LISTA 1 FISICA ESTATISTICA

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1ª Lista de Exercícios FI004 
16/03/2015 
1) Suponha que temos um teste de laboratório para uma dada doença. Seja A o evento 
em que a doença está presente e B o evento em que o resultado do teste é positivo. 
Consideremos como conhecidas as probabilidades condicionais: 𝑃 𝐵|𝐴 = 0.95 (a 
probabilidade de o teste dar positivo dado que a pessoa está doente) e 𝑃 𝐵|𝐴 = 0.01 (a 
probabilidade de o teste dar positivo dado que a pessoa está saudável). Desejamos 
determinar a probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o teste deu positivo. 
Considere os dois casos em que a probabilidade de uma pessoa estar doente seja: 
a) 𝑃 𝐴 = 0.01. 
b) 𝑃 𝐴 = 0.001. 
 
2) Uma molécula de um gás anda uma distância  entre colisões, sendo que a 
probabilidade é a mesma para qualquer direção de movimento. Depois de um total de N 
deslocamentos deste tipo, qual o deslocamento quadrático médio da molécula, R2 , a 
partir da origem? 
 
3) Considere o movimento aleatório em 3 dimensões não isotrópico. O movimento da 
partícula se dá por uma série de passos de comprimento 𝑙. Cada passo faz um ângulo θ 
com o eixo 𝑧, com a probabilidade 𝑝 𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠! 𝜃 2 𝜋, enquanto o ângulo φ é 
uniformemente distribuído entre 0 e 2π. (Note que o fator de ângulo sólido de 𝑠𝑒𝑛 𝜃 já 
está incluído na definição de 𝑝 𝜃 , a qual já está normalizada.) A partícula (walker) 
começa o movimento na origem e dá um número de passos N muito grande. 
a) Determine os valores esperados das coordenadas: 𝑥 , 𝑦 e 𝑧 . 
b) Determine os valores esperados dos quadrados das coordenadas: 𝑥! , 〈𝑦!〉 e 〈𝑧!〉. 
c) Determine as covariâncias : 𝑥𝑦 , 𝑦𝑧 e 𝑥𝑧 . 
 
4) Considere o problema do passeio aleatório em uma dimensão. Seja o caso em que a 
cada passo o deslocamento é sempre positivo e a sua magnitude pode assumir 
qualquer valor no intervalo − b e + b com igual probabilidade, sendo b <  . 
a) Desenhe o gráfico da distribuição de probabilidade ω s( ) em função de s para um 
qualquer passo, onde ω s( ) ds é probabilidade de que a magnitude de um dado passo 
esteja entre s e s + ds . 
b) Determine o deslocamento médio x após N passos. 
c) Determine a dispersão x − x( )2 após N passos. 
 
5) Um espelho é produzido através da deposição de ouro em uma placa de vidro no 
vácuo. Os átomos de ouro são emitidos de um eletrodo pelo qual se faz passar uma 
corrente elétrica. Os átomos de ouro são emitidos do eletrodo em todas as direções e 
uma parte deles adere à placa de vidro (ou a outros átomos de ouro já depositados sobre 
a placa de vidro). Considere que cada coluna de átomos depositados é independente das 
colunas vizinhas, e que a taxa média de deposição é de 𝑑 camadas por segundo. 
a) Determine a probabilidade de haver 𝑚 átomos depositados em um sítio qualquer 
depois de decorrido um tempo 𝑡. 
b) Determine a fração de área da placa de vidro que não está coberta por nenhum 
átomos de ouro neste tempo 𝑡. 
c) Determine a variância na espessura depositada. 
 
6) Considere que os erros tipográficos em livro ocorram de forma totalmente aleatória. 
Suponha que um livro de 600 páginas contenha 600 erros. Use a distribuição de Poisson 
para determinar a probabilidade: 
a) que uma página não contenha erros. 
b) que uma página contenha pelo menos 3 erros. 
 
