EstApli-U2

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EA
D
Distribuições de 
Probabilidades
2
1. OBJETIVOS
•	 Entender	o	conceito	de	variável.
•	 Compreender	as	variáveis	discretas	e	contínuas.
•	 Desenvolver	as	aplicações	de	distribuições	de	probabilidade	e	de	frequência.
•	 Compreender	e	interpretar	a	curva	normal	como	distribuição	de	probabilidade.
2. CONTEÚDOS
•	 Variáveis	aleatórias.
•	 Variáveis	discretas	e	contínuas.
•	 Distribuição	de	frequências.
•	 Distribuição	de	probabilidade.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes	de	iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	importante	que	você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 É	importante	que	você	compreenda	os	conceitos	elementares	sobre	as	probabilidades	
frequentistas	para	que	possa	construir	os	conceitos	de	distribuição	de	probabilidades.
2)	 Durante	o	desenvolvimento	desta	unidade,	faremos	uso	constante	da	representação	
gráfica	da	curva	normal,	ou	curva	de	Gauss.	É	importante	que	você	se	habitue	a	esbo-
çar	esse	gráfico	para	facilitar	o	entendimento	dos	exercícios.
© Práticas Corporais Alternativas38
3)	 Além	do	gráfico	normal,	todos	os	exemplos	e	exercícios	são	construídos	com	o	auxílio	
da	 tabela	de	 valores	da	distribuição	normal	 padronizada.	Assim,	 é	 importante	que	
você	entenda	de	forma	plena	o	que	significa	a	padronização	e	como	consultar	a	tabela	
normal	padronizada,	conteúdos	desenvolvidos	nesta	unidade.
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Na	unidade	anterior,	estudamos	a	aplicação	e	os	conceitos	básicos	da	probabilidade,	das	
teorias	de	análise	e	combinatória.
Nesta	 unidade,	 conceituaremos	 variáveis	 aleatórias,	 discretas	 e	 contínuas.	Quando	 as-
sociamos	variáveis,	podemos	dispor	esses	valores	em	uma	tabela.	Dessa	maneira,	essa	tabela	
constitui	uma	distribuição	de	probabilidades.
Os	conceitos	de	análise	e	combinatória	serão	relembrados	nesta	unidade.
Na	maioria	das	vezes,	tomamos	decisões	administrativas	em	uma	atmosfera	de	incerte-
za.	Podemos	empregar	 índices	que	 forneçam	a	probabilidade	de	essas	decisões	 serem	bem-
-sucedidas.	É	possível	avaliar	também	o	quanto	os	conceitos	de	média	e	desvio padrão	de	uma	
distribuição	podem	ser	úteis.
As	variáveis	que	geralmente	estudamos	em	Estatística	possuem	infinitos	resultados	e	al-
guns	não	são	enumeráveis.	Por	exemplo,	a	renda	de	um	indivíduo,	o	número	de	insetos	em	uma	
região	etc.	Assim,	a	aplicação	das	probabilidades	similares	às	estudadas	na	Unidade	1	fica	com-
prometida.	Daí	a	importância	das	distribuições	de	probabilidades.
Abordaremos	também	o	conceito	de	curva normal,	chamada	de	curva de Gauss,	em	ho-
menagem	ao	cientista	que	identificou	suas	propriedades	matemáticas,	publicando	suas	desco-
bertas	no	livro	Theoria	Motus,	de	1809.
Outro	conceito	muito	importante	em	Estatística	e	presente	no	estudo	das	distribuições	de	
probabilidade	é	a	simetria.	Variável simétrica	equivale	à	média	de	uma	variável	igual	à	mediana	
e	igual	à	moda,	apresentando	menor	variação	do	que	uma	variável	não	simétrica.
Em	geral,	adotamos	letras	do	alfabeto	grego	para	fazer	referência	a	dados	populacionais	
ou	probabilísticos.	Nesta	unidade	utilizaremos	a	letra	mu	(µ )	para	representar	a	média	da	dis-
tribuição	e	a	letra	sigma	(σ )	para	o	desvio	padrão.
5. VARIÁVEL ALEATÓRIA
O	estudo	das	probabilidades	é	importante	no	contexto	da	Estatística	em	razão	de	as	variá-
veis	serem	resultado	de	coletas	de	dados,	pesquisas,	investigações,	podendo	gerar	dados	com	
erros.	Então,	há	chances	de	obtermos	resultados	representativos	ou	não,	ou	seja,	existe	sempre	
uma	probabilidade	de	o	erro	ser	suficiente	para	prejudicar	a	análise,	o	que	nos	leva	aos	cálculos	
das	probabilidades.
Devemos	utilizar	uma	medida	de	probabilidade.	Contudo,	a	variável	em	estudo	em	uma	
amostra	não	possibilita	uma	contagem	adequada,	conforme	definido	na	unidade	anterior.
Nesse	sentido,	as	formulações	de	probabilidades	não	podem	ser	aplicadas	de	imediato,	
devendo	ser	transformadas	em	uma	distribuição	de	probabilidades.
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Sabemos	que	um	experimento	aleatório	é	aquele	cujo	resultado	é	incerto,	embora	o	con-
junto	de	possíveis	resultados	seja	conhecido.	Para	exemplificar,	podemos	resolver	um	exercício	
prático.	Vejamos	o	exercício	a	seguir:
Ao	jogarmos	um	dado	duas	vezes,	qual	é	o	número	de	casos	possíveis?
Solução
Casos	possíveis:	número	1	na	primeira	jogada	e	número	1	na	segunda	jogada;	número	1	
na	primeira	jogada	e	número	2	na	segunda	jogada;	número	4	na	primeira	jogada	e	número	2	na	
segunda	jogada;	e	assim	por	diante.
Notem	que	 foram	obtidos	 resultados	 totalmente	 aleatórios,	 pois	 não	 podemos	 prever	
qual	par	de	números	irá	sair.	Porém,	podemos	quantificar	o	número	de	"pares"	possíveis.	No	
quadro	a	seguir,	estão	dispostos	todos	os	possíveis	pares	ao	jogarmos	um	dado	duas	vezes:
Quadro 1	Análise	das	probabilidades.
1	e	1 2	e	1 3	e	1 4	e	1 5	e	1 6	e	1
1	e	2 2	e	2 3	e	2 4	e	2 5	e	2 6	e	2
1	e	3 2	e	3 3	e	3 4	e	3 5	e	3 6	e	3
1	e	4 2	e	4 3	e	4 4	e	4 5	e	4 6	e	4
1	e	5 2	e	5 3	e	5 4	e	5 5	e	5 6	e	5
1	e	6 2	e	6 3	e	6 4	e	6 5	e	6 6	e	6
Notem	que	são	36	"casos	possíveis".	Veremos,	agora,	as	variáveis	discretas	e	contínuas.
6. VARIÁVEIS DISCRETAS E CONTÍNUAS
Quando	o	número	de	resultados	possíveis	pode	ser	contado,	como	no	exercício	anterior,	
a	variável	é	discreta.
Outro	exemplo	de	variável	discreta	corresponde	ao	número	de	casos	possíveis	ao	se	jogar	
uma	moeda,	o	que	implica	a	existência	de	2	possibilidades:	cara	ou	coroa.
Já	a	variável	contínua,	na	prática,	é	muito	grande,	de	modo	que	não	são	tomados	os	valo-
res	individuais,	e	sim	em	intervalos	de	classe.	Conclui-se	que	o	número	de	resultados	possíveis	
seja	infinito.
Vamos	relembrar	o	quadro	de	distribuição	de	frequência,	na	qual	os	valores	são	agrupa-
dos	em	intervalos.
Quadro 2	Distribuição	de	Frequência.
IDADE (ANOS) NÚMERO DE ALUNOS
20	 |	25 23
25	 |	30 42
30	 |	35 32
35	 |	40 12
40	 |	45 5
TOTAL 114
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A	 seguir,	 compreenderemos	 como	 ocorrem	 as	 distribuições	 de	 probabilidade	 e	 de	
frequência.
7. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Segundo	Levin	e	Fox	 (2004),	é	 fundamental	estabelecer	a	diferença	entre	distribuições	
de	probabilidade	e	distribuições	de	frequência.	Para	caracterizar	cada	uma	delas,	utilizaremos	
exemplos.	
O	Quadro	3	a	seguir	representa	a	distribuição	de	probabilidades	do	número	de	caras	em	
2	lançamentos	de	uma	moeda.
Quadro 3	Distribuição	de	probabilidades.
NÚMERO DE CARAS PROBABILIDADE (P)
0 0,25
1 0,50
2 0,25
TOTAL 1,00
Observamos	que	o	Quadro	3	se	refere	a	uma	distribuição	perfeitamente	simétrica,	com	
probabilidade	de	2	caras	igual	a	0,25,	idêntica	à	probabilidade	de	0	cara.	Esse	quadro	mostra,	
também,	que	a	probabilidade	de	1	cara	é	0,50.	Tal	distribuição	baseia-se	na	teoria das probabi-
lidades.
Vamos	a	outro	experimento.
Ao	repetirmos	10	vezes	o	lançamento	de	2	moedas	e	o	registro	do	número	de	caras,	quan-
tas	vezes	obteremos	0	cara,	1	cara,	ou	2	caras?
O	Quadro	4	a	seguir	mostra	os	resultados	obtidos	para	essa	questão.
Quadro 4	Distribuição	de	frequências	de	10	lançamentos	de	2	moedas.
Nº DE CARAS F %
0 3 30,0
1 6 60,0
2 1 10,0
TOTAL 10 100,0
Observamos	que	o	Quadro	4	representa	uma	distribuição	de	frequências,	e	não	uma	dis-
tribuição	de	probabilidades.	Os	dados	são	resultados	de	10	lançamentos	de	2	moedas.
As	porcentagens	constantes	nesse	quadro	sugerem	probabilidades,	mas	não	o	são.	A	dis-
tribuição	de	porcentagens	não	é	igual	à	de	probabilidades	do	Quadro	1.	Uma	distribuição	de	
probabilidades	é	teórica	ou	ideal,	ou	seja,	apresenta	as	porcentagens	que	deveriam	aparecer	
em	um	mundo	perfeito.	Notem	que	não	obtivemos	um	resultado	perfeito,	há	mais	resultados	
com	0	cara	do	que	com	2	caras.
Diante	dessa	situação,	percebemos	que	há	diversas	possibilidades	em	apenas	10	jogadas,	
que	poderiam	até	ter	apresentado	um	resultado	mais	assimétrico.
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Agora,	imagine	se	fôssemos	repetir	muitas	e	muitas	vezes	a	experiência	dejogar	2	moe-
das.	Por	exemplo,	1.000	vezes.
O	Quadro	5	a	seguir	mostra	esses	resultados.
Quadro 5	Distribuição	de	frequências	de	1.000	lançamentos	de	2	moedas.
NÚMERO DE CARAS F %
0 253 25,3
1 499 49,9
2 248 24,8
TOTAL 1.000 100,0
																													Fonte:	Levin	e	Fox	(2004,	p.	148).
Notem	que	agora	a	distribuição	apresenta	uma	aparência	mais	simétrica.	E	por	que	ocor-
reu	essa	situação?	Observem	que	quanto	mais	lançamentos,	mais	nos	aproximamos	das	leis	das	
probabilidades.
Uma	distribuição	de	probabilidades	é,	essencialmente,	uma	distribuição	de	frequências	
para	um	número	infinito	de	provas.	Embora	jamais	venhamos	a	observar	a	distribuição	de	um	
número	infinito	de	jogadas,	sabemos	que	ela	tem	a	aparência	do	Quadro	5.
O	mais	importante	para	nós	é	encontrar	as	propriedades	regulares	de	uma	distribuição	
de	probabilidades,	ou	seja,	suas	particularidades,	priorizando	associá-las	aos	dados	amostrais.
Suponhamos	o	lançamento	de	uma	moeda	honesta	n	vezes.	Para	cada	possível	resultado,	
registramos	o	número	de	caras	obtidas	e	calculamos	a	probabilidade	de	ocorrência.	As	proba-
bilidades	em	diversas	situações	de	lançamento	serão	dispostas	em	gráficos	de	colunas,	a	fim	de	
identificarmos	todas	as	propriedades	
A	seguir,	apresentamos	gráficos	de	distribuição	de	probabilidades.
Gráfico 1	Distribuição	de	probabilidades	para	 5n = 	lançamentos.
n=5 Lançamentos da Moeda
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5
Número de Caras
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
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Gráfico 2	Distribuição	de	probabilidades	para	 10n = 	lançamentos.
n=10 Lançamentos da Moeda
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de Caras
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
Gráfico 3	Distribuição	de	probabilidades	para	 20n = 	lançamentos.
n=20 Lançamentos da Moeda
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de Caras
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
Gráfico 4	Distribuição	de	probabilidades	para	 50n = 	lançamentos.
n=50 Lançamentos da Moeda
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Número de Caras
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
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43© U2 - TDistribuições de Probabilidades
Gráfico 5	Distribuição	de	probabilidades	para	 100n = 	lançamentos.
n=100 Lançamentos da Moeda
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100
Número de Caras
Pr
ob
ab
ili
da
de
s
Notamos	que	os	gráficos	apresentados	ficaram	simétricos	em	torno	de	um	ponto,	que	é	
a	média	do	número	de	caras.	Como	trabalhamos	com	o	espaço	amostral,	podemos	afirmar	que	
todos	os	gráficos	somam	100%	e	que,	conforme	aumentamos	o	n,	as	probabilidades	diminuem	
(observe	o	eixo	vertical)	e	os	retângulos	ficam	mais	próximos.
Ao	generalizarmos	para	 n →∞ ,	supomos	que	os	retângulos	ficarão	praticamente	gruda-
dos,	gerando	uma	curva simétrica	(curva normal)	em	torno	da	média,	com	frequência	máxima	
na	média	e	diminuída	conforme	nos	afastamos	dela.
8. MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Retomando	a	distribuição	de	frequências	do	Quadro	4,	para	10	jogadas	de	2	moedas,	va-
mos	calcular	o	número	médio	de	caras,	por	meio	da	fórmula:
( ) ( ) ( )(3) 0 (6) 1 (1) 2 8,0 0,8
10 10
X
X
n
+ +
= = = =∑
Notem	que	é	um	valor	baixo,	pois	as	leis	da	probabilidade	sugerem	1,	ou	seja,	na	jogada	
de	2	moedas,	ao	longo	do	tempo,	deveríamos	esperar	a	média	de	1	cara.
Calculando	 agora	 para	 uma	distribuição	 de	 frequências	 na	 qual	 1000n = ,	 observamos	
essa	tendência.	Para	isso,	vamos	utilizar	os	dados	do	Quadro	5.
( )( ) ( )( ) ( )( )253 0 499 1 248 2 995 0,995
1.000 1.000
X
X
n
+ +
= = = =∑
Verificamos,	portanto,	que	a	longo	prazo	nos	aproximamos	da	lei	das	probabilidades.
9. CURVA NORMAL COMO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Como	vimos	anteriormente,	tanto	as	distribuições	de	frequências	quanto	as	de	probabili-
dades	podem	apresentar-se	como	perfeitamente	simétricas	ou	sem	nenhuma	simetria.
© Práticas Corporais Alternativas44
Dentre	as	distribuições	possíveis,	a	mais	importante	é	a	curva	em	forma	de	sino	e	simétri-
ca,	conhecida	como	curva normal.
Com	base	em	uma	equação	matemática,	elaborou-se	uma	curva,	denominada	curva nor-
mal.	Essa	curva	é	um	modelo	teórico	ou	ideal,	sendo	utilizada	para	descrever	distribuições	de	
escores	ou	valores,	interpretar	o	desvio	padrão	e	fazer	afirmações	probabilísticas.
