Geometria do design Estudos sobre proporção e composição. Kimberly Elam.

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GEOMETRIA 
DO DESIGN 
Geometria do design 
Estudos sobre proporção e composição 
Kimberly Elam 
tradução Claudio Marcondes 
COSACNAIFY 
Sumário 
5 Introdução 
Proporção no homem e na natureza 
6 Proporções e preferências cognitivas 
8 Proporção e natureza 
12 Proporções do corpo humano na escultura clássica 
14 Proporções do corpo humano no desenho clássico 
18 Proporções faciais 
Proporções na arquitetura 
20 Proporções arquitetônicas 
22 Traçados reguladores de Le Corbusier 
Seção áurea 
24 Construção do retângulo áureo 
27 Proporções áureas 
29 Scção áurea e sequência de Fibonacci 
30 Triângulo e elipse áureos 
32 Retângulos áureos dinâmicos 
Retângulos de raiz 
34 Construção do retângulo de raiz 2 
36 Norma DIN de formatos proporcionais de papel 
37 Retângulos dinâmicos de raiz 2 
38 Retãngulo de raiz 3 
40 Retãngulo de raiz 4 
41 Retãngulo de raiz 5 
42 Comparação dos retângulos de raiz 
43 Análises visuais do design 
44 Cartaz "Folies·Bergêre" 
46 Car taz "Job" 
48 Cartaz "Bauhaus Ausstellung" 
50 Cartaz para o jornal L'lntransigeant 
54 Cartaz "East Coast by L.N.E.R." 
56 Cadeira Barcelona 
58 Chaise Longue 
60 Cadeira Brno 
62 Cartaz "Negerkunst" 
64 Cartaz "Wagon·Bar" 
66 Cartaz "Konstruktivisten" 
68 Cartaz "Der Berufsphotograph" 
70 Cadeira Plywood 
72 Cartaz "Konkrete Kunst" 
76 Capela do Instituto de Tecnologia de Illinois 
78 Cartaz "Beethoven" 
81 Cartaz "Musica Viva" (1957) 
82 Cartaz "Musica Viva" (1958) 
84 Cadeira Tulipa 
86 Cartaz "Vormgevers" 
88 Cartaz "Fürstenberg Porzellan" 
90 Cartaz "Majakovskij" 
92 Processador de alimentos Braun 
94 Cafeteira Aromaster Braun 
96 Chaleira 11 Conico 
98 Novo Fusca 
101 Epílogo 
102 Agradeci mentes 
103 Créditos de ilustrações 
104 Bibliografia selecionada 
105 Índice remissivo 
106 Sobre a autora 
Introdução 
nada aborrece tanto o juízo sadio quanto uma pi11· "A geometria é a linguagem do homem. Mas ao deter· 
I lr•l realizada sem conhecimento técnico, ainda que 
I 1la com cuidado e diligência. Ora, o único motivo 
P• lo qual os pintores desse tipo não se dão conta de 
11, próprios erros é o fato de não terem aprendido 
Jeometria, sem a qual ninguém pode ser, ou se tor· 
1 n, um verdadeiro artista; mas a responsabilidade por 
1 lo deve ser atribuída aos seus mestres, eles próprios 
1 1110rantes dessa arte." 
Albrecht Dürer. Unterweisung der Messing [Instrução 
p.tra medição]. 1525 
minar as distãncias respectivas dos objetos, ele inven· 
tou ritmos, ritmos sensíveis ao olho, nítidos nas suas 
relações. E esses ritmos estão no nascimento de com· 
portamentos humanos. Ressoam no homem por uma 
fatalidade orgânica, a mesma fatalidade que faz com 
que as crianças. os velhos, os selvagens, os letrados 
tracem a seção áurea." 
Le Corbusier, Por uma arquitetura, 1923 [ed. bras. 1998] 
1 'lO que é possível aperfeiçoar uma arte sobretu· " .. as proporções dos elementos formais e de seus 
J l partir de uma base matemática de pensamento.'' espaços intermediários quase sempre estão relacio· 
M.1x Bill, extraído de um texto de 1949, republicado nadas a determinadas progressões numéricos logica· 
••m Typographic Communications Today, 1989 mente dedutíveis." 
Josef Müller·Brockmann, The Graphic Artist and His De· 
sign Problems [O artista gráfico e seus problemas de 
design], 1968 
Multas vezes. como profissional do d@sign e como edu· e guardam vínculos com o estilo e a tecnologia das 
c .ulora. vi excelentes ideias conceituais acabarem pre· 
Judie adas durante o processo de realização. em grande 
po�r te devido a uma falta de entendi mente, por parte do 
eh ,,gner, dos princípios visuais da composição geomé· 
épocas em que foram produzidas, mas também com 
a intemporal idade do design clássico. Apesar das dife· 
renças que marcam tais épocas e da diversidade formal 
das obras, de pequenas obras gráficas bidimensionais 
lfl< a. Tais princípios incluem uma compreensão dos sis· a estruturas arquitetônicas, nota-se uma extraordinária 
lt 111<1s clássicos de proporções. como a seção áurea similaridade em sua concepção e ordenamento, a qual 
o·. retângulos de raiz, assim como dos conceitos de se deve ao uso deliberado da geometria. 
1111,\0 e proporção e das relações entre as formas e os Este Geometria do design não pretende usar a 
llotc;.ldos reguladores. Este livro se propõe a explicar, 
""'termos visuais, os princípios da composição geo· 
"" Inca e também a analisar, em conformidade com 
lnl' princípios, um conjunto abrangente de cartazes, 
>hiPtos e edifícios. 
1\ �eleção dessas obras teve como critério o fato de 
I• l••m passado pela prova do tempo e de serem con· 
I lnloJdas, em muitos aspectos, exemplos clássicos de 
h IIJn. Elas são apresentadas em ordem cronológica 
geometria como critério de avaliação estética, mas an· 
tes pór em evidência aquelas relações visuais que se 
baseiam em atributos essenciais tanto da vida. como 
a proporção e os padrões de crescimento, quanto da 
matemática. Seu propósito é esclarecer o processo 
projetual e oferecer coerência ao desenho por meio 
de estruturas visuais. Com tal entendimento, o artis· 
ta ou o designer poderá encontrar, por conta própria, 
mérito e valor para si mesmo e suas obras. 
Kimberly Elam 
Ringling School of Art and Design 
Primavera de 2001 
5 
6 
Proporções e preferências cognitivas 
Ao longo de toda a história, no contexto tanto do am­
biente humano como do mundo natural, jó se com­
provou uma evidente preferência cognitiva dos seres 
humanos pelas proporções baseadas na seção áurea. 
Alguns dos mais antigos indícios do emprego de um 
retãngulo áureo-ou seja, aquele no qual há uma pro­
porção de 1:1,618 entre os lados -estão na estrutura de 
Stonehenge, erguida entre 2450 e 1600 aC. Outros indí­
cios documentados encontram-se em textos e na arte 
e arquitetura dos antigos gregos. no século V aC. Mais 
tarde. artistas e arquitetos renascentistas também es­
tudaram, documentari:lm e empregaram as proporções 
derivadas da seção áurea em extraordinárias obras de 
escultura, pintura e arquitetura. E. além das obras feitas 
pelo homem, as proporções da seção áurea podem ser 
observadas no mundo natural, tanto nas proporções do 
corpo humano como nos padrões de crescimento de 
muitas plantas, animais e insetos. 
Intrigado pela seção áurea, o psicólo go alemão 
Gustav Fechner estudou, no final do século XIX, o modo 
Tabela da preferência por retângulos conforme a proporção 
razão: 
largura/comp, retângulo mal$ $eleclonado 
'% Fechner 
1:1 3,0 
5:6 0,2 
4:5 2,0 
3:4 2,5 
7:10 7,7 
2:3 20,6 
5:8 35.0 
13:23 20,0 
1:2 7.5 
2:5 1.5 
Totais: 100,0 
1:1 
quadrado 
% Lalo 
11,7 
1,0 
1,3 
9,5 
5,6 
11,0 
30,3 
6.3 
8.0 
15.3 
100,0 
:i 
;'/.: 
5:6 
retãngulo menos seleclonado 
% Fechner % Lalo 
27,8 22,5 quadrado 
19,7 16,6 
9,4 9,1 
2,5 9,1 
1,2 2,5 
0.4 0.6 
0.0 0.0 proporção áurea 
0.8 0,6 
2.5 12,5 quadrado duplo 
35.7 26.6 
100.0 100,1 
4:5 3:4 7:10 
como as pessoas reagiam as qualidades estéticas espe­
cíficas do retângulo áureo. A curiosidade de Fechner foi 
despertada pelos indícios existentes de uma predileção 
estética arquetípica e transcultural pelas proporções da 
seção áurea. 
Fechner restringiu seu experimento ao mundo hu­
mano e começou tomando as medidas de milhares de 
objetos retangulares, tais como livros, caixas, edifí­
cios, caixas de fósforo, jornais etc. E descobriu que a 
razão média dos retângulos estava próxima daquela 
Gráfico comparativo das preferências por retângulos 
Gráfico de Fechncr, 1876 e 
Gráfico de Lalo, 1908 • 
50% 
45% 
40% 
35% 
30% 
25% 
20% 
conhecida como seção áurea, ou seja, 1:1,618, e que 
a maioria das pessoas preferia os retãngulos que 
exibiamproporções semelhantes a essa. Os experi­
mentos exaustivos mas informais de Fechner acaba­
ram sendo repetidos, com maior rigor cientifico. pelo 
francês Charles Lalo em 1908, e mais tarde por ou­
tros pesquisadores, que obtiveram resultados nota­
velmente similares. 
/, ""' // '"' ""' -V / "' ._,. / / "' ""' -
15% / v "' ""- -------
10% "-.._ 
5% 
0% 
rezão 1:1 
quadrado 
5:6 
/ � � 
...-
4:5 3:4 ) 7:10 
5:8 13:23 
seção áurea 
2:3 5:8 
seção 
áurea 
-
13:23 
1 :2 
....._ 
1:2 
quadrado 
duplo 
quadrado duplo 
-=:::.::;. 
2:5 
2:5 
7 
8 
Proporção e natureza 
"O poder do segmento áureo de criar harmonia advém 
de sua capacidade singular de unir as diferentes par­
tes de um todo, de tal forma que cada uma continua 
mantendo sua identidade, ao mesmo tempo que se 
integra ao padrão maior de um todo único." 
Gyõrgy Doczi, O poder dos limites: harmonias e propor­
ções na natureza, arte e arquitetura, 1986 [ed. bras. 1990) 
A predileção pela seção áurea não se restringe ao sen­
so estético dos seres humanos; ela também faz parte 
Archítectonica nobilis 
Padrão de crescimento em espiral. 
das notáveis relações entre as proporções nos padrões 
de crescimento de seres vivos como plantas e animais. 
As formas com perfil em espiral das conchas re­
velam um padrão cumulativo de crescimento, o qual 
foi objeto de vários estudos científicos e artísticos. 
