Atividade 2 calculo 1 com uma variavel

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 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
 Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: 
deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, 
derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções 
constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas: 
 
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma. 
4 - Derivada da Cadeia. 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 3, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 3, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que = 
Derivada do Quociente. = Derivada da Soma. = Derivada do 
Produto. = Derivada da Cadeia. 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
 Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o 
líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, 
 
através da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. 
Nesse contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, 
quando horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado. 
Resposta Selecionada: 
4,875 litros/horas. 
Resposta Correta: 
4,875 litros/horas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do gotejamento do 
líquido no recipiente em relação ao tempo, basta derivar a função e 
aplicar o ponto horas, como mostram os cálculos a seguir. 
 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
 As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de 
grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas 
por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para 
derivar, também, as funções trigonométricas. 
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) . 
II. ( ) . 
III. ( ) . 
IV. ( ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, F, V. 
 
Resposta Correta: 
V, F, F, V. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as 
derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é 
falsa, pois a derivada da função cossecante é dada por Por fim, a 
afirmativa III também é falsa desde quando a derivada da cotangete 
é 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
 Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
como , como, por exemplo, a função Verifique que, nesse caso, fica difícil 
explicitar a variável dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a . 
Pois: 
II. A função derivada de y=f(x) é igual a . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde 
quando a asserção II também é verdadeira. De fato, a derivada de y=f(x) é 
 
igual a e é claro que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o 
valor de y’ é igual a . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira. 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
 O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código 
com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em 
que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º 
dígito: , em que Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 1, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 1, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta incorreta. De acordo com os cálculos a seguir, obteve-se o 
código igual a 2114. Cálculos: 
1º dígito: , em que . 
2º dígito: , em que 
 
3º dígito: , em que 
 
4º dígito: , em que 
 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
 As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. 
Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é 
importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com 
maior facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Se , então . 
II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então . 
IV. ( ) Se então . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, V, F. 
Resposta Correta: 
V, F, V, F. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se , então , por 
regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se , então , 
pois a derivada de uma constante é igual a zero. A afirmativa III é 
verdadeira, porque se , então , como consta na tabela de 
derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que se 
então . Verifique que a função é uma função composta e, 
portanto, através da regra da cadeia 
 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
 Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
 
como . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, 
deve-se derivar a função dada na forma implícita. 
Nesse contexto, dada a função , definida implicitamente, assinale a alternativa que 
determine o valor de . 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para derivar implicitamente, devem-se derivar ambos 
os lados da equação. Verifique os cálculos a seguir, que constatam que o 
valor da derivada é igual a De fato, temos: 
 . 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
 Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são 
tabeladas, e também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a 
função , é necessário conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a 
regra do quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que determine o valor de 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. O valor correto é . Verifique os cálculos abaixo, em 
que inicialmente foi aplicada a regra operatória do quociente; em seguida, 
 
as derivadas da função logarítmica e potência. Após obter a , aplicou-
se o ponto para alcançar o resultado. Cálculos: 
 
, desde quando 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte 
forma: funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem 
até 1ª derivada, funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim 
sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial racional é uma 
função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale aalternativa que indique qual é o resultado obtido para . 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. A derivada correta é igual a . Inicialmente, deve-se 
utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual 
a: . Daí, deriva-se novamente para obter a segunda derivada, 
aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos: 
 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
 
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função polinomial e 
regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, 
utilizando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
 
Resposta Selecionada: 
 
 
Resposta Correta: 
 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram 
aplicadas as propriedades de potência para simplificar a função e depois 
derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de .