Funções de Primeiro Grau-3

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18/06/2020 Funções de Primeiro Grau
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Lição 03
Funções de Primeiro Grau
Matemática
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1. Introdução
Em diversas situações do no dia a dia, nos deparamos com a Matemática. Ela está presente, desde
uma simples compra no supermercado, do controle financeiro pessoal, no trânsito quando o
condutor precisa pensar logicamente no melhor caminho que pode fazer para evitar muito trânsito.
Todas as situações mencionadas são extremamente comuns em nossa rotina, logo, mesmo sem
perceber, desenvolvemos raciocínio lógico e habilidade com números.
Pensando em Ensino Superior, a disciplina de Matemática deve ser encarada como conteúdo
necessário, para possibilitar ao aluno se desenvolver mais e melhor dentro do curso superior.
Sendo assim, estudar e aperfeiçoar nosso estudo na Matemática, além de essencial para sua
formação, torna-se essencial para a vida. Segundo afirma Siqueira et al (2016):
“Diversas ciências tendem a uma compreensão do mundo real. Essa compreensão requer a
criação de um modelo que leva em conta uma série de parâmetros considerados como causas
de um fenômeno. Este modelo é um objeto matemático, e o seu estudo fornece uma melhor
compreensão do fenômeno estudado e previsões sobre a sua evolução futura”.
Vamos aos nossos estudos!
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2. Funções
Analise a seguinte situação: hoje em dia, combustíveis estão cada vez mais caros e precisamos
sempre analisar e controlar nossos gastos com ele. Saber de seus aumentos e qual preço por litro é
item importante para esse controle.
A tabela abaixo relaciona o número de litros de gasolina comprados e o preço a pagar:
Número de Litros Preço a pagar R$
1 3,50
2 7,00
3 10,50
4 14,00
... ...
40 140,00
Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a
pagar depende da quantidade de litros de combustíveis que compramos para abastecer o carro.
Vamos analisar outra situação: sabemos que perímetro é a soma do contorno de uma figura traçada
num plano ou numa superfície.
Para calcular perímetro de um quadrado, então, é necessário somar a medida dos seus quatro
lados. Considerando que quadrado tem todos os lados iguais, temos:
Custo de Abastecimento.
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Considerando que o Perímetro do Quadrado é dado em função da medida de seu lado, isto é, o
Perímetro depende da medida do lado, assim:
Perímetro (P)=4 x medida do lado(l)
A tabela abaixo mostra perímetro de alguns quadrados, com medidas de lados diferentes:
Medida do Lado l Perímetro P
2 8
5 20
6,5 26
10 40
... ...
l 4 x l
É possível verificar na tabela a variação do perímetro de um quadrado, de acordo com a medida do
seu lado.
Temos uma fórmula matemática para determinar o perímetro de qualquer quadrado P = 4 × l.
Como depende da medida do lado do quadrado, seu perímetro é a variável dependente, e a medida
do lado, como não depende de nada, é chamada de variável independente.
Com esses dois exemplos, conseguimos perceber que a ideia intuitiva de função está associada a
situações que envolvem duas variáveis, uma variável dependente e outra independente.
Podemos representar funções por meio de fórmulas matemáticas ou simplesmente por relações
algébricas de funções.
A primeira situação representada, do preço pago para abastecer, depende do preço do litro do
combustível, ou seja, o Preço é a variável dependente e a quantidade de litros que comprarei é
minha variável independente. Considerando x a quantidade de litros de combustível e y o preço
pago, podemos expressar a função preço por:
y=3,50.x ou f(x)=3,50.x
Uma função pode ser representada por uma tabela, gráfico ou fórmula matemática.
2.1. Conceito de Funções
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O Domínio da Função é o conjunto dos valores que podem ser atribuídos à variável
independente (x) e Imagem da Função é o conjunto de valores encontrados para a variável
dependente (y). 
Para que seja realmente uma função, todo elemento do domínio tem de ter uma e somente uma
imagem. Isto é, uma relação entre duas variáveis é uma função, se cada valor da variável
independente determina um, e somente um, valor da variável dependente.
Exemplos de funções expressas por fórmulas matemáticas:
a) A função associa cada número de x ao seu dobro → f(x)=2x ou y=2x.
b) A função associa cada número real x ao seu triplo, somado com 2 → f(x)=3x+2 ou y=3x+2
c) A função associa cada número real x a sua raiz quadrada → f(x)=√x ou y=√x.
d) A função associa cada número real diferente de zero ao seu inverso → f(x)=1/x.
