Aula_08_ECA1

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ECT ECT -- Escola de Ciências e TecnologiaEscola de Ciências e Tecnologia
Estruturas de Concreto Armado IEstruturas de Concreto Armado I
Prof. Marco Antônio
marcoaman@unigranrio.edu.br
Aula 0Aula 088
Reações de apoio em lajes
Reações de apoio em lajes
Método dos Quinhões de Carga: Método utilizado para calcular as reações de apoio
em lajes, e citado no item 14.7.6.1 da A NBR 6118. Note que as reações de apoio
nas lajes são distribuídas por metro nos seus bordos, ou seja, são carregamentos
distribuídos nas vigas. O método baseia-se em traçar uma linha imaginária saindo
dos vértices das lajes, dividindo-as em áreas de contribuição para cada bordo, em
função da sua rigidez. Veja o exemplo abaixo:função da sua rigidez. Veja o exemplo abaixo:
Ângulo α função dos bordos: 
- Iguais: α=45°
- Diferentes:
- apoiado-engastado: α=30° e 60°
- livre-engastado: α=0° e 90°
Obs: Pode-se assemelhar o carregamento
distribuído nas lajes ao volume de água
2
A seguir uma tabela resumida com as fórmulas das reações por bordos, já calculada
com as áreas de influência de carregamento. A priori, considera-se que L > l, e
nos casos que esta condição não for satisfeita, deve ser trocado. Ver exemplo no
final dos slides.
distribuído nas lajes ao volume de água
de chuva despejada num telhado, onde
escoa para as calhas nos bordos (vigas).
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Método dos Quinhões de Cargas para o cálculo das reações nas lajes;
2
.q
rr
ll



 −== 732,24.qrr ll  −==
ll
732,2
.q
r 


 −=
1
L ≥
l
366,1
L ≥
l
7321,0
L ≥
l
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
4
.q
rr
L
2
4
rr
43
21
l==




−==
4
.q
r
.q.433,0r
L
732,24
8
rr
4
3
21
l
l
=
=




−==
l.q.185,0rr
r.577,0r
L
732,2
309,4
r
43
12
1
==
=




−=
1
L ≥
l
577,0
L ≥
l
732,1
L ≥
l
Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6
3
l
l
l
l
.q.183,0r
.q.317,0r
r.7321,1r
L2
1.q.366,0r
4
3
12
1
=
=
=





 −=
l
l
l
.q.144,0rr
L
464,3.q.144,0rr
43
21
==





 −==
l
l
l
.q.433,0rr
L
155,1.q.433,0rr
43
21
==





 −==
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
l
l 578,1..q.232,0r 


 −= ll 789,02.qrr  −== 2.qrr ll  −==
268,1
L ≥
l
789,0
L ≥
l
1
L ≥
l
Método dos Quinhões de Cargas para o cálculo das reações nas lajes;
Tipo 7 Tipo 8 Tipo 9
l
l
l
.q.317,0rr
r.7321,1r
L
578,1..q.232,0r
43
12
1
==
=





 −=
l
l
ll
.q.144,0r
.q.250,0r
L
789,02
4
.q
rr
4
3
21
=
=





 −==
4
.q
rr
L
2
4
.q
rr
43
21
l
ll
==





 −==
4
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
( ) d.b..402,1k.V w1Rd1Rd ρ+τ=
Se VSd < VRd1 → Dispensa armadura de cisalhamento (estribos)
Dispensa de armadura de cisalhamento, item 19.4.1 da NBR6118/2004:
(resistência à 
(cortante resistente de cálculo ao cisalhamento)
ctdRd f.25,0=τ (tensão resistente de cálculo ao cisalhamento)
32
02,0
d.b
A
w
1s
1 ≤=ρ
00,1d6,1k ≥−=
c
m,ct
c
,infctk
ctd
f.7,0f
f
γ
=
γ
=
fctk,inf = resistência à tração (inferior) característica do concreto;
(resistência à 
tração de cálculo 
do concreto)
(taxa de armadura tracionada na seção de concreto útil) 
(coeficiente que amplifica a resistência, com d em metros) 
32
ckm,ct f.3,0f =
( )ckm,ct f.11,01ln.12,2f +=
(C20-50)
(C55-90)
5
Se não atender: 
→ Calcular armadura de cisalhamento de laje como viga: em ECA2
fctk,inf = resistência à tração (inferior) característica do concreto;
fct,m = resistência à tração (média) característica do concreto;
As1 = área de armadura tracionada (perpendicular a face);
bw = base da laje, considerada de 1,00 m;
d = altura útil da laje.
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
1º Exercício: Considere o mesmo pano de lajes do 1º ex. da Aula 5, conforme abaixo.
Dados:
- vãos efetivos (lx , ly) e armaduras positivas;
- carregamentos distribuídos nas lajes qd
(combinados no ELU);
- concreto classe C25 e d’=2cm
Determine:
a) As reações nos bordos das lajes
(carregamentos distribuídos nas vigas);
b) Verificação à dispensa de armadura de
cisalhamento (estribos).
6Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
m50,3
m35,5L =
l
=