A	curva	normal	é	um	ingrediente	essencial	para	a	tomada	de	decisão	estatística,	em	que	o	
pesquisador	generaliza	seus	resultados	de	amostra	para	populações.
Para	entender	melhor	essa	curva,	vamos	às	suas	propriedades.
Propriedades da curva normal
A	curva	normal	(Figura	1)	apresenta-se	da	seguinte	forma:
												Figura	1	Curva normal.
Notem	que	a	curva	é	suave,	simétrica	e	sua	forma	lembra	um	sino.	Ela	é	unimodal,	ou	
seja,	apresenta	apenas	um	pico,	ou	ponto	de	frequência	máxima.	A	média,	a	moda	e	a	mediana	
situam-se	no	meio	da	curva,	no	pico.
A	característica	mais	marcante	dessa	curva	é	a	simetria,	pois,	se	a	dobrássemos	em	seu	
ponto	mais	alto	no	centro,	criaríamos	duas	metades	idênticas,	imagens-espelho	uma	da	outra.
Para	 distribuições	 assimétricas,	 essas	medidas	 de	 posição	 possuem	 valores	 diferentes,	
como	mostra	a	distribuição	da	Figura	2.
	







 
 
 Mo Mi Média 
Figura 2 Curva assimétrica. 
O modelo e a realidade da curva normal 
Até que ponto a distribuição normal corresponde a uma 
distribuição de dados reais? 
Levin e Fox (2004) relatam que os Quocientes Intelectuais 
(QIs) dos humanos estão próximos dessa distribuição, pois a 
maioria das pessoas apresentam QI entre 85 e 115, havendo 
																																Figura	2	Curva assimétrica.
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O modelo e a realidade da curva normal
Até	que	ponto	a	distribuição	normal	corresponde	a	uma	distribuição	de	dados	reais?
Levin	e	Fox	(2004)	relatam	que	os	Quocientes	Intelectuais	(QIs)	dos	humanos	estão	pró-
ximos	dessa	distribuição,	pois	a	maioria	das	pessoas	apresentam	QI	entre	85	e	115,	havendo	
queda	gradativa	dos	escores	em	ambas	as	extremidades.	Assim,	poucos	"gênios"	apresentam	QI	
maior	do	que	145	e	poucas	pessoas	têm	QI	inferior	a	55.
Observem	a	Figura	3	a	seguir:
Fonte:	Levin	e	Fox,	(2004,	p.	151).
Figura	3	A distribuição do QI.
Observem,	também,	que	podemos	utilizar	a	mesma	distribuição	para	as	alturas	das	pes-
soas.	Poderíamos,	ainda,	analisar	o	desgaste	de	uma	soleira	de	porta,	pois	o	maior	desgaste	
sempre	estará	no	meio	da	soleira,	ao	passo	que	nas	laterais	o	desgaste	é	menor.
À	medida	que	trabalhamos	com	a	curva	normal,	vamos	notando	que	ela	seria	a	represen-
tação	ideal	para	a	grande	maioria	dos	fenômenos	ocorridos	no	mundo	real.
As	curvas	assimétricas	podem	ser	exemplificadas	por	meio	da	distribuição	da	riqueza	no	
mundo.	Neste	caso,	a	curva	da	distribuição	seria	bem	assimétrica,	pois	há	mais	pessoas	que	
"não	têm	riquezas”	do	que	as	“que	têm	riquezas”.
Analisando a área sob a curva normal
Relembrando,	por	ser	uma	distribuição	de	probabilidades,	denominamos	a	média	por	 µ 	
e	seu	desvio	padrão	por	σ .
•	 A	média	(µ )	de	uma	distribuição	normal	situa-se	exatamente	no	seu	centro.
•	 O	desvio	padrão	(σ )	é	a	distância	entre	a	média	(µ )	e	o	ponto	da	reta-base	situado	
exatamente	abaixo	de	onde	a	parte	da	curva	em	forma	de	S	invertido	muda	de	direção.
Observem	a	Figura	4	a	seguir:	
© Práticas Corporais Alternativas46
Figura	4	Representando a média e o desvio padrão.
Utilizamos	a	distribuição	normal	na	resolução	de	problemas,	particularmente	a	área	sob	
a	curva.	E	para	determinar	uma	parcela	dessa	área	total,	traçamos	segmentos	da	reta-base	até	
a	curva.
Paraexemplificar,	podemos	traçar	uma	reta	na	média	(µ )	e	outra	no	ponto	que	está	a	1σ 	
(1	desvio	padrão)	acima	da	média.	Conforme	mostra	a	Figura	5	a	seguir,	essa	parte	delimitada	
da	curva	normal	representa	34,13%	da	frequência	total.
Figura	5	Porcentagem da área total sob a curva normal entre µ e o ponto 1σ acima de µ .
Também	podemos	representar	a	porcentagem	da	área	total	sob	a	curva	normal	entre	os	
pontos	situados	a	2σ 	e	3σ 	de	µ .
Figura	6	Porcentagem da área total sob a curva normal entre µ e os pontos situados a +2σ e +3σ de µ .
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Pela	condição	de	simetria	da	curva	normal,	podemos	afirmar	que	a	mesma	porcentagem	
que	está	à	distância	sigma	(σ )	acima	da	média	representa	a	distância	abaixo	da	média.	Assim,	
se	34,13%	da	área	total	está	entre	a	média	e	1σ 	acima	da	média,	então	34,13%	da	área	total	
está	entre	a	média	e	1σ abaixo	da	média;	se	42,72%	está	entre	a	média	e	2σ 	acima	da	média,	
então	47,72%	está	entre	a	média	e	 2σ 	abaixo	da	média.
Explicação do desvio padrão
Conhecer	o	significado	do	desvio	padrão	é	muito	 importante	para	analisar	a	curva	nor-
mal.	Para	tanto,	os	pesquisadores	Levin	e	Fox	(2004)	relatam	que	há	evidências	de	que	tanto	os	
homens	como	as	mulheres	têm	QI	(Quociente	Intelectual)	de	aproximadamente	100	(a	média).
Suponhamos	que	esses	valores	de	QI	difiram	acentuadamente	em	torno	da	média.	Consi-
deremos,	então,	que	a	distribuição	dos	QIs	dos	homens	contenha	uma	porcentagem	maior	de	
escores	extremos	que	representem	tanto	indivíduos	brilhantes	como	limitados	intelectualmen-
te,	enquanto	os	QIs	das	mulheres	apresentam	maior	porcentagem	de	valores	mais	próximos	da	
média,	ou	seja,	com	o	ponto	de	frequência	máxima	no	centro.
Como	o	desvio	padrão	é	uma	medida	de	variação	ou	dispersão,	essas	diferenças	entre	os	
sexos	na	variabilidade	devem	refletir-se	no	valor	sigma	de	cada	distribuição	de	escores	de	QI.	
Assim,	podemos	constatar	que	o	desvio	padrão	é	de	15	para	os	QIs	dos	homens,	mas	de	apenas	
10	para	os	das	mulheres.
Ao	conhecermos	o	desvio	padrão	de	cada	conjunto	de	escores	de	QI	e	supondo	que	cada	
conjunto	seja	distribuído	normalmente,	é	possível	estimar	e	comparar	as	porcentagens	de	ho-
mens	e	mulheres	que	se	enquadram	em	qualquer	intervalo	dado	de	escores	de	QI.
Por	exemplo,	medindo	a	reta-base	da	distribuição	de	QIs	masculinos	em	unidades	de	desvio	
padrão,	vemos	que	68,26%	dos	valores	de	QIs	masculinos	se	situam	entre	 1σ− e	 1σ+ 	a	contar	da	
média.	Como	o	desvio	padrão	é	sempre	dado	em	unidades	de	escore	bruto	e	 15σ = ,	sabemos	tam-
bém	que	nesses	pontos	da	distribuição	se	situam	os	escores	de	QI	85	e	115	( 100 15 85µ σ− = − = 	
e	 100 15 115µ σ+ = + = ).	Assim,	68,26%	dos	homens	teriam	escores	de	QI	entre	85	e	115.
