Cálculo com uma variavel - Atividade 2

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Teste ATIVIDADE 2 (A2) 
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 45 minutos 
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
• Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, 
para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. 
Para funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do 
polinômio, através da regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do 
polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o 
limite e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
-2. 
Resposta Correta: 
-2. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para 
fatorar o polinômio , utiliza-se o quadrado da diferença, 
portanto: . Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, 
as raízes são -1 e -2, portanto . Assim, . 
 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a 
função é uma composição da função seno com a função polinomial elevado a 2 
(função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da 
função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir, o 
valor correto é . 
 
 
 
 
 
• Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
como . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, 
deve-se derivar a função dada na forma implícita. 
Nesse contexto, dada a função , definida implicitamente, assinale a alternativa que 
determine o valor de . 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para derivar implicitamente, devem-se derivar 
ambos os lados da equação. Verifique os cálculos a seguir, que 
constatam que o valor da derivada é igual a De fato, 
temos: 
 . 
 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer 
indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos 
fatorar as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas 
situações, é um cálculo muito simples. 
Nesse contexto, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
4. 
Resposta Correta: 
4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De 
fato, para fatorar o polinômio , utiliza-se a diferenças dos 
quadrados , portanto, , e o cálculo do limite é justificado 
da seguinte forma: . 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte 
 
forma: funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem 
até 1ª derivada, funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim 
sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial racional é uma 
função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a 
alternativa que indique qual é o resultado obtido para . 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A derivada correta é igual a . 
Inicialmente, deve-se utilizar a regra do quociente para obter a 
primeira derivada, que é igual a: . Daí, deriva-se novamente 
para obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do 
quociente. Portanto, temos: 
 
 
 
• Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da 
reta tangente à curva no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da 
reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e 
da reta normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta 
normal. 
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta 
normal é igual a . 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a Como o 
coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do 
valor do coeficiente angular da reta tangente, a equação da reta 
normal é igual a 
 
 
• Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a 
limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de 
uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada 
lateral à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função 
contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função 
derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias 
sentenças: 
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A função é derivável em . 
II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: . 
III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em . 
IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
F, F, V, F. 
Resposta Correta: 
F, F, V, F. 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que é 
derivável em , logo, . De fato: 
 
. 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, 
pois , pois, . De fato: . 
A afirmativa III é verdadeira, dado que não é derivável 
em , porque não é contínua em . De fato, , 
portanto, f não é derivável em x=2. 
 
 
Já a afirmativa IV é falsa, uma vez que é derivável 
em porque é contínua em . O fato de uma função 
ser contínua não garante a sua derivabilidade. 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são 
tabeladas, e também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a 
função , é necessário conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a 
regra do quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que determine o valor de 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. O valor correto é . Verifique os cálculos 
abaixo, em que inicialmente foi aplicada a regra operatória do 
quociente; em seguida, as derivadas da função logarítmica e 
potência. Após obter a , aplicou-se o ponto para 
alcançar o resultado. Cálculos: 
 
, desde quando 
 
 
• Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. 
Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é 
importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior 
 
facilidade. 
A respeito dasderivadas de funções elementares, considere e analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Se , então . 
II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então . 
IV. ( ) Se então . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
Resposta Selecionada: 
V, F, V, F. 
Resposta Correta: 
V, F, V, F. 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se , então 
, por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se , 
então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A 
afirmativa III é verdadeira, porque se , então , como 
consta na tabela de derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é 
falsa, dado que se então . Verifique que a função é 
uma função composta e, portanto, através da regra da 
cadeia 
 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em 
um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de 
uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. 
Na cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em 
relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função 
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte 
situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de 
uma reta, é dado pela equação do movimento , em que t é medido em segundos. 
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir: 
 
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e é igual a 
40,0 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. A aceleração é sempre constante. 
IV. A aceleração quando o tempo é é igual a . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a 
velocidade média para o período de tempo que começa 
quando e é igual a 40,0 m/s. De fato: . A afirmativa 
II é correta, uma vez que a velocidade instantânea quando é 
igual a . De fato: A afirmativa III é incorreta, porque a 
aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração 
quando o tempo é é igual a . De fato: 
 
 
Sexta-feira, 5 de Junho de 2020 01h07min47s BRT 
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