 −=
L.2
1..q.366,0r1
l
l
a) Reações de apoio na laje (carregamentos distribuídos nas vigas):
m
kN
12,6
35,5.2
50,3
150,3.10,7.366,0 =




 −
== 12 r.7321,1r mkN60,1012,6.7321,1 =
== l.q.317,0r3 mkN88,750,3.10,7.317,0 =
== l.q.183,0r mkN55,450,3.10,7.183,0 =
00,153,1 >=
(tipo 6)
a priori: L > l
Laje L1
== l.q.183,0r4 mkN55,450,3.10,7.183,0 =
== ∑ ii .rF l
=== l.L.qA.qF d
===== 3 2
3 2
ckm,ct,infctk f.15,0
f.3,0.7,0f.7,0f
f
b) Dispensa de armadura de cisalhamento (estribos), para a maior reação:
- Verificação do carregamento total
kN0,133=
( ) kN9,13250,3.35,5.10,7 =
50,3.55,450,3.88,735,5.60,1035,5.12,6 +++
1
2
34
MPa282,125.15,0 3 2 =
7
( ) =ρ+τ= d.b..402,1k.V 1Rd1Rd
===
γ
=
γ
= 3 2ck
ck
c
m,ct
c
,infctk
ctd f.15,04,1
f.3,0.7,0f.7,0f
f
==ρ
d.b
A
w
1s
1
mkN.81,49mkN.60,10mVrV 1Rd1sd <→<=
MPa282,125.15,0 3 2 =
( )20c3,600195,0
cm8.cm100
2,0/cm312,0 2 φ= 00,152,108,06,1k >=−=
( ) kN81,4908,0.00,1.00195,0.402,1.52,1.282,1.25,0 =+
→ transversal à 10,60kN/m
(ok, dispensa estribos)Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
a) Reações de apoio na laje (carregamentos distribuídos nas vigas):
4
m50,4
m40,6L =
l
7321,042,1 >=
(tipo 3)
=




 −=
L
732,2
309,4
.q
r1
ll
m
kN
64,24
40,6
50,4
732,2
309,4
50,4.63,11 =




 −
== 12 r.577,0r mkN22,1464,24.577,0 =
=== l.q.185,0rr 43 mkN68,950,4.63,11.185,0 =
a priori: L > l
== ∑ ii .rF l
=== l.L.qA.qF d
===== 3 2
3 2
ckm,ct,infctk f.15,0
f.3,0.7,0f.7,0f
f
b) Dispensa de armadura de cisalhamento (estribos), para a maior reação:
- Verificação do carregamento total
kN8,335=
( ) kN9,33450,4.40,6.63,11 =
50,4.68,950,4.68,940,6.22,1440,6.64,24 +++
1 2
3
4
MPa282,125.15,0 3 2 =
La
je
L2
8
( ) =ρ+τ= d.b..402,1k.V 1Rd1Rd
===
γ
=
γ
= 3 2ck
ck
c
m,ct
c
,infctk
ctd f.15,04,1
f.3,0.7,0f.7,0f
f
==ρ
d.b
A
w
1s
1
mkN.82,57mkN.64,24mVrV 1Rd1sd <→<=
MPa282,125.15,0 3 2 =
( )5,17c800319,0
cm9.cm100
175,0/cm503,0 2 φ= 00,151,109,06,1k >=−=
( ) kN82,5709,0.00,1.00319,0.402,1.51,1.282,1.25,0 =+
→ transversal à 24,64kN/m
(ok, dispensa estribos)Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
m40,1
m90,2L =
l
=




 −=
L.2
1..q.366,0r1
l
l
a) Reações de apoio na laje (carregamentos distribuídos nas vigas):
m
kN
71,3
90,2.2
40,1
140,1.55,9.366,0 =




