Unidade 2

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
UNIDADE 2 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Joelma Iamac Nomura
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Introdução
É perceptível, atualmente, que o estudo do comportamento de um conjunto de variáveis tem expandido as suas
fronteiras para mais de duas variáveis, cujas relações envolvem o estudo de aplicações reais com várias variáveis
em jogo. Como exemplo de conjunto de duas variáveis, podemos citar: idade e nível de escolaridade, disciplinas
cursadas em cada semestre, o interesse de um engenheiro automobilístico pela durabilidade e brilho dos faróis
de um novo modelo de carro e em seu custo projetado. Em todos os casos, existe um interesse em números
associados a resultados de uma situação que envolve um elemento de chance ou, mais especificamente, em
valores aleatórios.
Quando estudamos as variáveis aleatórias, nosso interesse está em encontrar a probabilidade que esses valores
assumem dentro de seu intervalo de definição, ou seja, em suas distribuições de probabilidade.
As variáveis aleatórias correspondem a números associados ao espaço amostral sendo, portanto, funções, e não
variáveis. Contudo, para a maioria dos principiantes, essas variáveis nada mais são que diferentes quantidades
que dependem de sua chance de ocorrência. Como exemplo, citamos o número de apólices vendidas e o lucro da
operadora, ou o tempo de espera na fila e o número de atendentes no caixa.
As variáveis aleatórias são classificadas em discretas e contínuas. Em um primeiro momento, vamos estudar as
variáveis aleatórias discretas que constituem um subconjunto de inteiros enumeráveis ou infinitos enumeráveis.
Já as variáveis aleatórias contínuas são valores possíveis em um intervalo completo da reta real.
Ao final desta unidade, conseguiremos responder às seguintes questões de pesquisa: o que diferencia uma
variável aleatória discreta de uma contínua? Quais são as distribuições de probabilidade inerentes a cada tipo de
variável? Em quais situações cotidianas podemos trabalhar com tais distribuições de probabilidade?
Dessa maneira, vamos expandir nossos conceitos e conhecimento a respeito deste tema que fornece o alicerce da
Estatística e que nos remeterá a uma gama de aplicações da Engenharia, Física, Economia, Biologia, e outras
áreas.
Bons estudos!
2.1 Variáveis aleatórias discretas
Em geral, um experimento tem por objetivo analisar um ou alguns aspectos da amostra. Quando estudamos as
variáveis aleatórias discretas, cada resultado de um experimento está associado a um número, como, por
exemplo, o peso total da bagagem para uma amostra de 50 passageiros ou a quantidade de falhas de
componentes eletrônicos em um período determinado de horas. Assim, este resultado associa um número com
qualquer resultado do estado amostral. Temos uma função cujo domínio é o espaço amostral e cuja variação é o
conjunto de números reais (DEVORE, 2018).
2.1.1 Conceito
Devore (2018, p. 89) apresenta a seguinte definição para variável aleatória discreta: “é uma variável aleatória
cujos valores possíveis constituem um conjunto finito ou podem ser relacionados em uma sequência infinita na
qual haja um primeiro elemento, um segundo elemento, e assim por diante (infinito “contável”)”.
De maneira semelhante, Larson e Farber (2010) descrevem a variável aleatória discreta como um número finito
ou contável de possíveis resultados a serem listados.
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2.1.2 Função de probabilidade para uma variável aleatória discreta
Vamos estudar as distribuições de probabilidades. Conforme as ideias de Larson e Farber (2010), conhecer a
forma, o centro e a variabilidade de um conjunto de dados permite nos aproximar da Estatística Inferencial e
melhorar a tomada de decisões. Para tanto, faremos uso dos conhecimentos relacionados às distribuições de
frequências, às medidas de tendência central e de dispersão, além da probabilidade de ocorrência de certos
eventos.
Nas distribuições de probabilidades discretas, para cada valor da variável aleatória se associa uma
probabilidade. Clique nos itens e veja quais condições valem nestes casos.
i
A probabilidade de cada valor da variável aleatória discreta está entre 0 e 1, ou seja, 
ii
A soma de todas as probabilidades é 1, assim temos: 
Conforme explica Devore (2018), a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta mostraX
como a probabilidade total de 1 (ou 100%) está dividida entre os valores possíveis de . Para o autor, aX
distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta em dado espaço amostral é uma tabela que
associa a cada valor de a sua correspondente probabilidade. Vamos representar o exemplo que relaciona ox
número de pontos obtidos na jogada de um dado equilibrado com suas respectivas probabilidades de ocorrência
em relação a cada face.
