Prova Análise 2 Teams 2020-1

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Nome do(a) Aluno(a):_______________________________________________________________________________________________________________________________ 
 
Matrícula:_____________________________________________________________________________________ Disciplina: CCE 1539 / Física Teórica e Exp. 1– Turma 3021. 
 Prof. Gentil Pires - Período: 2020 – 01 / AV1 online (via Teams) 
 
Leia com atenção as questões antes de responder. As questões devem ser respondidas à caneta azul ou preta, na folha de respostas. Todas as questões devem ser respondidas apresentando 
os argumentos que levam à solução em todos os detalhes matemáticos. Nenhuma questão será considerada sem a devida demonstração comprobatória de sua solução. 
 
Será observada uma tolerância máxima de 30 minutos para a entrada dos alunos. Neste intervalo, nenhum aluno poderá deixar a sala de reunião. Terminada a prova, o aluno deverá 
entregar, via tarefa do Teams, as folhas de respostas escaneadas ou fotografadas, devidamente identificadas com nome e matrícula. 
 
Boa prova. 
 
1) Resolva: 𝐬𝐞𝐧(𝒕) 𝐜𝐨𝐬(𝒕) 	𝒅𝒕𝒂-𝒂 ∀	𝒂	 ∈ 	𝓡. 
 
 
2) Sejam as Equações Paramétricas 𝒙 = 	 𝐬𝐞𝐧(𝒕) e 𝒚 = 	−𝐜𝐨𝐬(𝒕) , Obtenha: 
 
a) 𝒅𝒚
𝒅𝒙
 b) 𝒅
𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
 
 
 
3) Se 𝑹(𝒕) = 	−𝐜𝐨𝐬 𝒕 7 − 𝐬𝐞𝐧 𝒕 8 e 𝑸(𝒕) = 	− 𝐬𝐞𝐧 𝒕 7 + 𝐜𝐨𝐬 𝒕 8 , Obtenha: 
 
a) 			𝑹(𝒕) 	 ∙ 	𝑸(𝒕) (Produto escalar!) 
 
b) 𝒅
𝒅𝒕	
{	𝑹 𝒕 	 ∙ 	𝑸 𝒕 	} 
 
c) 𝒅
𝒅𝒕	
	 |𝑸 𝒕 | (Módulo!) 
 
 
 
 
4) Encontre o Comprimento da Curva descrita por 𝑹(𝒕) = 	𝒂	{	𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒕 7 + 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝒕 8	} onde 	𝜽	 ∈ [𝟎	, 𝟐𝝅] e 
𝒂 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆. Considere 𝜽 𝒕 uma função diferenciável no intervalo considerado. 
 
 
 
5) Uma Partícula segue uma trajetória descrita pelas Equações Paramétricas, 
 
 𝒙 = 	𝒂	𝐜𝐨𝐬(	𝜽 𝒕 	) 
 𝒚 = 	𝒂	𝐬𝐞𝐧(	𝜽 𝒕 	) 
 
 onde 𝒂 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆. Considere 𝜽 𝒕 , 𝜽 𝒕 = 𝒅𝜽(𝒕)
𝒅𝒕
 e 𝜽(𝒕) = 	 𝒅
𝟐𝜽(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
	 funções diferenciáveis. Obtenha 
 o Vetor Posição 𝑹(𝒕), a Velocidade 𝑽(𝒕) e a Aceleração 𝑨(𝒕) . 
 
 
 
6) Ainda sobre a questão anterior, obtenha os Vetores Unitários Tangente 𝑻(𝒕) e Normal 𝑵(𝒕) e expresse a 
Velocidade 𝑽(𝒕) e a Aceleração 𝑨(𝒕) em termos de 𝑻(𝒕) e 𝑵(𝒕). 
 
 
Lembrete: Se 𝒇 = 𝒇 𝒈 𝒕 , então 𝒅𝒇
𝒅𝒕
= 	 𝒅𝒇
𝒅𝒈
	𝒅𝒈
𝒅𝒕
 é a Régra-da-cadeia, sendo	𝒇 e 𝒈 duas funções suaves, contínuas 
e diferenciáveis por partes.