Exercícios de Plano Tangente e Reta Normal

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Universidade Nove de Julho 
Cálculo Diferencial e Integral II – Professor: Nelson Dias Leme 
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Bibliografia: 
1. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Cálculo – Volume 1 – Rio de Janeiro, LTC, 2000 
2. FLEMMING, D.M. Cálculo B – São Paulo – Editora Pearson Education do Brasil, 2007 
3. STEWART, J. Cálculo – Volume 2 – São Paulo – Editora Cengage Learning, 2009 
 
 
 
Plano Tangente e Reta Normal - Lista 4 
 
 
 
1. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. 
 
a) 𝑧 = 4𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑦 𝑃(−1, 2, 4) 
b) 𝑧 = 3. (𝑥 − 1)2 + 2. (𝑦 + 3)2 + 7 𝑃(2, −2, 12) 
c) 𝑧 = √𝑥. 𝑦 𝑃(1, 1, 1) 
 
2. Determine as equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície dada no ponto 
especificado. 
 
a) 2. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 3)2 = 10 𝑃(3, 3, 5) 
b) 𝑥2 − 2𝑦2 + 𝑧2 + 𝑦𝑧 = 2 𝑃(2, 1, −1) 
c) 𝑧 + 1 = 𝑥. 𝑒𝑦. 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑃(1, 0, 0) 
 
 
Respostas: 
 
 
1. a) 𝑧 = −8𝑥 − 2𝑦 
b) 6𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 + 8 = 0 
c) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 
 
 
2. a) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11; 
𝑥−3
4
=
𝑦−3
4
=
𝑧−5
4
 
 
b) 4𝑥 − 5𝑦 − 𝑧 = 4 ; 
𝑥−2
4
=
𝑦−1
−5
=
𝑧+1
−1
 
 
c) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1; 
𝑥−1
1
=
𝑦
1
=
𝑧
−1