Afastando-nos	da	média	e	para	além	desses	pontos,	constatamos,	conforme	ilustrado	na	
Figura	7	a	seguir,	que	99,74%,	ou	seja,	praticamente	a	totalidade	dos	homens,	tem	QI	entre	55	
e	145	(entre	 3σ− 	e	 3σ+ )	=	(100 45− e	100 45+ ).
Analisando	 a	 distribuição	 dos	 QIs	 femininos,	 percebemos	 que	 99,74%	 desses	 casos	
se	enquadram	entre	os	escores	70	e	130	(entre	 3σ− 	e	 3σ+ )	=	(100 30− 	e	100 30+ ).	Então,	
ao	 contrário	dos	homens,	 a	distribuição	dos	escores	de	QIs	 femininos	pode	 ser	 considerada	
relativamente	 homogênea,	 apresentando	 menor	 número	 de	 casos	 extremos	 em	 qualquer	
direção.
Essa	diferença	reflete-se	no	tamanho	comparativo	de	cada	desvio	padrão	e	na	proporção	
de	escores	de	QI	que	se	situam	entre	 3σ− 	e	 3σ+ 	a	contar	da	média.
© Práticas Corporais Alternativas48
					Figura	7	Distribuição dos escores de QI dos homens.
									Figura	8	Distribuição dos escores de QI das mulheres.
Utilização de tabela para múltiplos de sigma (σ )
Notem	que	abordamos	apenas	valores	percentuais	da	curva	para	1,	2	ou	3	desvios	padrão	
acima	ou	abaixo.	Contudo,	pode	também	haver	um	escore	localizado	a	1,40σ 	acima	da	média.	
Qual	será	o	percentual	da	curva	para	esse	valor?	Com	certeza,	será	acima	de	34,13%,	que	cor-
responde	a	1σ 	acima	da	média,	e	abaixo	de	47,72%,	porcentagem	equivalente	a	 2σ 	acima	da	
média.
Esses	valores	constam	nas	tabelas	localizadas	nos	apêndices	dos	livros	de	Estatística.	Como	
exemplo,	elaboramos	um	quadro	com	valores,	representando	a	coluna	(a)	por	Z,	o	valor	acima	
da	média	(µ ),	a	coluna	(b)	pela	área	entre	a	média	e	Z	e	a	coluna	(c)	pela	área	além	de	Z.
Quadro 6	Quadro	de	valores.
(a): Z (b): ÁREA ENTRE A MÉDIA E Z (c): ÁREA ALÉM DE Z
0,00 0,00 50,00
0,01 0,40 49,60
0,02 0,80 49,20
0,03 1,20 48,80
0,04 1,60 48,40
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49© U2 - TDistribuições de Probabilidades
(a): Z (b): ÁREA ENTRE A MÉDIA E Z (c): ÁREA ALÉM DE Z
0,05 1,99 48,01
0,06 2,39 47,61
0,07 2,79 47,21
0,08 3,19 46,81
0,09 2,59 46,41
0,10 3,98 46,02
. . .
.. .. ..
... ... ...
0,98 33,65 16,35
0,99 33,89 16,11
1,00 34,13 15,87
1,01 34,38 15,62
1,02 34,61 15,39
. . .
.. .. ..
... ... ...
1,33 40,82 9,18
1,34 40,99 9,01
1,35 41,15 8,85
1,35 41,31 8,69
1,37 41,47 8,53
1,38 41,62 8,38
1,39 41,77 8,23
1,40 41,92 8,08
1,41 42,07 7,93
1,42 42,22 7,78
. . .
.. .. ..
2,49 49,36 0,64
2,50 49,38 0,62
2,51 49,40 0,60
.... .... .....
Como	vimos,	pela	condição	de	simetria	da	curva	normal,	os	valores	do	Quadro	6	valem	
para	valores	acima	e	abaixo	da	média	µ .
Observem	 que	 uma	 distância	 sigma	 de	 1,40	 abrange	 41,92%	 da	 área	 total	 sob	 a	 cur-
va.	Para	um	valor	além	de	1,40	desvio	padrão	a	contar	da	média,	podemos	fazer	a	operação:	
50% 41,92%− ,	que	resulta	8,08%,	conforme	mostra	o	quadro	anterior.
Curva normal padronizada
Para	facilitar	a	vida	dos	usuários,	foi	desenvolvida	uma	tabela	padronizada	para	a	distribui-
ção	normal,	que	consta	no	decorrer	deste	tópico	detalhadamente,	estabelecendo	média	 0µ =
e	desvio	padrão	 1σ = .
© Práticas Corporais Alternativas50
Com	base	nos	conceitos	aprendidos,	podemos	calcular	a	porcentagem	da	área	total	sob	a	
curva	normal	associada	a	qualquer	distância	sigma	a	contar	da	média.	Mas,	como	determinar	a	
distância	sigma	de	qualquer	escore	bruto	dado?	Para	isso,	vamos	utilizar	a	fórmula:
µ
σ
Χ −
Ζ =
Em	que:
•	 Z =	escore	padronizado.
•	 X	=	escore	bruto.
•	 µ 	=	média	de	uma	distribuição.
•	 σ 	=	desvio	padrão	de	uma	distribuição.
Essa	fórmula	é	conhecida	como	fórmula	da	padronização.
Vejamos um exemplo prático
Suponha	que	estamos	estudando	a	distribuição	da	renda	anual	de	caixas	que	trabalham	
no	balcão	de	uma	cadeia	de	lanchonetes,	em	que	a	renda	anual	média	é	de	R$	14.000,00	e	o	
desvio	padrão	é	de	R$	1.500,00.	Admitindo	que	a	distribuição	da	renda	anual	seja	normal,	pode-
mos	transformar	o	escore	bruto	de	R$	16.000,00	dessa	distribuição	em	um	escore	padronizado	
da	seguinte	maneira:
16.000 14.000 1,33
1.500
−
Ζ = =+
Dessa	forma,	uma	renda	anual	de	R$	16.000,00	está	1,33	desvio	padrão	acima	(+)	da	ren-
da	média	anual	de	R$	14.000,00.	Utilizando	o	Quadro	6,	verificamos	que	40,82%	dos	caixas	de	
lanchonete	ganham	entre	R$	14.000,00	e	R$	16.000,00.	Traduzindo	em	probabilidade,	podemos	
afirmar	que	 P 0,4082= 	é	a	probabilidade	de	obtermos	um	indivíduo	cuja	renda	anual	esteja	
entre	as	duas	cifras	citadas	anteriormente.
A	Figura	9	a	seguir	apresenta	a	curva	desse	exemplo:
															 						Figura	9	A posição de 1, 33Z = + para escores de R$ 16.000,00.
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51© U2 - TDistribuições de Probabilidades
Vejamos	um	exercício	de	aplicação	da	tabela.
As	vendas	de	um	determinado	produto	têm	apresentado	distribuição	normal	com	média	
de	600	unidades/mês	e	desvio	padrão	40	unidades/mês.	Se	a	empresa	decide	fabricar	700	uni-
dades	naquele	mesmo	mês,	qual	é	a	probabilidade	de	ela	não	poder	atender	todos	os	pedidos	
desse	mês,	por	estar	com	a	produção	completa?
Solução:
700 600 100 2,5
40 40
µ
σ
Χ − −
Ζ = = = =
Pela	tabela,	temos:
(A)Z (B)ÁREA	ENTRE	A	MÉDIA	E	Z (C)ÁREA	ALÉM	DE	Z
2,49 49,36 0,64
2,50 49,38 0,62
2,51 49,40 0,60
Notem	que	abaixo	da	curva	há	49,38%	entre	a	média	600	ea	decisão	de	fabricar	700	(Fi-
gura	10).	Porém,	o	exercício	pede	a	probabilidade	de	não	poder	atender,	por	isso,	usamos	a	faixa	
além	de	700,	ou	seja,	0,62%,	ou	uma	probabilidade	igual	a	0,0062.
Para	possibilitar	maior	amplitude	de	aplicação	da	curva	normal,	apresentamos,	a	seguir,	
uma	versão	completa	da	distribuição	normal	padronizada,	cujas	probabilidades	são	definidas	
para	o	intervalo	entre	a	média	 0µ = 	e	um	valor	positivo	de	Z.
Note	que,	como	a	normal	é	simétrica,	a	probabilidade	no	intervalo	entre	a	média	e	um	
valor	negativo	é	exatamente	a	mesma	para	esse	valor	positivo,	por	isso	trabalhamos	apenas	com	
os	positivos.
Assim,	os	quadros	a	seguir	(Quadros	7,	8	e	9)	são	capazes	de	determinar	a	probabilidade	
para	qualquer	valor	de	Z	(que	nas	tabelas	está	identificado	como	Zi),	respeitando-se	a	seguinte	
configuração:
Figura	10	Curva 10.
© Práticas Corporais Alternativas52
Quadro 7	Tabela	da	normal	padronizada	para	Zi	de	0,00	a	1,43.
	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
	 i P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) i P(0<Z<Zi) 	
	 0,00 0,000000 	 0,36 0,140576 	 0,72 0,264238 	 1,08 0,359929 	
	 0,01 0,003989 	 0,37 0,144309 	 0,73 0,267305 	 1,09 0,362143 	
	 0,02 0,007978 	 0,38 0,148027 	 0,74 0,270350 	 1,10 0,364334 	
	 0,03 0,011966 	 0,39 0,151732 	 0,75 0,273373 	 1,11 0,366500 	
	 0,04 0,015953 	 0,40 0,155422 	 0,76 0,276373 	 1,12 0,368643 	
	 0,05 0,019939 	 0,41 0,159097 	 0,77 0,279350 	 1,13 0,370762 	
	 0,06 0,023922 	 0,42 0,162757 	 0,78 0,282305 	 1,14 0,372857 	
	 0,07 0,027903 	 0,43 0,166402 	 0,79 0,285236 	 1,15 0,374928 	
	 0,08 0,031881 	 0,44 0,170031 	 0,80 0,288145 	 1,16 0,376976 	
	 0,09 0,035856 	 0,45 0,173645 	 0,81 0,291030 	 1,17 0,379000 	
	 0,10 0,039828 	 0,46 0,177242 	 0,82 0,293892 	 1,18 0,381000 	
	 0,11 0,043795 	 0,47 0,180822 	 0,83 0,296731 	 1,19 0,382977 	
	 0,12 0,047758 	 0,48 0,184386 	 0,84 0,299546 	 1,20 0,384930 	
	 0,13 0,051717 	 0,49 0,187933 	 0,85 0,302337 	 1,21 0,386861 	
	 0,14 0,055670 	 0,50 0,191462 	 0,86 0,305105 	 1,22 0,388768 	
	 0,15 0,059618 	 0,51 0,194974 	 0,87 0,307850 	 1,23 0,390651 	
	 0,16 0,063559 	 0,52 0,198468 	 0,88 0,310570 	 1,24 0,392512 	
	 0,17 0,067495 	 0,53 0,201944 	 0,89 0,313267 	 1,25 0,394350 	
	 0,18 0,071424 	 0,54 0,205401 	 0,90 0,315940 	 1,26 0,396165 	
	 0,19 0,075345 	 0,55 0,208840 	 0,91 0,318589 	 1,27 0,397958 	
	 0,20 0,079260 	 0,56 0,212260 	 0,92 0,321214 	 1,28 0,399727 	
	 0,21 0,083166 	 0,57 0,215661 	 0,93 0,323814 	 1,29 0,401475 	
	 0,22 0,087064 	 0,58 0,219043 	 0,94 0,326391 	 1,30 0,403200 	
	 0,23 0,090954 	 0,59 0,222405 	 0,95 0,328944 	 1,31 0,404902 	
	 0,24 0,094835 	 0,60 0,225747 	 0,96 0,331472 	 1,32 0,406582 	
	 0,25 0,098706 	 0,61 0,229069 	 0,97 0,333977 	 1,33 0,408241 	
	 0,26 0,102568 	 0,62 0,232371 	 0,98 0,336457 	 1,34 0,409877 	
	 0,27 0,106420 	 0,63 0,235653 	 0,99 0,338913 	 1,35 0,411492 	
	 0,28 0,110261 	 0,64 0,238914 	 1,00 0,341345 	 1,36 0,413085 	
	 0,29 0,114092 	 0,65 0,242154 	 1,01 0,343752 	 1,37 0,414657 	
	 0,30 0,117911 	 0,66 0,245373 	 1,02 0,346136 	 1,38 0,416207 	
	 0,31 0,121720 	 0,67 0,248571 	 1,03 0,348495 	 1,39 0,417736 	
	 0,32 0,125516 	 0,68 0,251748 	 1,04 0,350830 	 1,40 0,419243 	
	 0,33 0,129300 	 0,69 0,254903 	 1,05 0,353141 	 1,41 0,420730 	
	 0,34 0,133072 	 0,70 0,258036 	 1,06 0,355428 	 1,42 0,422196 	
	 0,35 0,136831 	 0,71 0,261148 	 1,07 0,357690 	 1,43 0,423641 	
	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
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53© U2 - TDistribuições de Probabilidades
Quadro 8	Tabela	da	normal	padronizada	para	Zi	de	1,44	a	2,87	(continuação).
	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
	 Zi P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) 	
	 1,44 0,425066 	 1,80 0,464070 	 2,16 0,484614 	 2,52 0,494132 	
	 1,45 0,426471 	 1,81 0,464852 	 2,17 0,484997 	 2,53 0,494297 	
	 1,46 0,427855 	 1,82 0,465620 	 2,18 0,485371 	 2,54 0,494457 	
	 1,47 0,429219 	 1,83 0,466375 	 2,19 0,485738 	 2,55 0,494614 	
	 1,48 0,430563 	 1,84 0,467116 	 2,20 0,486097 	 2,56 0,494766 	
	 1,49 0,431888 	 1,85 0,467843 	 2,21 0,486447 	 2,57 0,494915 	
	 1,50 0,433193 	 1,86 0,468557 	 2,22 0,486791 	 2,58 0,495060 	
	 1,51 0,434478 	 1,87 0,469258 	 2,23 0,487126 	 2,59 0,495201 	
	 1,52 0,435745 	 1,88 0,469946 	 2,24 0,487455 	 2,60 0,495339 	
	 1,53 0,436992 	 1,89 0,470621 	 2,25 0,487776 	 2,61 0,495473 	
	 1,54 0,438220 	 1,90 0,471283 	 2,26 0,488089 	 2,62 0,495604 	
	 1,55 0,439429 	 1,91 0,471933 	 2,27 0,488396 	 2,63 0,495731 	
	 1,56 0,440620 	 1,92 0,472571 	 2,28 0,488696 	 2,64 0,495855 	
	 1,57 0,441792 1,93 0,473197 	 2,29 0,488989 	 2,65 0,495975 	
	 1,58 0,442947 	 1,94 0,473810 	 2,30 0,489276 	 2,66 0,496093 	
	 1,59 0,444083 	 1,95 0,474412 	 2,31 0,489556 	 2,67 0,496207 	
	 1,60 0,445201 	 1,96 0,475002 	 2,32 0,489830 	 2,68 0,496319 	
	 1,61 0,446301 	 1,97 0,475581 	 2,33 0,490097 	 2,69 0,496427 	
	 1,62 0,447384 	 1,98 0,476148 	 2,34 0,490358 	 2,70 0,496533 	
	 1,63 0,448449 	 1,99 0,476705 	 2,35 0,490613 	 2,71 0,496636 	
	 1,64 0,449497 	 2,00 0,477250 	 2,36 0,490863 	 2,72 0,496736 	
	 1,65 0,450529 	 2,01 0,477784 	 2,37 0,491106 	 2,73 0,496833 	
	 1,66 0,451543 	 2,02 0,478308 	 2,38 0,491344 	 2,74 0,496928 	
	 1,67 0,452540 	 2,03 0,478822 	 2,39 0,491576 	 2,75 0,497020 	
	 1,68 0,453521 	 2,04 0,479325 	 2,40 0,491802 	 2,76 0,497110 	
	 1,69 0,454486 	 2,05 0,479818 	 2,41 0,492024 	 2,77 0,497197 	
	 1,70 0,455435 	 2,06 0,480301 	 2,42 0,492240 	 2,78 0,497282 	
	 1,71 0,456367 	 2,07 0,480774 	 2,43 0,492451 	 2,79 0,497365 	
	 1,72 0,457284 	 2,08 0,481237 	 2,44 0,492656 	 2,80 0,497445 	
	 1,73 0,458185 	 2,09 0,481691 	 2,45 0,492857 	 2,81 0,497523 	
	 1,74 0,459070 	 2,10 0,482136 	 2,46 0,493053 	 2,82 0,497599 	
	 1,75 0,459941 	 2,11 0,482571 	 2,47 0,493244 	 2,83 0,497673 	
	 1,76 0,460796 	 2,12 0,482997 	 2,48 0,493431 	 2,84 0,497744 	
	 1,77 0,461636 	 2,13 0,483414 	 2,49 0,493613 	 2,85 0,497814 	
	 1,78 0,462462 	 2,14 0,483823 	 2,50 0,493790 	 2,86 0,497882 	
	 1,79 0,463273 	 2,15 0,484222 	 2,51 0,493963 	 2,87 0,497948 	
	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
© Práticas Corporais Alternativas54
Quadro 9	Tabela	da	normal	padronizada	para	Zi	maiores	que	2,87	(parte	final).
