APOSTILA DE GEOMETRIA

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registrados no Cartório Marcelo Ribas – 1° Reg. Tits. e Docs. Brasília/DF, Registro n° 762.125
EDUCAÇÃO PROFISSIONAL
Formação Inicial e Continuada
Qualificação Profissional
GEOMETRIA APLICADA NO
ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO
Carga horária: 180h Curso: 062
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CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 2 
 
 
 
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL 
 
Unidade de Aperfeiçoamento e Qualificação 
 
Av. Transversal Quadra 21 Conjunto “M” Lote 23 
Edifício CENED Paranoá - DF CEP: 71.572-113 
 
 
INFORMAÇÕES DO CURSO 
 
Curso: GEOMETRIA APLICADA NO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO 
Quantitativo de seções: 7 
Carga horária: 180 horas 
 
 TUTORIA DO CENED 
 
Para esclarecer dúvidas, trocar idéias, apresentar sugestões, o cursista do 
CENED poderá recorrer à tutoria, pelos seguintes meios: 
 
 Telefones: (61) 3369-6366 / 3408-1576 / 9605-9723 
 E-mail: tutoria@ceneddf.com.br 
 Fax: (61) 3369-5192 
 Pessoalmente: Avenida Transversal Quadra 21 Conj. “M” Lote 23 Edifício CENED 
Paranoá–DF CEP: 71.572-113 
 
 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 3 
 
 
 
Objetivos do Curso 5 
Introdução 6 
 
 
SEÇÃO 1 
 
Noções Primitivas e Postulados 
1.1. Notações de ponto, reta e plano com letras 8 
1.2. Notações gráficas de ponto, reta e plano 8 
1.3. Postulados 9 
1.4. Determinação de retas e planos 10 
1.5. Posições relativas entre retas e planos 11 
1.6. Segmento de reta, semi-reta e semiplano 14 
Verificação da aprendizagem 1 19 
 
 
SEÇÃO 2 
 
Ângulos 
2.1. Definição 21 
2.2. Medida de ângulo 22 
2.3. Elementos 23 
Verificação da aprendizagem 2 27 
 
 
SEÇÃO 3 
 
Polígonos 
3.1. Definições 29 
3.2. Exemplos 34 
3.3. Teoremas 35 
Verificação da aprendizagem 3 38 
 
 
SEÇÃO 4 
 
Propriedades dos Polígonos. 
4.1. Triângulos. 40 
4.2. Quadriláteros notáveis 51 
Verificação da aprendizagem 4 55 
 
 
 
 
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SEÇÃO 5 
 
Circunferências, círculos, retas e polígonos regulares. 
5.1. Elementos especiais em circunferências e círculos 57 
5.2. Exemplos 59 
5.3. Posições relativas entre retas e circunferências 59 
5.4. Posições relativas de duas circunferências 61 
5.5. Polígonos inscritos e circunscritos numa circunferência 63 
5.6. Comprimento da circunferência 65 
Verificação da aprendizagem 5 69 
 
SEÇÃO 6 
 
Áreas das figuras planas. 
6.1. Postulados 71 
6.2. Teoremas 71 
6.3. Exemplos 75 
Verificação da aprendizagem 6 78 
 
SEÇÃO 7 
 
Geometria Métrica Espacial. 
7.1. Poliedros 80 
7.2. Cilindro 88 
7.3. Cone 90 
7.4. Esfera 93 
Verificação da aprendizagem 7 96 
 
 
 
Respostas das Verificações da aprendizagem 98 
Referências Bibliográficas e Eletrônicas 99 
 
 
 
 
 
 
 
 
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gravação – sem a permissão expressa e por escrito do CENED. 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 5 
 
OBJETIVOS DO CURSO 
 
OBJETIVO GERAL 
Ampliar os estudos do professor quanto à Geometria Plana e à Geometria no Espaço, 
propondo uma reflexão sobre sua prática educativa, voltada à busca de novas formas e 
práticas pedagógicas para o resgate do ensino de Geometria com qualidade. 
 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
 Reconhecer a importância da articulação entre os diferentes blocos de conteúdo da 
Geometria, assim como entre os saberes prévios dos alunos e o conteúdo a ser 
ensinado pela escola, possibilitando uma ampliação do repertório de conhecimentos; 
 Subsidiar e complementar os estudos realizados pelo professor; 
 Estabelecer as bases constitutivas da teoria para um estudo inicial da Geometria Plana 
e do Espaço; 
 Determinar um conceito para ângulo e obter resultados que permitam a elaboração de 
conceitos coerentes para o desenvolvimento dos elementos da Geometria; 
 Proporcionar uma visão geral das figuras geométricas, de modo a possibilitar sua 
construção e representação; 
 Descrever, analisar e discutir as principais propriedades dos polígonos; 
 Obter propriedades que relacionem os elementos geométricos; 
 Resolver problemas que envolvam os conceitos relativos ao perímetro e à área das 
figuras planas; 
 Resolver problemas que envolvam a determinação de medidas de área e volume de 
superfícies tridimensionais. 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Observar e tentar explicar ou dominar a natureza têm sido preocupações recorrentes 
dos seres humanos. A convivência com formas e imagens das mais variadas origens explica 
a concretização dos espaços produzidos por diferentes povos que habitam ou habitaram 
nosso planeta. Portanto, uma análise da arquitetura, da arte e, mesmo, de utilitários e objetos 
industrializados, permite exemplificar os conceitos e resultados desenvolvidos em Geometria. 
A etimologia da palavra geometria (HOUAISS, 2001) remete à sua origem grega 
“agrimensura”, certamente originada pela necessidade de representar, planejar e controlar o 
uso da terra para a sobrevivência e para o comércio. Por outro lado, o antepositivo ge(o), do 
grego gê (terra, país, região) adicionado ao pospositivo metria –metro “medida”, reforça a 
origem básica das construções geométricas. Alguns povos ainda praticam a medição de 
terras pela triangulação da área a ser medida, como mostra a figura 1, onde os pequenos 
segmentos verticais representam estacas que determinam os vértices dos triângulos cujas 
áreas serão calculadas. Esse método tem origem em conhecimentos desenvolvidos pelos 
povos mesopotâmicos, há mais de 4.000 anos. A ancestral observação dos astros está 
documentada em pinturas rupestres, inclusive no Brasil, por meio da representação do 
movimento dos astros por círculos ou outras figuras geométricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É muito interessante a leitura da tese de doutorado da Professora Maria Terezinha 
Jesus Gaspar1, intitulada: “Como utilizar a história da matemática para discutir conhecimentos 
geométricos e abordagens pedagógicas para o ensino-aprendizagem”, disponível em 
http://www.biblioteca.unesp.br/bibliotecadigital 
 
A atual configuração da História da Geometria deve-se a muitos vestígios e provas 
encontrados em sítios arqueológicos, em papiros antigos (como o Papiro de Moscou, ou o 
 
1
 Professora do Departamento de Matemática da Universidade de Brasília. 
Figura 1.1 
Papiro Rhind, Museu de Londres 
 
Figura 1.2 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 7 
Papiro de Rhind2), em painéis ou utilitários, pelos relatos de Homero e nas primeiras 
manifestações escritas pela humanidade. O grego Euclides, que viveu em Bizâncio em torno 
de 300 a.C., compilou e transcreveu em 13 livros, denominados “Os Elementos”, “O trabalho 
de matemáticos como Tales e Pitágoras”, entre outros. O primeiro desses livros contém os 
conceitos iniciais da geometria, com 23 definições sobre os elementos básicos como ponto, 
reta, superfície etc. O trabalho de Euclides, ao tentar dotar o conhecimento matemático de 
uma sustentação lógica, inaugura o que atualmente é chamado sistema dedutivo (BARBOSA, 
2002).A procura de uma seqüência lógica, que permita o desenvolvimento de um sistema 
dedutivo foi uma das preocupações ao elaborar estas notas. Com critério foi selecionada uma 
conceituação mínima para possibilitar o desenvolvimento de um primeiro estudo de 
Geometria Plana e Geometria no Espaço. A estrutura aqui construída é a de um curso que, 
embora não possa ser diretamente aplicado ao Ensinos Fundamental e Médio, pretende 
subsidiar e complementar os estudos realizados pelo professor. Aprofundar o conhecimento é 
sempre a busca da satisfação da curiosidade humana e, nesse sentido, o estudo da 
Geometria possibilita um fértil terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
2
 Disponível em http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.html, consultado em julho/07. 
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SEÇAO 1 
NOÇÕES PRIMITIVAS E POSTULADOS 
 
Na busca de uma consistência formal, os atuais tratados sobre Geometria estabelecem 
duas condições para a construção dos postulados que embasam a teoria: a sua consistência 
e a sua suficiência. Isto significa que as construções teóricas não podem determinar a 
existência de contradições e que a verdade de um resultado (teorema) decorre dos 
postulados previamente estabelecidos. Nesse contexto, são construídas as noções primitivas 
de ponto, reta, plano, espaço, congruência e algumas propriedades que inter-relacionam 
essas entidades. Estas propriedades são denominadas postulados (ou axiomas) e não 
precisam ser demonstradas. 
Portanto, as noções de ponto, reta, plano e espaço são tomadas intuitivamente 
embasadas na observação e na experiência. 
As notações utilizadas para referenciar cada um desses elementos básicos podem ser 
divididas em analíticas ou gráficas: 
 
1.1. NOTAÇÕES DE PONTO, RETA E PLANO COM LETRAS. 
Ponto – são utilizadas letras maiúsculas latinas: A, B, C, D, .... 
Retas – são utilizadas letras minúsculas latinas: a, b, c, d, .... 
Plano – são utilizadas letras gregas minúsculas: ,....,,,  
 
Se A é ponto da reta r, isto é anotado por rA . Se A não é ponto da reta r, anota-se 
rA . 
Se o ponto A e a reta r estão no plano  , isto é anotado por   reA . Caso 
contrário, anota-se   reA 
 
1.2. NOTAÇÕES GRÁFICAS DE PONTO, RETA E PLANO. 
 
 
 
 
 
 
É importante observar as limitações inerentes às representações gráficas dos 
elementos básicos, pela impossibilidade de configurar a idéia de infinitude da reta e do plano, 
bem como a não existência de dimensão do ponto, da reta ser unidimensional e da 
bidimensionalidade do plano. Isto porquê, estando imerso em um espaço tridimensional, o 
observador não tem condições de distinguir objetos que não tenham as três dimensões. 
Figura 1.3 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 9 
 
1.3. POSTULADOS 
Para relacionar os conceitos primitivos, são construídos os seguintes postulados: 
 
(I) Postulado da Existência 
a) Existe reta e existem pontos na reta e fora dela. 
b) Existe plano e existem pontos no plano e fora dele. 
 