Tabela 1 - Pontos obtidos na jogada de um dado.
Fonte: FREUND, 2006, p. 135.
As distribuições de probabilidades podem ser expressas a partir de funções que relacionam os diversos valores
da variável aleatória discreta às suas respectivas probabilidades.
Dessa maneira, o número de pontos obtidos na jogada de um dado pode ser escrita como , para 
, em que denota a probabilidade de obter 1, a probabilidade de obter 2 e assim em diante.
Esta relação é denotada por 
Exemplo: seis lotes de um componente estão prontos para serem entregues a um fornecedor. O número de
componentes com defeito em cada lote é mostrado a seguir.
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Tabela 2 - Quantidades de componentes com defeito distribuídos em lotes diferentes.
Fonte: DEVORE, 2018, p. 92.
Os valores de são: 0,1 e 2.X
Temos:
Para Devore (2018, p. 84), o termo “’função de probabilidade’ é sugerido por um modelo usado na física para um
sistema de ‘pontos de massa’”. De acordo com o autor, esse conjunto de pontos mostra como o total de massa de
probabilidade igual é distribuído ao longo dos eixos. Outra maneira de representar essa relação é a partir de um
histograma de probabilidades, semelhante ao que já conhecemos.
2.1.3 Média, variância e desvio-padrão para variáveis aleatórias discretas
É possível medir o centro de uma distribuição de probabilidades e sua variabilidade em torno da média a partir
da variância e desvio-padrão. A média de uma distribuição de probabilidades é também chamada de valor
esperado, denotado por . Vamos a um exemplo que nos ajudará a compreender seu cálculo.
Exemplo: considere uma universidade de 15 000 alunos e é a quantidade de cursos em que um alunoX
selecionado aleatoriamente está matriculado. Abaixo, elencamos a tabela de distribuição de probabilidade e sua
respectiva função Se , é correto afirmar que alunos, ou seja, existem 150 alunosp(x).
matriculados nesse curso e, assim, sucessivamente para os demais cursos.
Tabela 3 - Alunos matriculados em determinada universidade.
Fonte: DEVORE, 2018, p. 102.
O valor médio da população , ou seja, o valor médio ou esperado do número de cursos na população é dado por:X
Portanto, o valor médio de X ( ou valor esperado de ( ( ) é:X E X
De acordo com Freund (2006), a esperança matemática pode ser usada na tomada de decisões como uma
maximização de resultados, minimização de custos operacionais, reduzindo as incertezas e os riscos.
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A variância e o desvio-padrão de uma variável aleatória discreta
A variância de é usada para medir a variabilidade da variável, a partir de seu valor esperado. Vamos denotar aX
variância de por ou . Assim, temos a seguinte relação:X
O desvio-padrão, denotado por , é calculado a partir da raiz quadrada da variância. Assim, temos:
A seguir, vamos estudar duas importantes distribuições de probabilidade envolvendo variáveis aleatórias
discretas: uma sequência de experimento que resulte em dois resultados possíveis (distribuição binomial) ou
distribuições mais complexas usadas em muitos modelos matemáticos associados à eletricidade ou mesmo ao
tráfego aéreo e rodoviários de uma região do país.
2.1.4 Distribuição binomial
Em muitos experimentos, existe o interesse de analisar a probabilidade de sucesso ou fracasso de determinado
evento. Dessa forma, o experimento consisteem uma sequência de experimentos menores que serão chamadosn
de ensaios, cujos resultados são independentes um do outro. Os dois resultados possíveis são sucesso ( ) ouS
fracasso ( ). A probabilidade de ocorrência de sucesso é denotada por .F p
De acordo com Freund (2006, p. 190), o interesse desse tipo de distribuição está em conhecer a probabilidade de
“ sucessos em provas” ou “ sucessos e fracassos em tentativas”.x n x n
Portanto, devem ser feitas as condições apresentadas nos itens a seguir. Clique e veja.
Há um número fixo de provas.
A probabilidade de sucesso é a mesma em cada prova.
As provas são todas independentes.
Existe uma fórmula para encontrar a probabilidade de x sucessos em n tentativas de um experimento, dada por:
Sendo : número de ensaios ou tentativas;n
p: probabilidade de sucesso;
1 - p: probabilidade de fracasso;
x: variável aleatória.
