trabalho 04 forma cubica do fator de compressibilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA 
TERMODINÂMICA APLICADA A PROCESSOS QUÍMICOS 
DOCENTE: Prof. Dr. Gabriel Francisco da Silva 
DISCENTE: Claudio Junior dos Santos 
Trabalho 04 
Encontrar a forma cúbica do volume molar e do fator de compressibilidade através da 
equação generalizada de Van der Waals 
Neste trabalho pretendemos chegar a forma cúbica do fator de compressibilidade através 
da equação generalizada de Van der Waals. Esta equação na forma da equação cúbica 
generalizada está descrita na Eq. (1) 
𝑃 =
𝑅𝑇
𝑉 − 𝑏
−
𝑎
(𝑉2 + 𝛿𝑉 + 𝜀)
 (1) 
A forma polinomial cúbica generalizada no volume mola é obtida multiplicando por 𝑋 =
(𝑉 − 𝑏)(𝑉2 + 𝛿𝑉 + 𝜀) em ambos os membros da Eq. (1), assim 
𝑃𝑅𝑋 + 𝑃𝐴𝑋 = 𝑃(𝑉 − 𝑏)(𝑉
2 + 𝛿𝑉 + 𝜀) 
= 𝑃(𝑉3 + 𝛿𝑉2 + 𝜀𝑉 + 𝑏𝑉2 − 𝛿𝑏𝑉 − 𝜀𝑏) (1.1) 
Colocando os termos comuns em evidência 
𝑃𝑅𝑋 + 𝑃𝐴𝑋 = 𝑃(𝑉
3 + (𝛿−𝑏)𝑉2 + (𝜀 − 𝛿𝑏)𝑉 − 𝜀𝑏) (1.2) 
Os produtos entre a expressão X e as contribuições repulsivas e atrativas são dados por: 
- Contribuição repulsiva, 𝑃𝑅𝑋: 
𝑃𝑅𝑋 = [
𝑅𝑇
(𝑉 − 𝑏)
] [(𝑉 − 𝑏)(𝑉2 + 𝛿𝑉 + 𝜀)] 
= 𝑅𝑇(𝑉2 + 𝛿𝑉 + 𝜀) (1.3) 
 - Contribuição atrativa, 𝑃𝐴𝑋: 
𝑃𝐴𝑋 = − [
𝑎𝑐𝑎
(𝑉2 + 𝛿𝑉 + 𝜀)
] [(𝑉 − 𝑏)(𝑉2 + 𝛿𝑉 + 𝜀)] 
= −𝑎𝑐𝑎𝑉 + 𝑎𝑐𝑎𝑏 (1.4) 
Somando as equações 1.3 e 1.4, encontra-se que: 
𝑃𝑅𝑋 + 𝑃𝐴𝑋 = [ 𝑅𝑇(𝑉
2 + 𝛿𝑉 + 𝜀)][−𝑎𝑐𝑎𝑉 + 𝑎𝑐𝑎𝑏] 
= [ 𝑅𝑇𝑉2 + 𝑅𝑇𝛿𝑉 + 𝜀𝑅𝑇] − 𝑎𝑐𝑎𝑉 + 𝑎𝑐𝑎𝑏 (1.5) 
Colocando os termos comuns em evidência, 
𝑃𝑅𝑋 + 𝑃𝐴𝑋 = 𝑅𝑇𝑉
2 + (𝑅𝑇𝛿 − 𝑎𝑐𝑎)𝑉 + 𝜀𝑅𝑇 + 𝑎𝑐𝑎𝑏 (1.6) 
Combinando as equações (1.2) e (1.6), temos que: 
𝑃(𝑉3 + (𝛿−𝑏)𝑉2 + (𝜀 − 𝛿𝑏)𝑉 − 𝜀𝑏) = 𝑅𝑇𝑉2 + (𝑅𝑇𝛿 − 𝑎𝑐𝑎)𝑉 + 𝜀𝑅𝑇 + 𝑎𝑐𝑎𝑏(1.7) 
Dividindo por P ambos os termos da equação (1.7), tem-se: 
(𝑉3 + (𝛿−𝑏)𝑉2 + (𝜀 − 𝛿𝑏)𝑉 − 𝜀𝑏) = (
𝑅𝑇
𝑃
) 𝑉2 + 
(
𝑅𝑇𝛿
𝑃
−
𝑎𝑐𝑎
𝑃
) 𝑉 +
𝜀𝑅𝑇
𝑃
+
𝑎𝑐𝑎𝑏
𝑃
 (1.8) 
Simplificando 
𝑉3 + (𝛿 − 𝑏 −
𝑅𝑇
𝑃
 ) 𝑉2 + (𝜀 − 𝛿𝑏 −
𝛿𝑅𝑇
𝑃
+
𝑎𝑐𝑎
𝑃
) 𝑉 − 
𝜀𝑏 −
𝜀𝑅𝑇
𝑃
−
𝑎𝑏
𝑝
= 0 (1.9) 
A equação (1.9) é a forma polinomial cúbica para o volume molar da equação de estado 
generalizada. 
