Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
GABARITO DISCIPLINA EEM501 - Modelagem e Simulação APLICAÇÃO 07/05/2020 CÓDIGO DA PROVA P004/P005 QUESTÕES OBJETIVAS Questão 1.1 A resposta correta é: A taxa de utilização 𝜌 = 𝜆/𝜇. Justificativa Todas as outras alternativas correspondem a medidas de desempenho clássicas encontradas na literatura, exceto, talvez, a alternativa “A probabilidade 𝜋𝑛 de encontrar exatamente 𝑛 clientes na fila” que, no entanto, não deve confundir o aluno. 𝜌 = 𝜆/𝜇 representa a intensidade de tráfego e não uma medida de desempenho Questão 1.2 A resposta correta é: 3 passos. Justificativa Para que qualquer estado seja acessível a partir de qualquer outro estado em 𝑛 passos, basta que todos os elementos da matriz 𝑃𝑛 sejam diferentes de zero. Para nossa cadeia de Markov 𝑃 = (0 1 0 0 1/2 1/2 1/3 0 2/3 ), de onde se pode ver facilmente que todos os 𝑝𝑖𝑗 3 ≠ 0. O mesmo fato pode ser verificado por inspeção direta do grafo (provavelmente, essa será a primeira opção dos alunos). 𝑝𝑖𝑗 2 = 𝑝𝑖𝑗 3 = O aluno deve ser capaz de montar a matriz 𝑃 a partir do grafo e saber interpretar o significado de conectividade entre etados de uma cadeia de Markov em termos das potências da matriz 𝑃. Questão 1.3 A resposta correta é: 30% Justificativa Esse valor pode ser obtido como a probabilidade de que a fila não esteja vazia, 1 − 𝜋0. Como se trata de uma fila 𝑀/𝑀/1, 𝜋0 = 1 − 𝜌 = 1 − 𝜆/𝜇, de onde obtemos que a probabilidade procurada vale 𝜆/𝜇 = (1/10 )/(1/3) = 30%. Nessa resposta, os valores de 𝜆 e 𝜇 estão dados em 𝑚𝑖𝑛−1; o mesmo resultado seria obtido com os valores dados em ℎ−1 (a saber, 𝜆 = 6/ℎ e 𝜇 = 20/ℎ). Questão envolvendo conceitos básicos de probabilidade e de teoria de filas. O aluno terá de encontrar o valor correto de 𝜆 e 𝜇 a partir dos dados do problema (o que é fácil) para poder resolvê-lo. Questão 1.4 A resposta correta é: R$ 45.300. Justificativa Identificando a partir do enunciado a demanda 𝐷 = 10.000 × 0,3 × 2 𝑚2 = 6.000 𝑚2, o custo unitário do produto em estoque ℎ = 𝑅$ 0,25/𝑚2, o custo de aquisição do lote 𝐾 = 𝑅$ 30 e o preço unitário de aquisição 𝑝 = 𝑅$ 7,50/𝑚2, podemos calcular o tamanho ideal do pedido pela fórmula 𝑞∗ = √ 2𝐾𝐷 ℎ = 1.200 𝑚2, o que significa que o custo anual total otimizado dos pedidos vale 𝑇𝐶(𝑞∗) = ℎ𝑞∗ 2 + 𝐾𝐷 𝑞∗ + 𝑝𝐷 = 𝑅$ 45.300 Nesta questão quantitativa, o aluno deve calcular o lote ótimo e depois inserir esse valor na expressão para o custo total do pedido. QUESTÕES DISSERTATIVAS Questão 2 Temos de encontrar a probabilidade de partir da classe 𝐵 e em duas gerações atingir a classe 𝐶. Essa probabilidade pode ser calculada ou a partir do quadrado da matriz de transições 𝑃2 = (𝑝𝑖𝑗 2 ), com 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑗 | 𝑋𝑡 = 𝑖), dada por 𝑃 = (0,4 0,4 0,2 0,2 0,5 0,3 0,1 0,2 0,7 ), ou (o que da no mesmo) diretamente a partir da composição de probabilidades (a equação de Chapman-Kolmogorov que, neste caso, pode ser mais intuitiva), 𝑝𝐵𝐶 2 = ∑ 𝐾=𝐴,𝐵,𝐶 𝑝𝐵𝐾 ∙ 𝑝𝐾𝐶 = 𝑝𝐵𝐴 ∙ 𝑝𝐴𝐶 + 𝑝𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝐵𝐶 + 𝑝𝐵𝐶 ∙ 𝑝𝐶𝐶 = 0,2 ∙ 0,2 + 0,5 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 40% Rubricas | critérios de correção Trata-se de uma questão básica sobre cadeias de Markov. O aluno deve ser capaz de interpretar a pergunta em termos das probabilidades 𝑝𝑖𝑗 e de obter os valores de 𝑝𝑖𝑗 que não são fornecidos a partir da normalização das probabilidades. Qualquer uma das duas possíveis soluções oferecidas acima é aceitável. Questão 3 Estamos falando de uma fila 𝑀/𝑀/𝑠 com 𝑠 = 3 servidores. A intensidade de tráfego é de 𝜌 = 𝜆/𝑠𝜇 = 24/3 ∙ 10 = 0,8. Substituindo esses valores na fórmula para obter 𝜋0 de uma fila 𝑀/𝑀/𝑠, obtemos 𝜋0 = 𝑠! (1 − 𝜌) ( 𝜆 𝜇 ) 𝑠 + 𝑠! (1 − 𝜌) (∑𝑠−1𝑘=0 (𝜆/𝜇)𝑘 𝑘! ) ≃ 0,0561 Isto é, com uma intensidade de tráfego de 0,8, a fila poderá ser encontrada completamente vazia com uma probabilidade de aproximadamente 0,6%. Rubricas | critérios de correção Questão padrão em teoria elementar de filas. O estudante deve ser capaz de identificar a fila em questão (𝑀/𝑀/𝑠), o valor de 𝜋0 como a probabilidade de encontrar a fila vazia e resolver o problema com auxílio de um formulário e de uma calculadora.
Compartilhar