 −
== 12 r.7321,1r mkN43,671,3.7321,1 =
== l.q.317,0r3 mkN24,440,1.55,9.317,0 =
== l.q.183,0r mkN45,240,1.55,9.183,0 =
00,107,2 >=
(tipo 6)
a priori: L > l
La
je
L3
== l.q.183,0r4 mkN45,240,1.55,9.183,0 =
== ∑ ii .rF l
=== l.L.qA.qF d
===== 3 2
3 2
ckm,ct,infctk f.15,0
f.3,0.7,0f.7,0f
f
b) Dispensa de armadura de cisalhamento (estribos), para a maior reação:
- Verificação do carregamento total
kN8,38=
( ) kN8,3840,1.90,2.55,9 =
40,1.45,240,1.24,490,2.43,690,2.71,3 +++
3
4
21
MPa282,125.15,0 3 2 =
9
( ) =ρ+τ= d.b..402,1k.V 1Rd1Rd
===
γ
=
γ
= 3 2ck
ck
c
m,ct
c
,infctk
ctd f.15,04,1
f.3,0.7,0f.7,0f
f
==ρ
d.b
A
w
1s
1
mkN.46,40mkN.43,6mVrV 1Rd1sd <→<=
MPa282,125.15,0 3 2 =
( )5,12c3,600416,0
cm6.cm100
125,0/cm312,0 2 φ= 00,154,106,06,1k >=−=
( ) kN46,4006,0.00,1.00416,0.402,1.54,1.282,1.25,0 =+
→ transversal à 6,43kN/m
(ok, dispensa estribos)Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
m90,2
m95,3L =
l
=




 −=
L
578,1..q.232,0r1
l
l
a) Reações de apoio na laje (carregamentos distribuídos nas vigas):
=




 −
95,3
90,2
578,190,2.90,9.232,0
== 12 r.7321,1r mkN73,962,5.7321,1 =
=== l.q.317,0rr 43 mkN10,990,2.90,9.317,0 =
00,136,1 >=
(tipo 7)
m
kN
62,5
a priori: L > l
Laje L4
== ∑ ii .rF l
=== l.L.qA.qF d
===== 3 2
3 2
ckm,ct,infctk f.15,0
f.3,0.7,0f.7,0f
f
b) Dispensa de armadura de cisalhamento (estribos), para a maior reação:
- Verificação do carregamento total
kN4,113=
( ) kN4,11390,2.95,3.90,9 =
90,2.10,990,2.10,995,3.73,995,3.62,5 +++
2
1
34
MPa282,125.15,0 3 2 =10
( ) =ρ+τ= d.b..402,1k.V 1Rd1Rd
===
γ
=
γ
= 3 2ck
ck
c
m,ct
c
,infctk
ctd f.15,04,1
f.3,0.7,0f.7,0f
f
==ρ
d.b
A
w
1s
1
mkN.7,44mkN.73,9mVrV 1Rd1sd <→<= (ok, dispensa estribos)
MPa282,125.15,0 3 2 =
( )5,17c3,600255,0
cm7.cm100
175,0/cm312,0 2 φ= 00,153,107,06,1k >=−=
( ) kN7,4407,0.00,1.00255,0.402,1.53,1.282,1.25,0 =+
→ transversal à 9,73kN/m
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Carregamentos distribuídos nas lajes (kN/m²)
11
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Método dos Quinhões de Cargas
12
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Carregamentos distribuídos nos bordos das lajes (kN/m)
13
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Carregamentos distribuídos nas vigas (kN/m)
14Obs: Note que as reações nas interfaces dos bordos são somadas (em azul).Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Carregamentos distribuídos nas vigas (kN/m)
15
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Exemplo de tipo de laje com l > L :
732,125,1
m00,4
m00,5L <==
l
(tipo 4 não é atendido, trocar)
l
l
L
155,1.q.433,0rr 21 




 −==
Dados: L=5,00m l=4,00m e q=10kN/m²
Tipo 4
a priori:
L > l
 l
l.q.433,0rr
L
43 ==

577,08,0
m00,5
m00,4L >==
l
Dados: L=4,00m l=5,00m e q=10kN/m²
(tipo 5, agora l>L)
Tipo 5
a priori:
L > l
16





 −==
L
464,3.q.144,0rr 21
l
l
=== l.q.144,0rr 43
m
kN
94,15
00,4
00,5
464,300,5.10.144,0 =




 −=
m
kN
2,700,5.10.144,0 =
l > L
tr
o
ca
alonga Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro