Derivação Implícita

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MATEMÁTICA III 
1º Sem/2020 
 MATERIAL DE APOIO 
Derivação Implícita 
 
 
 
 
Pág. 1 
1 – RECAPTULAÇÃO 
 
Uma função implícita é definida por: 
 
 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟎 𝒄𝒐𝒎 𝒚 = 𝒇(𝒙) 
 
Exemplos 
 
1) 𝑥2 − 𝑦 = 0 
2) 𝑥𝑦 − 𝑒𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦2 = 0 
 
2 – DEFINIÇÃO 
 
1° caso: 
Considere 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 𝑐𝑜𝑚 𝑦 = 𝑓(𝑥). Utilizando o pri-
meiro caso da regra da Cadeia temos: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
 
Como 
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 0 e isolando 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 temos: 
 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝝏𝒇
𝝏𝒚
 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
≠ 0 
 
 
Exemplos – Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 das funções implícitas abaixo: 
 
𝟏)𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟎 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
−2𝑥
2𝑦
=
−𝑥
𝑦
 
 
𝟐) 𝒙𝟑 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟑 = 𝟔𝒙𝒚 
⇒ 𝑥3 − 𝑥𝑦 + 𝑦3 − 6𝑥𝑦 = 0 
 
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
−(3𝑥2 − 𝑦 − 6𝑦)
−𝑥 + 3𝑦2 − 6𝑥
 
 
 
𝟑)√𝒙𝟐 + 𝒆𝒙𝒚 = 0 
 
⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
−
1
2
(𝑥2 + 𝑒𝑥𝑦)
−1
2 (2𝑥 + 𝑦𝑒𝑥𝑦)
1
2
(𝑥2 + 𝑒𝑥𝑦)
−1
2 (+𝑥𝑒𝑥𝑦)
 
 
⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−(2𝑥 + 𝑦𝑒𝑥𝑦)
(+𝑥𝑒𝑥𝑦)
 
 
2° caso: 
Considere 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Utilizando o 
segundo caso da regra da Cadeia temos: 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
∙
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 0 (1) 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
∙
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 0 (2) 
 
 
Como 
𝜕𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕𝑦
𝜕𝑦
= 1 ,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 0 e isolando 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 em (1) 
e 
𝜕𝑧
𝜕𝑌
 em (2) temos: 
 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
=
−
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝝏𝒇
𝝏𝒛
 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
=
−
𝝏𝒇
𝝏𝒚
𝝏𝒇
𝝏𝒛
 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
≠ 0 
 
 
Exemplos – Calcule derivadas das funções implícitas 
abaixo: 
 
𝟏)𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 + 𝒛𝟑 + 𝟔𝒙𝒚𝒛 = 𝟏 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
−(3𝑥2 + 6𝑦𝑧)
3𝑧2 + 6𝑥𝑦
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
−(3𝑦2 + 6𝑥𝑧)
3𝑧2 + 6𝑥𝑦
 
𝟐)𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) + 𝒔𝒆𝒏(𝒚𝒛) + 𝒔𝒆𝒏(𝒛𝒙) = 𝟏 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
−[𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) + 𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑧𝑥)]
𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑧𝑥)
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
−[𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) + 𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)]
𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑧𝑥)
 
 
𝟑)𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝒛 + 𝒛𝟐 = 𝟎 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙 = 𝒇(𝒚, 𝒛) 
 
𝜕𝑥
𝜕𝑦
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
−(3𝑥 − 4𝑦)
2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧
 
 
𝜕𝑥
𝜕𝑧
=
−
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
−(3𝑥 + 2𝑧)
2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧
 
 
 
 
 
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3 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Calcule derivadas das funções implícitas abaixo: 
 
1) 𝑥4 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 = 0 
 
2) 𝑥𝑦 + ln(2𝑥 + 3𝑦) + 5 = 0 
 
3) 𝑒𝑥+4𝑦−𝑧 − 𝑒𝑥
2
+ 2𝑒𝑦 − 3𝑒2𝑧 − 4 = 0 
 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 𝑔(𝑦, 𝑧) 
 
4) 𝑥3 + 𝑦
7
2⁄ − 𝑧
1
2⁄ = 0 
 
5) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 3𝑦) + 𝑒𝑥+𝑦
2
− 𝑥2 + 𝑧3 = 0 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−(4𝑥3 − 3𝑦)
3𝑦2 − 3𝑥
 2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−(2𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 2)
2𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 3
 
 
3)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
= −
4𝑒𝑥+4𝑦−𝑧 + 2𝑒𝑦
𝑒𝑥+4𝑦−𝑧 − 2𝑥𝑒𝑥
2 
𝜕𝑥
𝜕𝑧
= −
−𝑒𝑥+4𝑦−𝑧 − 6𝑒𝑦2𝑧
𝑒𝑥+4𝑦−𝑧 − 2𝑥𝑒𝑥
2 
 
4)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 6𝑥2𝑧
1
2 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 7𝑦
5
2𝑧
1
2 
 
5)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
− cos(𝑥 − 3𝑦) − 𝑒𝑥+𝑦
2
+ 2𝑥
3𝑧2
 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
3 cos(𝑥 − 3𝑦) − 2𝑦𝑒𝑥+𝑦
2
3𝑧2