(II) Postulado da Determinação 
a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. 
Observação: Neste caso os dois pontos são chamados colineares. 
b) Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém. 
 
(III) Postulado da Inclusão 
Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida 
nesse mesmo plano. 
 
(IV) Postulados de Ordem 
a) Dados três pontos distintos em uma reta, somente um deles está entre os outros 
dois. 
b) Dados dois pontos distintos em uma reta, existe um outro ponto entre eles. 
Observação. Este postulado determina a existência de infinitos pontos entre dois 
pontos dados. 
c) Uma reta determina exatamente dois semiplanos distintos cuja interseção é a 
reta dada. 
 
(V) Postulado das Paralelas 
Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada. 
 
 
Observação: O postulado das paralelas, conhecido como o Postulado de Euclides, é a 
propriedade que caracteriza a Geometria Euclidiana. Euclides não conseguiu demonstrá-lo 
como decorrente dos postulados anteriores nem que Como alvo de muitas críticas, sofreu 
infrutíferas tentativas de demonstração por muitos estudiosos. Posteriormente, sua negação 
proporcionou a Johann Bolyai (1802-1860) e Nikolai I. Lobachewsky (1793-1856) a 
construção das geometrias não-Euclidianas (BARBOSA, 2002). 
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1.4. DETERMINAÇÃO DE RETAS E PLANOS. 
1.4.1. RETAS 
Uma reta r pode ser determinada por dois pontos dados (Postulado II) ou por um ponto 
P e a direção de uma reta dada s paralela a r. 
 
 
 
1.4.2. PLANOS 
Um plano  pode ser determinado por: 
1º - três pontos não colineares, como determina o Postulado II; 
 
 
 
 
 
 
 
2º - uma reta e um ponto fora dela, bastando, para isso, tomar dois pontos distintos na reta 
(Postulados I e V); 
 
 
 
 
 
 
 
3º - duas retas concorrentes, ao considerar P como o ponto de interseção das duas retas, A 
um ponto na primeira reta e B um ponto na outra; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 
Figura 1.5 
),,( CBA
Figura 1.6 
Figura 1.7 
  ),(,, sresBrAPsr  
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4º - duas retas paralelas distintas, ao tomar os pontos A e B na primeira reta e um terceiro 
ponto C na outra (Postulados I e V). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Nestes dois últimos casos, as retas são coplanares. 
 
1.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS 
1.5.1. DUAS RETAS 
1º. Retas coincidentes 
Duas retas são chamadas coincidentes 
quando possuem todos pontos em 
comum, ou seja, quando equivalem a 
uma única reta. 
Neste caso: 
srsr  
 
 
2º. Retas paralelas 
Duas retas são chamadas paralelas 
quando são coplanares e não possuem 
pontos em comum. 
Neste caso: 
),(,, sresrsr   
 
 
3º. Retas concorrentes 
Duas retas são chamadas concorrentes 
quando possuem um único ponto 
comum. 
Neste caso: 
  ),(,, sresrPsr   
 
 
 
Figura 1.8 
Figura 1.9 
Figura 1.10 
Figura 1.11 
),(,,,// sresCrBAsr  
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 12 
 
4º. Retas reversas 
Duas retas são chamadas reversas 
quando não estão contidas em um 
mesmo plano. 
Neste caso: 
 sr e não existe plano que 
contenha r e s. 
 
 
1.5.2. RETA E PLANO 
 
1º. Reta contida no plano 
Quando todos os pontos de uma reta r 
pertencem a um plano  , diz-se que a 
reta está contida nesse plano. 
Neste caso: 
 .rrer   
 
 
 
2º. Reta paralela ao plano 
Quando a reta r e o plano  não têm 
pontos comuns, diz-se que a reta e o 
plano são paralelos. 
Neste caso 
.//  rer 
 
 
 
3º. Reta e plano concorrentes 
Quando a reta r e o plano  têm um 
único ponto comum P, diz-se que a reta 
e o plano são concorrentes. 
Neste caso 
 
   emrdetraçooéPPr , 
 
 
 
 
Figura 1.13 
Figura 1.14 
Figura 1.15 
Figura 1.12 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 13 
 
1.5.3. DOIS PLANOS 
1º. Planos coincidentes 
Quando todos os pontos de dois planos 
 e coincidem, diz-se que esses 
planos são coincidentes. 
Neste caso 
 
.rre   
 
 
2º. Planos paralelos 
Quando dois planos  e não têm 
pontos comuns, diz-se que esses 
planos são paralelos. 
Neste caso 
  //e 
 
 
2º. Planos secantes 
Se dois planos distintos  e têm 
pontos comuns, diz-se que esses 
planos são secantes. 
Neste caso 
r  
 
 
 
Exemplo 1.1. Quais são as posições relativas entre as retas coplanares r e s, em cada 
um dos seguintes casos? a)  sr ; b)  Psr  ; c) rsr . 
Solução: 
a) Por terem interseção vazia, as retas são paralelas. 
b) As retas r e s são concorrentes. 
c) As retas r e s são coincidentes. 
 
Exemplo 1.2. Se r é reta do plano  e s é paralela a  , qual são as possíveis 
posições relativas entre r e s? 
Solução: 
As duas retas podem ser paralelas ou reversas. 
 
Figura 1.16 
Figura 1.17 
Figura 1.18 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 14 
Exemplo 1.3. Quantas retas podem ser construídas tomando-se quatro pontos distintos 
em um plano, se três deles são colineares? 
Solução: Ao todo, são quatro retas, 
considerando também a reta determinada pelos 
pontos colineares. 
Observação. A perpendicularidade será tratada depois de definido ângulo. 
 
 
1.6. SEGMENTO DE RETA, SEMI-RETA E SEMIPLANO. 
 
1.6.1. Definições. 
Dados os pontos distintos A e B na reta r, é possível definir: 
 
1.6.1.1. Segmento AB : o conjunto formado por A, B e todos os pontos C que se 
encontram entre A e B é chamado segmento AB e é anotado por AB . Os pontos A e B são 
ditos extremos do intervalo. 
 
1.6.1.2. Semi-reta de origem A: o conjunto formado por A e todos os pontos X tais 
que B se encontra entre A e X é chamado semi-reta de origem A e é anotado por SAB ou por 
AB . 
Assim,    BABeAentreestáXXAB ,/  e   ABXeAentreestáBXS AB  / . 
 
 
 
 
A semi-reta SBA é chamada semi-reta oposta a SAB, distinta de SAB, no entanto o 
segmento AB coincide com o segmento BA . 
 
Exemplo 1.4. Sobre uma reta estão marcados os pontos P, Q, R e S, nesta ordem, da 
esquerda para a direita. Assim, determine: PQ  QR , PQ  QR , PR  QS , PQ  RS , 
SPQSQR e SPQSQR. 
Solução: É fácil verificar que 
PQ  QR = {Q}, PQ  QR =PR, PR  QS = QR, 
PQ  RS =  , SPQSQR= PR e SPQSQR = SPQ. 
 
 
Exemplo 1.5. Quantos segmentos distintos são determinados por três pontos distintos 
de uma reta r? 
Figura 1.19 
Figura 1.20 
Figura 1.21 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 15 
Solução: 
 
 
 
Podem ser considerados três segmentos distintos: ACeBCAB, . 
 
Exemplo 1.6. Com origem nos pontos distintos A, B, C e D da reta r, quantas semi-
retas são determinadas? 
Solução: Podem ser consideradas oito semi-retas distintas: SAB, SBA, SCA, SDA, SBC, SCD 
e as semi-retas SBA- AB e SAD- AD . 
 
1.6.1.3. SEMIPLANO DETERMINADO POR R CONTENDO A. Dados a reta r e A 
ponto que não pertence a r, o semiplano determinado por r contendo A é dado pelo conjunto 
dos pontos de r e pelos pontos X tais que A e X estão do mesmo lado da reta r. O semiplano 
é anotado por PrA. 
 
1.6.1.4. SEGMENTOS CONSECUTIVOS. Dois segmentos de reta são ditos 
consecutivos se a extremidade de um coincide com uma extremidade do outro. 
 
1.6.1.5. SEGMENTOS COLINEARES. Dois segmentos de reta são ditos colineares se 
estão numa mesma reta. 
 
1.6.1.6. SEGMENTOS ADJACENTES. Dois segmentos de reta são ditos adjacentes 
se são colineares e consecutivos. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.7. Classifique as afirmações seguintes como verdadeiras (V) ou como falsas (F). 
 
( F ) Dois segmentos consecutivos sempre são adjacentes. 
( F ) Dois segmentos colineares são adjacentes. 
( V ) Dois segmentos adjacentes são colineares. 
( V ) Dois segmentos adjacentes são consecutivos. 
( F ) Dois segmentos colineares são consecutivos. 
Figura 1.23 
Figura 1.22 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 16 
 
1.6.2. POSTULADOS 
 
(VI) Postulado da distância entre dois pontos. 
A dois pontos A, B do plano  corresponde um número não-negativo, denominado 
distância entre A e B, anotada por d(A,B). Este número é zero se e só se A=B. 
 
(VII) Postulado da correspondência entre reta e os números reais. 
Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto 
dos números reais, de modo que a diferença entre estes números meça a distância 
entre os pontos correspondentes da reta. 
 
Este postulado permite a denominação de coordenada de um ponto e, desse modo, se 
a é a coordenada do ponto A e b a coordenada do ponto B e, como comprimentos não podem 
ser negativos, o comprimento do segmento AB será dado pelo valor absoluto de b-a, ou seja, 
d(A,B) = |b-a|. 
 
(VIII) Postulado da ordenação de pontos em uma reta. 
Dados A,B e C pontos de uma reta, se C está entre A e B então: 
d(A,C)+d(C,B) = d(A,B). 
 
Exemplo 1.8. Represente os pontos A, B e C de uma reta r que satisfaçam as 
seguintes condições: d(A,B) = 10, d(A,C) = 2 e d(C,B) = 8. 
Solução: 
 
 
 
Se X é um ponto no segmento AB e d(A,X)=1 e d(X,B)=5, qual é o comprimento do 
segmento AB ? 
Solução: Devemos ter d(A,B)= d(A,X) + d(X,B) = 1 + 5 = 6. Logo, o comprimento do 
segmento dado será de 6 unidades. 
 
Ao localizar um ponto da reta como o número real zero, convenciona-se tomar os 
pontos à direita do zero como correspondentes aos reais positivos e os à esquerda como os 
negativos. 
 