De acordo com Devore (2018), a variável aleatória binomial associada a um experimento binomial e formadaX
por ensaios é definida por:n
X = a quantidade de (sucessos) em ensaios.S n 
Exemplo: é sabido que a probabilidade de um eleitor qualquer votar, após uma escolha aleatória, é de 0,7. Com
VOCÊ QUER LER?
Uma leitura mais aprofundada sobre os próximos assuntos poderá ser estudada na dissertação
“Distribuição Binomial e aplicações” (ROCHA, 2017). Inicialmente, você verá uma apresentação
dos conceitos inerentes à distribuição binomial e, em seguida, exemplos práticos usando dados
do campeonato brasileiro de futebol. Para auxiliar na interpretação dos resultados, há o
suporte do Geogebra. Leia em:software
< >http://tedebc.ufma.br:8080/jspui/bitstream/tede/1271/2/Samy%20marques.pdf
http://tedebc.ufma.br:8080/jspui/bitstream/tede/1271/2/Samy%20marques.pdf
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Exemplo: é sabido que a probabilidade de um eleitor qualquer votar, após uma escolha aleatória, é de 0,7. Com
base nessa informação, questiona-se: qual é a probabilidade de 2 dentre 5 eleitores votarem na eleição?
Solução: a partir do enunciado são obtidas as seguintes informações:
x = 2; = 5 e = 0,7n p
Assim, concluímos que existe a probabilidade de 13,23% de 2 eleitores dentre 5 votarem na eleição.
Exemplo: um experimento contém 5 bolinhas de gude vermelhas, 9 azuis e 6 verdes. Você escolhe 3 bolinhas
aleatoriamente, sem trocas. A variável aleatória representa o número de bolinhas vermelhas.
Solução: o experimento não é binomial, pois não satisfaz todas as condições de uma distribuição binomial. A
probabilidade de sucesso é de , contudo a bolinha não é mais colocada na jarra e, dessa maneia, os eventos não
são independentes, pois o resultado do anterior irá interferir nos subsequentes. A probabilidade de sucesso não
é a mesma para cada uma das tentativas.
As probabilidades binomiais também podem ser encontradas a partir de um diagrama de árvore. Neste caso,
será usada a regra do produto, também conhecido como Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio
Multiplicativo.
Exemplo: de acordo com informações do , existe umaIllinois Orthopedic and Sportsmedicine Centers
probabilidade de 75% de sucesso em cirurgias com microfaturas no joelho em pacientes com joelhos
degenerativos. Após realizar a cirurgia em 3 pacientes, questiona-se: qual a probabilidade de a cirurgia ser um
sucesso em, exatamente, 2 pacientes? (LARSON; FARBER, 2010).
Solução: para resolver o problema, vamos, inicialmente, apresentar um recurso bastante útil para visualização
das informações, o Diagrama de Árvore.
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Figura 1 - Diagrama de Árvore.
Fonte: LARSON; FARBER, 2010, p. 167.
No exemplo apresentado, portanto, temos, para a primeira cirurgia, a probabilidade de sucesso e fracasso
igualmente distribuídos em dois ramos; para a segunda cirurgia, a probabilidade de sucesso e fracasso
igualmente distribuídos em quatro ramos; e para a terceira cirurgia, a probabilidade de sucesso e fracasso
igualmente distribuídos em oito ramos. Assim, se houver ramos de primeira geração e que para cada um
houver ramos da segunda geração, então o número total de ramos da segunda geração é . Como o
sucesso representa 75%, ou , então: em SSF: , em SFS: e em FSS: , o que
nos leva ao total de . Para a obtenção do resultado, aplicamos a regra do produto.
Devore (2018) explica que na execução de uma operação em estágios, se o primeiro estágio for executado em k
maneiras e para cada maneira houver maneiras de se realizar o segundo estágio, e para cada maneira de
realizar os dois primeiros estágios houver maneiras de realizar o terceiro estágio, e assim sucessivamente,
então, podemos afirmar que há maneiras de realizar toda a operação do estágio em sequência.
Outra maneira de resolver o problema é aplicar a probabilidade da distribuição binomial:
Os dados do problema são: . Assim, aplicando a fórmula da probabilidade da distribuição
binomial, temos:
Outra maneira de representar uma distribuição binomial é a partir de um histograma de probabilidades, em que 
 é a variável aleatória e é a probabilidade de sucesso. Acompanhe o próximo exemplo.x p(x)
Exemplo: Cinquenta e nove por cento das casas na região sul do país assinam TV a cabo. Você seleciona 6 casas,
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Exemplo: Cinquenta e nove por cento das casas na região sul do país assinam TV a cabo. Você seleciona 6 casas,
aleatoriamente, e pergunta a cada uma se assinam TV a cabo. A tabela de distribuição de probabilidades é
representada a seguir. Então, sejam: .
