Exercício de apoio - Semana 4_ CÁLCULO III - MCA003

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13/06/2020 Exercício de apoio - Semana 4: CÁLCULO III - MCA003
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CÁLCULO III
Campos Conserva�vos e Teorema de Green4
 
Exercício 1 
Nas atividades da semana 3, você calculou o rotacional dos campos abaixo:
onde f é uma função derivável e que só depende da variável z. A partir dos resultados obtidos, você pode concluir se
os campos são conservativos ou não? Apresente uma resposta e uma justificativa para cada um dos itens (a, b e c).
 
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
a.
b.
c.
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Exercício 2 
Calcule (2xyz³ + zcos(xz))dx + x²z³dy + (3x²yz² + xcos(xz))dz sendo que γ é uma curva fechada
simples qualquer, o campo é conservativo.
Pela propriedade 3 dos Campos Conservativos (circuitação nula) (2xyz³ + zcos(xz))dx + x²z³dy
+ (3x²yz² + xcos(xz))dz = 0 já que γ é uma curva fechada simples.
 
Exercício 3 
Considere o campo vetorial no plano dado por: 
 
Exercício 4 
Nas atividades da semana 3, você calculou o trabalho realizado pelo campo de forças 
 sobre a trajetória ligando os pontos (0, 0, 0) e (2,
2, 2). Exiba uma função potencial para este campo e use-a para obter a integral acima.
Vamos, inicialmente, determinar uma função potencial φ.
devemos ter:
onde g só depende de y e z.
onde h só depende de x e z.
Calcule o rotacional de .
Como o campo é plano, seu rotacional é dado pela expressão: 
a.
 é um campo conservativo?
Como , segue que não é conservativo.
b.
Calcule onde C é a reunião de quatro segmentos de retas ligando os pontos (0, 0),
(5, 0), (5, 2) e (0, 2) percorrido no sentido anti-horário. (Obs.: C é o bordo de um retângulo).
Seja D o interior de C, temos que D é um retângulo. Pelo Teorema de
Green, temos: 
c.
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onde u só depende de x e y.
Comparando as três expressões, concluímos que uma potencial é dada por:
O trabalho realizado pelo campo pode ser calculado pela diferença de
potencial (propriedade III de Campo Conservativo)
 
Exercício 5 
Mostre que o campo vetorial abaixo é um campo conservativo. 
Sugestão: mostre que ele é o campo gradiente de uma função potencial. Para mostrar isso, determine a
função potencial.
Para determinar uma função potencial temos que determinar uma função φ = φ(x, y, z) que
satisfaça as três relações seguintes: 
Destas relações seguem: φ(x, y, z) = x²yz³ + sen(xz) + h(y, z) 
Onde h é uma eventual função que só depende de y e z: φ(x, y, z) = x²yz³ + g(x, z) 
Onde g só depende de x e z: φ(x, y, z) = x²yz³ + sen(xz) + r(x, z) 
Onde r só depende de x e y. Comparando as três, concluímos que uma função potencial é 
φ(x, y, z) = x²yz³ + sen(xz) e todas as funções potenciais são do tipo: 
φ(x, y, z) = x²yz³ + sen(xz) + C
 
Exercício 6 
Calcule: 
sendo γ a curva , 0 ≤ t ≤ 1 
ligando os pontos (0, 0, 0) e (1, 0, 1). 
Sugestão: use a função potencial calculada acima.
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Como o campo é conservativo, segue que: 
 
é igual à diferença de potencial: 
φ(1, 0, 1) - φ(0, 0, 0) = sen(1)
Esta propriedade é a de número 2 na aula de Campos Conservativos.
 
Exercício 7 
Considere o campo vetorial no plano dado por: 
 
Exercício 8 
Considere o campo vetorial no plano dado por: 
 
Calcule o rotacional de 
Como o campo é plano, seu rotacional é dado pela expressão: 
a.
 é um campo conservativo?
Como , segue que não é conservativo.
b.
Calcule onde C é a circunferência de centro (3, 5) e raio 4, percorrida no sentido
anti-horário.
Seja D o interior de C, circunferência de centro (3, 5) e raio 4, percorrida no sentido
anti-horário. Pelo Teorema de Green, temos: 
c.
Calcule o rotacional de .
Como o campo é plano, seu rotacional é dado pela expressão: 
a.
 é um campo conservativo?
Como , segue que não é conservativo.
b.
Calcule o trabalho realizado pelo campo sobre a trajetória formada pela circunferência de
centro (3, 5) e raio 4, percorrida no sentido anti-horário, e pela circunferência de centro (3, 5)
e raio 2, percorrida no sentido horário. (Obs.: esta trajetória é o bordo de uma coroa circular
de centro (3, 5) e raios 2 e 4).
Seja D o interior de C, circunferência de centro (3, 5) e raios 2 e 4, o Teorema de
Green garante que: 
c.
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Exercício 9 
Nas atividades da semana 3, você calculou sendo γ a circunferência x² + y² = r² percorrida no
sentido anti-horário e . 
O valor da integral é nulo. Outra maneira de obter este resultado é aplicar o fato deste campo ser
conservativo. Demonstre que o campo é conservativo provando que a função: 
 é uma função potencial de .
Basta mostrar que o campo gradiente de é o campo . 
Analogamente, 
e, portanto, satisfaz a condição I de campo conservativo.
 
ESCONDER
GABARITO