Os padrões de crescimento das conchas são espirais 
logarítmicas de proporções áureas, refletindo o que 
ficou conhecido como a teoria de um padrão de cres­
cimento perfeito. No livro The Curves of Life [As cur­
vas da vida). Theodore Andrea Cook descreve esses 
Náutllo 
Espiral áurea 
Diagrama de construção 
de um retângulo áureo e 
da espiral resultante. 
Corte transversal do Nautitus 
pompitius mostrando o padrão 
de crescimento em espiral. 
Polinices duplicatus 
Padrão de crescimento em espiral. 
padrões de crescimento como "os processos essen­
ciais da vida". Em cada etapa de crescimento, assi­
nalada por uma espiral, a nova espiral é muito próxi­
ma da proporção de um quadrado áureo maior que o 
anterior. Os padrões de crescimento das conchas d o 
náutilo e d e outros moluscos nunca exibem propor­
ções áureas exatas. Em vez disso, o que se constata 
nas proporções dos padrões de crescimento biológico 
é a tentativa, nunca alcançada, de chegar a propor­
ções áureas exatas nas espirais. 
Comparação do 
crescimento em espiral 
de uma concha e a 
proporção áurea 
Padrão pentagona l 
O pentágono e o 
pcntagrama têm 
proporções áureas, 
pois a ruzão dos lados 
elos triângulos em um 
pentagrama é 1:1,618. 
As mesmas relações 
1 resentes no pentágono/ 
p<'ntagrama silo 
••ncontradas nas 
bolachas-da-praia e nos 
llocos de neve. 
O pentágono e o pentagrama (um pentágono re­
gular estrelado) também exibem proporções áureas 
e podem ser encontrados em muitas criaturas vivas, 
como a bolacha-da-praia. As divisões internas de um 
pentágono criam um pentagrama, no qual a razão en­
tre duas linhas quaisquer tem a proporção de 1:1,618. 
9 
10 
A pinha e o girassol apresentam padrões de cresci­
mento em espiral muito semelhantes. As sementes 
dos dois crescem ao longo de duas espirais que se 
inters ectam e irradiam em direções opostas, e cada 
semente pertence a ambos os conjuntos de espirais. 
O exame das espirais da pinha revela que 8 delas se 
movem em sentido horário e outras 13 em sentido 
anti-horário, aproximando-se bastante das propor­
ções da seção áurea. A mesma proximidade com a 
seção áurea ocorre no caso das espirais do girassol: 
há 21 espirais em sentido horário e 34 em sentido 
anti-horár io. 
Os números 8 e 13, constatados nas espirais da� 
pinhas, e 21 e 34, nas dos girassóis, são bem conhe 
cidos dos matemáticos. Eles são pares adjacentes nn 
série matemática conhecida como sequência de F1 
bonacci. Nesta, cada número ê obtido pela soma do� 
dois anteriores: O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... A razão 
entre dois termos sucessivos na série tende no limite 
a 1:1,618, ou seja. à proporção áurea. 
Padrões de crescimento 
em espiral dos girassóis 
Tal como ocorre nas pi nhas. 
cada semente 
no girassol pertence a 
ambos os conjuntos de 
espirais: 21 espira is 
irradiam cm sentido 
horário, e 34.em sentido 
anti-horário. A proporção 
de 21:34 é 1:1,619- muito 
próxima de 1:1,618, a 
proporção áurea. 
Padrões de crescimento 
em espiral das pinhas 
Cada semente na pinha 
pertence a ambos os 
conjuntos de espirais: 8 delas 
irradiam em sentido horário 
e 13, em sentido anti-horário. 
A proporção de 8:13 é 1:1,625 
- também muito próxima de 
1:1,618, a proporção áurea. 
\ 
Muitos peixes também exibem medidas relaciona- Talvez parte do nosso fascínio pelo ambiente natu-
das com a seção áurea. A superposição de três dia- ral e por seres vivos como conchas. flores e peixes seja 
gramas de construção com a proporção aurea ao cor- devido à nossa predileção subconsciente pelas pro-
po de uma truta arco-íris mostra as relações entre o porções. formas e padrões associados à seção áurea. 
olho e a nadadeira caudal nos retãngulos e quadrados 
dourados recíprocos. Além disso, as nadadeiras indi-
viduais exibem proporções áureas. O peixe-anjo-azul 
enquadra-se exatamente em um retãngulo áureo, e 
sua boca e guelras estão no ponto áureo reciproco 
da altura do corpo. 
ret ãngu l o áureo 
Análise da seção áurea 
em uma truta 
O corpo de uma truta 
enquadra-se em três 
retângulos áureos. O olho 
é bissectado pelo lado de 
um retângulo áureo 
reciproco. e outro 
retângulo deste tipo define 
a nadadeira caudal. 
Análise da seção áurea em 
um peixe-anjo-azul 
Todo o corpo do peixe se 
enquadra em um retííngulo 
aureo. A boca e a guelra 
estão no retângu lo áureo 
recíproco. 
retâng ulo áureo 
11 
12 
Proporções do corpo humano 
na escultura clássica 
Assim como muitas plantas e animais compartilham 
as proporções áureas, o mesmo se dá com os seres 
humanos. Talvez outro motivo para a predileção cog­
nitiva pelas proporções áureas seja o fato de que o 
rosto e o corpo humanos exibem as mesmns relações 
proporcionais matemáticas constatadas em todos os 
seres vivos. 
Algumas das mais antigas investigações sobre pro­
porções anatómicas e arquitetônicas são encontradas 
Proporções áureas na escultura grega 
O Doríforo (o portador de lança) à esqu erda. O Zeus 
do CaboArtemísion à direita. Cada retãngulo áureo é 
representado por um retângulo com uma linha diagonal 
tracejada. Múltiplos retãngulos áureos partilham a mesma 
diagonal tracejada. As proporções das duas figuras são 
quase idênticas. 
nos tratados de um arquiteto e estudioso latino do 
prime iro século dC, Marcus Vitruvius Pollio. Vitrúvio, 
como é mais conhecido, recomendava que a arquite­
tura dos templos fosse baseada nas proporções ideais 
de um corpo humano em que todas as partes estão 
em perfeita harmonia. Ao descrever tal ideal, ele expli­
cava que a altura de um homem bem-proporcionado 
é equivalente ao comprimento de seus braços aber­
tos. A altura do corpo e o comprimento dos braços 
\ 
i-
est"nd1dos cnam um quadrado, enquanto as máos e 
os pés tocam um c rculo CUJO centro é o umb1go Nes­
se esquema. a forma humana é diVIdida ao me1o na 
v1nlha e pela seçâo aurea no umb1go As estátuas do 
Doriforo e de Zeus sllo ambas dos anos 1400 ac Em­
bora real1zadas por escultores diferentes multo tem­
po antes dos estudos de Vótrúvlo. ambas co1ncidem 
claramente com as proporções por ele recomendadas. 
13 
' 
Z•us analisado segundo o cânone de Vitrúvio 
\1111 quadrado encerra o corpo, ao passo que as mãos 
1 ·111 um círculo cujo centro coincide com o umbigo. 
A. li• Jura é d ividida ao meio na virilha e (a direita) pela 
10 .�urea no umbigo. 
estendidoscriam um quadrado, enquanto as mãos e 
os pés tocam um círculo cujo centro é o umbigo. Nes· 
se esquema, a forma humana é dividida ao meio na 
virilha e pela seção áurea no umbigo. As estátuas do 
Doríforo e de Zeus são ambas dos anos 1400 aC. Em· 
bora realizadas por escultores diferentes muito tem· 
po antes dos estudos de Vitrúvio, ambas coincidem 
claramente com as proporções por ele recomendadas. 
13 
14 
Proporções do corpo humano 
no desenho clássico 
O cânone vitruviano foi adotado por artistas renas­
centistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dürer, 
no final do século XV e início do XVI. Tanto Da Vinci 
como Dürer se dedicaram ao estudo dos sistemas de 
proporções da anatomia humana. Os experimentos de 
I 
\ 
Homem Inscrito num círculo, Albrecht Oürer, após 1521 
Dürer com vários desses sistemas podem ser vistos 
em sua obra Vier Bücher von menschlicher Proportion 
[Quatro livros sobre a proporção humana], de 1528. 
Já Leonardo da Vinci fez as ilustrações para o livro 
De divina proportione [Sobre a divina proporç5o] 
Homem vítruviano, Leonardo da Vinci, 1485-90 
\. 
de Da Vinci e de Dürer se conformam 
ao sistema de Vitrúvio. Além disso, quan­
IIMramos esses desenhos com a ajuda de so-
15 
16 
O cânone vitruviano aplicado ao Homem vltruvíano, 
de Leonardo da Vinci 
Um quadrado encerra o corpo, ao passo que as mãos e 
os pés tocam um círculo cujo centro coincide com o 
umbigo. A figura está dividida ao meio na virilha e pela 
seção áurea no umbigo. 
\ 
17 
Comparação das 
proporções de DOrer 
(om vermelho) e 
Da Vinci (em preto) 
A� proporções de 
1mbos os artistas são 
quase idênticas. 
• 
\ 
17 
18 
Proporções faciais 
O cânone de Vitrúvio abrange as proporções do ros­
to e do corpo humano. O posicionamento dos traços 
faciais revela as proporções classicas usadas na es­
cultura greco-romana. 
Embora tanto Leonardo da Vinci como Albrecht 
Dürer tenham empregado o cânone vitruviano de 
proporções anatômicas, notam-se diferenças sig­
nificativas nas proporções faciais. O sistema de Da 
Vinci para o rosto reproduz o de Vitrúvio e linhas 
Comparação de proporções faciais e seção áurea 
Detalhe da cabeça do Doríforo (esquerda). Detalhe da 
cabeça do Zeus do Cabo Artemísion (direita). Quando 
aplicamos às cabeças das estátuas o cánone vitruviano, 
notamos que as proporções são Quase idênticas. 
Estudos das proporções 
faciais por Oürer, 
c. 1526-27 
Quatro cabeças 
construídas, desenho 
publicado em Das 
Skizzenbuch von Albrecht 
Dürer [O caderno de 
rascunhos de Albrecht 
Dürer]. 1905 
de construção suaves podem ser vistas em seu de­
senho original. 
Dürer, no entanto, recorre a proporções faciais cla­
ramente diferentes. No Homem inscrito num círculo. 
as proporções são caracterizadas pe los traços con­
centrados na parte inferior do rosto e pela testa mais 
ampla, o que possivelmente revela uma predileção es­
tética comum à época. O rosto é dividido ao meio por 
uma linha no topo das sobrancelhas, com os olhos, 
O diagrama mostra Que um único retãngulo áureo rege o 
comprimento e a largura da cabeça. Esse retãngulo 
subdivide-se a seguir em retângulo s áureos menores que 
definem a posição dos outros elementos faciais. 
de-
::la­
J/o, 
::>n­
ais 
es-
•o r 
JS, 
, lloiiiZ e a boca debaixo dela; além disso, o pesco­
' , encurtado. Essas mesmas proporções reapare-
' 111 com frequência nos desenhos de Vier Bücher von 
Hlf nschlicher Proportion, de 1528. Dürer também ex­
pllllol outros tipos de proporções faciais no desenho 
!JII,rtro cabeças construídas, no qual introduz linhas 
ullllquas no grid de base a fim de obter variações. 
