DAVID EXAME DE ESTADO

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David Carlos Fernando 
O Triângulo 
Licenciatura em Ensino de Matemática
Universidade Pedagógica
Nampula
2016
	
David Carlos Fernando 
O Triângulo 
Trabalho de conclusão do curso a ser entregue ao Departamento de Ciências Naturais e Matemática, para a obtenção do grau académico de Licenciatura em ensino de Matemática com Habilitações em ensino de Informática.
 Universidade pedagógica
Nampula
2016 
ii
Índice
Lista de abreviaturas	iii
Lista de figuras	iv
Declaração	v
Dedicatória	vi
Agradecimentos	vii
Introdução	8
1. Triângulos: origem histórica	10
1.1. Definição	10
1.2. Elementos de um triângulo	11
1.3. Classificação dos Triângulos	11
1.3.1. Classificação dos triângulos quanto aos lados	11
1.3.2. Classificação dos triângulos quanto aos ângulos	12
1.4. Teoremas essenciais	12
1.5. Existência e construção de triângulos	12
1.6. Pontos e segmentos secundários no triângulo	14
1.6.1. Cevianas de um triângulo	14
1.6.2. Pontos notáveis de um triângulo	15
1.6.3. Relação entre os segmentos e pontos secundários nos casos particulares de	18
1.7. Área do triângulo	19
1.8. Relação entre triângulos: semelhança e igualdade	19
1.8.1. Congruência de triângulos	19
1.8.1.1. Casos de congruência	19
1.8.1.2. Caso especial (CE)	21
1.8.2. Semelhança de triângulos	21
1.8.2.1. Definição	21
1.9. Exercícios resolvidos	23
1.10. Importância dos triângulos	26
Conclusão	28
Bibliografia	29
Lista de abreviaturas
MSc – Mestre em Ciências; 
dr. – doutor 
Lista de figuras
Figura 1: triangulo ou trilátero ……………………………………………………...………..11
Figura 2: elementos de um triângulo ……………………………………………..…………..11
Figura 3: Triângulo equilátero, isósceles e escaleno…………………………………..……..12
Figura 4: triângulo rectângulo, obtuso e agudo………………………………………...……..12
Figura 5: a) a soma dos ângulos internos é menor do que 180º…………………………..…..13
Figura 5: b) a soma dos ângulos internos é maior do que 180º: triângulo não existe)………..14
Figura 5: c) o triângulo existe ………………………………………………………………..14
Figura 6: Segmentos notáveis de um triângulo……………………………………...………..15
Figura 7: o baricentro ………………………………………………………………………...16
Figura 8: o Incentro………………………………………………………………...………....16
Figura 9: o Circuncentro (C) ……………………………………………………..…………..17
Figura 10: O ortocentro (O) …………………………………………………….…………..18
Figura 11: Relação entre os segmentos e pontos secundários…………………….………..18
Figura 12: resumo de regras para o cálculo de área de um triângulo…………………………19
Figura 13: triângulos congruentes pelo critério l.a.l. ………………………...………………20
Figura 14: triângulos congruentes pelo critério a.l.a. ……………………………..…………20
Figura 15: triângulos congruentes pelo critério l.l.l. …………………………………………20
Figura 16: triângulos semelhantes……………………………………………...……………..21
Figura 16 a): triângulos semelhantes pelo caso A.A. ………………………….……...……22
Figura 16 b): triângulos semelhantes pelo caso L.L.L. …………………………..…..………22
Figura 16 c): triângulos semelhantes pelo caso L.A.L. ………………………………………22
Figura 17: triangulo ABC e seus pontos médios………………………………………….…..23
Figura 18: circunferência inscrita e circunscrita em um triângulo equilátero……………...…24
Figura 19: 2 triângulos congruentes ………………………………………………………....25
Figura 20: dois triângulos semelhantes ………………………………………………..……..25
Declaração
Declaro que este trabalho de conclusão do curso é resultado da minha investigação pessoal, o seu conteúdo é digno e original e todas as fontes consultadas estão devidamente listadas no texto e na bibliografia final.
