Atividade Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Álgebra Linear – 13/06/2020 
 
Questão 1/10 - Álgebra Linear 
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para 
falsa: 
 
I.( )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes. 
 
II.( )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. 
 
III. ( ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3. 
 
Agora, marque a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 
A V-F-F 
 
B V-V-F 
 
C V-F-V 
 
D F-V-F 
Você acertou! 
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente 
dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI). 
 
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI. 
 
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD). 
 
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base. 
 
 
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103). 
 
 
E F-V-V 
 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
 
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada 
por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). 
 
De acordo com a transformação linear acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que apresenta o 
vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3)T(u)=(−7,7,−3). 
Nota: 0.0 
 
A u=(1,2,−1).u=(1,2,−1). 
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3)T(1,2,−1)=(−7,7,−3). Outra forma de resolução é determinar a solução do 
sistema ⎧⎪⎨⎪⎩x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3{x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3 
(livro-base p. 124-129). 
 
B u=(2,2,−1).u=(2,2,−1). 
 
C u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1). 
 
 
Álgebra Linear – 13/06/2020 
 
 
D u=(6,4,−2).u=(6,4,−2). 
 
 
 
E u=(3,0,−5).u=(3,0,−5). 
 
 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
 
Sejam A=[−1−2−3−5],A=[−1−2−3−5], B=[2−1]B=[2−1] , C=[14−4−8] e X=[xy]C=[14−4−8] e X=[xy] . 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale aquela que 
contém a matriz XX que satisfaz a equação A+BX=C.A+BX=C. 
Nota: 0.0 
 
A X=[31].X=[31]. 
 
 
B X=[−31].X=[−31]. 
 
 
C X=[1−3].X=[1−3]. 
 
 
D X=[13].X=[13]. 
 
Fazendo X=[xy],X=[xy], segue da equação A+BX=CA+BX=C que 
 
 
[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3]. 
 
Logo, x=1 e y=3x=1 e y=3 
 
(Livro-base p. 26-39). 
 
E X=[−12].X=[−12]. 
 
Questão 4/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k 
 
admita solução única. 
 
Nota: 10.0 
 
A k=1k=1 
 
 
B k=−1k=−1 
 
 
C k=0k=0 
 
Você acertou! 
Faça os escalonamentos: 
 
Álgebra Linear – 13/06/2020 
 
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6 
 
k−6=−6k=0k−6=−6k=0 
 
(Livro-base p. 96) 
 
D k=−2k=−2 
 
 
E k=2k=2 
 
 
Questão 5/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações abaixo: 
 
O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3 filiais. O estoque no 
início de um dia foi registrado e é dado pela matriz: 
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 28
7106Filial 396612 
No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo: 
 
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 2438
5Filial 382310 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada produto é dado pela 
tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00ProdutoPreço14,0025,0033,0042,00, assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque 
atualizado para cada filial: 
Nota: 0.0 
 
A ⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[Filial1=28Filial2=44Filial3=37] 
 
a) Basta fazer a subtração das duas matrizes: 
 
⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432] 
 
 b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores: 
 ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢ 
⎢ 
⎢⎣4532⎤⎥ 
⎥ 
⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437] 
 
(Livro-base p. 36-41). 
 
B ⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=21Filial2=42Filial3=38] 
 
 
C ⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=24Filial2=39Filial3=38] 
 
 
D ⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[Filial1=26Filial2=38Filial3=44] 
 
 
E ⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=32Filial2=46Filial3=38] 
 
 
Questão 6/10 - Álgebra Linear 
Álgebra Linear – 13/06/2020 
 
 
Considere a seguinte equação ∣∣ 
∣∣x+123x1531−2∣∣ 
∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . 
 
 
De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x: 
Nota: 0.0 
 
A x=−32x=−32 
 
 
B x=−18x=−18 
 
 
C x=−25x=−25 
 
 
D x=−22x=−22 
 
Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: 
−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x
 
(Livro-base p. 39-42). 
 
E x=−20x=−20 
 
 
Questão 7/10 - Álgebra Linear 
 
Analise as matrizes A=[2002]A=[2002] e B=[3003]B=[3003]. 
 