Os seres humanos, tal como as outras criaturas, ra-
1 11nente exibem proporções faciais ou corporais que 
comparação de proporções faciais em desenhos de 
0111 VInci e Dürer 
llt•talhes das cabeças de Homem vitruviano, de Da Vinci 
'"�querda ). e Homem inscrito num círculo, de Dürer 
<<l•reita). No desenho de Da Vinci. as proporções faciais 
•, adequam ao cânone vitruviano. ao contrário do que 
oJcorre na cabeça desenhada por Dürer. 
< S r « 
refletem perfeitamente a seção áurea, exceto nas con­
cepções artísticas manifestadas em desenhos, pintu­
ras e esculturas. O emprego da proporção áurea pe­
los artistas, sobretudo pelos gregos antigos, era uma 
tentativa de idealizar e sistematizar a representação 
da figura humana. 
19 
20 
Proporções arquitetônicas 
Além de registrar as proporções da anatomia huma­
na, Vitr uvio também era arquiteto e catalogou as 
proporções arquitetônicas mais harmoniosas. Se­
gundo ele, a arquitetura dos templos deveria se ba­
sear no corpo humano bem-proporcionado, aquele 
no qual há perfeita harmonia entre todas as par­
tes. Atribui-se a ele a introdução do conceito de 
módulo, do mesmo modo que as proporções hu­
manas se expressavam de acordo com um módu­
lo definido pela medida da cabeça ou do pé. Esse 
Desenho do Partenon, Atenas, 
c. 447-432 aC, e relação arquitetõnica 
com a seção áurea 
Análise das proporções áureas 
segundo o diagrama de construção 
da seção aurea. 
jJ-' 
' 
' ' \ 
' ' \ ' \ ' 
/ \ / ' \ 
Análise da harmonia áurea 
conceito viria a adquiri r muita importância na his­
tória da arquitetura. 
O templo do Partenon, em Atenas, é um exemplo 
do sistema de proporções usado pelos gregos an­
tigos. Um exame sumário revela que a fachada do 
edifício é contida em um retângulo áureo subdivi­
dido. O quadrado do retângulo recíproco principal 
fornece a altura do frontão, e o retângulo menor do 
diagrama determina o posicionamento do friso e da 
arquitrave. 
;- o<'lculos depois, a "proporção divina", ou seção 
''''"·foi propositalmente empregada na arquitetura 
· IC)rejas góticas. Em Por uma arquítetura, Le Cor­
li tN cita o papel do quadrado e do círculo nas pro­
ot�Oes da fachada da catedral de Notre-Dame, em 
acima do óculo. a janela circular central, que intercep­
tam as principais linhas de força verticais da catedral. 
A porta central também tem uma proporção áurea. 
como se pode ver no diagrama de construção. A pro­
porção do óculo é 1/4 do diâmetro do círculo inscrito 
O retângulo em torno da fachada da catedral no quadrado maior. 
111 ,, proporção áurea. O quadrado desse retângulo 
1111 o encerra a parte principal da fachada. e o retãn-
III•J ,\ureo recíproco inclui as duas torres. Os traçados 
u11ladores são as diagonais que se encontram logo 
101l"e das proporções e 
• •dos reguladores 
Ullndo o retângulo áureo, 
" ll'ge todas as proporções 
torres. no retângulo 
""o recíproco. Além disso, a 
''' lo inferior da fachada 
f ser dividida em seis 
"' l·ldes, cad<� qu<�l formando 
'• 11 t�ngulo áureo. 
omtlnração das proporções 
• 1110 esta na proporção de 
1" relação ao grande 
'' ttln da fachada. 
retângulo áureo recíproco 
21 
22 
Traçados reguladores de Le Corbusier 
"Do nascimento fatal da arquitetura. A obrigação da 
ordem. O traçado regulador é uma garantia contra 
o arbitrário. Proporciona a satisfação do es pírito. O 
traçado regulador é um meio; não é uma receita. Sua 
escolha e suas modalidades de expressão fazem parte 
integrante da criação arquitetural." 
L e Corbusier, Por uma arquitetura, 1923 
Redesenhada a partir de uma lápide de mármore 
descoberta em 1882, a Fachada do Arsenal do Pireu. 
Le Corbusier, Por uma arquitetura, 1923 
Le Corbusier cita os traços reguladores das divisões 
simples. que determinam a proporção entre a altura e a 
largura e orientam o posicionamento e a medida das 
portas. A fachada enquadra·se em um retãngulo áureo, 
com a posição e a altura da porta principal 
correspondendo a essa proporção. 
O interesse de Le Corbusier pela aplicação da geo­
metria e da matemática está registrado em Por uma 
arquitetura.Nesse livro, ele discute a necessidade dos 
traçados reguladores como um meio de criar ordem 
e beleza na arquitetura. e também responde à crítica 
de que "com seus traçados reguladores, vocês ma­
tarão a imaginação e entronizarão a receita". Ao que 
ele retruca: "Mas o passado nos legou provas, docu­
mentos iconográficos, estelas, lajes, pedras gravadas. 
pergaminhos. manuscritos, impressos ... [ ... ] 
��--
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� ' ' I ' I ' 
' I ' ' I .. I 
' I ' ' I 
í \ i I ,, . X f---' ' ' ' ' ' ' 
;Jeo-
:ica 
ICU .. 
Jas, 
P.va construir bem e para repetir seus esforços. 
1•1 il solidez e a utilidade da obra. ele [o homem 
1 passado] tomou medidas, admitiu um módu· 
tt>gulou seu trabalho, introduziu a ordem. [ ... ] 
,,, medir, tomou seu passo, seu pé, seu cotove· 
•HI seu dedo. Impondo a ordem com seu pé ou 
1111 �eu braço, criou um módulo que regula toda a 
l•1o�, e esta obra esta em sua escala, em sua con· 
1111 ncia, em seu bem-estar, em sua medida. Está 
'"'�)O desenho de Le Corbusier 
Le Corbusier considera o traçado regulador "um dos 
momentos da inspiração. é uma das operações capitais 
da arquitetura". Mais tarde, em 1950 publicou Le Modu· 
for: essai sur une mesure harmonique â l'échel/e humaine 
app/icab/e universel/ement â /'architecture et à la méca· 
nique [O Modulor: ensaio sobre uma medida harmónica 
em escala humana de aplicação universal na arquitetura 
e na mecânica]. O Modulor apresenta o seu sistema de 
proporções baseado na matemática da seção áurea e 
nas proporções do corpo humano. 
,I 1 ,, a série de traçados reguladores 
' loJ1.1m usados no projeto do e difício. 
li11hols vermelhas sobrepostas ao 
nho mostram o retângulo áureo e as 
·'',,,is de construção. 
&o� fw 
__ :} ___________________ _ 
I• dos traçados reguladores de 
d u�1er com os dois diagramas 
''' t rução do retângulo áureo. 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
23 
24 
Construção do retângulo áureo 
O retãngulo áureo é uma razão da "proporção divi­
na". Esta é derivada d<J divis5o de uma linha em dois 
segmentos. ta is que a razão entre o segmento todo 
AB e sua parte ma is longa AC é igua l à razão entre 
AC e a pa rte menor CB. E ta l razão é de aproximada­
mente 1,61803 para 1, também expressa como l + ís. 
Seção áurea, método de construção 
com quadrado 
1. Comece com um quadrado. 
2. Trace uma diagonal desde o ponto 
mediano A em um dos lados até o 
vértice oposto B. �ssa diagonal torna-se 
o raio de um arco de circu nferência que 
intercepta o ponto C no prolongamento 
da linha inferior do quadrado. 
O retângulo menor e o quadrado se 
tornam um retângulo áureo. 
3. Ao dividir-se o retângulo áureo, 
obtém-se um retângulo áureo menor, 
denominado recíproco. Resta uma área 
quadrada depois da subdivisão, 
também chamada de gnômon. 
4. O processo de subdivisão pode 
continuar indefinidamente, gerando 
retângulos e quadrados proporcionais 
cada vez menores. 
2 
A proporção divina: 
A 
AB = AC 
AC CB 
I 
I 
I 
I 
I 
c 
B 
retângul áureo 
I 
I 
I 
' 
' 
\ 
\ 
\ 
' 
B 
A c 
gnõmon 
(quadrado�' ' 
\ 
..... 
'
t�ãngu lo "" 
áureo 
rec�roco 
\ 
' 
\ 
' 
\ 
�-\ 
' 
\ 
' 
\ 
' 
' 
\ 
I 
1etfingulo áureo é unico porque, ao ser dividido, o 
1 u retãngulo recíproco é um retãngulo proporcional 
1111 nor. e a área remanescente após a divisão é um 
111.1drado. Os quadrados proporcionais decrescentes 
P•>d�m gerar uma espiral quando se usa um raio com 
• 1nesmo comprimento dos lados do quadrado. 
1111 um diagrama de subdivisões da 
• /lo áurea é possível construir uma 
pirai áurea. Basta usar o comprimento 
t ' t.1dos dos quadrados das subdivisões 
•1110 raio de um segmento de circulo, 
111,\o traçar e conectar os arcos em 
"'" os quadrados do diagrama. 
, ''"'drados do diagrama da subdivisão 
, ç:lo áurea mantêm entre eles a 
P•>rçl!o áurea. 
.. ---
- ..... 
\ 
' 
' 
' 
/ 
25 
26 
Retângulo áureo, método de construção 
com triângulo 
1. Comece com um triângulo reto cujos 
lados estejam na proporção 1:2. Trace um 
arco a partir de D. usando DA como raio, 
e intersecte a hipotenusa. 
2. Trace outro arco ao longo da 
hipotenusa a partir de C, usando CE 
como raio para intersectar a linha de base. 
3. Do ponto B. onde o arco intersecta a 
linha de base, trace uma linha vertical que 
toca a hipotenusa. 
4. Esse método resulta em proporções 
áureas ao definir o comprimento de AB 
e BC, que são os lados do retângulo. 
A divisão do triângulo proporciona a 
criação dos lados de um retãngulo com 
proporção áurea. pois a razão entre 
AB e BC é de 1:1,618. 
o 
o 
A 
A 
B c 
B c 
---- ---- +-------------� 
' 
' 
I 
I 
Proporções áureas 
A> divisões e proporção do método de construção 
' om triângulo geram os lados de um retângulo áureo. 
Alóm disso. o método pode resultar em uma série de 
c lrculos ou quadrados que mantêm entre si a propor­
\ .\o áurea, como se vê nos exemplos abaixo. 
retângulo 
áureo + 
A 
AB + 
ABC 
ABCD + 
ABC DE + 
ABCDEF + 
quadrado 
B = 
c = 
o = 
E = 
F : 
G = 
AB: BC +CD 
BC =CD+ DE 
CD: DE+ EF 
etc. 
retãngulo 
áureo 
AB 
ABC 
ABCD 
ABCDE 
ABCDEF 
ABCDEFG 
A c F GH 
27 
o 
lcFf 
E 
G 
F 
28 
Proporções áureas em 
círculos e quadrados 
O método de construção 
de seções aureas por meio 
do triângulo também 
produz uma série de 
círculos ou quadrados 
aureos. 
