[AD1] Derivadas

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Universidade do Sul de Santa Catarina
	
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	Avaliação a Distância 1 – AD1
Nome do(a) aluno(a): Felipe Venâncio Goulart
Unidade de Aprendizagem: DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS
Professor(a): Carlos Henrique Hobold
Data: 10/05/2021
Critérios de avaliação: Não serão consideradas as questões que contiverem apenas as respostas. Para cada questão serão analisadas:
a) Correção matemática;
b) Simplificação dos resultados;
c) Desenvolvimento dos processos algébricos;
d) Gráficos com o uso de softwares livres.
As cópias de questões quando constatadas serão todas zeradas e não avaliadas.
1) 
Qual é a inclinação da reta tangente à curva no ponto (-1,-1/3)?
R: Temos A inclinação da reta tangente no ponto (𝑥, 𝑦) é dada por:
	
Em particular, no ponto (−1, 1/3) a inclinação vale:
𝑦’ (−1) = −2 · (−1) = 2
(Valor da questão: 0,75)
2) 
Qual é a equação da reta tangente à curva no ponto ? Usando um software livre fazer o gráfico da função e da reta tangente obtida.
R: Seja Então:
𝑚 = f ‘(𝑥) = = [(𝑥−1)−2]’ = −2(𝑥−1)−2−1 = −2(𝑥−1)−3 = −
A inclinação da reta tangente no ponto (0, 1) é dada por:
A equação da reta tangente no ponto (0, 1) é dada por:
𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 0) ⇒ 𝑦 = 2𝑥 + 1
(Valor da questão: 0,5)
3) 
Calcular a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de com o plano x=3 no ponto em que x=3 e y=2.
R: A interseção de 𝑧 = 5 − 2𝑥2 + 𝑦2, com o plano 𝑥 = 3 fornece 𝑧 = 5 − 18 + 𝑦2 = 𝑦2 − 13. A inclinação da reta tangente é:
𝑧’ = 2𝑦
Quando 𝑦 = 2, vem 𝑧 = −9 e 𝑧’ (2) = 2 · 2 = 4, logo a equação da reta procurada é:
𝑧 − 9 = 2(𝑦 − 2) ⇒ 𝑧 = 2𝑦 − 4 + 9 = 2𝑦 + 5
 
(Valor da questão: 0,75)
4) 
Determinar, caso exista, o plano tangente ao gráfico de no ponto .
R: Seja 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑧 = 4 − 2𝑥2 + 𝑦2 e considere o ponto 𝑃 = (−2, 1, −3).
Temos:
𝑓𝑥 = −4𝑥 ⇒ 𝑓𝑥 (−2, 1) = 8
𝑓𝑦 = 2𝑦 ⇒ 𝑓𝑦 (−2, 1) = 2
Assim a equação do plano tangente ao gráfico de 𝑓 (𝑥, 𝑦) no ponto 𝑃 é dada por:
𝑧−(−3) = 8(𝑥−(−2))+2(𝑦−1) ⇒ 𝑧 +3 = 8𝑥 +16+2𝑦−2 ⇒ 𝑧 = 8𝑥 +2𝑦+11
(Valor da questão: 0,5)
5) Qual é o vetor gradiente da função , no ponto (1,1)?
R: Consideremos Como vamos calcular ∇ 𝑓 (1, 1), podemos considerar 𝑥 ≥ 0, assim:
, pois |𝑥 | = 𝑥 para 𝑥 ≥ 0
Segue:
	
 
Portanto:
	 	
	∇ 𝑓 (1, 1) = (𝑓𝑥 (1, 1), 𝑓𝑦 (1, 1)) = ,
(Valor da questão: 0,5)
6) 
Sendo com e , calcular .
R: Seja 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑥 − 7 , com 𝑥 = 𝑡 e 𝑦 = Segue: 
Valor da questão: 0,5)
7) Calcular as derivadas das seguintes funções:
a) 
 
 
	
b) 
 
c) 
 
d) ; = 
e) 
 
f) = 
g) 
(Valor da questão: 0,5 cada item)
8) 
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções 
a) 
b) 
 
c) 
d) 
(Valor da questão: 0,5 cada item)
9) Investigue na Internet um site que discuta a História da Matemática no contexto das derivadas. Faça um resumo de 10 linhas apresentando o site, indicando o seu endereço. (Observe que o texto não deve ser copiado, deve ser de sua criação).
O texto deve ser colocado no Fórum AD1 e você deverá fazer a leitura de pelo menos dois textos de seus colegas fazendo considerações interessantes.
R:   O site que pesquisei sobre a história da matemática no contexto das derivadas, fala sobre o conceito introdutório de derivadas e suas diferentes abordagens, feito uma pesquisa de dissertação do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais pelos alunos Allan Silva Ferreira, Elenice de Souza Lodron Zuin e Lídia Maria Luz Paixão Ribeiro de Oliveira na cidade de belo horizonte em 2017, onde nesse trabalho apresenta os aspectos históricos : cálculo diferencial e integral, metodologias: investigação matemática e uso de tecnologia, proposta de atividades e referências. site eletrônico: http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20180320143825.pdf. 
(Valor da questão: 1,0)
2
)
1
(
1
-
=
x
y
(
)
1
,
0
2
2
2
5
y
x
z
+
-
=
2
2
2
4
y
x
z
+
-
=
)
3
,
1
,
2
(
-
-
1
7
2
+
-
=
xy
e
z
x
t
x
=
t
y
1
=
dt
dz
:
)
,
(
y
x
f
z
=
)
2
ln(
y
x
z
-
=
3
2
2
+
-
=
x
y