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz XX, tal 
que X=A.Bt+B.X=A.Bt+B. 
Nota: 10.0 
 
A X=[120012]X=[120012] 
 
 
B X=[180018]X=[180018] 
 
C X=[9009]X=[9009] 
Você acertou! 
X=A.Bt+B=X=A.Bt+B= [2002][2002].[3003][3003]+ [3003][3003]= 
=[6006][6006] +[3003][3003] =[9009][9009] 
 
(Livro-base p. 26-38) 
 
D X=[8448]X=[8448] 
 
 
E X=[101110]X=[101110] 
 
 
Questão 8/10 - Álgebra Linear 
 
Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial 
R3R3. 
 
Álgebra Linear – 13/06/2020 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com as coordenadas 
do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈R3 com relação à base formada pelos vetores u,v e w.u,v e w. 
Nota: 0.0 
 
A ⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2] 
 
Para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3R3, é necessário que existam os reais a, b e c tais que au+bv+cw=(0,0,0)au+bv+cw=(0,0,0)
tem-se o sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩a=02a+b=03a+b+c=0{a=02a+b=03a+b+c=0 
Esse sistema tem solução única, a=b=c=00. Logo, formam uma base do R3R3. 
Para determinar as coordenadas do vetor (1,1,0)(1,1,0) em relação à base{u,v,w}{u,v,w} , digamos ββ deve-se resolver o sistema: 
⎧⎪⎨⎪⎩x=12x+y=13x+y+z=0{x=12x+y=13x+y+z=0 
 
A solução do sistema é z=−2,y=−1 e x=1z=−2,y=−1 e x=1 e as coordenadas do vetor são 
⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦β[1−1−2]β (livro-base p. 96-99). 
 
B ⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2] 
 
 
C ⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22] 
 
 
D ⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2] 
 
 
E ⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2] 
 
 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre matrizes de mudança de base e, as bases 
 
B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B′={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B´={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 
 
assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´B´ para BB, [I]BB´.[I]BB´. 
 
Nota: 10.0 
 
A [I]BB´=⎡⎢⎣0−1111−2−111⎤⎥⎦[I]BB´=[0−1111−2−111] 
 
 
B [I]BB´=⎡⎢⎣1−2301−1−1−31⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2301−1−1−31] 
 
 
C [I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101] 
Você acertou! 
Fazemos os vetoresde B´ combinação linear dos vetores da base B. 
 
 
Resolvemos os três sistemas de equações, simultaneamente: 
 
 
⎡⎢⎣111|100011|010112|001⎤⎥⎦[111|100011|010112|001] 
 
⎡⎢⎣100|1−1001011−1001|−101⎤⎥⎦[100|1−1001011−1001|−101] 
 
[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101] 
 
(Livro-base p. 108-112). 
Álgebra Linear – 13/06/2020 
 
 
D [I]BB´=⎡⎢⎣1−1221−2−203⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1221−2−203] 
 
 
E [I]BB´=⎡⎢⎣1−2011−2−121⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2011−2−121] 
 
 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
 
Considere o vetor v=(3,2,1)v=(3,2,1) do R3R3 e o conjunto de 
vetores α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)}α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)} também do R3R3. 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas a seguir, assinale com 
V as sentenças verdadeiras e com F as falsas. 
 
( ) vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα. 
( ) αα é uma base do R3R3. 
( ) Os vetores v1,v2 e v3v1,v2 e v3 são linearmente independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 
A V-V-F 
 
B V-V-V 
Comentário: A sequência correta é V-V-V. 
 
Se vv é combinação linear dos vetores de αα, então existe a, b e c, tal que v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3 
Como o determinante dos vetores de αα é diferente de zero, logo existe a, b e c e vv é uma combinação linear dos vetores do 
conjunto αα. 
Alternativa I é verdadeira porque o determinante dos vetores é diferente de zero. 
 
Alternativa II é verdadeira porque vv é uma combinação linear dos vetores. 
Alternativa III é verdadeira porque o determinante é diferente de zero, 
v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3 
(Livro-base p. 89-103). 
 
C F-V-V 
 
D V-F-F 
 
E F-F-F 
 
Questão 1/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes: 
 
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]. 
 
 
Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial: 
 
A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2. 
 
 
B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2. 
 
Álgebra Linear – 13/06/2020 
 
 
C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2. 
 
 
D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2. 
 
 
E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3.