Seção áurea e sequência de Fibonacci 
As propriedades específicas da seção áurea têm es- os dois números antecessores para se obter o seguinte. 
treita relação com a série de números denominada se- Por exemplo, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 etc. A pro­
quência de Fibonacci, assim chamada em homenagem porção entre qualquer par de números na sequência 
.10 seu descobridor, o matemático Leonardo de Pisa é muito próxima da proporção áurea. Os primeiros 
(1170-1250), conhecido como Fibonacci, e que também pares da série vão progressivamente se aproximando 
101 o introdutor dos algarismos arábicos na Europa cer- da seção áurea, e, depois do 152 número, a divisão de 
ca de oitocentos anos atrás. Essa sequência de núme- qualquer número pelo subsequente tende a 0,618, e 
ros -1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34-é calculada somando-se a divisão por qualquer número anterior tende a 1,618. 
Sequência numérica de Fibonacci 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. 
1+1 =2, 
1+2=3, 
2+3=5, 
3+5=8, 
5+8=13, 
8+13=21, 
13 +21=34, 
21+34=55 
34+55=89 
2j1 2,0000 
3j2 1,5000 
5;3 1,66666 
8Js 1,60000 
13;8 1,62500 
21j13 1,61538 
34/21 1,61904 
55/34 1,61764 
89/55 1,61818 
144/89 1,61797 
233/144 1,61805 
377/233 1,61802 
610/377 1,61803 seção áurea 
29 
30 
Triângulo e elipse áureos 
O triângulo áureo é um triângulo isósceles, ou seja, 
com dois lados iguais, também conhecido como triân· 
guio "sublime", pois tem propriedades estéticas simi· 
lares às do retângulo áureo - e é o triângulo preferi· 
do pela maioria das pessoas. Facilmente construído a 
partir de um pentágono. tem ângulos de 36° no vér· 
tice e de 72• na base. Essa construção pode ainda dar 
origem a outro triângulo áureo, conectando-se o ân· 
guio da base do triângulo maior ao vértice do pentá· 
gono no lado oposto. A interligação dos vértices com 
Construção do triângulo 
áureo a partir do 
pentágono 
Comece com um 
pentágono. Conecte os 
ângulos na base ao vértice 
do pentágono, o que 
resulta em um triângulo 
áureo com ângulos de 72" 
na base e de 36" no vértice. 
Construção de triângulo 
áureo secundário a partir 
do pentágono 
A construção do pentágono 
também resulta em 
triângulos áureos secundá­
rios. Basta conectar um 
ângulo da base a um dosvértices do lado oposto. 
Construção de triângulo 
áureo a partir do decágono 
Comece com um decágono, 
ou seja, um polígono com 
dez lados. Conecte 
quaisquer dois vértices 
adjacentes ao centro para 
obter um triângulo áureo. 
as diagonais resulta em um pentagrama. O decágono, 
um polígono com dez lados, também resulta numa 
série de triângulos áureos quando o seu ponto cen· 
trai é conectado a quaisquer dois vértices adjacentes. 
Também se comprovou que a elipse áurea tem qua· 
I idades estéticas simila res às do retângulo e do triân· 
guio áureos. Tal como no retângulo, nela se constata 
a mesma proporção de 1:1,618 entre os seus dois eixos. 
o principal e o secundário. 
Elipse áurea inscrita em retângulo áureo 
Triângulo áureo inscrito em elipse áurea, 
inscrita em retângulo áureo 
I 
I 
Proporções áureas do pentagrama 
A estrela de cinco pontas criada a partir 
das diagonais de um pentágono regular 
11 um pentagrama, cuja parte central é 
outro pentágono etc. A progressão de 
pcntágonos cada vez menores é 
' onhecida como lira de Pitágoras, devido 
� sua relação com a seção áurea. 
Criação de espiral áurea a partir do 
triângulo áureo 
I Jm triângulo áureo pode ser dividido em 
111na série de triângulos áureos menores 
quando se traça um novo ângulo de 36" 
, partir de um ângulo da base. Para se 
• dar a espiral, usa-se o comprimento dos 
1.\dos dos triângulos das subdivisões 
• omo raio de um círculo . 
• 
.... ------
,,' _..............�' ',,\ 
.....,....---- /, . 31 
( 
32 
Retângulos áureos dinâmicos 
Todos os retângulos se dividem em duas categorias: 
os retângulos estáticos, com razões de frações de nú· 
meros racionais (como 1/2, 2/3, 3/3, 3/4 etc.), e os 
retângulos dinâmicos, com razões de frações de nú­
meros irracionais (como !2, !3, JS. !j> da seção áurea 
etc.). Quando divididos, os retângulos estáticos não 
resultam numa série de superfícies proporc ionais vi· 
suai mente atraentes. As subdivisões são previsíveis e 
não apresentam muitas variações. Por outro lado, os 
Retãngulos áureos 
dinâmicos 
Esses diagramas, extraídos 
de The Geometry of Art 
and Ufe [A geometria da 
arte e da vida], de Matila 
Ghyka, ilustram vários 
exemplos de subdivisões 
harmónicas de retêngulos 
áureos dinâmicos. Os 
pequenos retãngulos em 
vermelho (esquerda) 
most ram a construçao dos 
retângulos aureos. Os 
retãngutos nas cores cinza 
e vermelho (coluna 
intermediária) mostram a 
construção dos retángulos 
áureos em vermelho. com 
as subdivisões harmónicas 
em linhas cinzentas. Já os 
retãngulos com linhas 
pretas (direita) indicam 
apenas as subdivisões. 
retângulos dinâmicos produzem, ao se dividirem, uma 
interminável quantidade de subdivisões e razões de 
superfície harmoniosas em termos visuais, pois suas 
razões derivam de números irraciona is. 
O processo de div isão de um retângulo dinâmico 
em uma série de subdivisões harmõnicas é muito sim­
ples. Diagonais são traçadas entre vértices opostos e 
então uma rede de linhas paralelas e perpendiculares 
é construída a partir dos lados e das diagonais. 
I 
LO ' ' -
33 
[[] ' - -
34 
Construção do retângulo de raiz 2 
Os retángulos de raiz 2 exibem a propriedade espe­
cial de serem infinitamente divisíveis em retângu los 
proporcionais menores. Isso significa que. quando se 
divide ao meio um retángulo de raiz 2, resultam dois 
retângulos menores também de raiz 2; e, quando é 
Construção do retângulo de raiz 2, 
método do quadrado 
1. Comece com um quadrado. 
dividido em quatro. resultam quatro retângulos me no 
res de raiz 2 etc . Cabe notar ainda que as proporções 
do retângulo de raiz 2 são bem próximas da seção 
áurea: as dos retângulos de raiz 2 são 1:1,41, contra 
1:1,618 da seção áurea. 
/ / 
� ' ' 2. Trace uma diagonal no interior 
do quadrado. Use a diagonal 
como raio de um arco que 
intersecta a linha da base do 
quadrado. Complete o retêngulo 
em torno da nova figura. Este é 
um retêngulo de raiz 2. 
/ / / 
\ 
\ 
I 
\ 
Subdivisão de raiz 2 
1. O retângulo de raiz 2 pode ser 
dividido em retângulos similares 
menores. Dividindo-se o retângulo 
com a ajuda de uma diagonal, 
obtêm-se dois retângulos menores. 
Subdividindo cada um destes, 
obtêm-se sucessivamente 
retângulos menores de raiz 2. 
2. Esse processo pode ser repetido 
sem cessar, gerando uma série 
infinita de retãngulos de raiz 2. 
/ / / 
• 
/ / / 
/ 
/ 
/ / 
/ 
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/ 
/ 
/ 
retllngulon 
/ 
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'.-' / ' ' 
n� 
, / fl ' 
/ 
' ' 
' 
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/ / / / 
' ' ' ' 
' ' 
retãngulon 
I 
J 
Construção do retãngulo de raiz 2, 
método do circulo 
1. Outra maneira de se construir um 
retângulo de raiz 2 começa com o traçado 
de um c írculo. Em seguida, inscreve-se um 
quadrado no cfrculo. 
2. Prolongue os dois lados opostos do 
quadrado de modo que tangenciem o 
c írculo. O retângulo obtido é de raiz 2. 
Espiral decrescente 
de raiz 2 
Pode· se construir uma 
espiral decrescente de 
raiz 2 traçando-se e 
conectando-se as 
diagonais nos retângulos 
recíprocos de raiz 2. 
Relações proporcionais 
de raiz 2 
A subdivisão contínua 
de um retângulo de raiz 2 
resulta em retãngulos 
similares proporcionalmen· 
te menores. 
35 
36 
Norma DIN de formatos proporcionais de papel 
Os retàngul os de raiz 2, como se viu, têm a proprie­
dade de se subdividirem sem cessar cm retàngulos 
proporcionalmente menores. Por esse motivo, servem 
de base para a norma DIN - Deutsche Industrie Nor­
men (normas Industriais alemãs), um critério para a 
definição de formatos de papel. E também regem as 
proporções de muitos dos cartazes examinados nes­
te livro. Uma dobra inicial no meio da folha resulta 
em d uas meias-folhas. ou fólios. Dobrando-se quatro 
A2 
A1 
A4 
A3 
AS 
Al 
A2 
vezes a folha original, obtêm-se quatro folhas meno 
res ou oito páginas impressas etc. Esse sistema não 
só é eficiente, como t ambém otimiza o uso do papel. 
As cidades europeias nas quais é tradicional o uso 
de cartazes dispõem de áreas publicas próprias para 
eles com essa proporção. Além da vantagem prát1ca 
de evitar o desperdício no uso das folhas de papel, o 
retângulo de raiz 2 se aprox1ma das propriedades es­
téticas da seção áurea. 
A3 
A4 
AS 
I 
I 
Rotângulos dinâmicos de raiz 2 
I> o mesmo modo que os retângulos âureos, os re- O processo de divisão harmônica requer o traçado 
t.,ngulos de raiz 2 são conhecidos como retângulos de diagonais e, depois, o traçado de uma rede de li-
•llnâmicos, pois, como aqueles, produzem uma varie- nhas paralelas e perpendiculares aos lados e às diago­
' 1.1de de subdivisões e combinações harmônicas que na is. Os retângulos de raiz 2 sempre vão se subdividir 
·.c>mpre guardam as proporções do retângulo original. em um número equivalente de retângulos recíprocos. 
Divisões harmônlcas dos 
rttângulos de raiz 2 
ll•�querda) Divisão de 
urn retãngulo de raiz 2 
' m 16 retângulos menores 
do raiz 2. 
(<l<reita) Divisão de um 
111tangulo de raiz 2 em 
4 colunas e ângulos 
Hltacentes. 
c�>squerda) Divisão de 
lltn retângulo de raiz 2 
• m 9 retângulos 
n1cnores de raiz 2. 