Tabela 4 - Casas com TV a cabo.
Fonte: LARSON; FARBER, 2010, p. 172.
Com base em seus dados apresentados na tabela, é construído um histograma de probabilidades. A altura de
cada retângulo é proporcional à probabilidade ( ) e a base é a mesma para todos os retângulos.P x
Figura 2 - Histograma de probabilidade de uma distribuição binomial: assinaturas de TV a cabo em 6 casas 
pesquisadas.
Fonte: LARSON; FARBER, 2010, p. 172.
Média, variância e desvio-padrão de uma distribuição binomial
Podemos seguir as seguintes fórmulas para cálculo da média, variância e do desvio-padrão de uma distribuição
binomial:
Média: 
Variância: 
Desvio-padrão:
Exemplo: em Ribeirão Bonito, cerca de 60% dos dias são ensolarados. Determine a média, a variância e o desvio-
padrão para o número de dias ensolarados durante o mês de outubro.
Solução: no mês de outubro há 31 dias, portanto, os dados são: = 31; = 0,60; 1 - = 0,40.n p p
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padrão para o número de dias ensolarados durante o mês de outubro.
Solução: no mês de outubro há 31 dias, portanto, os dados são: = 31; = 0,60; 1 - = 0,40.n p p
Cálculo da média: 
Cálculo da variância: 
Cálculo do desvio-padrão: 
Em média, há 18,6 dias ensolarados durante o mês de outubro e o desvio-padrão é de 2,73 dias. Valores que são
mais do que dois desvio-padrão da média são incomuns.
A seguir, vamos estudar outra distribuição de probabilidade discreta, a distribuição de Poisson. Muitas
aplicações que envolvem esta distribuição relacionam-se ao nosso dia a dia: quando queremos estudar o número
de mensagens de enviadas para determinado endereço, ou até mesmo a chuva de raios cósmicose-mail
observada por astrônomos em determinado observatório.
2.1.5 Distribuição de Poisson
Na distribuição binomial, nosso interesse esteve voltado para descobrir a probabilidade de um número
específico de sucessos em um dado número de tentativas. Na distribuição de Poisson, o objetivo é calcular o
número de vezes, , que um evento ocorre em um dado intervalo, seja de tempo, área ou volume.x
Nesse tipo de distribuição, a probabilidade de o evento ocorrer é igual para cada intervalo, além disso, o número
VOCÊ SABIA?
É possível usar a distribuição de Poisson como modelos de . significa esperar emQueing Queing
uma fila para ser atendido, seja em um caixa de supermercado, atendimento telefônico ou
espera de um semáforo. Seu estudo é realizado a partir da Teoria das Filas que prevê o
comportamento de um sistema com a construção de modelos matemáticos que analisam o
crescimento da demanda. O conceito se relaciona não apenas a pessoas, mas também a
processos, pacotes de dados, fluxo de aviõesou carros, relacionando, assim, muitas áreas.
Dessa maneira, é possível evitar desperdícios e gargalos prevendo com antecedência o número
de pessoas ou processos que chegarão à fila (LARSON; FABER, 2010).
VOCÊ O CONHECE?
Simeón Denis Poisson (1781-1840) foi um matemático francês famoso por suas equações. Em
sua vida acadêmica teve como professores outros grandes matemáticos como Lagrange,
Laplace e Fourier. Considerado como o sucessor de Laplace, ele esteve envolvido no estudo da
mecânica celeste, na atração dos esferoides, na lei da transformação adiabática de um gás, em
teorias de eletricidade e eletromagnetismo, e em outros estudos. Em 1837, apareceu a
conhecida distribuição de Poisson aplicada à Estatística. Hoje o modelo de Poisson é
vastamente estudado como modelos para dados de contagem aplicados as mais diversas áreas
do conhecimento.
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Nesse tipo de distribuição, a probabilidade de o evento ocorrer é igual para cada intervalo, além disso, o número
de ocorrência de um intervalo é independente do outro.
De acordo com Devore (2018), uma variável aleatória tem uma distribuição de Poisson com parâmetro (X
se a função de é dada por:X
Sendo:
: média ou valor esperado de (também chamado de parâmetro de Poisson);X
e: número irracional = 2,71828... é a base do sistema de logaritmos naturais;
x: variável aleatória.
