Exercicio de Apoio 2 Semana 3 Calculo III

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cálculo III
AtividAde pArA AvAliAção
exercício 1 (2,5 pontos)
Determine o rotacional do campo:
F
→
(x,y,z) = -y
x2 + y2
 i
→
 + x
x2 + y2
 j
→
 + f(z) k
→
 
onde f é uma função derivável e que só depende da va-
riável z.
exercício 2 (2,5 pontos)
Calcule a massa do fio dado por x = y = z, ligando os 
pontos de coordenadas (0,0,0) e (2,2,2) com densidade 
δ(x, y, z) = x2 + y2 + z2
exercício 3 (2,5 pontos)
Obtenha a equação da reta tangente à curva 
γ(t) = (2t2,5t,t3) no ponto t = 1.
exercício 4 (2,5 pontos)
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças: 
F
→
(x,y,z) = 2x i
→
 - 3y j
→
 + z2 k
→
 
sobre a trajetória r
→
(t) = t i
→
 + t j
→
 + t k
→
 ligando os pontos 
(0,0,0) e (2,2,2).
Cálculo III / Aula 9–12 Atividade para Avaliação 2
GABARITO
exercício 1
Rot F
→
 = 
i
→
j
→
k
→
∂
∂x 
∂
∂y 
∂
∂z
 P Q R
 = 
i
→
j
→
k
→
∂
∂x 
∂
∂y 
∂
∂z
-y
x2 + y2
x
x2 + y2
f(z)
 =
 = 0i
→
 + 0j
→
 + 1 . (x
2 + y2) - (x . 2x)
(x2 + y2)2
- -1 . (x
2 + y2) - (-y) . 2y)
(x2 + y2)2
 = 0
→
exercício 2
Parametrização:
x = t 0 ≤ t ≤ 2
y = t
z = t
r'
→
(t) = 1 ⋅ i
→
 + 1 ⋅ j
→
 + 1 ⋅ k
→
 ⇒ ||r’
→
(t)|| = 1 + 1 + 1 = 3
δ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 ⇒ δ(r
→
(t)) = t2 + t2 + t2 = 3 t
Massa:
∫ γ δ(r
→
(t)) ⋅ ||r ’
→
(t)|| dt = ∫
2
0
3 t 3 dt = 3 1
2
t2 |2
0
 = 6
exercício 3
γ(t) = (2t2,5t,t3) ⇒ γ(1) = (2,5,1)
γ(t) = (2t2,5t,t3) ⇒ γ'(t) = (4t,5,3t2) e γ’(1) = (4,5,3)
Reta tangente:
X(s) = γ(1) + s ⋅ γ’(1) = (2,5,1) + s(4,5,3)
X(s) = (2 + 4s, 5 + 5s, 1 + 3s), s ∈ ℝ
exercício 4
Parametrização:
x = t 0 ≤ t ≤ 2
y = t
z = t →
r’(t) = 1 ⋅ i
→
 + 1 ⋅ j
→
 + 1 ⋅ k
→
Cálculo III / Aula 9–12 Atividade para Avaliação 3
O trabalho é dado por
∫ γ 
→
F d r
→
 = ∫ γ 2xdx - 3ydy + z
2dz = 
= ∫
2
0
 (2t ⋅ 1 - 3t ⋅ 1 + t2 ⋅ 1)dt = ∫
2
0
 (t2 - t)dt = t
3
3
 - t
2
2
 |20 = 83 - 2 = 
2
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