Declaro ainda que, este trabalho é singular, isto é, não foi apresentado em nenhuma instituição para a obtenção de qualquer grau académico.
Nampula, ________/________/ 2016
____________________________________
David Carlos Fernando
Dedicatória
Dedico este trabalho aos meus pais Fernando Sadique e Helena Ricardo.
Agradecimentos
Agradeço a Deus, por ter me dado saúde e força na realização deste trabalho. 
Ao meu orientador, MSc. Emílio António, um agradecimento especial pela paciência e apoio de forma incansável na orientação técnica e científica do trabalho tornando-o eficiente e melhor na sua qualidade.
Os meus agradecimentos vão aos meus pais, que me deram o prazer e a responsabilidade de me nascer nesta maravilhosa África continente do futuro, com abraço, pela honestidade e educação informal que contribuiu para a minha personalidade individual.
Agradecimento especial aos meus irmãos – Hermenegildo Sadique Carlos Fernando, Demétria Carlos Fernando, Felizardo Carlos Fernando, Anabela Carlos Fernando. 
Os meus agradecimentos vão aos meus filhos Fernando da Odete David, Leosvilda da Odete David e Diol da Odete David.
Agradecimento especial aos colegas – dr. Jacinto Faustino, dr. Severino Damião e dr. Manuel Raul David – que servilmente deram seu apoio incondicional na realização deste trabalho e pelo companheirismo desde o primeiro ao quarto ano de estudo, até em momentos difíceis.
Agradecimentos são extensivos aos amigos e toda a minha família pelo apoio moral e em todo o meu processo estudantil.
Agradeço aos colegas de Matemática que directa/indirectamente prestaram seu apoio tornando possível a prontificação deste trabalho. Minha eterna gratidão. 
Muito obrigado!
Introdução 
No nosso dia-a-dia, deparamos frequentemente com objectos com formas triangulares e situações nas quais é necessário aplicar o saber do triângulo. 
Este trabalho é de conclusão do curso; o mesmo traz uma abordagem sobre Triângulos que são figuras importantes no nosso dia-a-dia. Com este trabalho em desenvolvimento, objectiva-se,
i. Geralmente: descrever as características dos triângulos.
ii. Especificamente:
· Explicar o conceito de triângulo.
· Reconhecer as condições que garantem a congruência e semelhança entre duas figuras.
· Resolver problemas, aplicando condições que relacionam lados e ângulos de triângulos.
· Mostrar a aplicabilidade dos triângulos na vida humana.
Para tal, ao elaborarmos este trabalho, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, buscando abordar os conceitos de triângulo, teoremas, casos de congruência e semelhança de triângulos, aplicabilidade entre outros aspectos que achamos básicos.
O conhecimento de triângulos merece especial atenção pois a sua aplicação na vida prática é diversa, uma vez que é possível estabelecer uma série de relações entre seus elementos, principalmente lados e ângulos. Daí a sua grande importância no desenvolvimento da humanidade e, consequentemente uma motivação para a sua abordagem. Exemplo, no antigo Egipto, com o desenvolvimento da Geometria, um triângulo rectângulo particular foi muito utilizado para construir “cantos” rectos, ou ângulos rectos; ora este facto é uma realidade, pois aqui também verifica-se o uso de formas triangulares em construções civis.
No campo da ciência, o conhecimento de triângulos pode-nos facilitar a compreender a trigonometria, particularmente no estudo das razões trigonométricas, na dedução da fórmula fundamental da trigonometria, entre outras áreas da matemática.
A pesquisa teve como recurso em manuais físicos, revistas de referência bem como consulta na internet e, todas as obras estão devidamente mencionadas na última página deste trabalho. 
A informação colhida foi compilada e organizada de forma hierárquica em garantia de fácil compreensão e coerência na explanação do objecto em estudo. 
Para a sua melhor compreensão, decidimos estruturar em três partes essenciais, a saber, introdução, desenvolvimento e conclusão.
1. Triângulos: origem histórica 
“Os triângulos são as figuras geométricas mais importantes, já que qualquer polígono com um número maior de lados pode reduzir-se a uma sucessão de triângulos, ao traçar todas as suas diagonais a partir de um vértice”, (Cfr. DOLCE e IEZZI, 1997: 05).
A geometria do triângulo é de uma riqueza incrível e tem apaixonado, durante séculos, os matemáticos e amadores.
A geometria de Euclides reserva um lugar preponderante ao triângulo. Com efeito, três pontos não alinhados (não colineares) determinam um e um só plano;e o triângulo é neste plano o polígono mais simples.
Não existe qualquer referência pontual a quem ou como terá sido inventado ou descoberto o triângulo.
Terá sido o Homem que ao longo da sua evolução terá sentido necessidade na sua vida prática de tornar rígidas e seguras algumas das suas construções.
Por exemplo, nos tempos primitivos da civilização Grega, foi usado pelos gregos o triângulo de descarga.
O triângulo de descarga era uma construção que permitia descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos túmulos e das cidadelas.
Devido ao peso, as portas podiam abater, mas com o triângulo, esse peso era suportado por postes laterais que eram maciços.
Os triângulos de descarga eram geralmente abertos, mas podiam ser tapados e decorados, como acontece no caso da cidade de Micenas, com a Porta dos Leões.
1.1. Definição 
A palavra “triângulo” tem origem do latim triangulu, e é um polígono que possui três lados e três ângulos. É o polígono com o menor número de lados, o único polígono que não possui diagonais. Cada ângulo externo do triângulo é suplementar ao ângulo interno adjacente.
Segundo BARBOSA (2006: 17) denominamos triângulo (ou trilátero) “a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que os pontos A, B, C não estão numa mesma linha recta”. 
Figura 1: triangulo ou trilátero 
1.2. Elementos de um triângulo
Na notação acima, a cada triângulo estão associados nove elementos principais:
· Seus três lados: AB, BC e CA;
· Seus três vértices, os pontos A, B e C;
· Seus três ângulos (internos), , , , os quais são assim definidos: é o ângulo de vértice A e que contém todos os pontos do lado BC (também costuma ser designado por ); análoga definição para os outros dois lados, cf. figura: =, =.
Figura 2: elementos de um triângulo 
O lado BC é dito lado oposto ao vértice A e por isso sua medida é denotada por a. Analogamente o lado AC é o lado oposto ao vértice B, e sua medida é denotada por b, e o lado AB é o lado oposto ao vértice C, e sua medida é c.
1.3. Classificação dos Triângulos
Segundo ARAÚJO (2007: 06) “um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados”.
1.3.1. Classificação dos triângulos quanto aos lados 
· Equilátero: todos os lados têm o mesmo comprimento: a = b = c.
· Isósceles (do grego: isos=igual, skelós=pernas): tem dois lados com mesmo comprimento (alguns autores exigem que sejam exactamente dois os lados de mesmo comprimento).
· Escaleno (do grego: skalenon=desigual): os comprimentos dos lados são diferentes.
Figura 3: Triângulo equilátero, isósceles e escaleno
1.3.2. Classificação dos triângulos quanto aos ângulos
· Rectângulo: tem um ângulo de 90 graus; (o lado oposto a este ângulo é a hipotenusa, os outros lados são os catetos do triângulo)
· Obtuso: tem um ângulo maior do que 90 graus;
· Agudo: todos seus ângulos medem menos do que 90 graus.
Figura 4: triângulo rectângulo, obtuso e agudo
1.4. Teoremas essenciais
· Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos vale 180 graus.