!direita) Divisão de um 
111tangulo de raiz 2 em 
! 1etângulos menores 
•I" raiz 2 e 3 quadrados. 
wsquerda) Divisão de um 
'' tângulo de raiz 2 em 5 
t•ttàngulos menores de raiz 
) e 2 quadrados. 
1 direita) Divisão de 2 
'' têngulos de raiz 2. 
' ' ' ' 
I 
\ 
37 
38 
Retângulo de raiz 3 
Assim como o retângulo de raiz 2 pode ser dividido O retângulo de raiz 3 tem a propriedade de per 
em outros retãng u los similares, o mesmo se dá com os mitir a construção de um prisma hexagonal regular. 
retángulos de raiz 3, raiz 4 e raiz 5. Esses retângulos Esse hexágono é encontradotambém na forma dos 
podem ser divididos tanto na vertical como na horizon- cristais de neve, dos favos de mel e em muitas outras 
tal. O de raiz 3 pode ser subdividido em 3 retãngulos estruturas do mundo natural. 
verticais de raiz 3; e estes, por sua vez. em 3 retângulos 
horizontais de raiz 3 etc. 
Construção de raiz 3 
1. Comece com um retângulo de raiz 2. 
2. Trace uma diagonal no interior do 
retângulo de raiz 2. Use a diagonal como 
taio dê ur'n arco de circunferência que 
intersecta o prolongamento da linha na 
base do retângulo de raiz 2. Complete o 
retângulo em torno da figura. Este é um 
retângulo de raiz 3. 
Subdivisão de raiz 3 
O retângulo de raiz 3 pode ser dividido 
em retãngulos similares menores. Divida o 
retãngulo em três retãngulos menores. 
Divida de novo cada um destes em 
retângulos de raiz 3 ainda menores. Esse 
processo pode ser repetido sem cessar, 
criando-se assim uma série infinita de 
retângulos de raiz 3. 
/ / 
/ / 
/ 
/ 
' 
\ 
/ ' 
' 
\ 
I 
\ 
\ 
Construção de hexágono 
É possível construir um 
hexágono a partir de um 
retângulo de raiz 3. Para 
tanto. gira-se o retângulo 
em torno de seu eixo 
central de modo que os 
vértices se encontrem. 
39 
40 
Retângulo de raiz 4 
Construção de raiz 4 
1. Comece com um retângulo de raiz 3. 
2. Trace uma diagonal no interior do 
retângulo de raiz 3. Use a diagonal como 
raio de um arco de circunferência quê 
intersecta o prolongamento da linha da 
base do ratângulo. Complete o retângulo 
em torno da figura. Este é um retângulo 
de raiz 4. 
Divisão de raiz 4 
O retângulo de raiz 4 pode ser dividido 
em retângulos similares menores. Divida o 
retângulo em 4 retângulos menores. Em 
seguida, subdivida cada um destes em 
retângulos de raiz 4 ainda menores. Esse 
processo pode ser repetido sem cessar, 
criando-se assim uma série infinita de 
retãngulos de raiz 4. 
/ / / 
/ / / 
/ 
/ 
/ / 
/ / / / 
/ 
/ 
/ / 
/ / 
/ / / / 
' 
' 
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J,rt 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
Retângulo de raiz 5 
Construção de raiz 5 
I. Comece com um retângulo de raiz 4. 
2. Trace uma diagonal no interior do 
retângulo de raiz 4. Use a diagonal como 
raio de um arco de circunferência que 
Intersecta o prolongamento da linha na 
l>ase do retângulo de raiz 4. Complete o 
1etângulo em torno da figura. Este é um 
rctãngulo de raiz 5. 
Divisão de raiz 5 
O retãngulo de raiz 5 pode ser dividido 
um retàngulos similares menores. Divida o 
retângulo em 5 retângulos menores. Em 
\eguida, subdivida cada um destes em 
retângulos de raiz 5 ainda menores. Esse 
processo pode ser repetido sem cessar. 
cnando-se assim uma série infinita de 
1etângulos de raiz 5. 
Raiz 5, método de construção 
com quadrado 
Outra maneira de construir um retàngulo 
d!' raiz 5 parte de um quadrado. Um 
emicfrculo é traçado a partir do ponto 
central da linha de base do quadrado. Em 
'oguida, prolonga-se o quadrado de modo 
.ffncluir os arcos em ambos os lados. 
Os pequenos retãngulos em ambos os 
I. Idos do quadrado são retângulos áureos, 
,. cada um deles, juntamente com o 
qt1adrado original, forma outro retãngulo 
flureo. Os dois retêngulos áureos e o 
quadrado formam um retãngulo de raiz S. 
--
+ 
---
41 
42 
Comparação dos retângulos de raiz 
, 
.... : .. ": ........... .. 
,;_�;;;;;;:) ::------, 
' 
' 
_- , 
' 
' 
' 
' 
>' 
/ ' 
' 
' 
Análises visuais do design 
Não há melhor maneira de iniciar esta análise de exemplos clássicos do design 
gráfico, ilustração. arquitetura e design industrial do que recorrendo a uma intro­
dução escrita por Le Corbusier. 
Em seu livro Le Modu/or, ele fala de uma revelação que teve durante sua juven­
tude em Paris. 
"Um dia. sob a lamparina o óleo em seu quartinho parisiense, alguns cartões-pos­
tais com obras de arte estavam espalhados sobre a mesa. Seu olho deteve-se em 
uma imagem do Capitólio de Michelangelo, em Roma. Ele virou outro cartão, dei­
xando-o com o verso para cima, e intuitivamente um de seus ângulos (um ângulo 
reto) cobriu a fachada do Capitólio. De repente, ele ficou impressionado de novo 
com \)ma verdade corriqueira: o ângulo reto rege a composição; os lieux (lieux de 
l'angle droit, "localizações do ângulo reto") ordenam toda a composição. Para ele 
isso foi uma revelação. uma certeza. O mesmo teste funcionou com uma pintura 
de Cézanne. Mas ele desconfiou de seu próprio veredicto, dizendo a si mesmo que 
a composição de uma obra de arte é ordenada por regras: tais regras podem ser 
métodos conscientes, apropriados c sutis, ou podem ser regras corriqueiras, apli­
cadas desatentamente. Elas também podem estar implícitas no instinto criativo 
do artista, como manifestação de uma harmonia intuitiva, o que sem dúvida era o 
caso de Cézanne. Já Michelangelo era de outra natureza. mais propenso a seguir 
planos conscientes, preconcebidos e deliberados. 
Foi um livro que lhe trouxe a certeza: algumas páginas da Historie de I'Architecture 
[História da arquitetura], de Auguste Choisy, que falavam do tracé regu!ateur (tra­
çado regulador). Então havia coisas como traçados reguladores que determinavam 
a composição? 
Em 1918 decidiu dedicar-se seriamente à pintura. Os dois quadros iniciais foram 
compostos a esmo. Já no terceiro. em 1919, tentou preencher a tela de maneira 
ordenada. O resultado mostrou-se quase satisfatório. Então veio a quarta pintura, 
uma réplica me) horada da terceira, devido ao plano categórico que a unificava. 
continha e lhe dava uma estrutura. Depois houve a série de pinturas feitas em 1920 
(expostas na Galerie Druet. em 1921), todas rigorosamente baseadas na geometria. 
Dois recursos matemáticos foram usados nesses quadros: a posição do ângulo 
reto e a razão áurea." 
Essa percepção deLe Corbusier é valiosa para todos os artistas. designers e arqui­
tetos. A compreensão dos princípios organizativos geométricos permite atribuir a 
uma obra criativa um sentido de coesão compositiva, o qual por sua vez confere 
a todos os elementos um senso de adequação visual. Por meio do exame de ca­
racterísticas geométricas. esquemas e proporções, pode-se entender melhor as 
intenções e o raciocínio dos designers e arquitetos. Essa análise esclarece o pro­
cesso de criação c proporciona uma explicação racional para muitas das decisões 
tomadas em tais obras, seja o ordenamento geométrico intuitivo ou proposital. 
aplicado com rigidez ou adotado de maneira casual. 
43 
• 
44 
Cartaz "Folies-Bergere", Jules Chéret, 1877 
O cartaz "Folies-Bergere", de Jules Chéret (1836-1932). 
é uma obra fascinante e repleta de dinamismo que cap­
tura o movimento de um grupo de dançarinos. A pri­
meira vista, parece ser uma composição espontânea e 
desprovida de ordenamento geométrico, mas um exa­
me mais detido revela uma estrutura visual cuidadosa. 
menor e proporcional. A razão dos lados dos triângu­
los no interior de um pentagrama é 1:1,618, a razão áu­
rea. O centro exato do cartaz é um ponto pivotante no 
quadril da dançarina, e as pernas estendidas dos seus 
companheiros criam um triângulo invertido, a ponta su­
perior do pentagrama que a enquadra. Os membros e 
As posições dos membros dos dançarinos correspon- os ombros de todas as figuras são dispostos com exa­
dem a um pentágono inscrito em um círculo. ti dão em conformidade com a geometria da estrutura. 
As divisões internas do pentágono criam um penta­
grama que, por sua vez, delimita um outro pentágono 
I ' 
l. 
"'lesmo a figura menor 
arte onfenor partac1pa 
estrutura na med dil 
e sua cabeça toca o 
o e o per>tagono 
a•xo) O tnãngulo 
do pelas pemas dos 
ar nos e um tnângulo 
O pentagrama 
As subdiVISões do pePtágono c r am uma 
estrela Interna de cinco pontas CUJO 
centro é outro pentagono. A seçâoáurea 
está presente alo. nos tnángulos. a razão 
entre os dOIS lados 1gua1s B e C, e a base 
A é 1.1.618. ou seJa. a razão áurea 
\ 
Análise 
Na ordenação das três 
f1guras estão implícitos 
primeiro um círculo. depois 
um pentágono, em 
seguida um pentagrama e, 
por fim, outro pentágono, 
com o centro no ponto 
pivotante localizado no 
quadril da dançarina. 
Até mesmo a figura menor 
na parte inferior participa 
dessa estrutura, na medida 
em que sua cabeça toca o 
circulo e o pentágono. 
(embaixo) O triângulo 
formado pelas pernas dos 
dançarinos é um triângulo 
áureo. 
O pentagrama 
As subdivisões do pentágono criam uma 
estrela interna de cinco pontas cujo 
centro é outro pentágono. A seção áurea 
está presente ali: nos triângulos. a razão 
entre os dois lados iguais, 8 e c. e a base 
A é 1:1,618. ou seja, a razão áurea. 
B c 
o 
45 
46 
Cartaz "Job", Jules Chéret, 1889 
um mestre da impressão, o parisiense Chéret é consi- ele foi assíduo frequentador dos principais museus 
derado um dos responsáveis por elevar ao patamar de de arte da Europa, onde estudava atentamente as 
forma artística a técnica conhecida como cromolito- obras dos grandes pintores. 
grafia. Seu dominio dessa técnica foi a consequência Muitos dos cartazes de Chéret alcançaram êxito 
de uma aprendizagem iniciada aos 13 anos de idade. imediato, devido ao belo jogo de cores e às mara­
Em termos de educação formal no cnmpo da arte e vilhosas figuras que os ilustravam. Ele aproveita­
do desenho, Chéret fez apenas um curso na École va ao máximo os recursos da cromolitografia, as­
Nationale de Dessin, onde provavelmente tomou con- sim como os princípios da composição, usando-os 
tato com a geometria e os princípios da composição. para conferir unidade a esta e muitas outras de 
Apesar das limitações de sua formação acadêmica. suas obras. 
Análise 
Um círculo cujo centro 
o•ncide com o ponto 
entrai do cartaz determ ina 
n posicionamento da figura 
!••minina e do título "Job". 
A. diagonal entre o canto 
uperior direito e o inferior 
• �querdo organiza o 
posicionamento da cabeça, 
do olho e da mão. Já a 
nutra diagonal passa pelo 
�>mbro e define o limite 
lo quadril. 
O pentagrama e a proporção 
do cartaz 
Nota-se que as proporções do 
formato do cartaz se baseiam no 
esquema conhecido como ·'página 
pentagonal". A base do cartaz 
coincide com o lado inferior do 
pentagono e sua altura estende-se 
até tocar o círculo. 
47 
48 
Cartaz "Bauhaus Ausstellung", Fritz Schleifer, 1922 
Fritz Schleifer (1903-77) celebra os princípios do 
construtivismo em seu cartaz de 1922 para a Bauhaus 
Ausstellung (Exposição Bauhaus). Seguindo os ideais 
construtivistas da época, o rosto humano e a tipo­
grafia são apresentados de maneira abstrata, com as 
formas geométricas simplificadas que caracterizam 
a era das máquinas. 
O rosto geométrico, concebido por Oskar Schlem­
mer como parte de um selo da Bauhaus, é submeti­
do a uma simplificação ainda maior e abreviado em 
Selo da Bauhaus, 
Oskar Schlemmer, 1922 
cinco formas retangulares e depuradas graças à 
el iminação das finas linhas horizontais e verticais. 
A largura do menor retângulo, que representa a 
boca, é o módulo de medida para a largura dos 
outros retângulos. 
A tipografia. concebida para ser compatível com 
os elementos retangulares do rosto. ecoa as rígidas 
formas angulares. Em seu desenho, os tipos são si­
milares àqueles originalmente concebidos por Theo 
van Ooesburg em 1920. 
BRUHRUS 
RUSSTELLUn 
WEimRR 
.AUu SEPT 1!323 
f 
oesign dos tipos 
Baseada em um quadrado de 5 por 5 unidades, a 
estrutura dos tipos permite que os caracteres mais 
largos, M e W, ocupem o quadrado todo, com cada traço 
e contraforma ocupando uma unidade. Os caracteres 
mais estreitos ocupam uma porção do quadrado com 
S por 4 unidades, com cada traço ocupando uma 
unidade, e as contra formas ampliadas até duas unidades. 
O B e o R são exceções, na medida em que mais meia 
unidade é reservada para as formas originalmente 
arredondadas, assim como para marcar as diferenças 
entre o R e o A e entre o B e o numeral·8. 
Análise 
O olho está alinhado com 
o eixo vertical central. 
Os outros elementos 
faciais são dispostos em 
relações assimétricas com 
esse eixo. A tipologia fica 
alinhada, no alto e 
embaixo, ao retãngulo 
que representa 
o pescoço. 
Proporções entre as 
larguras dos retângulos 
(considerando-se a 
largura a menor dimensão 
dos retângulos) 
'�� 
cabeça, nar;:_. 
que1xo 
pescoço 
olho 
.. ., 
� ·;: " 
"' .. ., .. ., 
·;: " 
� 
"' 
N 
';:> 
.. ., .. ., 
c " 
.. ., .. ., ·;: " 
UHSG 
em 
EIEi' 
49 
50 
Cartaz para o jornal L'lntransigeant, A. M. Cassandre, 1925 
"O módulo expresso matematicamente serve apenas 
para confirmar uma percepção espontânea. A razão 
áurea só define a proporção 1deal previamente intui da 
pelo artista; trata-se antes de um meio de verificação 
do que um sistema (ela estaria condenilda [se fosse] 
mais um SIStemil)." 
Diário, Adolphe Mouron (A. M. Cassandre), 1960 
Concebido em 1925 por Adolphe Mouron (1901-68) -
que se tornaria mais conhecido sob o pseudónimo de A. 
M. Cassandre - para o jornal parisiense L'lntransigeant, 
o cartaz é ao mesmo tempo um triunfo conceituai e 
um exemplo de construção geométrica. Um triunfo por 
traduzir a figura de uma cabeça feminina no símbolo 
visual de Marianne, a personificação da França. 
Cassandre teve formação artística acadêmica e es· 
tudou pintura em diversos ateliês de Paris. Na verdade, 
dotou o pseudôn1mo de Cassandre com a 1ntenção 
.Jsar o nome verdade•ro em seus quadros. Con­
oo. logo f1cou fnscmado pelas artes gráficas, nelas 
vmbrando mais poss1b11idades de uma v1gorosa ex­
r :nentação do que na pirotura Outros aspectos que 
trafam eram a 1de1a de comunicação de massa e 
a prát•ca art1stcca desv1nculada das trad1c1ona•s e 
renhas distinções de classe.Devcdo a seus •nteres­
e estudos no campo da pmtura, Cassandre acabou 
ato do cartaz está ordenado segundo um 
to do modulos de 6 por 8 un1dades. propore onan­
campos v sua1s quadrados Todos os elementos 
u m· se a esse gnd em termos de pOSIÇêo e 
orçlio o onf cio do ouv1do f1ca na ntersccção 
campos visuaiS ass1m como o centro da boca 
nto de L esta no centro exato do cartaz. O que1xo 
profundamente Influenciado pelo cub1smo Em uma 
entrevista de 1926, ele ass1m descreveu esse MOVI· 
mento: " ... sua lóg1ca Implacável e o esforço do artis­
ta para construir geometncamente a obra trazem à 
luz o aspecto eterno, o aspecto impessoal. para além 
de toda cont1rogênc1a e complexidade 1ndiv1dua1s" Ele 
reconhecia que sua própna obra era 'essencialmente 
geométnca e monumental" e que os elementos de 
construção geométnca eram perceptíveiS em quase 
da f1gura enca xa-se num de ses campos, ass m como 
o poste de telégrafo O êngulo de 45° do pescoço 
estende-se de um vért1ce a outro de um quadrado oue 
abrange quatro campos vsua1s. Os fios do te égrilfo 
saetl' do centro do ouv1do em ángulos sucossrvos de 15°, 
formando do•s ângulos de 45° acima e embacxo da I nha 
honzootill centra . 
SI 
adotou o pseudônimo de Cassandre com a intenção 
de usar o nome verdadeiro em seus quadros. Con­
tudo, logo ficou fascinado pelas artes gráficas, nelas 
vislumbrando mais possibilidades de uma vigorosa ex­
perimentação do que na pintura. Outros aspectos que 
o atraíam eram a ideia de comunicação de massa e 
uma prática artística desvinculada das tradicionais e 
ferrenhas distinções de classe.Devido a seus interes­
ses e estudos no campo da pintura, Cassandre acabou 
Análise 
O formato do cartaz está ordenado segundo um 
conjunto de módulos de 6 por 8 unidades. proporcionan­
do 48 campos visuais quadrados. Todos os elementos 
adequam-se a esse gridem termos de posição e 
proporção. O orificio do ouvido fica na intersecção 
desses campos visuais. assim como o centro da boca. 
O canto do L está no centro exato do cartaz. O queixo 
profundamente influenciado pelo cubismo. Em uma 
entrevista de 1926, ele assim descreveu esse movi­
mento: " ... sua lógica implacável e o esforço do artis­
ta para construir geometricamente a obra trazem à 
luz o aspecto eterno, o aspecto impessoal, para além 
de toda contingência e complexidade individuais". Ele 
reconhecia que sua própria obra era "essencialmente 
geométrica e monumental" e que os elementos de 
construção geométrica eram perceptíveis em quase 
da figura encaixa-se num desses campos, assim como 
o poste de telégrafo. O ângulo de 45• do pescoço 
estende-se de um vértice a outro de um quadrado que 
abrange quatro campos visuais. Os fios do telégrafo 
saem do centro do ouvido em ângulos sucessivos de 15•, 
formando dois ângulos de 45• acima e embaixo da linha 
horizontal central. 
51 
52 
todos os seus cartazes. Cassandre tinha plena cons­
ciência da força visual do círculo e o empregou deli­
beradamente neste cartaz e em vários outros com o 
objetivo de dirigir e concentrar o olhar do observador. 
Além da pintura cubista, a obra de Cassandre foi 
influenciada pelo Sa ch Plakat (cartaz-objeto), um 
movimento de artes gráficas que procurou se afas­
tar da tendência expressiva e ornamental do passado 
ressaltando sobretudo a objetividade e a função. Tal 
filosofia refletiu-se na Bauhaus da década de 1920 e 
deixou repetidas marcas nos cartazes que Cassandre 
desenhou ao longo de sua carreira. Neste cartaz. o tí­
tulo do jornal é abreviado para L 'lntrans no cabeçalho 
que se sobrepõe a um símbolo mais poderoso, a figura 
de Marianne, a voz da França. 
Ângulos e raiz de 2 
O formato do cartaz é um retângulo de raiz 2. O olho 
da figura é bissectado pela diagonal do retãngulo de raiz 
2, indicada por uma linha tracejada. Essa diagonal 
também bissecta o centro do cartaz no canto inferior 
esquerdo do L. A linha de base do título L 'lntrans 
coincide com uma diagonal de 45" originada no centro 
do cartaz. Os fios telegráficos estão dispostos em 
ângulos sucessivos de 15•. gerando o módulo de 45• 
que se repete nos ângulos do nariz e do pescoço. 
z 
Razões dos diâmetro s dos drc:ulos 
= 4 circulos da boca 
= c irc ulo externo da orelha 
crrculo da cabeça 
cfrculo da boca 
círculo da boca = 21/2 cfrculos pequenos da orelha 
círculo Interno da orelha = drculo do o lho 
cfrculo in terno da orelha = circulo s dos isoladores no poste 
círculo interno da orelha = circulo do lóbulo da orelha 
Proporções do círculo 
• 1 clrculos da boca e da parte mais externa da orelha 
I• 1n o diâmetro de um módulo. Os círculos menores do 
• li H>. da parte interna e do lóbulo da orelha e dos 
1 • >lo1dores no poste têm o diâmetro equivalente a 2/5 de 
1111 campo visual. O círculo maior, da cabeça, tem o 
11 1111etro de 4 campos visuais. 