Exemplo: numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto por um custo fixo de
R$ 450,00, mais um custo variável de R$ 0,80 por unidade fabricada. Portanto, o custo
operacional, que representaremos por y, é dado em função do número de unidades fabricadas, que
será representado por x.
a) Expresse por meio de uma fórmula matemática a lei dessa função;
b) Se a indústria produzir 1000 unidades, qual será o custo operacional desta produção?
Resolução:
a) custo operacional=custo fixo+custo variável
Então, a fórmula matemática é y=450+0,80.x
b) Se indústria produzir 1000 unidades, teremos x=1000, então:
y=450+0,80.1000
y=450+800
y=1250
Se a indústria produzir 1000 unidades do produto, o custo operacional será de R$ 1250,00.
Estudo do Conceito Funções.
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Encontramos o valor numérico de uma função, associando valor para a variável independente e
substituindo na função.
2.2. Estudo do Domínio de uma Função Real
2.3. Plano Cartesiano
Consideremos num plano os eixos x e y perpendiculares. A interseção entre eles é chamada de
origem e é o ponto O. O sistema cartesiano ortogonal, chamado de Plano Cartesiano, é dividido em
quatro quadrantes.
Cada ponto marcado no plano é determinado por um par ordenado. Considerando uma lei de
função y=f(x), cada par ordenado (x,y) é associado a um ponto no plano cartesiano.
A coordenada de x é chamada de abscissa e a coordenada de y é chamada de ordenada.
São marcados pontos no plano cartesiano, até que seja possível esboçar o gráfico da função. Assim,
em todas as funções que estudaremos, utilizaremos o plano cartesiano para esboço dos gráficos.
Sistema Cartesiano Ortogonal.
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3. Função do 1º grau
Vamos relembrar uma situação problema discutida acima, quando estávamos estudando conceito
de Funções: numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto por um custo fixo
de R$ 450,00, mais um custo variável de R$ 0,80 por unidade fabricada. Portanto, o custo
operacional, que representaremos por y, é dado em função do número de unidades fabricadas, que
será representado por x.
a) Expresse por meio de uma fórmula matemática a lei dessa função;
Resolução:
custo operacional=custo fixo+custo variável
Então, a fórmula matemática é y=450+0,80.x.Esta fórmula matemática (lei dessa função) nos dá ideia de uma função do 1º grau. O problema
ilustra uma de muitas aplicações deste tipo de função. 
Então, a partir desse momento, vamos estudar mais detalhadamente uma função de 1º grau e suas
aplicações.
3.1. Definição de funções do 1º grau
3.2. Casos particulares de funções do 1º grau
Função constante
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Exemplos de funções constantes:
a) y=3
b) f(x)=-8
c) f(x)=√2
Gráfico da letra a) função constante y=3:
 
Função identidade
 
Função linear
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Podemos também encontrar o valor numérico de uma função do primeiro grau, caso seja atribuído
um valor para x. Então, o valor da função f(x)=ax+b,com a≠0 para x=x é dado por f(x )=ax +b.
Exemplo: seja dada a função de primeiro grau f(x)=-2x+3, encontrar:
0 0 0
3.3. Gráficos funções do 1º grau
O gráfico de uma função do 1º grau é uma Reta. As variações dos gráficos dependem da função
dada.
É sabido que, para desenhar uma reta no Plano, basta termos dois pontos, pois assim
identificaremos a inclinação e posição da reta.
Então, considerando uma função de 1º grau (ou função afim)f(x)=ax+b,com a≠0, vamos analisar e
fazer esboço de seu gráfico.
Exemplo: considere a função f(x)=x+1. Vamos analisar seu domínio, sua imagem e fazer esboço de
seu gráfico.
O Domínio e Imagem desta função é definido em todo conjunto dos números reais, pois não há
restrições.
Como o gráfico é uma reta, determinaremos dois pontos dessa curva.
x y=f(x) Ponto (x,y)
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x y=f(x) Ponto (x,y)
0 f(0)=0+1=1 A (0,1)
1 f(1)=1+1=2 B (1,2)
Exemplo: considere a função f(x)=-2x+4. Vamos analisar seu domínio, sua imagem e fazer esboço
de seu gráfico.
O Domínio e Imagem desta função são definidos em todo conjunto dos números reais, pois não há
restrições.
Como o gráfico é uma reta, determinaremos dois pontos dessa curva.
x y=f(x) Ponto (x,y)
0 f(0)=0+4=4 A (0,4)
2 f(1)=-2.2+4=0 B (2,0)
Para fazer o esboço de uma Reta, é necessário apenas ter dois pontos. A escolha desses pontos não
tem regra, ou seja, podem ser escolhidos qualquer ponto.