O cálculo da média, da variância e desvio-padrão em uma distribuição de Poisson é relativamente simplificado
pelas relações. Para Devore (2018), devemos considerar o seguinte: se tiver distribuição de Poisson comX
parâmetro , então .
Exemplo: digamos que denota o número de armadilhas (defeitos de um determinado tipo) em um tipoX
específico de transistor semicondutor de óxido metálico e suponha que tenha distribuição de Poisson com .
A probabilidade de que existam exatamente 3 armadilhas é (DEVORE, 2018):
E a probabilidade de que existam no máximo 3 armadilhas é:
Exemplo: a média do número de acidentes por mês em certa rodovia é 3. Qual é a probabilidade de que, em
qualquer mês, 4 acidentes ocorram nessa rodovia?
Solução: são dados: Portanto, a probabilidade de 4 acidentes correr na rodovia em qualquer mês é:
Se quisermos calcular a probabilidade de ocorrer mais de 4 acidentes no mês, devemos calcular 
Assim, temos que:
Essa probabilidade corresponde à ocorrência de até 4 acidentes no mês. Para saber a probabilidade de mais de 4
acidentes, devemos subtrair o resultado de um ou 100%. Dessa forma, existe a probabilidade de 
 de que ocorram mais de 4 acidentes.
Muito bem! A seguir, vamos estudar as variáveis aleatórias contínuas e a distribuição de probabilidade mais
importante da Estatística, a distribuição normal. Fique atento e aprofunde seus estudos nas inúmeras aplicações
que este assunto trará na prática cotidiana ou acadêmica e científica.
2.2 Variáveis aleatórias contínuas
Até este momento, nosso estudo se concentrou em distribuições de probabilidade para as variáveis aleatórias
discretas. A partir daqui, vamos trabalhar com outros tipos de variáveis, as variáveis aleatórias contínuas. Elas
ocorrem quando lidamos com grandezas que são medidas em uma escala contínua, ou seja, os valores possíveis
estão em um intervalo na linha de números ou em uma união de intervalos disjuntos.
Como exemplo, citamos a velocidade de um veículo, a profundidade de um lago em locais diversos, o valor do pH
de um determinado composto químico ou a quantidade de tempo que um paciente espera por uma consulta
médica.
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2.2.1 Conceito
Para Devore (2018, p.15), “uma variável numérica é contínua se os seus valores possíveis consistirem em um
intervalo completo na reta real”. De maneira semelhante, outros autores, como Freund (2006) e Larson e Farber
(2010), associam a variável aleatória como um número incontável de possíveis resultados distribuídos na reta
numérica. Correspondem a grandezas medidas em escalas contínuas, como tempo, peso ou distância.
2.2.2 Determinação de funções de distribuição contínua
Quando trabalhamos com variáveis aleatórias contínuas, as probabilidades são representadas por áreas sob
curvas contínuas em gráficos de funções chamadas densidades de probabilidade.
Figura 3 - Distribuição contínua: a probabilidade da variável aleatória assume um valor no intervalo [ , ].a b
Fonte: FREUND, 2006, p. 216.
De acordo com a figura, a área sob a curva entre dois valores quaisquer e fornece a probabilidade de umaa b
variável aleatória assumir um valor neste intervalo. Todos os valores que a variável assume são não negativos e
a área total sob a curva deve ser igual a 1. Assim, os valores que as variáveis assumem são inferiores ou iguais a 1.
Para Devore (2018), a distribuição de probabilidade ou a função densidade de probabilidade de uma variável éX
uma função com intervalo definido entre e , dada por:f(x) a b
Ou seja, a probabilidade de que assuma um valor no intervalo [ ] é a área acima desse intervalo e abaixo doX a,b
gráfico da função densidade. Devem ser satisfeitas as seguintes condições:
i. , para todo x;
ii. é a área sob todo o gráfico de 
Exemplo: “a direção de uma imperfeição a respeito de uma linha de referência em um objeto circular, como um
pneu, disco de freio ou volante do motor está, em geral, sujeito à incerteza. Considere a linha de referência que
conecta a válvula do pneu até o ponto central e como o ângulo medido no sentido horário até o local daX
imperfeição” (DEVORE, 2018, p.133). Uma possível função para é:X
Qual a probabilidade de que um ângulo esteja entre e 
Solução: de acordo com a figura abaixo, é perceptível que , sendo a área sob a curva um retângulo, cuja
área é igual a 1, ou seja, .
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Figura 4 - Função densidade de probabilidade: a área sombreada representa a probabilidade de que um ângulo 
esteja entre e .
Fonte: DEVORE, 2018, p.134.
Para calcular a probabilidade de que o ângulo esteja entre e , usamos a função densidade de
probabilidade:
A probabilidade de que um ângulo de ocorrência esteja dentro de da linha de referência é
.
2.2.3 Média, variância e desvio-padrão para variáveis aleatórias contínuas
Vamos apresentar os cálculos para encontrar a média, a variância e o desvio-padrão de uma distribuição com
valores contínuos. O valor médio ou valor esperado de uma variável aleatória contínua com função ( ) é dadoX f x
por:
A variância de uma variável aleatória contínua de função e a média é dada por:
.
E o desvio-padrão de X é .
Para Devore (2018), a variância e o desvio-padrão fornecem a variabilidade da dispersão que os valores x
assumem em torno do valor médio , ou seja, .
Exemplo: a distribuição da quantidade de cascalho (em toneladas) vendida a uma determinada loja de material
de construção, em uma dada semana, é uma variável aleatória contínua com:X
O cálculo da média da quantidade de cascalho vendida para a loja é:
Para o cálculo da variância, temos:
VOCÊ QUER VER?
Esta videoaula (2016) trata das distribuições de probabilidade, dentre elas as distribuições
binomiais, a distribuição de Poisson, além de outras. Assista em:
< >https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
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Para o cálculo da variância, temos:
A variabilidade da dispersão assume valores em torno do valor médio, sendo , o que nos
leva a .
E o desvio-padrão é .
Continuando com nosso estudo, a seguir, vamos ver a distribuição normal. Tal distribuição tem aplicações em
áreas voltadas à mensuração de dados na natureza, indústria e negócios. Podemos considerar que a pressão
sanguínea, alturas, pesos e outras características físicas, medidas de inteligência e aptidão são normalmente
distribuídas.
2.2.4 Variáveis aleatórias normais
As variáveis aleatórias normais são representadas por uma distribuição de probabilidade contínua, a
distribuição de probabilidade normal. Ela constitui a distribuição mais importante da Estatística, sendo que
muitas populações são ajustadas aproximadamente por uma curva normal apropriada.
Como exemplo de tais variáveis, citamos: alturas, pesos,pontuações em testes variados e indicadores
econômicos. Devore (2018, p. 147) afirma que “mesmo que as variáveis individuais não sejam normalmente
distribuídas, as somas e as médias das variáveis terão distribuição aproximadamente normal sob condições
adequadas”. O gráfico que representa uma distribuição normal de tais variáveis é chamado de curva normal.
Em uma distribuição normal devem ser consideradas as propriedades a seguir. Clique e veja.
A média, a mediana e a moda são iguais.
Seu gráfico tem a forma de um sino e é simétrico em torno da média.
A área total sob a curva é igual a 1.
A curva se aproxima do eixo , mas não o toca à medida que os valores das variáveis se distanciam da média.x
Há pontos em que o gráfico se curva para baixo (entre e para cima (à esquerda de e à direita de 
). São chamados de pontos de inflexão.
É importante observar que a área sob a curva normal é igual a 1, distribuídos de a , e nunca será
negativa. Veja a sua representação.
Figura 5 - LARSON; FARBER, 2010, p. 193.
Fonte: Curva Normal: representação da média e do desvio-padrão.
Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal com parâmetros e , em que e , se a
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Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal com parâmetros e , em que e , se a
função for definida por:
, com ; ; 
Assim, consideramos que as curvas dependem unicamente de e , e ela é única para e específicos.
2.2.5 Variável aleatória normal padrão
Estudamos que os parâmetros e podem assumir quaisquer valores, certo? Agora, estamos interessados nas
áreas sob as curvas, chamadas de áreas sob a curva normal que, na prática, são tabeladas. Como é impossível
construir tabelas de áreas sob as curvas normais para todos os pares imagináveis de e , essas áreas foram
tabeladas apenas para os valores e . Esta nova distribuição é denominada normal padrão.
Assim, é possível obter áreas sob qualquer curva normal a partir de uma mudança de escala que, de acordo com
Freund (2006), transforma as unidades de medições da escala original em unidades padronizadas denominadas
de escores . A unidade padronizada é a variável aleatória normal padrão.z z
Conhecemos a fórmula da função para uma variável aleatória contínua, então, basta adotar os novos valores para 
. A nova função fica definida por:
, com ; ; 
Para Devore (2018), a distribuição normal padrão não serve como modelo para uma população natural, sendo
apenas uma distribuição de referência que propicia a obtenção de informações de outras distribuições normais.
2.2.6 Padronização de variáveis aleatórias
A transformação das unidades de medições da escala original, ou escala , em unidades padronizadas , é feita ax z
partir da seguinte fórmula:
Nessa nova escala, o valor de nos diz em quantos desvios-padrão o valor correspondente de está acima ouz x
abaixo da média da distribuição.
Uma observação importante a ser considerada por Larson e Farber (2010) é que quando fazemos a
transformação de uma variável aleatória em uma variável aleatória normal padrão , o resultado será ax z
distribuição normal padrão. É possível considerar que a área sob a curva normal não padrão é a mesma que
aquela sob a curva normal padrão dentro das fronteiras de correspondentes.z
Figura 6 - FREUND, 2006, p. 219.
Fonte: Mudança de escala para unidades padronizadas: transformação da unidade de medida da escala original 
em escala padronizada.
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Clique nos números e veja as propriedades.
1 A área acumulada é perto de zero para próximos a -3,49.z
2 A área acumulada aumenta quando aumenta.z
3 A área acumulada para = 0 é 0,500.z
4 A área acumulada é próxima a 1 quando = 3,49.z
Quando fazemos a transformação da unidade de medida da escala original para a escala padronizada, queremos
encontrar um valor z que nos diga a quantos desvios-padrão o valor correspondente de x está acima ou abaixo
da média de sua distribuição.
Figura 7 - Áreas tabeladas da curva normal.
Fonte: FREUND, 2006, p. 219.
É comum precisar encontrar áreas entre dois valores de , à direita ou à esquerda de . A tabela apenas nosz z
fornece os valores positivos que estão à direita de , contudo devemos lembrar que a distribuição normal
padrão é simétrica em torno de e que são ambas iguais a 0,5.
2.2.7 A tabela de distribuição normal padronizada
A tabela de distribuição normal nos fornece o valor do a partir de uma área determinada. Por exemplo,z–escore
uma área de 0,45 é representada por e uma área de 0,2019 é representada por . Também podemos
ter o valor de e querer encontrar a área respectiva. Nesse caso, para temos que a área correspondente éz
igual a 0,4842. O valor de 2,1 é representado pela coluna de e 0,05 pela linha de .z z
Perceba que todos esses valores estão à direita de . Se precisar calcular um valor à esquerda de , como, porz
exemplo, para , então encontramos a área correspondente na tabela de distribuição normal que, nesse
caso, é igual a 0,2517, e somamos com 0,5, nos fornecendo uma área total de 0,7517. Já para uma área
compreendida entre e , temos .
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Figura 8 - Tabela que traz os valores para áreas sob a curva normal e seus respectivos .z-escores
Fonte: FREUND, 2006, p. 493.
Uma observação importante é que, embora o valor de possa ser negativo, a área sob a curva normal nunca seráz
negativa.
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Exemplo: encontre a área sob a curva normal padrão:
a) a área à esquerda de z = 0,94.
Resposta: a área à esquerda de z = 0,94 é igual a 0,500 acrescidos de 0,3264 (ver tabela com as áreas sob a curva
normal e seus respectivos ), resultando no valor correspondente de 0,8264.z-escores
b) à direita de z = -0,65.
Resposta: a área à direita de z = -0,65 é igual a 0,500 acrescidos de 0,2422 (ver tabela com as áreas sob a curva
normal e seus respectivos ), resultando no valor correspondente de 0,7422.z-escores
c) à direita de z = 1,76.
Resposta: a área à direita de z = 1,76 é igual a 0,500 subtraídos de 1,76 (ver tabela com as áreas sob a curva
normal e seus respectivos ), resultando no valor correspondente de 0,0392.z-escores
d) à esquerda de z = 1,15.
Resposta: a área à direita de z = 1,15 é igual a 0,500 acrescidos de 0,3749 (ver tabela com as áreas sob a curva
normal e seus respectivos ), resultando no valor correspondente de 0,8749.z-escores
e) à direita de z = -0,24.
Resposta: a área à direita de z = -0,24 é igual a 0,500 subtraídos de 0,0948 (ver tabela com as áreas sob a curva
normal e seus respectivos ), resultando no valor correspondente de 0,4052.z-escores
As ilustrações dadas pelos gráficos de distribuição normal sempre nos ajudam a interpretar corretamente
expressões, como no máximo, no mínimo, entre, mais de etc. Sempre é proveitoso ter um bom esboço que nos
auxilie nesta análise.