Os círculos da cabeça estão dispostos de tal modo 
que os pontos centrais estão alinhados segundo 
diagonais de 45°. Os círculos dos isoladores estão todos 
alinhados em diagonais com ângulos sucessivos de 
aproximadamente 15°. Três desses incrementos resultam 
no módulo de 45°, 
53 
54 
Cartaz "East Coast by L.N.E.R", Tom Purvis, 1925 
Cr iado em 1925 pelo artista inglês Tom Purvis (1888-
1959), o cartaz "East Coast by L.N.E.R." é um convi­
te para que o espectador viaje, nas férias de verão, 
pela ferrovia London Northeast. Mais de 25 anos 
antes, dois ilustradores que assinavam suas obras 
como "Beggarstaffs'' i ntroduziram a abordagem 
então radical de s implificar suas composições mar­
cantes com áreas de cores chapadas delimitando 
silhuetas graticas. Os cartazes de Purvis usam uma 
técnica s imilar de si mpl ificação e jogo de espaço, 
cor e padronagem. 
O guarda-sol em forma de elipse é o elemento visual 
mais incisi vo e atraente do cartaz, não só em função de 
sua cor vibrante, mas também devido ao formato e ao 
posicionamento na diagonal. O laranja vivo estabelece 
um contraste complementar com o azul do céu e do 
mar. A elipse tem um formato que se aproxima daquele 
do círculo, e este atrai mais a atenção do que qualquer 
t a forma geométnca. Ja a d1agonal é a d1reçao ma1s 
ante em termos VJSUills dev1do a sua JnstabiiJda· 
'T\OVI'nento Jmplic1tos. A drarnát1ca forma elípt1· 
pete-se por duas vezes. 'lil estrutura :-1terna do 
da-sol e na termmação preta do suporte. 
das as formas são mems Silhuetas desenhadas 
extrema concisão. As I stras e o i"lrrilnJO Irregular 
a Introduzem vanedade em me1o as formas 
f cadas 
r .a do cartaz torn ·se ev dente por me1o de 
e 6 por 6 un1dades A linha entre a P'aa e o 
r d v1de o cartaz e a parte azul ocupa os 2/3 
re da rnagem O e1xo menor da elipse no 
guarda-sol alaran1ado passa pelo ponto central do cartaz 
e dá equ1 1bno à composição As figuras foram dispostas 
à d re1ta e à esquerdil desse e1xo, de novo reforçando o 
eoull bno de cores e formas 
55 
'0, 
le 
10 
te 
lo 
I e 
e r 
outra forma geométrica. Já a diagonal é a direção mais 
mtrigante em termos visu ais devido à sua instabilida­
de e movimento implícitos. A dramática forma elípti­
ca re pete-se por duas vezes : na estrutura interna do 
gu arda-sol e na terminação preta do suporte. 
Todas as formas são meras silhuetas desenhadas 
com extrema concisão. As listras e o arranjo irregu lar 
da toalha introduzem variedade em m eio às formas 
si mplificadas. 
Análise 
A estrutura do cartaz torna-se evidente por meio de 
um grid de 6 por 6 unidades. A linha entre a praia e o 
céu e o mar divide o cartaz e a parte azul ocupa os 2/3 
superiores da imagem. O eixo menor da elipse no 
guarda-sol alaranjado passa pelo ponto central do cartaz 
e dá equilíbrio à composição. As figuras foram dispostas 
a direita e à esquerda desse eixo, de novo reforçando o 
cquilibrio de cores c formas. 
55 
56 
Cadeira Barcelona, Mies van der Rohe, 1929 
A cadeira Barcelona foi projetada para o Pavilhão da 
Alemanha na Exposição Universal de 1929, realizada na 
cidade de Barcelona. O pavilhão destacava-se de 
todos os outros pelo fato de não abrigar nenhuma 
exposição; o que se queria mostrar era o próprio edi­
fíc io. Elegante, austero e combinando painéis de tra­
vertino e mármore, lâminas de vidro fumê e colunas 
cromadas, o pavilhão estava mobiliado apenas com 
mesas, cadeiras e banquetas Barcelona, estas últi­
mas forradas de couro branco. Tanto as banquetas 
Proporções da cadeira (direita) 
A vista lateral (acima, à direita) e a frontal 
(ao lado) revelam que a cadeira se 
encaixa perfeitamente em um quadrado. 
As divisões do encosto são muito 
similares a retângulos de raiz 2. 
como as mesas exibiam a mesma estrutura em "x" da 
cadeira. Mies van der Rohe (1886-1969) projetou o 
edifício e a mobí lia, e ambos são considerados mar­
cos do design e a maior realização do período euro­
peu do arquiteto. 
É difíc il crer que uma peça tão contemporânea 
e clássica tenha sido projetada e produzida há mais 
de setenta an os. A cadeira Barcelona é uma sinfo­
nia de proporções meticulosas baseadas em um sim­
ples quadrado. A altura, a largura e a profundidade da 
-
cade1ra são 1dênt1cas. seJa, ela se enca1xa perfe1ta-
Mente num cubo. s retángulos de couro do asseP­
to e do encost f1xados nu armaçao de aço ex1bem 
uMa propor o de retángulo de ra1z 2 Os mesmos 
retângulos oram concebidos de modo que, quando 
é necess io refazer a tapeçaria. mantenham a forma 
despe1to dos esforços e tensões dos proce-
s de reforma. A construção em "x'' das pernas 
B+ 
57 
Proporções das curvas 
curva pr nc1pal 
r
rnooeodo o ��"o' 
s pernas ó1ante1ras <la 
ade1ra, é formada por 
m CirCulo com o r"'! esmo 
, a10 do quadrado, tendo 
comocertro o ponto A 
A curvatura do Circulo 
oragmal re pete se na parte 
d ante1ra do suporte do 
assento. com um c�rculo 
dênt co CUJO centro é o 
ponto B Outro Circulo, 
com Metade do ra10 dos 
maiores. def•ne as pernas 
trase1ras e tem o centro 
no ponto C 
cadeira são idênticas, ou seja, ela se encaixa perfeita­
mente num cubo. Os retângulos de couro do assen­
to e do encosto fixados na armação de aço exibem 
uma proporção de retângulo de raiz 2. Os mesmos 
retângulos foram concebidos de modo que, quando 
é necessário refazer a tapeçaria, mantenham a forma 
original a despeito dos esforços e tensões dos proce­
dimentos de reforma. A construção em "x" das pernas 
forma uma estrutura elegante que se tornou a marca 
registrada da cadeira. 
A 
B 
c 
57 
Proporções das curvas 
A curva principal, 
abrangendo o encosto e 
as pernas dianteiras da 
cadeira, é formada por 
um círculo com o mesmo 
raio do quadrado. tendo 
como centro o ponto A. 
A curvatura do circulo 
original repete-se na parte 
dianteira do suporte do 
assento, com um circulo 
idêntico cujo centro é o 
ponto B. Outro circulo, 
com metade do raio dos 
maiores, define as pernas 
traseiras e tem o centro 
no ponto C. 
58 
Chaise Longue, Le Corbusier, 1929 
Os arquitetos formados na tradição acadêmica quase 
sempre levam em conta os princípios da proporção 
clássica e os aplicam tanto na arquitetura como na mo­
bília que projetam. Charles Édouard Jeanneret (1887-
1965), mais conhecido como Le Corbusier, é um caso 
exemplar disso, c a sua atenção meticulosa aos de­
talhes e proporções também está presente na Chaise 
Longue. Na década de 1920, Le Corbusier foi influencia­
do por outros arquitetos. como Mies van der Rohe, que 
vinham desenhando móveis de aço tubular para seus 
edifícios. Por sua vez. tanto Le Corbusier como Mies 
se inspiraram nas formas geométricas das cadeiras de 
madeira vergada do austríaco Michael Thonet, adotan­
do em suas criações formas igualmente despojadas. 
Em 1927, Le Corbusier começou a trabalhar com a ar­
quiteta e designer Charlotte Perriand e com seu primo 
Pierre Jeanneret. Essa bem-sucedida colaboração resul­
tou em vários projetes clássicos de móveis que levam o 
nome de Le Corbusier, entre os quais a Chaise Longue. 
A estrutura tubular cromada da cadeira é uma peça 
Predecessora da 
Chaise Longue 
Cadeira de balanço 
reclinável Thonet, c. 1870 
arqueada que se apoia num si 
Esse arco é um sistema elegan desliza em am- As proporções '"�''"''';" 
variedade de posições 
ao atr ito e à força da gra­
ou os pés erguidos. Tal como 
a estrutura n.,,...,.,.,.;,t•iroi do arco. o encosto para a cabe­
cilindro que pode ser facilmente decomposição harmónica de um 
59 
60 
Cadeira Brno, Mies van der Rohe, 1929 
Após o sucesso do Pavilhão alemão de Barcelona em 
1929, Mies van der Rohe foi contratado para projetar 
a residência da família Tugendhat, que também lhe 
encomendou o design da mobília mais adequada ao 
estilo decididamente modernista do edifício. 
Já em 1926 Mies havia desenvolvido com êxito uma 
cadeira com braços em cantiléver, batizada de MR. Na 
época, a tecnologia para vergar tubos de aço era re­
cente e abriu um novo horizonte para desenhos ino­
vadores. O da cadeira MR baseou-se em cadeiras de 
balanço com estrutura de ferro tubular projeta das ain­
du no século XIX e na célebre cadeira de balanço d e 
madeira vergada de Michael Thonet. No caso d a MR, 
a resistência dos tubos de aço permitiu a adoção de 
uma estrutura em cantiléver e a simplificação radical 
de suas linhas. 
O projeto da casa Tugendhat previa uma imensa 
sala de jantar, com uma mesa com capacidade para 
24 pessoas. A cadeira MR foi destinada originalmen­
te para essa mesa, mas se revelou inadequada pois 
Predecessoras da cadeira Brno 
(esquerda) Cadeira de balanço Thonet. 
c. 1860, e (direita) vista lateral da 
cadeira MR, projetada por Mies van der 
Rohe em 1926. 
os braços não se encaixavam sob o tampo. Van der 
Rohe desenhou então as cadeiras Brno, assim chama­
da por causa da cidade em que viviam os Tugendhat, 
com braços mais baixos e um formato compacto que 
permitia sua perfeita acomodação sob o tampo da 
mesa. As cadeiras originais tinham forração de cou­
ro e foram produzidas versões tanto em aço tubular 
como em perfis chatos de aço, o que daria origem a 
variações estruturais. 
Análise 
Vista de cima, a cadeira 
encaixa-se exatamente em 
um quadrado (acima, a 
direita). Como se nota nas 
vistas frontal (direita) e 
lateral (extrema direita), a 
cadeira coincide com um 
retãngulo áureo. O ângulo 
das pernas dianteiras e o 
do encosto da cadeira 
(embaixo, a direita) sêo 
simétricos, e os raios das 
curvas estão numa 
proporção de 1:3. 