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Para fazer o esboço do gráfico do exemplo acima, basta tomarmos os pontos de interseção da reta
com os eixos coordenados, a saber: 
- Ponto A(0,4) que é o ponto de interseção da reta com o eixo x;
- Ponto B(2,0) que é o ponto de interseção com o eixo y.
Quando o gráfico da função intercepta o eixo x num ponto, indicamos o valor de x desse ponto
como Raiz ou Zero da função de 1º grau. Valor encontrado para x, quando y for igual a 0 (zero). 
Logo, para gráfico do exemplo acima, x=2 é a Raíz da função f(x)=-2x+4.
Para desenhar gráficos de funções, existem diversos aplicativos que nos auxiliam e que são muito
úteis.
Um aplicativo muito conhecido e muito intuitivo para seu uso é GeoGebra.
Existe uma versão on-line também!!
Clique aqui e dê uma olhada.
Vamos todos começar a usar ferramentas que ajudam nosso entendimento?
3.4. Função de 1º Graucrescente e
decrescente
Já vimos que o gráfico de uma função de 1º grauf(x)=ax+b,com a≠0 é uma reta, não vertical, ou
seja, não será paralela ao eixo y.
Indicamos a reta por y=ax+b. A ordenada do ponto, onde a reta intercepta o eixo y, é sempre b. O
ângulo α que a reta faz com horizontal (eixo x)com a≠0, é chamado ângulo da reta. O número a
chama-se coeficiente angular ou inclinação da reta em relação ao eixo x.
Para a≠0, temos duas possibilidades:
1º Caso: a > 0 – Função de 1º Grau Crescente
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https://www.geogebra.org/?lang=pt
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Uma função é crescente quando, para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos
que f(x1) < f(x2).
Isto quer dizer que, se valores de x (variável independente) aumentam, valores de y (variável
dependente) também aumentam.
2º Caso: a<0 – Função de 1º Grau Decrescente
Uma função é decrescente quando, para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos
que f(x1) > f(x2).
Isto quer dizer que se valores de x (variável independente) aumentam, valores de y (variável
dependente) diminuem.
Assim, o que determina do Crescimento ou Decrescimento de uma função de 1º grau
f(x)=ax+b,com a ≠ 0 é o sinal do coeficiente a.
Esta análise de crescimento e decrescimento:
Uma função é crescente quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos
que f(x1) < f(x2).
Uma função é decrescente quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2,
temos que f(x1) > f(x2).
Se aplica para qualquer função e não apenas para Retas.
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Exemplo: um comerciante, dono de uma papelaria, gastou R$400,00 na compra de um lote de
canetas vermelhas. Como cada caneta será vendida a R$ 2,00, ele deseja saber quantas canetas
devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda.
Resolução: analisando a situação acima, observe que Lucro=Receita-Custo e é dado em função de x
canetas vermelhas vendidas.
Função Crescente: a>0
----------------------------------------------------------------------------------------------
Função Decrescente: a<0
----------------------------------------------------------------------------------------------
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A lei da função é L(x)=2x-400.
Vendendo 200 canetas, o comerciante não terá lucro nem prejuízo.
Parax=200, temos L(x)=0.
Vendendo mais de 200 canetas, haverá Lucro.
Para x>200, temos L(x)>0.
Vendendo menos de 200 canetas, haverá prejuízo.
Para x<200, temos L(x)<0.
4. Conclusão
Concluímos, ao término deste Tópico, que as funções estão presentes em infinidades de situaçõesem nosso dia a dia.
Então, estudar funções e suas principais características torna-se necessário para que tenhamos
ainda mais habilidade para analisar e resolver problemas.
Concluímos também que é possível estudar funções e funções de primeiro grau de forma simples e
intuitiva para que assim seja melhor compreendidas, sem deixar de estudar conceitos e suas
características.
Nos próximos tópicos, discutiremos outros tipos de funções.
5. Referências
SIQUEIRA, Ana Claudia. et al. Importância do Ensino de Matemática Para Estudantes Do
Curso De Graduação Em Farmácia. In: Encontro nacional de Educação Matemática, 12, 2016.
São Paulo. Anais: Educação Matemática na Contemporaneidade: desafios e possibilidades
YouTube. (2014, Maio, 30). Khan Academy Brasil. Introdução sobre Função. 9min32.
Disponível em: <https://youtu.be/uGPeyerEIis>.
YouTube. (2014, Abril, 09). Khan Academy Brasil. Introdução ao Perímetro. 3min22.
Disponível em: <https://youtu.be/si72yPa3_hU>.
YouTube. (2014, Maio, 05). Khan Academy Brasil. Mínimo Múltiplo Comum-exercício.
4min17. Disponível em: < https://youtu.be/LkHLSOhc730>.