑖2 = 10 18 −10. 𝑖1+20. 𝑖2 = 10 Por fim, chegamos a um sistema de duas equações e duas incógnitas: { 15. 𝑖1 − 10. 𝑖2 = 5 −10. 𝑖1 + 20. 𝑖2 = 10 Resolvendo pelo método de Gauss-Jordan, podemos multiplicar os dois lados da igualdade da segunda equação por 1,5 e obter: { 15. 𝑖1 − 10. 𝑖2 = 5 −15. 𝑖1 + 30. 𝑖2 = 15 Somando as duas equações: 15. 𝑖1 − 15. 𝑖1 − 10. 𝑖2 + 30. 𝑖2 = 5 + 15 0. 𝑖1 + 20. 𝑖2 = 20 𝑖2 = 1 𝐴 Substituindo i2 em qualquer uma das equações anteriores: 15. 𝑖1 − 10. (1) = 5 15. 𝑖1 = 5 + 10 𝑖1 = 1 𝐴 Sabendo os valores de todas as correntes fictícias, podemos determinar os valores das correntes reais e tensões de todos os elementos do circuito. TEMA 4 – ANÁLISE DE MALHA (SUPERMALHA) Ao utilizar o método de análise de malhas, é preciso ter uma atenção especial para as fontes de corrente do circuito. Para resolver esse circuito utilizando o método de análise de malha, devemos aplicar a LTK em todas as malhas. Porém, em circuitos com fontes de corrente, não temos como equacionar essas fontes em função da tensão. No circuito apresentado na figura 12 duas fontes de corrente, ilustrando duas possibilidades. 19 Figura 12 – Circuito elétrico No primeiro caso, considere a fonte de 2 A posicionada na malha 2. Nesse caso, podemos dizer que a corrente que flui por este ramo será o próprio valor da fonte de corrente, ou seja, a corrente que flui através do resistor de 5 Ω será obrigatoriamente 2 A. Porém, é preciso ter uma atenção especial ao sentido da corrente adotada. Note que a corrente da malha 2 foi adotada no sentido horário, indo contra o sentido real da corrente, devendo ser equacionada da seguinte forma: 𝑖2 = −2 𝐴 O sinal negativo indica que o sentido adotado está oposto ao sentido real. No segundo caso, temos uma fonte de corrente de 10 A que está sendo compartilhada entre as malhas 3 e 4. Este é um caso especial da análise de malha chamado de supermalha. Para resolver esse circuito, devemos equacionar todas as fontes compartilhadas dele. Neste exemplo, sabemos que a corrente que irá fluir pelo resistor de 3 Ω será, obrigatoriamente, 10 A e essa é uma composição entre as correntes i3 e i4. A corrente i4 está no mesmo sentido da corrente real e por isso terá sinal positivo, já a corrente i3 está no sentido oposto e assim, sinal negativo. Portanto: −𝑖3 + 𝑖4 = 10 20 Em seguida deve-se remover as fontes de corrente compartilhadas e todos os elementos associados em série com elas. Essa região será chamada de supermalha. Figura 13 – Circuito com uma supermalha Os demais passos são os mesmos já apresentados para análise de malha. Portanto, devemos aplicar a LTK à supermalha, e a todas as demais malhas, aplicar a lei de Ohm para reescrever as tensões em função das correntes de malha e resolver as equações obtidas. É importante ressaltar que as polaridades da tensão dos elementos passivos deverão ser dadas de acordo com o sentido adotado para as correntes. Aplicando a LTK a supermalha e utilizando a lei de Ohm para reescrever as tensões em função das correntes de malha: −15 + 𝑉10Ω + 𝑉4Ω + 𝑉7Ω = −15 + 10. 