I 
I 
I 
I 
I 
I • 
I 
I 
I 
I 
I 
61 
62 
Cartaz "Negerkunst", Max Bill, 1931 
Divulgando uma exposição de pintura rupestre pré­
histórica da África do Sul, a geometria e o despoja­
mento veementes do cartaz "Negerkunst", desenhado 
pelo suíço Max Bill (1908-94) em 1931, remontam ao 
desenvolvimento dos conceitos da arte concreta na 
década de 1930. Esse movimento propunha a cons­
trução aritmética de elementos visuais depurados, e 
Bill adotou esse ideal de uma linguagem visual de ab­
soluta clareza e apelo universal. 
A chave de toda a figura é a medida do diâmetro 
do circulo central. Este é idêntico à altura das partes 
superior e inferior; e a metade do diâmetro é a me­
dida das áreas laterais da figura. A linha vertical que 
passa pelo centro do circulo torna-se o eixo para o 
alinhamento esquerdo da caixa de texto. 
Proporções dos círculos maiores (direita) 
Os círculos externos são duas vezes maiores 
do que o interno. 
Proporções de raiz 2 (extrema direita) 
O formato do cartaz baseia-se num retângulo de raiz 2, 
cuja decomposição harmónica se pode ver no diagrama. 
A linha vertical serve de eixo para o alinhamento do texto 
e o centro do círculo interno. 
Análise 
As proporções do grande 
O baseiam-se no círculo 
interno. Os lados esquerdo 
e direito medem metade 
do diâmetro do círculo 
interno, ao passo que os 
lados superior e inferior 
equivalem ao seu diâmetro. 
A diagonal de um canto a 
outro passa pelo centro do 
círculo, assim como a linha 
vertical que determina a 
margem esquerda da caixa 
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64 
Cartaz "Wagon·Bar", A. M. Cassandre, 1932 
.. MJitos acham que os meus cnrtazes são cubistas. Eles O cartaz "Wagon·Bar" é u m prodígio de inter·rela· 
têm razão no sentido de que o meu método é essen· ções geométricas e tão impecável quanto o anterior 
cialmente geométrico e monumental. A arquitetura. "L'Jntransígeant". Mais uma vez, Cassandre elege ele· 
que prefiro acima de tudo. me fe7 abominar as idios· 
sincrasias deformantes ... Sempre fui mais sensível às 
formns do que às cores, ao modo como se organizam 
as coisas do que nos seus detalhes. ao espírito de 
geometria do que ao espírito de requinte ... " 
Adolphe Mouron (A. M. Cassandre). La Revue de I'Uníon 
de I'Affiche Françaíse. 1926 
mentes representativos e os simplifica e estiliza em 
formas geométricas depuradas. A garrafa de soda, a 
taça e o copo, o pão, a garrafa de vinho e os canudos 
são colocados sobre a imagem de uma roda de trem. 
O diâmetro da roda é usado como medida do seg· 
mente de trilho que enfatiza as frases "Restaurez·vous" 
e ''A Peu de frais". O centro do cartaz é visualmente 
realçado pelas pontas dos dois canudos dentro do 
copo. No sentido vertical, o cartaz é facilmente divisí­
vel em três retãngulos. 
A geometria das figuras desenhadas é aparente 
na curvatura das garrafas e da taça de vinho. Há um 
belo jogo de espaços, com o fundo branco do cartazinvadindo o sifão da garrafa de soda. Uma mudança 
simi lar do espaço ocorr e entre o pão e o rótulo da 
garrafa de vinho, e também entre a parte superior do 
copo e o contorno do envoltório da roda. 
Análise 
O posicionamento 
meticuloso e o controle 
de cada elemento são 
evidentes nos pontos 
centrais dos cfrculos que 
definem o bojo da taça de 
vinho e as curvas da 
garrafa de soda, pois 
ambos estão situados na 
diagonal traçada entre o 
canto superior esquerdo 
e o inferior direito. Do 
mesmo modo, o centro do 
círculo da garrafa de vinho 
e o centro da roda estão 
alinhados na mesma 
vertical. 
Esse é um cartaz relativamente complexo em função 
da quantidade de elementos que demandam simplifi­
cação geométrica. das inter-relações estruturais e do 
domínio organizativo. Todavia, a análise deixa claro que 
cada uma das decisões tomadas tem sua justificativa. 
,, 
65 
.. 
66 
Cartaz "Konstruktivisten", Jan Tschichold, 1937 
"Não sabemos por quê. mas podemos demonstrar que 
um ser humano acha os planos de proporções defini­
das e intencionais mais agradáveis ou mais belos do 
que os de proporções acidentais." 
Jan Tschichold. A forma do livro: ensaios sobre tipo­
grafia e estética do livro, 1975 [ed. bras. 2007] 
ser interpretados como indicação desse ocaso. Os 
construtivistas defendiam a mecanização da arte e 
do design por meio do posicionamento matemático 
de elementos geométricos abstratos como a forma 
mais adequada de exprimi r a cultura industrial. Neste 
cartaz. Tschichold orienta-se pelos ideais constru­
tivistas de abstração geométrica. organização visual 
Este cartaz foi desenhado por Jan Tschichold (1902- matemática e tipografia assimétrica - tal como pre-
74) em 1 929 para anunciar uma exposição de arte. gava em seu livro Die Neue Typographie [A nova ti­
Como ele foi criado numa época em que já declinava pografia], publicado em 1928. 
o movimento construtivista. o círculo e a linha podem 
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Análise 
O diâmetro do círculo é usado como 
unidade de medida tanto para o formato 
do cartaz como para a distribuição de 
seus elementos. O próprio círculo é um 
ponto focal, atraindo inexoravelmente o 
olhar. Ele também destaca o título da 
exposição, assim como a relação dos 
artistas participantes. O pequeno círculo 
junto à linha de texto com as datas de 
abertura e encerramento da mostra é um 
fator de pontuação visual na medida em 
que ecoa e contrasta em escala com o 
círculo principal. A lista dos participantes 
da exposição começa no ponto de 
intersecção da diagonal do próprio cartaz 
com a diagonal da seção retangular 
inferior. As distâncias entre os textos e os 
elementos principais são módulos da 
distância entre a linha horizontal e a linha 
de base do termo konstruktívisten, que 
está centralizado no circulo. 
Proporções do cartaz 
O formato retangular estreito é uma 
página pentagonal e deriva de um 
pentágono inscrito num círculo. O lado 
superior do pentágono invertido coincide 
com a largura do retângulo e seu vértice 
inferior tangencia o lado inferior do 
retângulo. A linha horizontal no cartaz 
está situada de modo a conectar dois 
vértices do pentágono. 
Triângulo compositivo 
A tipografia forma um 
triângulo que serve para 
ancorá-la no formato 
do cartaz e acentua o 
interesse visual. 
67 
68 
Cartaz "Der Berufsphotograph", Jan Tschichold, 1938 
Projetado em 1938 por Jan Tschichold, este cartaz 
destinava-se a uma exposição da obra de fotógrafos 
profissionais e desde então tornou-se um clássico por 
sua concepção e composição. Devido ao conteúdo da 
mostra, a imagem é figurativa, mas também abstra­
ta pois a mulher é retratada em negativo fotográfico. 
Essa técnica dirige a atenção do espectador para os 
procedimentos fotográficos em vez de ressaltar as ca­
racterísticas dessa mulher específica. O título principal, 
gewerbemusaum basal ausstellung 
"der berufsphotograph", é impresso em íris, técnica em 
que as cores se mesclam quando tintas distintas (ama­
relo, vermelho e azul) são adicionadas ao cilindro de 
impressão. Esse arco-íris tipográfico é um raro desvio 
expressionista em relação ao formalismo que marca o 
resto da obra de Tschichold. Todavia, sua predileção 
pela tipografia assimétrica e funcional é evidente na 
disposição das texturas e elementos tipográf icos me­
ticulosamente alinhados e interconectados. 
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Relações do retângulo 
de raiz 2 
Um diagrama de 
construção de raiz 2 
foi sobreposto ao cartaz. 
O canto do retângulo 
recíproco e as diagonais 
bissectam o olho da 
mulher na foto. 
linha central 
Análise 
A foto em negativo estii exatilmente à direita do centro 
do cartaz em formato retangular de raiz 2. O olho 
esquerdo da figura está cuidadosamente posicionado e a 
imagem foi recortada de modo a se tornar o nexo das 
diagonais que regem o posicionamento dos elementos. 
As medidas de largura e altura da imagem repetem-se 
nos elementos tipográficos à esquerda. 
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69 
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70 
Cadeira P lywood, Charles Eames, 1946 
Embora contasse com bolsa integral para estudar ar­
quitetura, Charles Eames (1907-78) abandonou a fa­
culdade após dois anos na Universidade Washington, 
em St. Louis. cujo currículo se baseava no ensino tra­
dicional das academias de belas-artes. Certamente 
algo nada animador para quem já demonstrava um 
ardoroso interesse pelo modernismo e pela obra de 
Frank Lloyd Wright. Porém, no decorrer de sua car­
reira, Eames veio a apreciar os fundamentos de sua 
formação acadêmica. sobretudo os princípios clássi­
cos de proporção. 
Cadeira Plywood 
Sua cadeira Plywood, de madeira compensada mol­
duda, foi projetada para a Organic Furniture Competi­
tion (Concurso de Mobília Orgânica), patrocinada pelo 
Museu de Arte Moderna de Nova York em 1940. Eames 
e seu colaborador, o arquiteto Eero Saarinen, preten­
diam fazer uma junção de formas orgânicas em um 
todo unificado. A peça resultante, com belas formas 
curvilíneas. cativou os jurados, assim como as inovado­
ras técnicas de moldagem tridimensional da madeira 
e de fixação de compensado e metal com borracha. 
A cadeira ganhou o primeiro lugar na competição. 
Há um modelo todo em madeira 
compensada (acima) e outro com 
compensado e estrutura metálica 
(direita). A cadeira também foi concebida 
em duas versões: uma mais baixa, para 
uso na sala de estar, e outra um pouco 
mais alta, para a sala de jantar. 
Até hoje em produção, o modelo atual foi desen· 
volvido a partir da cadeira original. É impossível afir­
mar inequivocamente que a relação das proporções 
da cadeira com o retângulo áureo tenha sido deci­
d i d a de propósito, mas a formação acadêmica clás­
sica de Eames, assim como sua colaboração com 
Saarinen, faz com que isto seja bastante provável. 
Encosto (acima) 
O encosto enquadra-se 
perfeitamente em um 
retã ngu lo áureo. 
Proporções (à direita) 
Na cadeira para a sala 
de jantar. as proporções 
são bem próximas da 
seção áurea. 
Proporções dos detalhes 
Os raios dos cantos do 
encosto e as pernas 
tubulares são 
proporcionais entre si, 
nas razões 1 4:6:8. 
A=l 
B= 4 
C= 6 
D= 8 
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' 
/ 
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72 
Cartaz "Konkrete Kunst ", Max Bill, 1944 
"Estou convenc1do de que é possível desenvolver uma 
arte recorrendo sobretudo ao pensamento matemático." 
Max Bill, entrevista de 1949, republicada em Typogra· 
phic Communications Today, 1989 
Max Bill distinguiu-se como artista plástico, arquiteto 
e tipógrafo. Na Bauhaus, estudou