Exemplo 1.10. Dados os pontos A e B de uma reta, se a coordenada de A é zero e a 
de B é 1, como ficam representados os pontos cujas coordenadas são: ½ e -½? 
Figura 1.24 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 17 
Solução: 
 
 
 
Exemplo 1.11. Se X é ponto da semi-reta SAB e d(A,X)<d(A,B), então X está entre A e 
B. 
Solução: Sendo X ponto da semi-reta SAB, existem duas possibilidades para sua 
posição: ou está entre A e B ou B está entre A e X. Supondo que o ponto B está entre A e X, 
o postulado VIII assegura que d(A,B)+d(B,X) = d(A,X) e, portanto, que d(A,B) < d(A,X), o que 
contraria a hipótese d(A,X) < d(A,B). Logo, o ponto X deve estar entre A e B. 
 
1.6.3 DEFINIÇÕES 
1.6.3.1. PONTO MÉDIO de um segmento AB é um ponto X, desse segmento, de 
forma que d(A,X)=d(X,B). 
Exemplo 1.12. Mostre que o segmento AB tem um único ponto médio. 
Solução: Sendo a e b, respectivamente, as coordenadas dos pontos A e B, tem-se: 
 
Pelo axioma VII, existe um ponto X da reta que tem x como coordenada. Por outro 
lado, d(A,X) = d(X,B), pois: 
 
 
Utilizando o resultado do exemplo 1.11, concluímos que, como x está entre a e b, 
segue que X está entre A e B, e, portanto, X é ponto médio de AB . 
 
1.6.3.2. SEGMENTOS CONGRUENTES. Os segmentos AB e CD são ditos 
congruentes de d(A,B) = d(C,D). 
O Postulado VII e a noção de distância entre dois pontos permitem definir, para 
qualquer número real positivo r, uma das entidades mais significativas em geometria: o 
círculo de raio r e centro em um ponto O do plano. 
 
1.6.3.3. CÍRCULO. Dado O um ponto do plano e r um número real positivo, o círculo de 
raio r e centro em O é o conjunto formado pelos pontos B do plano de forma que d(O,B) = r. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.25 
Figura 1.26 
222
),(
222
),(
ba
b
ba
BXde
baba
aXAd 




2
ba
x


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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 18 
Neste caso, diz-se que todo ponto X, que satisfaz à condição d(O,X)<r, está no interior 
do círculo e, caso contrário, se d(O,X)>r, está no exterior do círculo. 
 
1.6.3.4. CORDA E DIÂMETRO. Dados os pontos A e B de uma circunferência, o 
segmento AB é chamado corda da circunferência. Se a corda passa pelo centro da 
circunferência, ela é chamada diâmetro da circunferência. 
 
1.6.3.5. Círculo ou Disco. O conjunto formado pelos pontos da circunferência e pelos 
pontos interiores a um círculo de centro O e raio r é chamado círculo de centro O e raio r. 
 
1.6.3.6. ELIPSE. Dados os pontos F1 e F2 do plano e o 
número real positivo r, o conjunto de pontos X tais que d(F1,X) 
+d(F2,X) = r é chamado elipse de focos F1 e F2. 
 
O centro O da elipse é o ponto médio do segmento 21FF entre 
os focos F1 e F2. 
 
Figura 1.27 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 19VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1 
 
1.1. Determine a opção verdadeira para a posição relativa de retas no espaço. 
 
a) Duas retas reversas têm um ponto em comum. 
b) Duas retas distintas são paralelas quando não se interceptam. 
c) Duas retas distintas que têm um único ponto comum são concorrentes. 
d) Duas retas são paralelas quando possuem um ponto comum. 
e) Duas retas reversas determinam um plano. 
 
1.2. Determine a afirmativa verdadeira para a posição relativa entre plano e reta no espaço. 
 
a) Uma reta e um plano podem ter exatamente dois pontos comuns. 
b) Uma reta e um plano são paralelos quando têm exatamente um ponto em comum. 
c) Uma reta e um plano são paralelos quando têm pontos em comum. 
d) Uma reta é secante a um plano quando tem exatamente um ponto em comum com o 
plano. 
e) Uma reta pertence a um plano quando tem exatamente um ponto em comum com o plano. 
 
1.3. Sendo  // e a reta r concorrente com  , determine a opção verdadeira. 
 
a) r é concorrente com  . 
b) r é paralela com  . 
c) r está contida em  . 
d) r é reversa a qualquer reta em  . 
e) r é concorrente a pelo menos uma reta em  . 
 
1.4. Utilizando 4 pontos coplanares distintos, sendo 2 deles colineares, quantas retas podem 
ser construídas? 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 8. 
 
1.5. Para marcar a distância que percorre em sua caminhada diária, uma pessoa localizou o 
ponto R, referente a sua residência, identificando-o ao zero de uma reta e marcou o ponto F 
como a marca do retorno, que deve ser realizado pelo mesmo caminho. Sendo as distâncias 
percorridas identificadas de quilômetro em quilômetro, quantos quilômetros percorre nessa 
caminhada? 
 
a) -3 km. 
b) 0 km. 
c) 1 km. 
d) 3 km. 
e) 6 km. 
 
Figura 26 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 20 
 
1.6. Dados X e Y pontos distintos da reta r, de coordenadas respectivamente iguais a x, y, 
então se pode afirmar que: 
 
a) d(X,Y) = x – y. 
b) d(X,Y) = -|x – y|. 
c) d(X,Y) = d(Y,X). 
d) d(X,X) = 1. 
e) d(X,X) = d(X,Y). 
 
1.7. Qual a medida dos segmento AB , sabendo que AB e BC são adjacentes, que o 
comprimento de BC é o triplo do de AB e que d(A,C) = 12 cm? 
 
a) 0 cm. 
b) 3 cm. 
c) 4 cm. 
d) 6 cm. 
e)12 cm. 
 
1.8. Se M é o ponto médio do segmento AB e P é um ponto entre M e B, então pode-se 
afirmar que: 
 
a) d(P,M) = ½ (d(P,A)-d(P,B)). 
b) d(P,M) = d(P,B). 
c) d(A,P) = d(M,P) + d(M,B). 
d) d(P,M) = ½ (d(P,A)+d(P,B)). 
e) d(P,B) = ½ (d(A,B)-d(M,B)). 
 
 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 21 
 
SEÇAO 2 
ÂNGULOS 
 
Com a intenção de buscar subsídios para uma melhor abordagem sobre o papel do 
conceito de ângulo na Geometria, foi possível analisar o artigo “Ângulos: uma História”3 
escolar”, de Carlos Roberto Vianna4 e Helena Noronha Cury5 que construíram a base da 
definição dada para ângulo em grande parte dos livros didáticos em uso no Brasil. Difícil 
tarefa: são inúmeros os modos utilizados para construir uma base teórica sólida para a 
Matemática. Qual dentre esses é o correto? Resposta também difícil. Importa, nas escolhas a 
serem realizadas, considerar a coerência entre os conceitos. 
Também é interessante analisar o artigo do Prof. Antonio José Lopes, “Um ângulo é 
mais do que duas semi-retas de mesma origem”6, no qual são abordadas diversas aplicações 
desse conceito. 
Existem diversas referências aos estudos realizados pela civilização grega sobre as 
relações entre os ângulos de uma circunferência e admite-se que a utilização de frações 
sexagesimais adveio da influência do conhecimento babilônico sobre esse assunto. 
Nesse contexto e frente à necessidade de determinar uma definição para ângulo, aqui 
será tomado o conceito determinado por Barbosa (2002), como construído a seguir. 
 
2.1. DEFINIÇÃO 
Ângulo é a figura formada por duas semi-retas com a mesma origem. As semi-retas 
são chamadas de lados do ângulo e a origem comum de vértice do ângulo. 
 
 
 
 
 
Se as duas semi-retas que determinam um ângulo estão na mesma reta, o ângulo é 
denominado ângulo raso e se as semi-retas forem coincidentes, tem-se o ângulo nulo. 
Como notação para um ângulo de vértice A, é costume utilizar BÂC, CÂB ou, 
simplesmente, Â (se não houver possibilidade de confusão), ou, também, utilizar letras gregas 
minúsculas, como designado na figura abaixo. 
 
 
 
 
3
 Disponível em http://www.pucrs.br/famat/helena/pages/angulos.pdf, consultado em julho/2007. 
4
 Professor da Universidade Federal do Estado do Paraná. 
5
 Professora da Faculdade de Matemática da PUCRS. 
6
 Disponível em http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2001/gq/gqtxt3.htm, consultado em julho/2007. 
Figura 2.1 
Figura 2.2 
http://www.pucrs.br/famat/helena/pages/angulos.pdf
http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2001/gq/gqtxt3.htm
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 22 
 
2.2. MEDIDA DE ÂNGULO 
Para realizar a medição de ângulos, é necessário enunciar três postulados que 
possibilitarão determinar essas quantias. Observe que a unidade de medida de ângulos é 
dada em graus, minutos e segundos, sempre em frações sexagesimais. Quando o ângulo é 
associado a arcos, é costume designar as medidas em função de  , com a unidade em 
radianos. 
 
(IX) Postulado da medida de ângulo 
 
A todo ângulo corresponde uma medida não-negativa. A medida de um ângulo 
é zero se e somente se o ângulo é nulo. 
 
(X) Postulado da correspondência entre ângulos e os reais entre zero e 180 
 
Existe uma correspondência biunívoca entre as semi-retas de mesma origem 
e o conjunto dos números reais entre zero e 180, de modo que a diferença 
entre esses números reais dá a medida do ângulo formado pelas semi-retas 
correspondentes. 
 
Neste caso, escreve-se: AÔB = |a – b|, sendo a coordenada de A e b coordenada de B. 
 
Exemplo 2.1. Considerando os ângulos determinados na figura 20, qual é a medida do 
ângulo AÔB? 
 
 
 
 
 
 
Solução: SOA tem coordenada 30 e SOB tem coordenada 120, logo, a medida do 
ângulo AÔB determinado na figura 29 será |120 – 30| = 90. Dessa forma, a medida do ângulo 
AÔB é de 90º. 
 
(XI) Postulado da ordenação de ângulos 
 
Dadas as semi-retas de mesma origem SOA, SOB e SOC, se o segmento AB 
interceptar a semi-reta SOC, então AÔB = AÔC + CÔB. 
Figura 2.3 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 23 
 
A figura 30 ilustra o Postulado XI. 
 
 
 
 
 
Estas últimas construções permitem precisar as definições de suplemento de um 
ângulo e de ângulo reto. 
 
2.3 ELEMENTOS 
Bissetriz de um ângulo. Dados o ângulo AÔB, a semi-reta SOC tal que AÔC = CÔB é 
chamada bissetriz do ângulo AÔB. 
 
