ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA ALGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – ALGEBRA LINEAR 
 
 
Nome: Willian Pereira Costa 
Matrícula: 28161471 
Curso: Engenharia Mecânica 
 
 
 
Case final - Proposta 
 
Segue abaixo o enunciado: 
 
Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater 
determinada doença. Ele sabe que, para tal, certo genótipo deve controlar as 
características necessárias para combater a doença. O genótipo desejado é 
constituído por dois alelos dominantes (ou seja, genótipo AA). 
Dessa forma, o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade do 
cruzamento das bactérias que carregam os três diferentes genótipos (AA, Aa e 
aa) resultar em indivíduos com o genótipo de interesse AA. 
A tabela é: 
 
 GENÓTIPOS DE ORIGEM 
 AA x AA AA x Aa AA x aa 
Probabilidade de 
genótipo AA 
100% 50% 0% 
Probabilidade de 
genótipo Aa 
0% 50% 100% 
Probabilidade de 
genótipo aa 
0% 0% 0% 
 
O pesquisador denominou a população de indivíduos com o genótipo AA de x1 
a população de indivíduos Aa de x 2 e a população de indivíduos aa de x3. Com 
isso, definiu equações que descrevem a probabilidade de indivíduos de cada 
genótipo estarem presentes em uma próxima geração, considerando que um dos 
indivíduos de origem possui sempre o genótipo AA: 
 
X1(n) = 1 • X1(n − 1) +
1
2
• X2(n − 1) 
 
X2(n) = 1/2 • X2(n − 1)1 • X3(n − 1) 
 
X3(n) = 0 
 
 
 
Por fim, o bioquímico traduziu essas equações na forma de uma transformação 
linear: 
 
 
 𝑇 = 𝑅3 → 𝑅3; [
𝑋1(𝑛)
𝑋2(𝑛)
𝑋3(𝑛)
] = [
1 1 2⁄ 0
0 1 2⁄ 1
0 0 0
] X [
𝑋1(𝑛 − 1)
𝑋2(𝑛 − 1)
𝑋3(𝑛 − 1)
] 
 
 
É importante ressaltar que o subscrito (n) indica a geração de bactérias à qual 
estamos nos referindo, enquanto que (n-1) se refere à geração anterior. Se 
analisarmos bem a expressão, veremos que se trata de uma cadeia de Markov. 
 
Adotemos como referência, ainda, o texto a presentado no Case. Além da 
transformação que descreve a proporção de indivíduos através das gerações, 
sabemos também a proporção inicial das bactérias estudadas com os três 
diferentes genótipos. São elas: 𝑋1 = 10%, 𝑋2 = 60%, 𝑋3 = 30%. Temos, 
portanto, o seguinte vetor: 
 
[
𝑋1(0)
𝑋2(0)
𝑋3(0)
] = [
0,1
0,6
0,3
] 
 
 
 
Com a equação que descreve a transformação linear em mãos, somos 
capazes de estimar a população de indivíduos c om genótipo AA através das 
mais diversas gerações. A partir disso, vamos propor, então, algumas 
perguntas: 
 
1º) Qual a população de bactérias com genótipo Aa (ou seja, x2) na primeira 
geração? E na segunda geração? 
 
2º) Qual a população de bactérias com genótipo aa (ou seja, x3) na terceira 
geração? Essa proporção se altera na quarta geração? 
 
3º) Em qual geração a população de bactérias com genótipo AA atinge 
85% do total? 
 
Texto: CASE FINAL, AV1 – Atividade contextualizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
1º) Podemos determinar a população de bactérias com genótipo Aa (ou seja, x2) 
na primeira geração através da multiplicação de matrizes da seguinte forma: 
 
 
[
1 0,5 0
0 0,5 1
0 0 0
] X [
0,1
0,6
0,3
] = [
1
0
0
 
X 0,1
X 0,1
X 0,1
 
+ 0,5
+ 0,5
+ 0
 
X 0,6
X 0,6
X 0,6
 
+ 0
+ 1
+ 0
 
X 0,3
X 0,3
X 0,3
] = [
0,4
0,6
0
] 
 
 
De acordo com os cálculos, o valor quantitativo de bactérias com o genótipo Aa 
é representada por 0,6 ou 60% da população. 
 
Para obtermos os valores referente a população de bactérias com o genótipo Aa 
(X2) na segunda geração, utilizando o mesmo método de cálculo (multiplicação 
de matrizes), aplica-se: 
 
[
1 0,5 0
0 0,5 1
0 0 0
] X [
0,4
0,6
0
] = [
1
0
0
 
X 0,4
X 0,4
X 0,4
 
+ 0,5
+ 0,5
+ 0
 
X 0,6
X 0,6
X 0,6
 
+ 0
+ 1
+ 0
 
X 0
X 0
X 0
] = [
0,7
0,3
0
] 
 
Sendo assim, a população de bactérias com o genótipo Aa é de 0,3 ou 30%. 
 
 
2º) A população de bactérias com o genótipo aa (X3) na terceira geração, 
podemos calcular da seguinte maneira: 
 
[
1 0,5 0
0 0,5 1
0 0 0
] X [
0,7
0,3
0
] = [
1
0
0
 
X 0,7
X 0,7
X 0,7
 
+ 0,5
+ 0,5
+ 0
 
X 0,3
X 0,3
X 0,3
 
+ 0
+ 1
+ 0
 
X 0
X 0
X 0
] = [
0,85
0,15
0
] 
 
De acordo com o calculo da multiplicação de matrizes aplicando-se os dados 
obtidos no enunciado, a população de bactérias com o genótipo aa (X3) na 
terceira geração é de 0%. 
 
Utilizando o mesmo método, calculamos a proporção na quarta geração: 
 
[
1 0,5 0
0 0,5 1
0 0 0
] X [
0,85
0,15
0
] = [
1
0
0
 
X 0,85
X 0,85
X 0,85
 
+ 0,5
+ 0,5
+ 0
 
X 0,15
X 0,15
X 0,15
 
+ 0
+ 1
+ 0
 
X 0
X 0
X 0
] = [
0,925
0,075
0
] 
 
 
Na quarta geração, os valores permanecem sem alteração em relação ao 
número obtido na terceira geração, ou seja, 0%. 
 
 
 
 
3º) De acordo com os dados obtidos nos cálculos anteriores, a geração que 
atinge a população de bactérias com genótipo AA em 85% do total é a terceira 
geração. 
 
O gráfico abaixo ilustra os dados obtidos por gerações: 
 
 
Gráfico: população de bactérias por geração. 
 
 
Referência bibliográfica: 
 
LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações – 8ª edição. Editora: LTC. Ano de 
publicação: 1999 
 
SANTOS, Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos. Álgebra Linear. Editora: Ser 
Educacional. Ano de publicação: 2019 
 
CASE FINAL, AV1 – Atividade contextualizada. Grupo Ser Educacional – Univeritas. 
Disponível em: https://aluno.univeritas.com/aluno/ - Data de acesso: 16/08/2022 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
X1 X2 X3 Quarta geração
População de bactérias
Genótipo AA Genotipo Aa Genotipo aa. 4ª Geração