exercicio31B - RLC

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O gerador de corrente alternada da figura abaixo fornece uma força eletromotriz de 120 V e 60 Hz. Com a chave
aberta como na figura, a corrente está adiantada de 20◦ em relação à força eletromotriz do gerador. Quando a
chave é colocada na posição 1, a corrente fica atrasada de 10◦ em relação à força eletromotriz do gerador. Quando
a chave é colocada na posição 2, a amplitude da corrente é 2 A. Determine:
(a) O valor de R.
(b) O valor de L.
(c) O valor de C.
Antes de resolver o exerćıcio propriamente dito, vamos fazer uma breve análise do circuito RLC em série (com
corrente alternada), que irá nos fornecer elementos para analisar os casos do enunciado.
Neste tipo de circuito, temos uma fonte de corrente alternada, e um indutor, um resistor e um capacitor ligados
em série. A força eletromotriz aplicada é dada por:
E = Em sin(ωdt) (1)
Como o resistor, o indutor e o capacitor estão em série, a mesma corrente percorre os três:
i = I sin(ωdt− φ) (2)
Para cada elemento do circuito, a relação entre voltagem e corrente é:
� Resistor: corrente e voltagem estão em fase; logo, o ângulo de rotação do fasor VR é o mesmo do fasor I.
� Capacitor: “atrasado” em relação à I por um ângulo de 90◦
� Indutor: “adiantado” em relação à I por um ângulo de 90◦
Com isso, constrúımos o diagrama de fasores:
1
Projetando cada fasor no eixo vertical, temos as voltagens instantâneas em cada componente em um tempo t:
vR, vC , vL. Pela lei das malhas, a soma destas voltagens é igual à força eletromotriz aplicada:
E = vR + vC + vL (3)
Essa equação é válida para qualquer tempo t; conforme os fasores rotacionam, a igualdade acima se mantém. Com
isso, vemos que E pode ser encontrado através do diagrama de fasores acima; E é de fato a soma vetorial das
projeções de cada fasor.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo do diagrama acima, temos:
E2m = V 2R + (VL − VC)2 (4)
Temos também
VR = IRR, VC = ICXC , VL = ILXL (5)
No caso do nosso problema, a corrente através de cada elemento é a mesma, IR = IC = IL = I. As reatâncias são
dadas por:
XC =
1
ωdC
, XL = ωdL (6)
Com isso, obtemos, a partir da equação (4),
E2m = (IR)2 + (IXL − IXC)2 (7)
I =
Em√
R2 − (XL −XC)2
=
Em
Z
(8)
2
Este denominador, Z =
√
R2 − (XL −XC)2 é o que chamamos de impedância do circuito. Com isso, temos
uma expressão para a amplitude da corrente em termos da força eletromotriz aplicada e dos elementos do circuito.
Vamos agora utilizar estas equações e os dados do enunciado para determinar R,L, e C para o nosso problema.
Da última figura, vemos que o ângulo entre VR e Em é φ,
tan(φ) =
VL − VC
VR
=
IXL − IXC
IR
=
XL −XC
R
=
ωdL− 1ωdC
R
(9)
Esta equação é válida para um circuito RLC em série.
Solução:
Analisamos agora as informações que o enunciado nos dá:
CASO 0: Circuito aberto
Quando a chave está aberta, o circuito é um circuito RLC em série, com apenas o segundo capacitor participando
(veja a figura).Segundo o enunciado, nesta situação a corrente está adiantada de 20◦ em relação à força eletromotriz
do gerador. Neste caso, utilizamos a equação para tan(φ) encontrada na análise do circuito RLC, com φ0 = −20◦.
tan(φ0) =
VL − VC
VR
=
IXL − IXC
IR
=
XL −XC
R
=
ωdL− 1ωdC
R
= tan(−20◦) = − tan(20◦). (10)
Dáı conclúımos que 1/ωdC > ωdL; esta informação será útil!
CASO 1: Chave na posição 1
O enunciado nos diz também que com a chave na posição 1, a corrente fica atrasada de 10◦ em relação à
força eletromotriz do gerador. Com a chave na posição 1, temos os dois capacitores em paralelo, e a capacitância
equivalente é 2C. Temos, novamente, um circuito RLC em série.
3
Utilizamos novamente a relação para tan(φ) obtida na análise do circuito RLC em série, mas agora com corrente
atrasada de 10◦ em relação à força eletromotriz, ou seja, com o ângulo φ1 = 10
◦. A capacitância é igual à 2C:
tan(φ1) =
VL − VC
VR
=
IXL − IXC
IR
=
XL −XC
R
=
ωdL− 1ωd2C
R
= tan(10◦) (11)
CASO 2: Chave na posição 2
Por fim, é dito que com a chave na posição 2, a amplitude da corrente é 2 A; quando a chave está nesta posição,
o circuito é:
O circuito acima é um circuito LC (em série); a corrente percorre o caminho destacado em azul, e sua intensidade
é dada por:
I2 =
Em
ZLC
=
Em
ZLC
=
Em√(
ωdL− 1ωdC
)2 (12)
Na expressão acima, ZLC é a impedância do circuito LC (recuperada a partir da impedância do circuito RLC,
já calculada algumas passagens acima; aqui, não temos o termo relativo ao resistor). Como 1/ωdc > ωdL, a raiz
quadrada acima é simplificada para:
I2 =
E
1
ωdC
− ωdL
(13)
Com isso, obtivemos três equações (em vermelho) em três variáveis: R, L e C. São dados do enunciado: a
amplitude da tensão fornecida pela fonte, Em = 120V ; a frequência f = 60Hz (ou seja, ωd = 2π60 rad/s), e a
amplitude da corrente I2 = 2A. Resolvendo o sistema, determinamos R, L e C como sendo:
R =
−Em
I2 tan(−20◦)
=
−120V
(2A) tan(−20◦)
= 165Ω (14)
L =
Em
ωdI2
(
1− 2 tan(10
◦)
tan(−20◦)
)
=
120V
2π(60Hz)(2A)
(
1− 2 tan(10
◦)
tan(−20◦)
)
= 0, 313H (15)
4
C =
I2
2ωdEm[1− tan(10◦)/ tan(−20◦)]
= 1, 49 · 10−5F (16)
5