Atividade 2 - Cálculo Aplicado

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· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a função   é uma composição da função seno com a função polinomial elevado a 2 (função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é  o valor de 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. De acordo com  os cálculos a seguir, o valor correto é .
  
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como   A forma implícita pode ser representada como  . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, deve-se derivar a função dada na forma implícita.
Nesse contexto, dada a função  , definida implicitamente, assinale a alternativa que determine o valor de  .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Para derivar implicitamente, devem-se derivar ambos os lados da equação. Verifique os cálculos a seguir, que constatam que o valor da derivada é igual a   De fato, temos:
   .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Seja a função espaço tempo  , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial (   e tempo final   é dada por  . A derivada de uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade   é a derivada da função espaço em relação ao tempo  , enquanto que a aceleração  é a derivada da função velocidade em relação ao tempo  . Com essas informações, considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do movimento  , em que t é medido em segundos.
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando   e   é igual a 40,0  m/s. 
II. A velocidade instantânea quando   é igual a  .
III. A aceleração é sempre constante.
IV. A aceleração quando o tempo é   é igual a   .
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
II e IV, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a velocidade média para o período de tempo que começa quando  e  é igual a 40,0  m/s. De fato: . A afirmativa II é correta, uma vez que a velocidade instantânea quando  é igual a . De fato:  A afirmativa III é incorreta, porque a aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração quando o tempo é  é igual a . De fato: 
	
	
	
· Pergunta 4
0 em 1 pontos
	
	
	
	Para derivar a função  , é necessário conhecer a derivada da função tangente e a regra da cadeia, pois essa função é uma composição da função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, deve-se aplicar a derivada da função potência, depois da função tangente e, por fim, a função polinomial.
 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Aplicando-se os passos evidenciados, a derivada da função potência, depois a derivada da tangente e, em seguida, a derivada da função polinomial, o seguinte cálculo mostra que .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são tabeladas, e  também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a função  , é necessário conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a regra do quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que determine o valor de 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. O valor correto é . Verifique os cálculos abaixo, em que inicialmente foi aplicada a regra operatória do quociente; em seguida, as derivadas da função logarítmica e potência. Após obter a , aplicou-se o ponto para alcançar o resultado. Cálculos:
 
, desde quando 
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas.
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  )  .
II. (  )  .
III. (  )  .
IV. (  ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, F, F, V.
	Resposta Correta:
	 
V, F, F, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada da função cossecante é dada por  Por fim, a afirmativa III também é falsa desde quando  a derivada da cotangete é 
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma função,  definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto  : as derivadas laterais a direita,  , e a derivada lateral à esquerda,  , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I.  (  ) A função    é derivável em  .
II. (  ) A derivada de  existe, pois as derivadas laterais são:  .
III. (  ) A função   não é derivável em  porque   não é contínua em  .
IV. (  ) A função   é derivável em  , porque   é contínua em  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
F, F, V, F.
	Resposta Correta:
	 
F, F, V, F.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que   é derivável em , logo, . De fato: 
.
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, pois , pois, . De fato:   .
A afirmativa III é verdadeira, dado que  não é derivável em , porque  não é contínua em . De fato,  , portanto, f não é derivável em x=2.
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez que  é derivável em  porque  é contínua em . O fato de uma função ser contínua não garante a sua derivabilidade.
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma:   funções contínuas não deriváveis,  funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada,  funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe  . Toda função polinomial racional é uma função de classe  , ou seja admite as derivadas de todas as ordens.
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função  , sabendo que  , e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para  .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A derivada correta é igual a . Inicialmente,   deve-se utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual a: . Daí, deriva-se novamente para obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos: 
  
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontosExistem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como   A forma implícita pode ser representada como  , como, por exemplo, a função   Verifique que, nesse caso, fica difícil explicitar a  variável dependente  y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. A derivada da função   aplicada ao ponto  é igual a  .
Pois:
II. A função derivada de y=f(x) é igual a  .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde quando a asserção II também é verdadeira. De fato, a derivada de y=f(x) é igual a  e é claro que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual a . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira.
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior facilidade.
A respeito das derivadas de funções elementares, considere   e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) Se  , então  .
II. (  ) Se  , então 
III. (  ) Se  , então  .
IV. (  ) Se   então  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, F, V, F.
	Resposta Correta:
	 
V, F, V, F.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se , então , por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se , então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A afirmativa III é verdadeira, porque se , então , como consta na tabela de derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que se então . Verifique que a função  é uma função composta e, portanto, através da regra da cadeia