Suplemento de um ângulo. Dado o ângulo AÔB, o ângulo adjacente BÔC tal que A e 
C estão na mesma reta é denominado suplemento de AÔB. 
 
 
 
 
 
Neste caso, os ângulos AÔB e BÔC são chamados de suplementares e a soma de 
suas medidas é igual a 180º. 
 
Ângulo agudo. Um ângulo é chamado agudo se sua medida é menor que 90º. 
 
Ângulo obtuso. Um ângulo é chamado obtuso se sua medida é maior que 90º. 
 
Ângulo reto. Se a medida do ângulo AÔB é 90º, este ângulo é chamado ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
Ângulos complementares. Dois ângulos são chamados de complementares se a 
soma de suas medidas for igual a 90º. 
Figura 2.4 
Figura 2.5 
Figura 2.6 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 24 
 
Exemplo 2.2.A bissetriz de um ângulo existe e é única. 
Solução: Existência. Dado o ângulo AÔB e sendo a e b as coordenadas de A e B, 
respectivamente, basta tomar c = (a+b)/2 e C como o ponto correspondente a essa 
coordenada. Então, 
 
 
 
Logo AÔC = CÔB e a semi-reta SOC é bissetriz do ângulo AÔB, de acordo com a 
definição dada acima. 
Unicidade. Se existiroutra semi-reta SOD também bissetriz de AÔB, então, pela 
definição de bissetriz, AÔD = DÔB, ou seja, |a – d| = |d – b|. Assim: 
a – d = +(d – b), que determina que d = (a + b)/2, que determina que D = C. 
ou 
a – d = -(d - b), que determina a = b, isto é, neste caso as semi-retas SOA e SOB devem 
coincidir. 
 
Exemplo 2.3. O suplemento de um ângulo reto também é um ângulo reto. 
Solução: Se AÔB é o ângulo reto dado e BÔC o seu suplemento, então, AÔB + BÔC = 
180, logo BÔC = 90º 
 
Exemplo 2.4. Se um dos quatro ângulos determinados por duas retas concorrentes é 
reto, então os outros ângulos também são retos. 
Solução: Se O é o ponto de interseção das duas retas e forem marcados os pontos A, 
B, C e D em cada uma das semi-retas assim determinadas, supõe-se que AÔB seja reto. 
Então, seu suplemento também é reto. Por outro lado, CÔD é suplemento de BÔC, portanto, 
também é reto. Do mesmo modo, verifica-se que DÔA também é reto. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.5. Qual é o suplemento de um ângulo que, somado ao triplo de seu 
complemento dá 120º? 
Solução. Sendo x a medida do ângulo procurado, basta construir a equação: 
x + 3(90-x)= 120. 
Figura 2.7 
22
ba
CÔB
22
ba
-aAÔC
ba
be
ba 







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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 25 
Assim, -2x + 270 = 120  2x = 150  x = 75 e seu suplemento é 105º. 
Logo, o suplemento procurado é 105º. 
 
Exemplo 2.6. A razão entre dois ângulos suplementares é de . . Qual é o menor ângulo? 
Solução. Sendo x a medida do ângulo procurado, basta construir a equação: 
 
 
 
Assim, 7x = 2(180-x)  7x = 360 – 2x  9x = 360  x = 40. 
Logo, o menor ângulo é 40º e seu suplemento é 140º. 
Um resultado importante é enunciado a seguir e pode ser obtido a partir das 
construções anteriores, mas não será apresentada sua demonstração. 
 
Ângulos adjacentes. Dois ângulos são chamados adjacentes se sua interseção é um 
dos seus lados, denominado lado comum. 
 
 
Na figura ao lado, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes: 
 
 
Ângulos opostos pelo vértice. Dos quatro ângulos determinados por duas retas 
concorrentes em um ponto O, os que não são adjacentes são denominados ângulos são 
opostos pelo vértice. 
 
 
 
Os ângulos AÔD e BÔC são opostos pelo vértice. Do 
mesmo modo, os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo 
vértice. 
 
Ângulos congruentes. Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. 
 
 
 
Os ângulos AÔB e CÔD são congruentes. 
 
 
Figura 2.8 
Figura 2.9 
Figura 2.10 
7
2
180

 x
x
7
2
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 26 
 
2.3. Teorema. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
Dem. Tomando x, y e z como, respectivamente, as medidas dos ângulos AÔD, BÔC e 
CÔD, obtém-se o sistema: 
 
x + y = 180º 
y + z = 180º 
 
No qual x = y e, portanto, AÔD = BÔC. 
Logo, os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
Adição de dois ângulos. Dados os ângulos AÔC e AÔB, se a semi-reta SOB é interna 
ao ângulo AÔC, então AÔC = AÔB + BÔC. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.7. Quais são os dois ângulos cuja soma é 130º e possuem a relação 4/9? 
Solução: Se os dois ângulos são  e  , o enunciado permite escrever: 
 
 
 
Assim º90º130   º40 . Portanto os dois ângulos são 40º e 90º. 
 
Figura 2.11 
Figura 2.12 
º90º130
9
13
º130
9
4
9
4
º130
9
4
º130  


 ee
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 27 
 
 
 VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM 2 
 
2.1. Julgue as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta: 
 
I. O suplemento de um ângulo agudo é obtuso. 
II. Se a medida de um ângulo é 30º, então seu complementar é obtuso. 
III. Se a medida de um ângulo é 120º, então seu suplemento é agudo. 
 
a) Somente as afirmações I e II são verdadeiras. 
b) Somente as afirmações I e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmações II e III são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
e) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
 
2.2. Em um relógio de ponteiros, quantos graus percorre o ponteiro dos minutos enquanto o 
ponteiro das horas percorre um ângulo reto? 
 
a) 90º. 
b) 180º. 
c) 360º. 
d) 1080º. 
e) 2160º. 
 
2.3. Dados os ângulos suplementares AÔB e BÔC, se a medida de BÔC é o dobro da medida 
de AÔB mais 30º, qual a medida de AÔB? 
 
a) 30º. 
b) 40º. 
c) 50º. 
d) 60º. 
e) 130º. 
 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 28 
 
2.4. Na figura abaixo, se SOP é a bissetriz do ângulo AÔB, qual é o valor de x? 
 
a) 5º. 
b) 10º. 
c) 15º. 
d) 20º. 
e) 25º. 
 
2.5. Um ângulo excede seu complemento em 52º. Qual é a medida de seu suplemento? 
 
a) 19º. 
b) 52º. 
c) 71º. 
d) 90º. 
e) 109º. 
 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 29 
 
SEÇAO 3 
POLÍGONOS 
 
Tanto a indústria quanto a maioria das expressões e construções humanas utilizam-se 
de polígonos para determinar configurações importantes. Portanto, o estudo dessas figuras 
geométricas possibilita uma análise adequada de muitas das estruturas contemporâneas. 
 
3.1. DEFINIÇÕES. 
Poligonal. Poligonal. Dado um conjunto finito de pontos, A1, A2, ..., An, com 3n , 
considere-se os segmentos 21 AA , 32 AA , ...., nn AA 1 . Se nenhum destes segmentos está 
contido no outro e cada ponto Ai pertence, no máximo, a dois segmentos, então, o conjunto 
ordenado desses segmentos é chamado poligonal, anotada por A1A2...An. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
- Os pontos A1, A2, ..., An que determinam uma poligonal são chamados vértices da poligonal 
e os segmentos 21 AA , 32 AA , ...., nn AA 1 são os lados da poligonal. 
- Uma poligonal determinada pelos vértices A1, A2, ..., An é chamada fechada se A1 = An, 
como mostram os desenhos construídos na figura 36. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono. A poligonal de vértices A1A2...An determina um polígono se as seguintes três 
condições estiverem satisfeitas: 
- a poligonal é fechada; 
Figura 3.1 
Figura 3.2 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 30 
- os lados da poligonal interceptam-se somente em A1 e An; 
- três vértices consecutivos não são colineares. 
 
Observação: Os dois desenhos construídos na Figura 36 exemplificam a construção de 
polígonos de 8 lados. 
 
Perímetro de um polígono. A soma dos lados de um polígono é denominada 
perímetro do polígono e é anotado por 2p. 
 
Diagonal do polígono. O segmento determinado por dois vértices não consecutivos 
de um polígono é chamado diagonal do polígono. 
 
No polígono A1A2A3A4A5 foram determinadas as diagonais A1A3, A1A4, A2A4, A2A5 e 
A3A5, como mostra o desenho abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: para um polígono de n lados, o número de diagonais desse polígono 
pode ser calculado por: 
2
)3( 

nn
d 
 
Esse resultado pode ser obtido de um modo bastante simples. Basta verificar que, se 
A1A2A3A4...An-1An é um polígono de n lados, então, cada um de seus vértices determina (n-3) 
diagonais desse polígono. Portanto, para os n vértices resultarão 
n(n-3) 
diagonais. Este último resultado foi obtido como o dobro do número real de vértices, pois, por 
ter extremidades em dois vértices, cada diagonal foi contada duas vezes. Logo: 
. 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 
Figura 3.4 2
)3( 

nn
d
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 31 
 
Para um polígono de cinco lados, como exemplificado na Figura 38, obtém-se 5 
diagonais, pois: 
 
 
 
Polígono convexo. Um polígono é chamado de convexo se estiver contido em cada 
um dos semiplanos determinados pelas retas que contêm seus lados. 
 
 
 
 
 
 
 
Como exemplo de um polígono não convexo, é possível analisar a figuraabaixo em 
que nenhum dos semiplanos determinados pela reta que contém o lado A3A4 (bem como a 
que contém o lado A2A3) contém o polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo externo de um polígono convexo - O ângulo suplementar adjacente a um 
ângulo interno  de um polígono é denominado ângulo externo do polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
Designações dos principais polígonos convexos 
O número de lados e de ângulos dá a classificação dos polígonos, mas observe que, 
na tabela abaixo (Figura 41), somente o de quatro lados toma o nome relativo a esse número: 
quadrilátero. 
Figura 3.5 
Figura 3.6 
Figura 3.7 
5
2
2.5
2
)35(5


d
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 32 
 
 
 
POLÍGONO 
 
QUANTO 
AO Nº DE 
ÂNGULOS 
TRIÂNGULO QUADRÂNGULO PENTÁGONO HEXÁGONO 
QUANTO 
AO Nº DE 
LADOS 
Trilátero 
3 lados 
Quadrilátero 
4 lados 
Pentalátero 
5 lados 
Hexalátero 
6 lados 
 
POLÍGONO 
 
QUANTO 
AO Nº DE 
ÂNGULOS 
HEPTÁGONO OCTÓGONO ENEÁGONO DECÁGONO 
QUANTO 
AO Nº DE 
LADOS 
Heptalátero 
7 lados 
Octalátero 
8 lados 
Enealátero 
9 lados 
Decalátero 
10 lados 
 
POLÍGONO 
 
QUANTO 
AO Nº DE 
ÂNGULOS 
UNDECÁGONO DODECÁGONO PENTADECÁGONO ICOSÁGONO 
QUANTO 
AO Nº DE 
LADOS 
Undelátero 
11 lados 
Dodelátero 
12 lados 
Pentalátero 
15 lados 
Icosátero 
20 lados 
 
 
 
Nomeando outros polígonos 
Segundo a Wikipédia (2007), o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos 
de 100 lados pode ser estabelecido pela combinação dos seguintes prefixos e sufixos 
combinados com o número de ângulos do polígono, conforme estabelecido pelas 
combinações seguintes: 
Figura 3.8 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 33 
 
Dezenas 
e Unidades sufixo 
-kai- 
1 hena- 
-gono 
20 icosi- 2 -di- 
30 triaconta- 3 -tri- 
40 tetraconta- 4 -tetra- 
50 pentaconta- 5 -penta- 
60 hexaconta- 6 -hexa- 
70 heptaconta- 7 -hepta- 
80 octaconta- 8 -octa- 
90 enneaconta- 9 -ennea- 
 
Assim, um polígono de 46 lados deve ser nomeado da seguinte maneira: 
 
Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono 
tetraconta- -kai- -hexai- -gono tetracontakaihexagono 
 
e um polígono de 50 lados da seguinte forma: 
 
Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono 
pentaconta- -gono pentacontagono 
 
Ponto interior e ponto exterior de um polígono. Dados um polígono e um ponto P 
pertencentes a um plano  , P é chamado ponto interior ao polígono se, no plano  , existe 
uma semi-reta com origem em P cuja interseção com o polígono é vazia. Caso contrário, P é 
dito um ponto exterior ao polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região interior e região exterior de um polígono. O conjunto formado por todos os 
pontos interiores a um polígono é chamado região interior do polígono (ou simplesmente 
interior do polígono) e o conjunto formado por todos os pontos exteriores a um polígono é 
chamado região exterior ao polígono (ou simplesmente exterior do polígono). 
Figura 3.9 – Ponto interior do polígono Figura 3.10 – Ponto exterior ao polígono 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 34 
 
Superfície poligonal. A união de um polígono com seu interior é denominada 
superfície poligonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: As definições, aqui adotadas, de poligonal e de polígono diferem de 
outras elaborações, mas, na prática, qualquer uma das possíveis construções conduz a 
resultados similares. 
Polígonos congruentes. Se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca 
entre os vértices de dois polígonos, de modo que lados e ângulos correspondentes sejam 
congruentes, os polígonos são chamados congruentes. 
 
Polígono regular. Um polígono convexo é denominado polígono regular se e somente 
se tem lados congruentes e ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. EXEMPLOS 
3.2.1. A partir de um vértice de um icoságono, quantas diagonais podem ser traçadas? 
Solução: Um icoságono é um polígono regular de 20 lados, logo, para obter o número 
solicitado, basta calcular d1= n-3 = 20 - 3 = 17. Assim, a partir de um vértice de um icoságono 
é possível traçar 17 diagonais. 
 
3.2.2. Quantos lados tem um polígono convexo que possua 104 diagonais? 
Solução: Sabe-se que, para um polígono convexo, 
 
. 
Figura 3.11 
Figura 3.12 
2
)3( 

nn
d
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 35 
Assim, neste caso, tem-se: 
 
  n(n-3) = 208  n2 – 3n – 208 = 0 n = 16, pois a raiz negativa dessa 
equação deve ser descartada. Logo, o polígono convexo tem 16 lados. 
 
3.3. TEOREMA. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 
igual a Sn = (n-2)180º. 
 
 
 
 
Dem. A demonstração será dividida em 2 partes: em primeiro lugar, demonstra-se a 
afirmação para n = 3 (ou seja, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º). 
Para tanto, basta prolongar o segmento de reta AB (Figura 52) e considerar o ângulo 
suplementar  de  . Assim  +  = 180º. 
Pelo Teorema 2.3, sabe-se que: 
  . 
Assim , a resolução do sistema 
 
 + = 180º 
 
  
 
determina º180  . 
 
 
Portanto, a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º que é igual a (3-
2)180º. 
 
Para obter a segunda parte da demonstração, toma-se um polígono qualquer de n 
lados. Sabendo-se que, de um vértice, é possível traçar n-3 diagonais que determinam, então, 
n-2 triângulos adjacentes tais que a soma dos ângulos internos do polígono é igual à soma 
dos ângulos internos desses triângulos. Assim: 
 
Sn = n  ...321 
Logo, 
Sn = (n-2)180º. 
Figura 3.13 
Figura 3.14 
2
)3(
104


nn
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 36 
 
3.4. TEOREMA. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é 
igual a 360º. 
Dem. A demonstração será feita por indução, de modo a ser verificado o resultado 
inicialmente para n = 3 e, depois, supondo-o válido para n lados, verificar a validade para n+1 
lados. Assim, para o triângulo (n=3) basta tomar os seus 3 ângulos internos e, 
respectivamente somá-los aos externos para obter: 
 
 
 
 
 
E, somando membro a membro, obtém-se: 
 
º180.3)()( 321321   
 
ou seja, 180º + Se= 540º  Se= 360º. 
 
Logo, a soma dos ângulos externos do polígono de três lados é de 360º. 
Supondo o resultado válido para um polígono de n lados, pode-se afirmar que: 
 








º360
º180.
º180).2(
e
ei
i
S
nSS
nS
 
 
Assim, para um polígono convexo de n+1 lados: 
 
 
 
 
 Substituindo a primeira equação na segunda, se obtém: 
(n-1).180º + Se = (n+1)180º  Se = 360º. 
3.5. EXEMPLOS 
3.5.1. Determinar o valor de x em cada um dos seguintes polígonos convexos: 
 
 
 
 
 
º180
º180
º180
33
22
11






Figura 3.16 
Figura 3.15 





º180).1(
º180).1(º180).21(
nSS
ennS
ei
i
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 37 
 
Solução 
a) A soma dos ângulos internos é dada por: 
x + 135º +x + 135º + x + 30º = 3.180º. 
Ou seja: 3x + 300º = 540º  3x = 240  x = 80º. 
Logo, o ângulo solicitado mede 80º. 
b) A soma dos ângulos internos deste polígono é dada por: 
90º + [180-(x -80º)] + 140º + x +[180 – 0,5x] + x = 4.180º. 
Ou seja: 0,5x + 670º = 720º  0,5 x = 50º  x = 100º. 
Logo, o ângulo solicitado mede 100º. 
 
3.5.2. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1620º? 
Solução: Sabendo-se que, para o polígono de n lados procurado, (n-2).180º = 1620º. 
Então n – 2 = 9 e n = 11. Assim, o polígono procurado tem 11 lados. 
 
3.5.3. Determinar o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao 
número de diagonais multiplicado por 180º. 
Solução: Sabendo-se que o número de diagonaisde um polígono convexo é dado por: 
 
 
Subentende-se que o enunciado do problema determina que: 
 
 
Ou seja: 2(n-2) = n(n-3)  2n – 4 = n2 – 3n  n2 – 5n + 4 = 0, cujas soluções são: 
n = 4 ou n = 1, 
sendo que esta última não é plausível. Logo, o polígono procurado é um quadrilátero. 
 3.5.4. Qual o número de lados de um polígono regular cuja razão entre o ângulo interno 
e o externo é 4? 
 Solução. Para determinar uma relação para a razão dada, basta lembrar que, para um 
polígono regular n, a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos são dadas, 
respectivamente, por: 
º360.º180).2(.  ii nenn  
 Assim, 
 
 
 
Logo, o polígono procurado é um decágono regular. 
2
)3( 

nn
d
º180.
2
)3(
º180).2(


nn
n
n
n
n
i
i
º360
º180).2( 



2
2

n
i
i


4
2
2

n
   1082  nn
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 38 
 
 
 VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM 3 
 
 
3.1. Dentre as figuras apresentadas abaixo, quais são polígonos? 
 
 
 
 
 
 
a) (1) e (2). 
b) (1) e (3). 
c) (2) e (4). 
d) (3) e (4). 
e) (1) e (5). 
 
3.2. Qual dos seguintes desenhos corresponde ao polígono de 4 lados A1A2A3A4, 
considerando que todos os lados têm mesma medida, A1Â2A3 = A1Â4A3 = 120º e A2Â3A4 = 
A2Â1A4 = 60º? 
 
a) (1). 
b) (2). 
c) (3). 
d) (4). 
e) (5). 
 
 
3.3. Determinar o número de lados de um polígono convexo considerando que, de um de 
seus vértices, podem ser traçadas 18 diagonais. 
 
a) 15. 
b) 18. 
c) 21. 
d) 135. 
e) 270. 
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3.4. Qual o número de lados de um polígono regular cujo ângulo interno vale 1,5 vezes o seu 
ângulo externo? 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 8. 
 
3.5. Quantos lados possui o polígono regular com 8 diagonais passando em seu centro? 
(Observar que somente os polígonos regulares com um número par de lados possui 
diagonais passando em seu centro) 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 16. 
 
 
 
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SEÇAO 4 
PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS 
 
4.1. TRIÂNGULOS 
4.1.1. CLASSIFICAÇÃO. Os triângulos são classificados dos seguintes modos: 
 
 
QUANTO AOS LADOS 
EQUILÁTEROS Têm todos os três lados congruentes. 
 
 
 
 
 
ISÓSCELES Têm dois lados congruentes 
 
 
 
 
 
ESCALENOS Dois lados quaisquer não são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUANTO AOS ÂNGULOS 
RETÂNGULOS Têm um ângulo reto. 
 
 
 
 
ACUTÂNGULOS Têm os três ângulos agudos. 
 
 
 
 
OBTUSÂNGULOS Têm um ângulo obtuso. 
 
 
 
 
 
 
4.1.2 POSTULADOS E RESULTADOS. 
4.1.2.1. (XII) Postulado do primeiro caso de congruência de triângulos. 
Dois triângulos ABC e EFG são congruentes se d(A,B)=d(E,F), d(A,C)=d(E,G) e Â=Ê. (Caso 
LAL). 
 
Figura 4.1 
Figura 4.2 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 41 
Observação: O primeiro caso de congruência de triângulos determina a verificação de 
apenas três condições, em vez das seis exigências da congruência de polígonos como 
construído nas definições 3.1. 
 
4.1.2.2. Exemplos 
4.1.2.2.1. Pelo Postulado XII, não é possível afirmar que os dois triângulos mostrados 
na Figura 4.3 são congruentes, embora tenham os ângulos  iguais e os lados AB e BC 
iguais. Para aplicar o postulado, é necessário verificar a ordem: lado, ângulo, lado. 
No entanto, se for considerada a situação da Figura 4.4, é possível afirmar, pelo caso 
de congruência LAL, que os dois triângulos são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2.2.2. (O triângulo isósceles). Se um triângulo tem dois lados congruentes, então 
os ângulos opostos a esses lados são congruentes. 
Solução. Para verificar a afirmativa, basta comparar o triângulo isósceles ABC com ele 
mesmo. Por hipótese, AC = BC, BC = AC e o ângulo Ĉ é igual ao ângulo Ĉ . Logo, pelo 
Postulado XII, está definida a congruência LAL e o ângulo  é igual ao ângulo B̂ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2.3. Teorema ( 2º caso de congruência de triângulos). Dois triângulos ACB e 
EGF são congruentes se d(A,B)=d(E,F), Â=Ê e Ĉ=Ĝ . (Caso ALA). 
 Dem. Em Barbosa (2002) encontra-se a seguinte demonstração para este teorema: 
considere o triângulo ABD e o compare com o triângulo EFG. Como AD = EG, AB = EF e  = 
Ê, conclui-se, pelo Postulado XII, que ABD = EFG. Como conseqüência, tem-se que o ângulo 
DBA ˆ é igual ao ângulo F̂ . Mas, por hipótese, o ângulo F̂ é igual ao ângulo CBA ˆ . Logo, os 
ângulos DBA ˆ e CBA ˆ são iguais. Conseqüentemente, as semi-retas SBD e SBC coincidem. 
Dessa forma o ponto D coincide com o ponto C e, portanto, coincidem os triângulos ABC e 
ABD. Logo, ABC = EFG. 
 
Figura 4.3 
Figura 4.4 
Figura 4.5 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2.4. Teorema (3º caso de congruência de triângulos) 
Dois triângulos ACB e EGF são congruentes se d(A,B)=d(E,F), d((B,C)=d(F,G) e 
d(A,C)=d(E,G). (Caso LLL). 
Dem. Barbosa (2002) demonstra este teorema comparando o reflexo do primeiro 
triângulo, relativo à reta que passa por A e B, com o segundo e depois consigo mesmo, do 
seguinte modo: dados os triângulos ABC e EFG tais que d(A,B)=d(E,F), d((B,C)=d(F,G) e 
d(A,C)=d(E,G), basta tomar o semiplano determinado pela reta AB que não contenha o ponto 
C e nele construir o triângulo ADB, com as seguintes características: 
 
- o ângulo BÂD é igual ao ângulo Ê; 
- o lado AD tem mesmo comprimento que o lado EG; 
- o segmento DB completa a construção do novo triângulo. 
 
 1ª etapa. 
 Utilizando o caso LAL, concluímos que os triângulos ABD e EFG são congruentes, 
pois, pela hipótese, d(A,B)=d(E,F) e pelo processo de construção do triângulo ADB, tanto 
d(A,D)=d(E,G) como DÂB = Ê. 
 
 2ª etapa. 
 Novamente será utilizado o caso LAL para obter a congruência entre os triângulos ABD 
e ABC. Para tanto, será necessário traçar o segmento CD. Assim: 
 
AD = EG = AC e DB = FG = BC  
os triângulos ADC e BDC são isósceles  
os ângulos ADC e ACD são iguais, bem como os ângulos ADB e ACB. 
Logo, Pelo Postulado XII, ABD = EFG. E, assim, ABC = EFG. 
 
Figura 4.6 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2.5. Exemplos 
4.1.2.5.1.Dados os pontos ABC, O o ponto médio do segmento AB e o ângulo CÔA 
reto, então d(C,A) = d(C,B). 
Solução. Para verificar que d(C,A) = d(C,B), basta verificar que os lados OC de cada 
um deles é o mesmo e, sendo O o ponto médio do segmento AB, d(A,O) = d(B,O). Como o 
ângulo CÔA é reto, seu suplementar CÔB também é reto. Portanto está determinado o caso 
LAL de congruência dos triângulos AOC e BOC, determinando que d (C,A) = d(C,B). 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2.5.2. O triângulo ABC dado ao lado foi construído de modo que os ângulos  e 
são iguais. Mostrar que ABC é isósceles. 
Solução. Sendo  e , respectivamente os ângulos suplementares a  e , que, 
por hipótese, são iguais, então   . Portanto, comparando o triângulo ABC com ele mesmo, 
e sendo o lado AB comum, conclui-se, pelo caso de congruência ALA, que o lado CB é 
congruente a CA e, logo, o triângulo ABC é isósceles. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 
Figura 4.8 
Figura 4.9 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 44 
 
4.1.2.6. Definições. 
Mediana. Dado o triângulo ABC, a mediana do triângulo relativamente ao lado BC é o 
segmento AD de forma que D é o ponto médio de BC. 
Altura. Dado o triângulo ABC, a altura do triângulo relativamente ao lado BC é o 
segmento AD de forma que AD é perpendicular a BC. 
Observação. A bissetriz de um ângulo já foi definida em 2.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos triângulos ABC dados acima, no primeiro casoAD é a mediana relativa ao lado BC, 
no segundo caso, AD é a altura relativa ao lado BC e, no terceiro caso, AD é bissetriz do 
ângulo Â. 
 
4.1.2.7. Exemplo. A bissetriz do ângulo  do triângulo isósceles ABC dado ao lado é 
perpendicular à base BC e também é mediana. 
Solução: AD é comum aos dois triângulos e, sendo ABC isósceles, d(A,B) = d(A,C). 
Como AD é bissetriz do ângulo Â,   e o caso de congruência dos triângulos BAD e CAD 
é LAL. Neste caso deve-se ter d(B,D) = d(D,C) e AD é a mediana relativa ao lado BC. Para 
verificar que AD também é a altura relativa ao lado BC, basta observar que pela congruência 
dos triângulos BAD e CAD,   e, como o ângulo BDC é raso, º90  . Logo, AD é 
perpendicular à base BC. 
 
 
 
 
 
 
4.1.3. TEOREMA. Se as retas paralelas a, b e c interceptam a reta m nos pontos A,B e 
C e a reta n nos pontos A’, B’ e C’, como mostra a Figura 4.12., e se o ponto B está entre A e 
C, então o ponto B’ está entre A’ e C’. Por outro lado, se d(A,B) = d(B,C) então d(A’,B’) = 
d(B’,C’). 
Dem. Tomando-se a figura ao lado, se o ponto B está entre A e C, então A e C 
pertencem a semiplanos distintos relativamente à reta b. Por outro lado, como a e b são retas 
paralelas, A e A’ pertencem a um mesmo semiplano relativamente à reta b, pois estão na reta 
a. Analogamente, C e C’ estão em um mesmo semiplano relativamente à reta b. Portanto, A’ e 
Figura 4.10 
Figura 4.11 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 45 
C’ devem pertencer a semiplanos distintos em relação à reta b, que, assim, deve interceptar o 
segmento A’C’ em um único ponto, que, no caso, deve ser o ponto B’. 
Neste caso B’ deve pertencer ao segmento A’C’ e está entre A’ e C’. 
 
 
 
 
 
 
 
Para demonstrar que se d(A,B) = d(B,C), então d(A’,B’) = d(B’,C’), basta traçar a reta 
auxiliar s paralela a m, que passa por D e E. 
Os ângulos ''ˆ'ˆ' CBEeDBA são opostos pelos vértices, do mesmo modo que os ângulos 
'ˆ''ˆ' CEBeADB são correspondentes por serem determinados por uma transversal cortada 
pelas paralelas a e c. Como o triângulo ABB’ é congruente ao triângulo AB’D, então B’D = AB 
e B’E = BC e AB = BC, determina B’D = B’E. Portanto, A’B’ = B’C’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação. A generalização do Teorema 4.1.3.3 para um conjunto de retas 
coplanares paralelas entre si (feixe de paralelas) tem inúmeras aplicações e recebe a 
denominação de Teorema de Tales. 
 
4.1.3.1 Exemplos 
4.1.3.1.1. Na figura dada abaixo, o segmento MN é paralelo à base AB . Quanto mede 
o lado BC ? 
Solução. Pelo Teorema 4.1.3. sabe-se que 
23
4


x
x
. 
Portanto, 4(x-2) = 3x  4x – 8 = 3x  x = 8 e o lado 
BC mede x +(x-2) = 8 + 6 = 14. 
 
 
 
 
 
Figura 4.14 
Figura 4.13 
Figura 4.12 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 46 
 
4.1.3.1.2. Qual é o valor de x na figura ao lado? 
 Solução. Sabe-se que 
6
4
3,3

x
6x = 3,3.4  6x = 13,2 x=2,2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.4. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
4.1.4.1. Definição. Dois triângulos são semelhantes se existe uma correspondência 
biunívoca entre seus vértices de modo que seus ângulos sejam ordenadamente congruentes e 
os lados correspondentes proporcionais. 
 
 Para os triângulos ABC e FGH semelhantes, com ângulos internos, respectivamente, 
HGFeCBA ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ , e lados a, b, c e f, g,h, é possível escrever que: 
 
h
c
g
b
f
a
e
HC
GB
FA
FGHABC 










ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
 
 
 Neste caso, os lados AB e FG, BC e GH, CA e HF são chamados lados homólogos e a 
razão entre esses lados é dita razão de semelhança dos triângulos. 
 
4.1.4.2. Teorema Fundamental. Dado o triângulo ABC, se uma reta paralela a AB 
intercepta os outros dois lados do triângulo, então ela o divide na mesma razão. 
Dem. Na realidade é necessário demonstrar que os triângulos ABC e DEC são semelhantes e, 
para tanto, devem ter ângulos congruentes e lados homólogos proporcionais. 
 Para mostrar que os ângulos são congruentes, basta verificar que: 
 
CCeBEADABDE ˆˆˆˆ,ˆˆ//  . 
 
 Para mostrar que os lados são proporcionais, pelo Teorema de Tales , verifica-se que: 
 
CB
CE
CA
CD
 . 
 
Figura 4.16 
Figura 4.15 
Figura 4.18 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A reta traçada por E e paralela a AC determina o ponto J em AB . Com isso é possível 
traçar o segmento DJ , que determina a congruência dos triângulos ADJ e DEJ, pelo caso 
ALA, pois o lado DJ é comum e os ângulos ,ˆˆ EJDeJDA bem como os ângulos ,ˆˆ EDJeDJA 
são congruentes. 
 Assim, os lados AJ e DE são congruentes e, como pelo Teorema de Tales, 
CB
CE
AB
AJ
 , 
obtém-se 
CB
CE
AB
DE
 . 
Logo, 
AB
DE
CB
CE
CA
CD
 
 
o que determina a semelhança dos dois triângulos. 
 