	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
	 Zi P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) Zi P(0<Z<Zi) 	
	 2,88 0,498012 	 3,24 0,499402 	 3,60 0,499841 	 3,96 0,499963 	
	 2,89 0,498074 	 3,25 0,499423 	 3,61 0,499847 	 3,97 0,499964 	
	 2,90 0,498134 	 3,26 0,499443 	 3,62 0,499853 	 3,98 0,499966 	
	 2,91 0,498193 	 3,27 0,499462 	 3,63 0,499858 	 3,99 0,499967 	
	 2,92 0,498250 	 3,28 0,499481 	 3,64 0,499864 	 4,00 0,499968 	
	 2,93 0,498305 	 3,29 0,499499 	 3,65 0,499869 	 4,01 0,499970 	
	 2,94 0,498359 	 3,30 0,499517 	 3,66 0,499874 	 4,02 0,499971 	
	 2,95 0,498411 	 3,31 0,499534 	 3,67 0,499879 	 4,03 0,499972 	
	 2,96 0,498462 	 3,32 0,499550 	 3,68 0,499883 	 4,04 0,499973 	
	 2,97 0,498511 	 3,33 0,499566 	 3,69 0,499888 	 4,05 0,499974 	
	 2,98 0,498559 	 3,34 0,499581 	 3,70 0,499892 	 4,06 0,499975 	
	 2,99 0,498605 	 3,35 0,499596 	 3,71 0,499896 	 4,07 0,499976 	
	 3,00 0,498650 	 3,36 0,499610 	 3,72 0,499900 	 4,08 0,499977 	
	 3,01 0,498694 	 3,37 0,499624 	 3,73 0,499904 	 4,09 0,499978 	
	 3,02 0,498736 	 3,38 0,499638 	 3,74 0,499908 	 4,10 0,499979 	
	 3,03 0,498777 	 3,39 0,499651 	 3,75 0,499912 	 4,11 0,499980 	
	 3,04 0,498817 	 3,40 0,499663 	 3,76 0,499915 	 4,12 0,499981 	
	 3,05 0,498856 	 3,41 0,499675 	 3,77 0,499918 	 4,13 0,499982 	
	 3,06 0,498893 	 3,42 0,499687 	 3,78 0,499922 	 4,14 0,499983 	
	 3,07 0,498930 	 3,43 0,499698 	 3,79 0,499925 	 4,15 0,499983 	
	 3,08 0,498965 	 3,44 0,499709 	 3,80 0,499928 	 4,16 0,499984 	
	 3,09 0,498999 	 3,45 0,499720 	 3,81 0,499931 	 4,17 0,499985 	
	 3,10 0,499032 	 3,46 0,499730 	 3,82 0,499933 	 4,18 0,499985 	
	 3,11 0,499065 	 3,47 0,499740 	 3,83 0,499936 	 4,19 0,499986 	
	 3,12 0,499096 	 3,48 0,499749 	 3,84 0,499938 	 4,20 0,499987 	
	 3,13 0,4991263,49 0,499758 	 3,85 0,499941 	 4,21 0,499987 	
	 3,14 0,499155 	 3,50 0,499767 	 3,86 0,499943 	 4,22 0,499988 	
	 3,15 0,499184 	 3,51 0,499776 	 3,87 0,499946 	 4,23 0,499988 	
	 3,16 0,499211 	 3,52 0,499784 	 3,88 0,499948 	 4,24 0,499989 	
	 3,17 0,499238 	 3,53 0,499792 	 3,89 0,499950 	 4,25 0,499989 	
	 3,18 0,499264 	 3,54 0,499800 	 3,90 0,499952 	 4,26 0,499990 	
	 3,19 0,499289 	 3,55 0,499807 	 3,91 0,499954 	 4,27 0,499990 	
	 3,20 0,499313 	 3,56 0,499815 	 3,92 0,499956 	 4,28 0,499991 	
	 3,21 0,499336 	 3,57 0,499822 	 3,93 0,499958 	 4,29 0,499991 	
	 3,22 0,499359 	 3,58 0,499828 	 3,94 0,499959 	 4,30
0,499999
	
	 3,23 0,499381 	 3,59 0,499835 	 3,95 0,499961 	 ou	+ 	
	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	
Vamos	dar	mais	alguns	exemplos	para	aprender	melhor	a	aplicação	da	fórmula	da	padro-
nização	e	da	tabela	da	normal	padronizada.
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55© U2 - TDistribuições de Probabilidades
Exemplo 1
Os	balancetes	 semanais	 realizados	por	uma	empresa	mostraram	que	o	 lucro	obtido	se	
distribui	normalmente	com	média	igual	a	R$	48.000,00	e	com	desvio	padrão	igual	a	R$	8.000,00.	
Qual	a	probabilidade	de	que	na	próxima	semana:
1)	 O	lucro	seja	menor	que	R$	52.000,00?
2)	 O	lucro	esteja	entre	R$	40.000,00	e	R$	R$45.000,00?
3)	 Haja	prejuízo?
4)	 Dados	do	problema:	a	variável	de	interesse	é	o	lucro	semanal	da	empresa,	que	deno-
taremos	por	X,	cuja	média	é	 48.000µ = 	e	o	desvio	padrão,	 8.000σ = .
Queremos	 calcular	 P (X 52.000)< .	 De	 início,	 devemos	 padronizar	 a	 variável	X	 para	 a	
variável	Z	da	tabela	normal	padrão,	por	meio	da	fórmula	da	padronização:
52000 48000 4000 0,50
8000 8000
µ
σ
Χ − −
Ζ = = = =
Graficamente,	como	aparece	na	Figura	11,	temos:
Figura	11	Curva 11.
Pela	tabela	da	normal	padronizada	(Quadro	7),	a	probabilidade	entre	0	e	0,50	é	0,191462	
ou	19,1462%.
Assim,	a	P (X 52.000) 50% 19,1462% 69,1462%< = + = ,	ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	
lucro	semanal	seja	menor	do	que	R$	52.000,00	é	de	69%.
Note	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	possui	o	lado	esquerdo	completo,	
que	vale	metade,	ou	seja,	50%.	Então,	somamos	50%	com	a	área	do	valor	Z	calculado.
Respondendo	à	segunda	questão,	para	calcular	 P (40.000 X 45.000)< < ,	devemos	padro-
nizar	os	dois	valores.	Assim:
X 40000 48000 8000 1,00
8000 8000
Z µ
σ
− −
= = = − = −
X 45000 48000 3000 0,375 0,38
8000 8000
Z µ
σ
− −
= = = − = − = −
© Práticas Corporais Alternativas56
Graficamente,	como	representado	na	Figura	12,	temos:
Figura	12	Curva 12.
Pela	tabela	da	normal	padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	1,00	(veja	que	a	probabilidade	
para	 -1,00	 é	 a	mesma	 que	 para	 1,00,	 em	 razão	 da	 simetria)	 é	 0,341345	 ou	 34,1345%,	 e	 a	
probabilidade	entre	0	e	0,38	é	0,148027	ou	14,8027%.
Assim:
P(40.000,00 X 45.000,00) 34,1345% 14,8027% 19,3318%< < = − =
Ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	lucro	semanal	seja	maior	do	que	R$	40.000,00	e	menor	
do	que	R$	45.000,00	é	de	19%.
Note	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	é	a	diferença	da	área	maior	para	a	
área	menor;	para	descobri-la,	subtraímos	o	maior	valor	do	menor	valor	da	tabela.
Passando	 à	 terceira	 questão,	 queremos	 calcular	 P(X 0)< ,	 pois,	 para	 que	 o	 lucro	 seja	
interpretado	como	prejuízo,	ele	deve	ser	negativo.	Padronizando	o	valor,	obtemos:
X 0 48000 48000Z 6,00
8000 8000
µ
σ
− −
= = = − = −
Graficamente,	conforme	mostra	a	Figura	13,	temos:
Figura	13	Curva 13.
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57© U2 - TDistribuições de Probabilidades
Pela	tabela	da	normal	padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	6,00	é	0,499999	ou	49,9999%.
Assim,	 a	 ( )P X 0 50% 49,9999% 0,0001%< = − = ,	 ou	 seja,	 a	probabilidade	de	que	haja	
prejuízo	na	próxima	semana	é	de	0,00001%.
Note	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	é	a	diferença	entre	a	metade	do	grá-
fico	e	a	área	da	tabela,	assim,	subtraímos	50%	do	valor	da	tabela.
Exemplo 2
Sabe-se	que	a	distribuição	salarial	de	6.000	indivíduos	que	compõem	a	população	econo-
micamente	ativa	de	um	município	é	normal,	com	média	igual	a	R$	1.565,30	e	um	desvio	padrão	
de	R$	275,80.	Calcule	a	probabilidade	e	o	número	de	indivíduos	dessa	população	que	recebem	
salários:
1)	 Entre	R$	1.300,00	e	R$	2.100,00.
2)	 Maior	do	que	R$	1.800,00.
Dados	do	problema:	a	variável	de	interesse	é	o	salário	dos	indivíduos,	que	denotaremos	
por	X,	cuja	média	 1.565,30 	e	desvio	padrão	 275,80σ = .
a)	 Para	calcular	P(1.300 X 2.100)< < ,	devemos	padronizar	os	valores.	Assim:
X 1300 1565,30 265,30Z 0,96
275,80 275,80
µ
σ
− −
= = = − = −
X 2100 1565,30 534,70Z 1,94
275,80 275,80
µ
σ
− −
= = = =
Graficamente,	conforme	exposto	na	Figura	14,	temos:
Figura	14	Curva 14.
Pela	tabela	da	normal	padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	0,96	é	0,331472	ou	33,1472%,	
e	a	probabilidade	entre	0	e	1,94	é	0,473810	ou	47,3810%.
Assim:
( )P 1300 X 2.100 33,1472% 47,3810% 80,5282%< < = + =
Ou	 seja,	 a	 probabilidade	 de	 que	 o	 salário	 do	 indivíduo	 esteja	 entre	 R$	 1.300,00	 e	 R$	
2.100,00	é	de	81%.
© Práticas Corporais Alternativas58
Note	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	é	a	soma	de	duas	áreas;	por	isso,	
somamos	os	dois	valores	da	tabela.
Quanto	à	segunda	questão,	para	calcular	 P(X 1.800)> ,	devemos	padronizar	os	valores.	
Assim:
X 1800 1565,30 234,70 0,85
275,80 275,80
Z µ
σ
− −
= = = − =
Como	aparece	graficamente	representado	na	Figura	15,	temos:
Figura	15	Curva 15.
Pela	tabela	da	normal	padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	0,85	é	0,302337	ou	30,2337%.
Assim,	a	 ( )P X 1.800 50% 30,2337% 19,7663%> = − = ,	ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	
salário	do	indivíduo	seja	maior	do	que	R$	1.800,00	é	de	19,8%.
Exemplo 3
Em	um	determinado	banco,	pela	avaliação	de	um	longo	período	de	dias	de	movimenta-
ção,	constatou-se	que	os	montantes	diários	de	depósitos	eram,	normalmente,	distribuídos	com	
média	igual	a	R$	12.000,00	e	desvio	padrão	de	R$	4.000,00	e,	ainda,	que	o	montante	de	retira-
das	também	seguia	uma	distribuição	normal,	com	média	de	R$	10.000,00	e	desvio	padrão	de	R$	
5.000,00.	Calcule	a	probabilidade	de	que	amanhã	nesse	banco:
1)	 Haja	montante	de	depósitos	superior	a	R$	13.000,00.
2)	 Haja	montante	de	retiradas	inferior	a	R$	13.000,00.
Dados	do	problema:	este	exige	mais	cuidado	na	sua	resolução,	pois	são	conhecidas	duas	
variáveis	diferentes,	ou	seja,	o	montante	de	depósitos	e	o	montante	de	retiradas.	Assim,	de-
notaremos	o	montante	diário	de	depósitos	por	X,	cuja	média	é	 12.000µ = 	e	o	desvio	padrão,	
4.000σ = ,	o	montante	diário	de	retiradas	por	Y,	cuja	média	é	 10.000µ = 	e	o	desvio	padrão,	
5.000σ = .
Resolvendo	a	primeira	questão,	para	calcular	 P(X 13.000)> ,	devemos	padronizar	os	va-
lores.	Assim:
X 13000 12000 1000 0,25
4000 4000
Z µ
σ
− −
= = = =
Graficamente,	como	aparece	na	Figura	16,	temos:
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59© U2 - TDistribuições de Probabilidades
Figura	16	Curva 16.
Pela	tabela	da	normal	padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	0,25	é	0,098706	ou	9,8706%.
Assim,	a	 ( )P X 13.000 50% 9,8706% 40,1294%> = − = ,	ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	
montante	diário	de	depósitos	seja	maior	do	que	13.000	é	de	40%.
Quanto	à	segunda	questão,	para	calcular	 P(Y 13.000)< ,	devemos	padronizar	os	valores.	
Assim:
13000 10000 3000 0,60
5000 5000
YZ µ
σ
− −
= = = =
Graficamente,	como	é	representado	na	Figura	17,	temos:
Figura	17	Curva 17.
Pela	tabela	da	normal	padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	0,60	é	0,225747	ou	22,5747%.
Assim,	a	 ( )P X 13.000 50% 22,5747% 72,5747%> = + = ,	ou	seja,	a	probabilidade	de	que	
o	montante	diário	de	retiradas	seja	menor	do	que	13.000	é	de	72%.
Exemplo 4
Sabe-se	que	um	determinado	produto	perecível	da	cesta	básica	teve	uma	demanda	média	
de	100	unidades	nos	últimos	15	meses,	com	um	desvio	padrão	de	12	unidades.	Um	determinado	
estabelecimento	 comercial	 está	 adquirindo	 uma	 grande	 quantidade	 desse	 produto	 para	 seu	
estoque,	acreditando	que,	se	os	preços	se	mantiverem	estáveis,	poderá	vender	neste	mês	mais	
do	que	180	unidades	do	produto.
© PráticasCorporais Alternativas60
Qual	 a	 probabilidade	 de	 que	 o	 estabelecimento	 realmente	 venda	 mais	 do	 que	 180	
unidades?	Considerando-se	o	resultado	obtido,	o	que	poderia	ser	recomendado	ao	comerciante?
Dados	do	problema:	a	variável	em	questão	é	a	demanda	por	certo	produto	da	cesta	básica,	
que	denotaremos	por	X,	cuja	média	é	 100µ = 	e	desvio	padrão,	 12σ = .
Inicialmente,	para	calcular	P(X 180)> ,	devemos	padronizar	os	valores.	Assim:
X 180 100 80Z 6,67
12 12
µ
σ
− −
= = = =
Graficamente,	conforme	aparece	na	Figura	18,	temos:
Figura	18	Curva 18.
Pela	tabela	da	normal	padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	6,67	é	0,499999	ou	49,9999%.
Assim,	a	 ( )P X 180 50% 49,9999% 0,0001%> = − = ,	ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	es-
tabelecimento	comercialize	mais	do	que	180	unidades	do	produto	é	de	0,0001%.
Como	o	produto	é	perecível,	não	é	 recomendável	que	o	estabelecimento	adquira	uma	
quantidade	muito	grande	dele,	pois	a	probabilidade	de	comercializá-lo	é	baixa.	Assim,	recomen-
da-se	comprar	menos	do	produto.	Mas,	aí	vem	a	pergunta:	quanto	comprar?
Por	 exemplo,	 quantas	 unidades	 o	 estabelecimento	 deveria	 comprar	 a	 fim	 de	 obter	
a	probabilidade	de	comercialização	de	85%,	ou	seja,	para	qual	valor	K	 a	probabilidade	seria	
( ) 85%P X K> = ?
Tal	problema	também	pode	ser	resolvido	com	a	normal	padronizada,	invertendo-se	o	pro-
cesso	de	resolução.	Vamos	representar	a	situação	pedida	no	gráfico	abaixo,	presente	na	Figura	
19,	isto	é,	marcar	no	eixo	horizontal	um	ponto	K,	de	forma	que	a	área	abaixo	de	K	seja	igual	a	
85%.
Claretiano - Centro Universitário
61© U2 - TDistribuições de Probabilidades
Figura	19	Curva 19.
Notemos	que	acima	do	ponto	K	visualizamos	uma	das	metades	do	gráfico	(50%)	mais	uma	
fatia	que	deverá	corresponder	a	35%	(50%	+	35%	=	85%	pedidos).	Assim,	K	deve	ser	um	valor	da	
tabela	que	fornece	a	área	de	35%.
Consultando	a	tabela,	na	coluna	das	probabilidade,	vamos	procurar	pelo	valor	mais	próximo	
de	35%	ou	0,35.	Encontramos	o	valor	mais	próximo	de	0,350830,	que	corresponde	a	 Z 1,04= .	
Como	o	ponto	está	do	lado	esquerdo	do	gráfico,	Z 1,04= − .
Substituindo	o	valor	de	Z	na	fórmula	da	padronização,	podemos	encontrar	o	valor	de	K	
da	seguinte	forma:
X K 100Z 1,04 12,48 K 10012
K 100 12,48 87,52
µ
σ
− −= ⇒− = ⇒− = − ⇒
⇒ = − =
Portanto,	para	obter	probabilidade	de	 comercialização	em	 torno	de	85%,	o	estabeleci-
mento	deveria	adquirir	uma	quantidade	próxima	de	87	unidades.
10. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	desempenho	no	estudo	desta	
unidade:
1)	 Uma	empresa	metal-mecânica	produz	um	tipo	especial	de	motor.	A	quantidade	em	estoque	desse	motor	segue	
uma	distribuição	normal	com	média	de	200	unidades	e	desvio	padrão	de	18.	Qual	é	a	probabilidade	de,	em	um	
dado	momento,	o	estoque	da	empresa	apresentar	mais	de	220	unidades?
2)	 Em	uma	indústria	cerâmica,	os	pisos	da	categoria	PEI4	são	produzidos	de	forma	a	possuírem	uma	largura	média	
igual	a	30	cm,	com	um	desvio	padrão	igual	a	1	cm.	Uma	determinada	peça	não	é	aprovada	no	controle	de	qua-
lidade	se	sua	largura	for	inferior	a	28	cm	ou	superior	a	32	cm.	Então,	qual	a	probabilidade	de	um	determinado	
piso	ser	rejeitado	no	controle	de	qualidade?
3)	 Pelos	balanços	realizados	nos	últimos	anos,	sabe-se	que	em	uma	grande	rede	de	supermercados	o	consumo	
médio	(em	unidades	monetárias)	é	igual	a	R$	80,00,	com	um	desvio	padrão	igual	a	R$	50,00.	Considerando-se	
um	dia	qualquer	de	funcionamento	dessa	rede,	qual	a	probabilidade	de	que	o	consumo	esteja	entre	R$	100,00	
e	R$	150,00?
4)	 O	Departamento	de	Marketing	de	uma	empresa,	a	fim	de	motivar	seus	funcionários,	decidiu	premiar	5%	dos	
seus	vendedores	mais	eficientes.	Sabe-se	que	as	vendas	individuais	dos	funcionários	dessa	empresa	se	distri-
buem	normalmente,	com	média	de	240	unidades	e	desvio	padrão	de	30	unidades.	Então,	quantas	unidades	
devem	ser	vendidas	no	mínimo	para	que	um	funcionário	seja	premiado?
© Práticas Corporais Alternativas62
5)	 Em	um	determinado	processo	de	controle	de	qualidade,	 foi	utilizada	uma	amostra	de	 lotes	suficientemente	
grande,	e	o	número	de	defeitos	por	lote	apresentou	uma	distribuição	normal,	com	média	de	6	defeitos	e	des-
vio	padrão	de	2	defeitos.	Sob	essas	condições,	se	for	admitido	um	máximo	de	2%	de	lotes	de	reprovados,	por	
possuírem	uma	quantidade	de	defeitos	acima	do	permitido,	qual	a	quantidade	mínima	de	defeitos	que	um	
determinado	lote	deve	possuir	para	ser	reprovado?
Gabarito 
Confira,	a	seguir,	as	respostas	corretas	para	as	questões	autoavaliativas	propostas:
1)	 A	probabilidade	de	o	estoque	apresentar	mais	do	que	220	unidades	é	13,35%.
2)	 A	probabilidade	de	o	piso	ser	rejeitado	no	controle	de	qualidade	é	4,55%.
3)	 A	probabilidade	de	o	consumo	estar	entre	R$	100,00	e	R$	150,00	é	26,3821%.
4)	 Devem	ser	vendidas	no	mínimo	290	unidades.
5)	 Devem	possuir	11	defeitos,	no	mínimo.
11. CONSIDERAÇÕES
Nesta	unidade,	vimos	que	a	curva normal	é	um	importante	instrumento	para	reconhecer	
situações	e	auxiliar	na	tomada	de	decisões	em	exercícios	que	envolvam	o	cálculo	das	probabi-
lidades.	Os	conceitos	abordados	nesta	unidade	servirão	de	base	para	aplicação	nos	testes	de	
estimação	e	de	hipóteses	que	serão	estudados	nas	unidades	seguintes.
Além	disso,	a	fim	de	possibilitar	uma	ampliação	da	aplicação	da	curva	normal	em	Estatís-
tica,	deveremos	estender	a	discussão	para	os	componentes	amostrais,	ou	seja,	as	médias	e	as	
proporções	obtidas	nas	amostras.	Quando	relacionamos	as	distribuições	de	probabilidades	com	
as	amostras,	estamos	construindo	as	distribuições	amostrais,	que	serão	estudadas	na	unidade	
seguinte.
12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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