A forma equivalente no fator de compressibilidade é determinada por meio da substituição do 
volume molar 𝑉 =
𝑍𝑅𝑇
𝑃
, na equação (1.9), sendo assim temos: 
(
𝑍𝑅𝑇
𝑃
)
3
+ (𝛿 − 𝑏 −
𝑅𝑇
𝑃
) (
𝑍𝑅𝑇
𝑃
)
2
+ (𝜀 − 𝛿𝑏 −
𝛿𝑅𝑇
𝑃
+
𝑎𝑐𝑎
𝑝
) (
𝑍𝑅𝑇
𝑃
) + 𝐸 = 0 (2) 
Onde, 
𝐸 = −𝜀𝑏 −
𝜀𝑅𝑇
𝑃
−
𝑎𝑐𝑎𝑏
𝑃
 
Multiplicando por (
𝑃
𝑅𝑇
)
3
ambos os membros da equação (2), obtém-se: 
𝑍3 + (
𝑃
𝑅𝑇
) (𝛿 − 𝑏 −
𝑅𝑇
𝑃
) 𝑍2 + (
𝑃
𝑅𝑇
)
2
(𝜀 − 𝛿𝑏 −
𝛿𝑅𝑇
𝑃
+
𝑎𝑐𝑎
𝑃
) 𝑍 
+𝐸 (
𝑃
𝑅𝑇
)
3
= 0 (2.1) 
Efetuando as multiplicações, 
𝑍3 + (
𝛿𝑃
𝑅𝑇
−
𝑏𝑃
𝑅𝑇
− 1) 𝑍2 + [𝜀 (
𝑃
𝑅𝑇
)
2
− (
𝛿𝑃
𝑅𝑇
) (
𝑏𝑃
𝑅𝑇
) − (
𝛿𝑃
𝑅𝑇
) +
𝑎𝑐𝑎𝑃
𝑅2𝑇2
] 𝑍 
+𝐸 (
𝑃
𝑅𝑇
)
3
= 0 (2.2) 
A Tabela 1 descreve as definições de parâmetros adimensionais usados para simplificar a 
equação (2.2) 
Tabela 1 – Parâmetros adimensionais 
𝐴′ =
𝑎𝑐𝑎𝑃
𝑅²𝑇²
 𝐵′ =
𝑏𝑃
𝑅𝑇
 𝛿′ =
𝛿𝑃
𝑅𝑇
 𝐸′ = 𝜀 (
𝑃
𝑅𝑇
)
3
 
 
Introduzindo os parâmetros adimensionais, descritos na Tabela 1, na equação (2.2), a forma 
generalizada no fator de compressibilidade 
𝑍3 + (𝛿′ − 𝐵′ − 1)𝑍2 + (𝜀′ − 𝛿′𝐵′ − 𝛿′ + 𝐴′)𝑍 + 𝐸 (
𝑃
𝑅𝑇
)
3
= 0 (2.3)