 
4.1.4.3. Teorema: casos de semelhança de triângulos 
1º caso. Os triângulos ABC e FGH são semelhantes se: 
EG
AC
EF
AB
eEA  ˆˆ . 
 
 
 
 
2º caso. Os triângulos ABC e FGH são semelhantes se: 
 FBeEA ˆˆˆˆ  . 
 
 
 
 
3º caso. Os triângulos ABC e FGH são semelhantes se: 
GE
CA
FG
BC
EF
AB
 
 
 
 
Figura 4.17 
Figura 4.20 
Figura 4.19 
Figura 4.21 
Figura 4.18 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 48 
 A demonstração destes três resultados não será aqui desenvolvida, mas tem base nos 
casos de congruência de triângulos e no Teorema Fundamental. 
 
4.1.5. EXEMPLOS 
4.1.5.1. Um triângulo tem um lado de 5,4 cm e perímetro (como definido em 3.1) igual a 
12 cm. Qual é o perímetro de um triângulo semelhante com lado homólogo ao lado dado igual 
a 18 cm? 
Solução: Sabe-se, pelo 3º caso de semelhança de triângulos, que o coeficiente de 
proporcionalidade entre os dois triângulos é dado pela divisão entre a medida dos dois lados 
homólogos, isto é: 
3,0
18
4,5
k . 
 Assim, o perímetro do segundo triângulo será dado por cmp 40
3,0
12
2  . 
4.1.5.2. Mostre que dois triângulos isósceles que têm os ângulos opostos à base iguais 
são semelhantes. 
Solução: Dados os triângulos ABC e EFG isósceles e tais que GFECBA ˆˆ  , então, a 
aplicação do 2º caso de semelhança de triângulos determina a semelhança dos dois 
triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.5.3. Exemplo. O triângulo retângulo ABC é semelhante aos triângulos ADC e DBC 
obtidos, a partir de ABC, ao separá-lo por meio da altura BD, como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: Os lados CD dos triângulos ADC e DBC são paralelos, o que determina a 
congruência dos ângulos 
 
 
 
Figura 4.22 
Figura 4.23 






AdeoscomplementcomoDCAB
BdeoscomplementcomoBCDA
ˆ,ˆˆ
ˆ,ˆˆ
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 49 
 Assim, pelo 2º caso de semelhança de triângulos, são semelhantes os triângulos ABC, 
ADC e DBC. 
 
 
4.1.6. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS 
 No triângulo retângulo ABC dado abaixo, o lado oposto ao ângulo reto é denominado 
hipotenusa, os outros dois lados são chamados catetos e os segmentos DBeAD são 
denominados projeções dos catetos sobre a hipotenusa, com as seguintes caracterizações, 
nos quais um segmento é tomado como sua medida: 
 
.
,
,
,
,
,
hipotenusaàrelativaalturahCD
hipotenusaasobreacatetodoprojeçãonDC
hipotenusaasobrebcatetodoprojeçãomAD
catetoaCB
catetobCA
hipotenusacAB






 
 
 As congruências determinadas no Exemplo 4.1.5.3 determinam as seguintes relações: 













)3(
)2(
)1(
2
ambh
m
b
h
a
cmb
m
b
b
c
chab
h
a
b
c
ADCABC 













)5(
)1(
)4(2
bnah
h
b
n
a
chab
h
b
a
c
cna
n
a
a
c
DBCABC 













)6(
)3(
)5(
2 mnh
h
m
n
h
ambh
h
m
a
b
bnah
n
h
a
b
DBCADCPortanto, as relações encontradas são: 
 
(1) ab = ch (3) bh = am (5) ah = bn 
(2) b2 = cm (4) a2 = cn (6) h2 = mn 
Figura 4.24 
Figura 4.25 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 50 
 
 Estas relações permitem a demonstração do muito utilizado Teorema de Pitágoras. 
 
4.1.6.1. Teorema de Pitágoras. Dado um triângulo retângulo, a soma dos quadrados 
dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 
 
Dem. Das relações métricas (2) e (4), acima obtidas, 
decorre que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, a soma dos quadrados dos catetos do triângulo retângulo é igual ao quadrado da 
hipotenusa. 
 
 Exemplos 
4.1.6.1.1. Se, para o triângulo ABC, o quadrado de um lado é igual à soma dos 
quadrados dos outros dois lados, então, o triângulo é retângulo. 
 
Solução: Este resultado constitui a recíproca do Teorema de Pitágoras. Para 
demonstrá-lo, basta tomar o triângulo retângulo EFG cujos catetos EGeEF congruentes a 
CBeCA , respectivamente. 
 
Assim, como o triângulo EFG é retângulo em E, tem-se que e2 = f2 + g2. 
Como g = b e f = a, então e2 = a2 + b2. 
Logo, e2 = c2, ou seja, e = c. 
 
Pelo caso de congruência de triângulos LLL, EFGABC  . Sendo EFG retângulo, o 
ABC também é retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.,
)(
222
2222
2
2
nmapoiscba
mncbacmcnba
cmb
cna








Figura 4.26 
Figura 4.27 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 51 
4.1.6.1.2. Determinar x na figura dada abaixo: 
 
 
Solução. Considerando os dois triângulos retângulos da 
figura, é possível determinar, pelo Teorema de Pitágoras, 
que a medida do segmento comum, c, aos dois é igual a 
10, pois c2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100. 
 
 
 Assim, também pela utilização do Teorema de Pitágoras, x2 = 122 – 102 = 144 – 100 = 
44 e: 
 
 
4.2. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
 São chamados quadriláteros notáveis os seguintes quadriláteros: 
 
4.2.1. PARALELOGRAMOS são os quadriláteros planos convexos com a propriedade 
de ter os lados opostos paralelos. 
 
FIGURA 
 
NOME PARALELOGRAMO RETÂNGULO QUADRADO LOSANGO 
PROPRIE-
DADES 
Os ângulos não 
são retos. 
Os ângulos são 
retos 
Os ângulos são 
retos e os lados 
são congruentes. 
Os quatro 
lados são 
congruentes. 
 
4.2.2. TRAPÉZIOS, que são os quadriláteros planos convexos com a propriedade de 
ter dois lados paralelos, denominados bases do trapézio. 
FIGURA 
 
NOME ISÓSCELES RETÂNGULO ESCALENO ESCALENO 
PROPRIE-
DADES 
Os lados que 
não são bases 
são 
congruentes. 
Tem dois ângulos 
retos 
Os lados que não 
são bases não 
são congruentes. 
Os lados que 
não são bases 
não são 
congruentes. 
 
 
Figura 4.28 
Figura 4.29 
Figura 4.30 
11244  xx
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 52 
 O Teorema 3.3. determina que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual 
a 360º. 
 
4.2.3. PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS 
4.2.3.1. Em qualquer paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes. 
 Dem. Se ABCD é um paralelogramo então: 
 
CA
CBCDAB
BABCAD ˆˆ
º180ˆˆ//
º180ˆˆ//







 e 
 
DB
DACDAB
BABCAD
ˆˆ
º180ˆˆ//
º180ˆˆ//







 
 
 
4.2.3.2. Qualquer quadrilátero convexo que tenha lados opostos congruentes é um 
paralelogramo. 
Dem. Se ABCD é quadrilátero convexo, então: 
  DBeCA ˆˆˆˆ DCBA ˆˆˆˆ  
e, como ABCD é um quadrilátero, pode-se afirmar que: 
º360ˆˆˆˆ  DCBA . 
Logo, 
º180ˆˆˆˆ  DCBA   CDABeBCAD //// ABCD é paralelogramo. 
 
4.2.3.3. Qualquer quadrilátero convexo que tenha dois lados paralelos e congruentes é 
um paralelogramo. 
Dem. Se ABCD é quadrilátero convexo, então: 
CA ˆ//ˆ ACDCAB ˆˆ  . 
 Por outro lado, 
 comumACcomACDCABeCDAB ,ˆˆ ADBC  no caso LAL de congruência de 
triângulos. 
 Sendo CDAB  e ADBC  , então, por 4.2.3.2. ABCD é um paralelogramo. 
 
4.2.3.4. Em todo retângulo as diagonais são congruentes. 
Dem. Se ABCD é um retângulo, então ABCD é um 
paralelogramo. Assim, ADBC  . Portanto, 









comumAB
AB
ADBC
ˆˆ (caso LAL)  BADABC   BDAC  
Figura 4.31 
Figura 4.32 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 53 
 
4.2.3.5. As diagonais de um losango são perpendiculares. 
Dem. Se ABCD é um losango, então ABCD é um 
paralelogramo. Assim: 







DOBO
COAO
 (por LLL)  CODCOBAODAOB  
Portanto, os ângulos que possuem vértice em O são 
congruentes e suplementares. Logo, BDAC  . 
 
4.2.3.6. O paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares é um losango. 
Dem. Se ABCD é um losango, então  OBDAC  , COAO  , DOBO  . 
Pelo caso de congruência LAL, pode-se afirmar que CODCOBAODAOB  . 
Então, os lados AB, BC, CD e DA são congruentes, o que determina que ABCD é um 
losango. 
 
4.2.3.7. Um quadrado é retângulo e também é um losango. 
Dem. Se ABCD é um quadrado, então DCBA ˆˆˆˆ  , o que determina que o 
quadrado é um retângulo. Por outro lado, sendo ABCD quadrado, também vale que 
DACDBCAB  . Portanto ABCD também é um losango. 
 
4.2.4. PROPRIEDADES DOS TRAPÉZIOS 
4.2.4.1. Trapézio qualquer. Em um trapézio qualquer ABCD, de bases CDeAB , a 
soma dos ângulos formados pelas transversais com as bases paralelas é igual a 180º, isto é: 
º180ˆˆˆˆ  CBDA . 
 
 
 
 
 
 
Dem. Se ABCD é um trapézio, então: 







º180ˆˆ//
º180ˆˆ//
CBltransversaBCeCDAB
DAltransversaADeCDAB
º180ˆˆˆˆ  CBDA . 
 
 
4.2.4.2. Trapézio isósceles. Um triângulo isósceles possui: 
(a) os ângulos das bases congruentes; 
(b) as diagonais congruentes. 
Dem. (a) Tomando os segmentos '' DDeCC , que são perpendiculares às bases, tem-se 
'' DDCC  , por serem transversais às bases paralelas. 
Figura 4.33 
Figura 4.34 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 54 
Neste caso, os triângulos AD’D e BC’C são congruentes por serem retângulos e 
possuírem um cateto e a hipotenusa congruentes. Logo BA ˆˆ  . 
 
 
 
 
 
 
 
Como CeD ˆˆ são suplementares de BeA ˆˆ , respectivamente, então CD ˆˆ  , 
demonstrando, assim, que os ângulos das bases são congruentes dois a dois. 
(b) Para mostrar que as diagonais do triângulo isósceles são congruentes, basta 
observar os triângulos ABD e ABC, em que ,ˆˆ, BABCAD  e a base AB comum 
determinam o caso LAL de congruência de triângulos e, portanto, ABCABD  . Logo, 
BDAC  . 
 
4.2.5. EXEMPLOS 
4.2.5.1. Se o trapézio ABCD é isósceles, determine o ângulo C. 
Solução: Sendo ABCD isósceles, os ângulos A e B são congruentes, logo: 
2x – 15º = x + 25º  x = 40º  º65ˆˆ  BA  º230º130º360ˆˆ DC  º115ˆ C 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.5.2. Se ABCD é um paralelogramo, com AB = 5 cm e sobre ele é construído o 
triângulo ABQ com DP = 3 cm e DQ = DP, qual a medida do perímetro de ABCD? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Sendo DP = DQ = 3 cm, então o triângulo DQP é isósceles e semelhante ao 
triângulo BCP, pois o segmento AQ é paralelo ao segmento BC , e como os ângulos 
BCPeQDP ˆˆ são alternos, deve-se ter que d(B,C) = d(C,P) = 2 cm. Assim o perímetro de 
ABCD é igual a 2p = 2.5+2.2 = 14 cm. 
Figura 4.35 Figura 4.36 
Figura 4.37 
Figura 4.38 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 55 
 
 
 VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM 4 
 
4.1. Se o triângulo ABC tem apenas dois ângulos congruentes, então o triângulo é: 
a) acutângulo e escaleno. 
b) eqüilátero. 
c) escaleno. 
d) isósceles. 
e) obtusângulo e escaleno. 
 
4.2. Num triângulo isósceles ABC, sendo Â Ĉ, a bissetriz relativa ao ângulo  é também: 
a) altura e bissetriz relativas ao lado AC. 
b) altura e mediana relativas ao lado AC. 
c) altura e mediana relativas ao lado BC. 
d) bissetriz e mediana relativas ao lado AB. 
e) bissetriz emediana relativas ao lado AC. 
 
4.3. A bissetriz de um ângulo BÂC pode ser obtida pela utilização de um esquadro de 
carpinteiro. Basta tomar AB = AC e colocar o esquadro de modo que OB = OC. Por que pode-
se concluir que CÂO = BÂO ? 
 
a) Caso LAL. 
b) Caso LLL. 
c) Caso ALA. 
d) Caso AAA. 
e) Caso LLA. 
 
4.4. Um triângulo ABC tem lados medindo 6 cm, 7 cm e 9 cm. Quanto mede o menor lado de 
um triângulo semelhante a ABC cujo perímetro é de 33 cm? 
 
a).4 cm. 
b) 6 cm. 
c) 9 cm. 
d) 22 cm. 
e) 33 cm. 
 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 56 
4.5. Na figura, qual a medida do elemento x? 
 
a) 
12
5
. 
b) 
13
12
. 
c) 
17
12
. 
d) 
25
13
. 
e) 
13
25
 
 
4.6. Dadas as informações, julgue os itens e assinale a alternativa correspondente. 
I – todo retângulo é paralelogramo. 
II – todo losango é paralelogramo. 
III – se dois segmentos de reta interceptam-se nos respectivos pontos médios, então suas 
extremidades são vértices de um paralelogramo. 
 
a) Todas as três afirmativas são verdadeiras. 
b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
 
4.7. Para o paralelogramo ABCD apresentado na figura ao lado, sabe-se que 
º50ˆ2ˆ  xCexA . Qual é a medida do ângulo B̂ ? 
a).30º 
b) 50º. 
c) 80º. 
d) 100º. 
e) 160º 
 
4.8. Julgue os itens e assinale a alternativa correspondente. 
I - as diagonais de um retângulo são bissetrizes de seus ângulos. 
II - as diagonais de um retângulo são perpendiculares. 
III – as diagonais de um losango são perpendiculares. 
 
a) Apenas a afirmação I é verdadeira; 
b) Apenas a afirmação II é verdadeira; 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
d) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras; 
e) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
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Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 57 
 
SEÇAO 5 
CIRCUNFERÊNCIAS, CÍRCULOS, RETAS E POLÍGONOS REGULARES 
 
Remonta à antiguidade o estudo das relações entre circunferências, retas, pontos e 
polígonos. Existem referências aos “problemas de contato” estudados e enunciados pelo 
grego Apolônio (Apollonius de Perga), que viveu entre os anos de 262 e 190 a.C., como um 
dos mais antigos e famosos problemas de construção, que estuda as condições de tangência 
de uma circunferência a três outras figuras geométricas pré-estabelecidas. Por outro lado, a 
tentativa de construir, apenas com régua e compasso, um polígono regular com um número n 
de lados mergulha muitos pesquisadores em busca da solução de problemas ainda em 
aberto. Gauss, por exemplo, na idade de 17 anos “investigou a construtibilidade de p-ágonos 
regulares, sendo p número primo” (COURANT, 2000). Nesse contexto, é importante criar uma 
discussão sobre os principais elementos que suportam essa teoria. 
 
5.1. ELEMENTOS ESPECIAIS EM CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULOS 
Nas definições 1.6.3. foram construídas as noções de circunferência, círculo, raio, 
corda e diâmetro. No entanto, para obter as propriedades que relacionam esses elementos 
entre si e com outros elementos geométricos, é importante dispor, ainda, das definições e dos 
resultados a seguir. 
 
5.1.1. DEFINIÇÕES 
5.1.1.1. Arco de circunferência e semicircunferência. Dados A, B, pontos da 
circunferência de centro O, denomina-se: 
- arco menor AB como o conjunto formado por A, B e todos os pontos que pertencem à 
circunferência e são interiores ao ângulo AÔB. Os pontos A e B são chamados extremidades 
do arco. 
- arco maior AB como o conjunto formado por A, B e todos os pontos que pertencem à 
circunferência e são exteriores ao ângulo AÔB. Os pontos A e B são chamados extremidades 
do arco. 
 
 
 
 
 
 
- se A e B são extremidades de um diâmetro da circunferência, então a semicircunferência AB 
corresponde ao arco que está num mesmo semiplano determinado pela reta que passa por A 
e B. 
Figura 5.1 Figura 5.2 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 58 
- a medida de um arco menor AB é a medida de seu ângulo central e a medida de um arco 
maior é igual a 360º menos a medida do arco menor correspondente. 
 
5.1.1.2. O ângulo inscrito e sua medida. Um ângulo, cujos lados são secantes a uma 
circunferência e cujo vértice é ponto da circunferência, é chamado ângulo inscrito à 
circunferência e sua medida é igual à metade do ângulo central correspondente. 
 
 
 
 
 
 
Na Figura 5.3: 
BVA ˆ é ângulo inscrito; 
AB é o arco correspondente ao ângulo inscrito; 
BOA ˆ é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito. 
Assim, BVA ˆ = 
e, pela relação entre ângulo central e arco, também vale que a medida do ângulo BVA ˆ é igual 
à metade da medida do arco AB. 
 
5.1.1.3. Setor circular, segmento circular e semicírculo. Dados A, B, pontos do 
círculo de centro O, denomina-se: 
 
- setor circular menor AOB como o conjunto formado pelos raios OA, OB e todos os 
pontos do círculo que pertencem ao interior do ângulo AÔB. 
 
- setor circular maior AOB como o conjunto formado pelos raios OA, OB e todos os 
pontos do círculo que pertencem ao exterior do ângulo AÔB. 
 
- segmento circular menor AB é a interseção do círculo com o semiplano determinado 
pela reta que passa por A e B e que não contém o centro O. 
 
- segmento circular maior AB é a interseção do círculo com o semiplano determinado 
pela reta que passa por A e B e que contém o centro O. 
 
- se A e B são extremidades de um diâmetro da circunferência, então o semicírculo 
AB é o conjunto formado pela interseção do círculo com um dos semiplanos de 
origem na reta que passa por A eB. 
Figura 5.3 
2
ˆBOA
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2. EXEMPLOS 
5.2.1. Qual o raio da circunferência dada ao lado, se OA = 5x -2 e AB = x + 7? 
Solução. Como AB =2.OA, então x + 5 = 2(5x – 2)  x + 5 = 10x – 4  9x=9  x = 1 
 r = OA = 3. 
Logo o raio da circunferência é igual a 3. 
 
 
 
 
5.2.2. Na figura, qual o valor de x? 
 
Solução. Sendo o arco AB comum aos dois ângulos inscritos, 
pode-se afirmar que 5x = 45º. Logo, x = 9º. 
 
 
 
 
5.3. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 
5.3.1. DEFINIÇÕES 
5.3.1.1. Reta exterior. Dada a circunferência de centro O e raio r, a reta que não 
intercepte a circunferência é chamada reta exterior à circunferência. (Figura 5.6) 
 
5.3.1.2. Reta secante. Dada a circunferência de centro O e raio r, a reta que intercepte 
a circunferência em dois pontos distintos da mesma é chamada reta secante à circunferência 
ou que a reta e a circunferência são secantes. (Figura 5.7) 
 
Figura 5.4 Figura 5.5 Figura 5.6 
Figura 5.7 
Figura 5.8 
CENED – Centro de Educação Profissional 
Geometria Aplicada no Ensino Fundamental e Médio 60 
5.3.1.3. Reta tangente. Dada a circunferência de centro O e raio r, a reta que intercepte 
a circunferência em um único ponto da mesma é chamada reta tangente à circunferência ou 
que a reta e a circunferência são tangentes. O ponto comum, T, é denominado ponto de 
tangência. (Figura 5.8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.2. PROPRIEDADES DA SECANTE E DA TANGENTE 
5.3.2.1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O e raio r, não passa no 
ponto O e intercepta a circunferência nos pontos distintos A e B, indica que o segmento AB 
tem ponto médio M, então a reta que passa por O e M é perpendicular à secante s. 
Dem. Para demonstrar a perpendicularidade, basta verificar que os triângulos OMA e OMB 
são congruentes pelo caso LLL e que, portanto, ABOM  . 
 
 
 
 
 
5.3.2.2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O e raio r, não passa no 
ponto O e intercepta a circunferência nos pontos distintos A e B, então a reta