· Em qualquer triângulo, cada lado é menor do que a soma dos dois outros.
· Em qualquer triângulo, cada lado é maior que a diferença entre os outros dois.
1.5. Existência e construção de triângulos
Nesta parte pretende-se obter resultados que nos permitem decidir se numa dada situação o que parece ser um triângulo realmente é um triângulo, ou se um dado triângulo realmente tem uma certa propriedade.
i. Primeiro caso de existência
São dadas três rectas que se interceptam duas a duas; deseja-se saber se unindo os pontos de intersecção produzimos um triângulo.
Se cada recta intersectar as outras e elas não forem concorrentes (concorrentes = as rectas têm o mesmo ponto de intersecção) fica definido um triângulo.
Se as rectas forem concorrentes ou se ao menos duas delas forem paralelas não temos três pontos de intersecção, logo não se define triângulo.
ii. Segundo caso
São dados três comprimentos (a, b, c) e deseja-se saber se existe algum triângulo cujos lados tenham os comprimentos dados.
Teremos um triângulo se cada comprimento for menor do que a soma dos dois outros. Em verdade, basta que o maior dos três comprimentos seja menor do que a soma dos dois outros.
Um caso comum de não existência de triângulo é quando AB = BC + CA, situação onde o ponto C está no segmento AB, logo os três pontos são colineares.
iii. Terceiro caso
São dados um segmento de recta e dois ângulos de vértices nas extremidades do segmento. Ou seja, são dados AB e os ângulos ∢A e ∢B, e deseja-se saber se tem sentido falar no triângulo ABC.
Teremos definido um triângulo desde que tenhamos graus.
As duas primeiras figuras a seguir ilustram casos de soma menor do que 180 graus (no segundo caso, o vértice C cai fora da folha, mas existe), o terceiro caso tem soma maior do que 180 graus (triângulo não existe) e o quarto caso tem soma igual a 180 graus (também não fica definido um triângulo; não há vértice C). Confira as figuras e as somas dos ângulos:
Figura 5: a) 45º+76º=121º, assim como também, 63º+104º=167º; portanto a soma é menor do que 180 graus (no segundo caso, o vértice C cai fora da folha, mas o triângulo existe)
Figura 5: b) 112º+82º=194º, ou seja, a soma é maior do que 180 graus (triângulo não existe) e o outro caso (98º+82º=180º) tem soma igual a 180 graus (também não fica definido um triângulo; não há vértice C)
iv. Quarto caso
Sendo dados dois segmentos, AB e BC, e o ângulo , existe o triângulo ABC?
Teremos definido um triângulo desde que graus.
v. Quinto caso
São dados dois segmentos, AB e AC, e o ângulo , existe o triângulo ABC?
Novamente, fica definido um triângulo desde que graus, mas sua construção é menos óbvia, confira na figura.
Figura 5: c) o triângulo existe 
1.6. Pontos e segmentos secundários no triângulo
Os elementos principais, conforme já vimos, são os vértices, lados e ângulos. Para além destes, existem outros tipos de pontos e segmentos, os quais segundo SOUZA (2010: 28) são ditos secundários.
Existe uma enorme quantidade destes últimos, consideraremos apenas os mais conhecidos.
1.6.1. Cevianas de um triângulo 
A ceviana de um triângulo é todo segmento de recta que parte de um vértice do triângulo e vai até a recta que contém o lado oposto, (Cfr. ORM GRANDE POA, 2012: 07). O ponto de intersecção de uma ceviana com a recta contendo o lado oposto é denominado pé da ceviana. 
Além dos lados, as cevianas mais importantes são as alturas, as medianas e as bissectrizes, as quais são exemplificadas na figura 6 a seguir; nessa figura também aparece um outro tipo de segmento importante, embora não ceviano, a mediatriz: 
· Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
· Mediatriz - É a recta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio.
· Bissectriz - É a semi-recta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
· Altura - É a distância entre o vértice e a recta suporte do lado oposto.
Figura 6: Segmentos notáveis de um triângulo
Observação:
Todo triângulo tem: 3 medianas, 3 mediatrizes, 3 bissectrizes e 3 alturas
1.6.2. Pontos notáveis de um triângulo 
Associados a esses segmentos secundários, temos quatro pontos notáveis: o Baricentro (ou centro de gravidade), o Incentro, o Circuncentro, e o Ortocentro; eles são usualmente denotados por BICO. 
i. Baricentro (G)
É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.
Propriedade
O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O segmento que contém o vértice é o dobro do segmento que contém o ponto médio do lado oposto. (razão 2:1).
Observação - As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área.
Figura 7: o baricentro 
ii. Incentro (I)
O incentro, que é o ponto de encontro das três bissectrizes do triângulo; ponto muito importante pois é o centro da circunferência inscrita no triângulo. 
Propriedade.
O incentro é o centro da circunferência inscrita (interna) no triângulo.
O incentro é o ponto do plano equidistante dos 3 ladosdo triângulo.
r - raio da circunferência inscrita.
Figura 8: o Incentro
iii. Circuncentro (C)
É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.
Propriedade
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (externa) ao triângulo.
O circuncentro é o ponto do plano equidistante dos 3 vértices do triângulo.
R - raio da circunferência circunscrita.
Figura 9: o Circuncentro (C)
iv. O ortocentro (O)
O ortocentro, que é o ponto de encontro das três alturas do triângulo.
Propriedade
Não tem.
Figura 10: O ortocentro (O)
1.6.3. Relação entre os segmentos e pontos secundários nos casos particulares de triângulos isósceles, rectângulos e equiláteros
Figura 11: Relação entre os segmentos e pontos secundários
1.7. Área do triângulo
Figura 12: resumo de regras para o cálculo de área de um triângulo
1.8. Relação entre triângulos: semelhança e igualdade 
1.8.1. Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes.
1.8.1.1. Casos de congruência
i. Caso lado-ângulo-lado (l.a.l.)
Dois triângulos são geometricamente iguais (congruentes) se têm dois lados e o ângulo por eles formado iguais. Ou por outra, quando por sobreposição coincidem vértice por vértice.
Figura 13: triângulos congruentes pelo critério l.a.l.
ii. Caso ângulo-lado-ângulo (a.l.a.)
Dois triângulos são geometricamente iguais (congruentes) se têm um lado e os ângulos adjacentes a esse lado respectivamente iguais.
Figura 14: triângulos congruentes pelo critério a.l.a.
iii. Caso lado-lado-lado (l.l.l.)
Dois triângulos são geometricamente iguais (congruentes) se os lados de um são iguais aos lados aos do outro.
Figura 15: triângulos congruentes pelo critério l.l.l.
Observação:
A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no desenho é muito importante na caracterização do caso de congruência.
l.a.l. - dois lados e o ângulo entre eles.
a.l.a. - dois ângulos e o lado entre eles.
1.8.1.2. Caso especial (CE)
Dois triângulos rectângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo.
1.8.2. Semelhança de triângulos
1.8.2.1. Definição
REZENDE (2000: 56) afirma que “dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais”.
a) Definição mais “popular”: dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.
N.B.: Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
Figura 16: triângulos semelhantes
1.8.2.2. Casos de semelhança de triângulos
i. Caso AA (importantíssimo).
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.
Figura 16 a): triângulos semelhantes pelo caso A.A.
ii. Caso LLL.
Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois ordenadamente proporcionais.
Figura 16 b): triângulos semelhantes pelo caso L.L.L.
iii. Caso LAL.
Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacentes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângulo do outro triângulo.
Figura 16 c): triângulos semelhantes pelo caso L.A.L.
1.8.2.3. Como aplicar a semelhança de triângulos
LINDOQUIST e SHULTE (1994: 107) propõem os procedimentos para a aplicação dos critérios ou casos de semelhança de triângulos, a seguir:
a) Reconhecer a semelhança através dos “casos de semelhança”.
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de , e os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção.
1.9. Exercícios resolvidos 
1. No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar:
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
Figura 17: triangulo ABC e seus pontos médios
Resposta: 
a) Os segmentos AP, BN e CM são as medianas 
b) Olhando a figura nota-se que o ponto R é ponto de encontro das 3 medianas do triângulo, logo é o baricentro 
c) Dados: MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm. Pedido: CR=?, BR=? E PR=?
Resolução: =2x7cm=14 cm, =2x6cm=12 cm e ==5 cm
2. Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo equilátero mede 5 cm, determinar:
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
b) a altura do triângulo;
c) o lado do triângulo;
d) o perímetro do triângulo;
e) o que o ponto O é do triângulo.
Figura 18: circunferência inscrita e circunscrita em um triângulo equilátero
Resposta:
Dado: R =5m
Pedidos: r =?, h=?, l=?, P=? e nome do ponto O.
a) R=2r .
b) h=3r . 
c) 
d) P= 3l 
e) O ponto O é o BICO, isto é, o Baricentro (ou centro de gravidade), o Incentro, o Circuncentro, e o Ortocentro.
3. Na figura ao lado, A e C são ângulos rectos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
Figura 19: 2 triângulos congruentes 
Resposta: 
Hipótese:
A e C são ângulos rectos e os segmentos AD e CD são congruentes.
Passos: Justificação: 
i. º. Pela hipótese: pelo que os 2 triângulos são rectângulos. 
ii. A hipotenusa BD é o lado comum aos dois triângulos.
Pelo caso especial (CE), que diz, dois triângulos rectângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo é evidente que os dois triângulos são congruentes.
4. Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a medida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos segmentos AD e AE.
Figura 20: dois triângulos semelhantes 
Resposta: 
Hipótese: 
O segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a medida de DE é 8 cm.
Como, o segmento DE é paralelo à base BC e BC é o segmento do triângulo ABC e, toda recta traçada paralela a um dos lados de um triângulo, determina um outro triângulo semelhante ao primeiro, então os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
Assim, 
1.10. Importância dos triângulos 
No princípio da Idade Média, apareceu no Mediterrâneo, uma vela triangular, alinhada com o eixo longitudinal do casco, contrariando a até utilizada, que era perpendicular ao mesmo eixo e de configuração quadrada, chamada Redonda, por ao longe parecer redonda.
Não se sabe quem a utilizou pela primeira vez.
 
Árabes, Indianos ou até Indonésios, são apontados como os percursores de tal sistema, que permite à embarcação navegar contra o vento a uns 50 ou 60 graus.
 
Os Árabes usavam na pesca e no transporte de géneros, uma embarcação robusta, de formas finas, pouco alterosa e de pouco calado, chamada “Caravo” que armava com uma vela latina (triangular).
Com a ocupação da Península Ibérica, é de prever que este tipo de embarcação tenha vindo com os invasores e tenha chamado a atenção dos armadores da costa do Atlântico, devido às suas qualidades náuticas.
 
Os Portugueses introduziram grandes melhoramentos e nasceu a Caravela Portuguesa.
 
A Caravela Portuguesa foi o navio escolhido para a demanda dos Descobrimentos substituindo as barcas de vela rectangular. A vela triangular ou latina permitiu-lhes navegar contra o vento (bolinar).
Durante mais de 450 anos a Caravela tornou-se célebre pelo Mundo.
 
Mestres de bolinar, os Portugueses, mantiveram, durante muitos anos, o segredo desta arte no Oceano. Por isso chegaram até ao Cabo da Boa Esperança, sem a concorrência do resto da Europa.