Síntese
Nesta unidade, enfatizamos a importância das variáveis aleatórias discretas e contínuas e suas funções
numéricas que nos levaram à análise de resultados desejados, como a s média, desvio-padrão e variância.
Conhecer tais parâmetros permite tomar decisões mais aprimoradas, como riscos menores de erros ou perdas
de recursos, como pessoas, produtos, tempo, financeiros e outros.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• distinguir uma variável aleatória discreta de uma variável aleatória contínua;
• construir uma distribuição de probabilidade discreta e seu gráfico, além de calcular a sua média, 
CASO
Uma empresa de instrumentos médicos fabrica termômetros que devem acusar a leitura de 0°
C no ponto de congelamento da água. Após a realização de testes em uma amostra, revelou-se
que, no ponto de congelamento da água, alguns termômetros acusavam valor superior a 0°C.
Suponha que a leitura média seja 0°C e que o desvio-padrão das leituras seja 1°C. Além disso,
considere que a distribuição de frequências dos erros se assemelhe a uma distribuição normal.
Após a escolha de um termômetro aleatoriamente, determine a probabilidade de que, no ponto
de congelamento da água, o termômetro marque 0°C e +1,58°C (TRIOLA, 2017).
Estamos diante de uma distribuição normal padronizada. É necessário encontrara área entre
z=0 e z=1,58 e pela tabela de distribuição normal a área encontrada é igual a 0,4429. Dessa
maneira, podemos afirmar que existe a probabilidade de 44,29% em escolher aleatoriamente
um termômetro com erro entre 0°C e +1,58 °C.
•
•
- -18
• construir uma distribuição de probabilidade discreta e seu gráfico, além de calcular a sua média, 
variância e desvio-padrão;
• determinar se um experimento de probabilidade é uma distribuição binomial ou de Poisson, além de 
calcular média, variância e o desvio-padrão;
• interpretar gráficos de uma distribuição de probabilidade normal;
• encontrar e interpretar ;z-escores
• encontrar áreas sob a curva normal e determinar a probabilidade para variáveis normalmente 
distribuídas.
Bibliografia
DEVORE J. L. Tradução: Solange Aparecida Visconte.Probabilidade e estatística para engenharia e ciências.
Revisão técnica: Magda Carvalho Pires. São Paulo: Cengage, 2018.
ESTATÍSTICA – Aula 09 – Distribuição de probabilidade. 2016. 1 vídeo (24 min 33 s). Publicado pelo canal
UNIVESP. Disponível em: . Acesso em: 8 jul. 2019.https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
FREUND, J. E. : economia, administração e contabilidade. Tradução: Claus Ivo Doering – 11.Estatística aplicada
ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
LARSON, R.; FARBER, B. . Tradução: Luciane Ferreira Pauleti Vianna. 4. ed. São Paulo:Estatística Descritiva
Pearson Prentice Hall, 2010.
PINHEIRO, J. I. D. . : a arte de trabalhar com dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.et al Estatística básica
TRIOLA, M. F. . 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.Introdução à Estatística
ROCHA, S. M. . 62f. 2017. Dissertação (Mestrado Profissional emDistribuição Binomial e Aplicações
Matemática em Rede Nacional - PROFMAT). Universidade Federal do Maranhão, São Luís, 2017. Disponível em: 
. Acesso em: 8 jul. 2019.http://tedebc.ufma.br:8080/jspui/bitstream/tede/1271/2/Samy%20marques.pdf
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https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
http://tedebc.ufma.br:8080/jspui/bitstream/tede/1271/2/Samy%20marques.pdf
	Introdução
	2.1 Variáveis aleatórias discretas
	2.1.1 Conceito
	2.1.2 Função de probabilidade para uma variável aleatória discreta
	2.1.3 Média, variância e desvio-padrão para variáveis aleatórias discretas
	2.1.4 Distribuição binomial
	2.1.5 Distribuição de Poisson
	2.2 Variáveis aleatórias contínuas
	2.2.1 Conceito
	2.2.2 Determinação de funções de distribuição contínua
	2.2.3 Média, variância e desvio-padrão para variáveis aleatórias contínuas
	2.2.4 Variáveis aleatórias normais
	2.2.5 Variável aleatória normal padrão
	2.2.6 Padronização de variáveis aleatórias
	2.2.7 A tabela de distribuição normal padronizada
	Síntese
	Bibliografia