Medidas de Posição em Análise Estatística

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ANÁLISE ESTATÍSTICA
PROF. CLAUDIO MACIEL
Aula 2- Medidas de Posição
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Conteúdo Programático desta aula
	Entender como as medidas de posição central (média aritmética e ponderada, mediana e moda) são determinadas e como permitem uma melhor compreensão dos dados de uma análise estatística;
	 Analisar as relações entre média, moda e mediana. 
	Compreender as medidas de ordenamento quartis, decis e percentis.
 
	Aplicação das medidas estatísticas em Microsoft Excel
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Médias 
 MÉDIA ARITMÉTICA
  SIMPLES  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definido por:
	_
	X = X1 + X2 + ....... + Xn / n
	
EXEMPLO :		
  {1, 1, 3, 4, 4} 	X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6
 MÉDIA PONDERADA  Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem com freqüências f1, f2, ....., fn, então:
	_
	X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn =  Xi fi
	 ----------------------------------- ----------
 f1 + f2 + ..... + fn  fi
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA
	Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única.
EXEMPLOS : 
 X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8
	moda = 6 – valor mais freqüente – unimodal
  Y = 2, 3, 4, 5, 6
	não tem moda – amodal
  Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9
	tem duas modas 4 e 8 – bimodal 
 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA
		FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
Mo =( l * + L * ) / 2 
Ou 	
	Mo = l* + h ( D1 / D1 + D2) 
		Sendo:
	l* 	 Limite Inferior da Classe Modal.
	L* 	 Limite Inferior da Classe Modal.
	h 	 intervalo de classe.
	D1	 Frequencia Simples – Frequencia Anterior.
	D2 	 Frequencia Simples – Frequencia Posterior
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Mediana
Corresponde ao valor do elemento central de uma amostra.
	FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
	Md = l* + h ( Xm – F(Ant) / f*) 
		Sendo:
	l* 	 Limite Inferior da Classe Mediana.
	f* 	 frequencia simples da classe mediana.
	h 	 intervalo de classe.
	Xm 	 Valor Mediano.
	
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de Assimetria
As medidas de assimetria complementam as informações dadas pelas medidas de posição, a fim de permitir uma melhor compreensão das distribuições de frequências. A mediana se localiza na posição central da distribuição, devendo estar entre os valores da média e moda e podendo até mesmo ser igual a ambas.
Nesta situação temos três casos possíveis:
1o Caso  Média = Mediana = Moda 	 a curva da distribuição é SIMÉTRICA
2 o Caso  Média < Mediana < Moda 	 a curva da distribuição tem ASSIMETRIA NEGATIVA
3 o Caso  Média > Mediana > Moda 	 a curva da distribuição tem ASSIMETRIA POSITIVA
	
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de Assimetria
O Coeficiente de Assimetria pode ser calculado pela fórmula do primeiro coeficiente de Pearson, tornando mais fácil determinar se a Assimetria da distribuição é positiva ou negativa:
 
AS = Coeficiente de Assimetria;
Me = Média
Mo = Moda
s = Desvio Padrão da amostra ( quando for população)
( Me – Mo ) / DP
 
	
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de Assimetria
 
No denominador da fórmula temos um símbolo que representa o desvio padrão da distribuição, quando for apresentado o estudo sobre as medidas de dispersão veremos mais detalhes sobre o cálculo do desvio padrão e seu significado. No momento podemos adiantar que terá sempre um valor positivo (ou seja, não é possível ocorrer desvio padrão negativo). Assim sendo o que vai determinar o sinal da fração é o sinal do numerador.
 
1o Caso  Média = Moda 	  ASSIMÉTRICA NULA = SIMÉTRICA 
2 o Caso  Média < Moda 	  ASSIMETRIA NEGATIVA
3 o Caso  Média > Moda 	  ASSIMETRIA POSITIVA
	
Medidas de Posição
	 Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos respectivamente de:
	
	 Quartis
	 Decis
	 Percentis
	
	O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir delas poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de uma variável X.
Medidas de Posição
	QUARTIS  dividem a distribuição em quatro partes iguais.	
Qnq = X ( nqn / 4 + ½) 
 Sendo:
	Qnq  primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 1, 2 e 3)
	nq  número do quartil que se deseja obter
	X  elemento da série ordenada 
	n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes iguais. 
	Qnq = X ( nqn / 10 + ½) 
	 Sendo:
	Qnq  primeiro, segundo e terceiro decil ( i = 1, 2 e 3)
	nq  número do quartil que se deseja obter
	X  elemento da série ordenada 
	n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
	PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenda em cem partes iguais.
	Qnq = X ( nqn / 100+ ½) 
	 Sendo:
	Qnq  primeiro, segundo e terceiro centil ( i = 1, 2 e 3)
	nq  número do quartil que se deseja obter
	X  elemento da série ordenada 
	n  tamanho da amostra
EXCEL
Cálculo da média: utilizando a função MÉDIA(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a serem calculados a média, teremos o resultado desejado;
Cálculo da mediana: utilizando a função MED(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a serem calculados a mediana, teremos o resultado desejado;
Cálculo da moda: utilizando a função MODO(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a serem calculados a mediana, teremos o resultado desejado;
	
EXCEL
44 	48	53	54	56	56	
56 	57	60	60	62	63	
63 	63	63	65	66	67	
68	 	68	69	69	70	71	
72	 	74	77	78	80	81	
82	 	86	90	93	95	95	
97	 	100	106	107	 	 	
	
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exercícios
1) Determine a Mediana para os dados (1, 5, 8, 9, 10):
a) 33
b) 8
c) 6,6
d) 5
 
2) Determine a Média para os dados (2, 3, 10, 15, 15):
a) 10
b) 15 – 2 = 13
c) 15
d) 9
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exercícios
3) A moda representa o elemento:
a) O elemento central da distribuição
b) Representa a diferença entre a média e a Mediana
c) O elemento de maior frequência na distribuição de valores
d) A soma de todos os valores dividido pela quantidade de dados