𝑖3 + 4. (𝑖3 − 𝑖1) + 7. 𝑖4 = 0 −4. 𝑖1 + 14. 𝑖3 + 7. 𝑖4 = 15 21 Figura 14 – Circuito com as polaridades devido à corrente i1 Aplicando a LTK na malha 1: 𝑉10Ω − 2 + 𝑉3Ω + 𝑉4Ω = 0 10. 𝑖1 − 2 + 3. (𝑖1 − 𝑖2) + 4. (𝑖1 − 𝑖3) = 2 17. 𝑖1 − 3. 𝑖2 − 4. 𝑖3 = 2 Substituindo 𝑖2 = −2 17. 𝑖1 − 3. (−2) − 4. 𝑖3 = 2 17. 𝑖1 − 4. 𝑖3 = −4 Por fim, basta resolver as três equações simultâneas e obter os valores das três incógnitas. { −𝑖3 + 𝑖4 = 10 −4. 𝑖1 + 14. 𝑖3 + 7. 𝑖4 = 15 17. 𝑖1 − 4. 𝑖3 = −4 Portanto: { 0. 𝑖1−1. 𝑖3 + 1. 𝑖4 = 10 −4. 𝑖1 + 14. 𝑖3 + 7. 𝑖4 = 15 17. 𝑖1 − 4. 𝑖3 + 0. 𝑖4 = −4 22 Conforme já mencionado, diversas formas de se resolver um sistema linear como: método de Gauss-Jordan, regra de Cramer, escalonamento, substituição, matrizes e etc. Neste exemplo, vamos resolver pela regra de Cramer. Para isso devemos reescrever o sistema linear em formato de matrizes: | 0 −1 1 −4 14 7 17 −4 0 | . | 𝒊𝟏 𝒊𝟑 𝒊𝟒 | = | 10 15 −4 | Primeiro, devemos calcular o determinante da matriz: 𝛥 = | 0 −1 1 −4 14 7 17 −4 0 | 𝛥 = (0 − 119 + 16) − (238 + 0 + 0) 𝛥 = −341 Para calcular o coeficiente de i1 (𝛥𝑖1), devemos substituir a primeira coluna da matriz pelos termos independentes e obter o determinante: 𝛥𝑖1 = | 𝟏𝟎 −1 1 𝟏𝟓 14 7 −𝟒 −4 0 | 𝛥𝑖1 = (0 + 28 − 60) − (−56 − 280 + 0) 𝛥𝑖1 = 304 A corrente i1 será dada por: 𝑖1 = 𝛥𝑖1 ∆ = − 304 341 𝑖1 = −0,89 𝐴 Para calcular o coeficiente 𝛥𝑖3 devemos substituir a segunda coluna da matriz pelos termos independentes e obter o determinante: 23 𝛥𝑖3 = | 0 𝟏𝟎 1 −4 𝟏𝟓 7 17 −𝟒 0 | 𝛥𝑖3 = (0 + 1190 + 16) − (255 + 0 + 0) 𝛥𝑖3 = 951 𝑖3 = 𝛥𝑖3 ∆ = − 951 341 𝑖3 = −2,79 𝐴 E por fim, para calcular o coeficiente 𝛥𝑖4 basta substituir a terceira coluna da matriz pelos termos independentes e obter o determinante: 𝛥𝑖4 = | 0 −1 𝟏𝟎 −4 14 𝟏𝟓 17 −4 −𝟒 | 𝛥𝑖4 = (0 − 255 + 160) − (2380 + 0 − 16) 𝛥𝑖4 = − 2459 𝑖4 = 𝛥𝑖4 ∆ = −2459 −341 𝑖4 = 7,21 𝐴 Com as correntes das quatro malhas já calculadas, podemos obter todas os valores das correntes reais e tensões do circuito. FINALIZANDO Nesta aula foram abordados os dois principais métodos de análise de circuitos elétricos. Com esses métodos, observamos que podemos equacionar um circuito em função da tensão dos nós ou das suas correntes de malhas. A escolha dos nós ou malhas como variáveis do circuito reduz muito o número de equações que seriam necessárias caso tivéssemos que equacionar elemento a elemento. 24 Com essas duas ferramentas, podemos realizar a análise de quase todos os circuitos elétricos lineares e, por isso, podemos considerá-las como o principal destaque desta disciplina. Os conceitos aqui apresentados serão necessários para diversas disciplinas futuras que envolvam analise de circuitos. Como um circuito nunca será igual ao outro, é importante que você continue estudando e aumentando o seu conhecimento, não só com a aula, mas praticando os exercícios dos livros textos. 25 REFERÊNCIAS ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
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