Em 1575, o escritor Escalante de Mendonça escrevia:...“A Caravela Portuguesafoi a melhor invenção que até ao tempo se alcançou para a navegação de bolina.”
 
E nós acrescentamos:
“Na base desta invenção está o triângulo!”
Na actualidade, são muitas as situações em que se recorre à robustez do triângulo. Os engenheiros usam frequentemente formas triangulares nas suas construções, para as tornar mais seguras.
Enfim, existe uma quantidade muito vasta de aplicações dos triângulos, a saber: 
· Na construção civil, os guindastes suportam e elevam grandes pesos, graças à existência de secções triangulares. 
· Na construção civil, os guindastes suportam e elevam grandes pesos, graças à existência de secções triangulares.
· Nos postes de alta tensão, para suportar fortes ventos.
· Na construção civil, para evitar quedas e outros acidentes, triangularizam-se os andaimes.
· Passagens aéreas: passagem desnivelada para peões.
· O Triângulo é “estável”: usando-se na cobertura de estádios e nas pontes de ferro.
Conclusão 
Ao fazer este trabalho notamos que um triângulo é um polígono cujos elementos principais, são os vértices, lados e ângulos. Assim, a cada triângulo estão associados nove elementos principais: seus três lados: AB, BC e CA; seus três vértices, os pontos A, B e C e seus três ângulos (internos). Além dos lados, num triângulo encontram-se as cevianas/segmentos mais importantes que são as alturas, as medianas e as bissectrizes. Associados a esses segmentos secundários, temos quatro pontos notáveis: o Baricentro (ou centro de gravidade), o Incentro, o Circuncentro, e o Ortocentro; usualmente denotados por BICO. 
Os elementos dum triângulo têm propriedades de desigualdade triangular, dos ângulos internos do triângulo, do ângulo externo do triângulo, relativas aos lados e ângulos do triângulo. 
Dados dois triângulos podemos “compará-los” usando critérios de congruência ou de semelhança de triângulos. Para tal, a posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no desenho é muito importante na caracterização do caso de congruência: l.a.l. - dois lados e o ângulo entre eles. a.l.a. - dois ângulos e o lado entre eles, por exemplo. Dois triângulos semelhantes têm exactamente o mesmo formato. A razão de semelhança de dois triângulos representa quanto um triângulo vale do outro.
Para entender o conceito de semelhança é recomendável entender o termo proporcionalidade. Diz-se que duas medidas X e Y são proporcionais aos números a e b quando, x, y, a e b formam uma proporção, nesta ordem.
As aplicações de triângulo envolvem a segurança de estruturas em construções civis. Por exemplo, muitos telhados são construídos em forma triangular devido à segurança apresentada.
Bibliografia
1. ARAÚJO, José Carlos Morais de. Geometria plana: instrucionais de Matemática. Brasil. 2007.
2. BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM. 1993.
3. BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana, Colecção do Professor de Matemática, SBM, 10ª edição, Rio de Janeiro, 2006.
4. DOLCE, Osvaldo e IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática elementar. Volume. 9. São Paulo: Actual, 1997.
5. GUIBUNDANA, Dinis Hilário e SAPATINHA, João Carlos. Matemática 9ª classe: saber matemática 9. 1ª Edição. Maputo. 2013.
6. LIMA, Llon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. 1973.
7. LINDOQUIST, M. M. e SHULTE, A. P., Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Actual Editora, 1994.
8. ORM GRANDE POA. Geometria do triângulo: conceitos e fórmulas. Brasil. 2012.
9. POLYA, G., A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro – R.J.
10. REZENDE, E. Q. F. de Queiroz, M.L.B., Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas, Campinas, SP: Editora da Unicamp, São Paulo, SP: Imprensa Oficial, 2000.
11. SOUZA, Lucas Octávio de. Geometria plana: Resumo teórico e exercícios. 3ª Edição. São João da Boa Vista – SP. 2010.
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