7) Na década de 1970, havia na televisão americana um show de prêmios chamado Let's 
Make a Deal, que era apresentado por um sujeito de nome Monty Hall. O jogo consistia 
no seguinte: era apresentada para o jogador a seguinte situação, havia 3 portas fechadas 
numeradas: 1, 2 e 3, atrás de uma delas havia um prêmio valioso, por exemplo um 
automóvel, e atrás de cada uma das outras duas portas havia um bode. O jogador 
escolhia uma das portas, digamos a porta número 1. Em seguida, o apresentador Monty 
Hall abria uma das outras duas portas, digamos a porta número 3 e mostrava que havia 
um bode atrás da porta número 3. Então, Monty Hall oferecia ao jogador a 
oportunidade de permanecer com sua escolha inicial, a porta número 1, ou se ele 
preferia mudar a sua escolha para a porta número 2. Utilizando o teorema de Bayes, 
determine se é mais vantajoso para o jogador permanecer com sua escolha inicial ou 
mudar para a outra porta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FI004 - Primeira Lista (27/08/2015)
Marina Vasques Moreira – RA: 71824
1 Questão 01
Questão 01
(a) Dados os seguintes eventos e suas respectivas probabilidades:
� A = { a doença está presente }, P (A) = 0.01;
� B = { o resultado do teste é positivo }
Conhecemos também as probabilidades condicionais: P (B|A) = 0.95, P (B|AC) = 0.01. Queremos calcular
a probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o exame deu positivo, ou seja, P (A|B). Para isso,
utilizamos o teorema de Bayes, segundo o qual:
P (A|B) = P (A) · P (B|A)
P (B)
=
P (A) · P (B|A)
P (A) · P (B|A) + P (AC) · P (B|AC)
=
0.01 · 0.95
0.95 · 0.01 + 0.99 · 0.01
= 0.4897
(1.1)
(b) Agora temos P (A) = 0.001, P (B|A) = 0.95, P (B|AC) = 0.01. De acordo com o teorema de Bayes:
P (A|B) = P (A) · P (B|A)
P (B)
=
P (A) · P (B|A)
P (A) · P (B|A) + P (AC) · P (B|AC)
=
0.001 · 0.95
0.95 · 0.001 + 0.999 · 0.01
= 0.0868
(1.2)
2 Questão 02
Questão 02
Cada passo da molécula é descrito por um vetor ~ri. O deslocamento total é dado pela soma vetorial de todos os
passos, ou seja: ~R =
N∑
i=1
~ri. Para calcular 〈R2〉, tomamos o quadrado,
~R · ~R = R2 =
(
N∑
i=1
~ri
)
·
 N∑
j=1
~rj

=
(
N∑
i=1
~r2i
)
+
∑
i6=j
~ri · ~rj

= N`2 +
∑
i 6=j
ri · rj

(2.1)
Quando tomamos uma média sobre um ensemble, o segundo termo se cancela por que é uma soma de termos
positivos e negativos, e portanto:
1
〈R2〉 = 〈N`2〉+
��
�
��
��*
0〈∑
i 6=j
ri · rj
〉
= N`2
(2.2)
3 Questão 03
Questão 03
(a) O problema do passeio aleatório em três dimensões dado sugere o uso de coordenadas polares esféricas.
Temos:
x = ` sin θ cosφ, y = ` sin θ sinφ, z = ` cos θ, com 0 6 θ 6 π, 0 6 φ 6 2π
Cada passo faz um ângulo θ com o eixo z com probabilidade p(θ) = 2 cos2(θ/2)/π; o ângulo φ é uniformemente
distribúıdo, então a probabilidade de que em um passo tenhamos o ângulo φ entre φ e φ+dφ é simplesmente
dφ/2π. Assim, calculamos os valores esperados:
〈x〉 = 〈
N∑
i=1
xi〉, 〈y〉 = 〈
N∑
i=1
yi〉 (3.1)
Para cada 〈xi〉 e 〈yi〉
〈xi〉 =
∫ π
0
`p(θ) sin θ dθ
∫ 2π
0
cosφ
dφ
2π
=
∫ π
0
`p(θ) sin θ dθ
1
2π��
��
�
��*
0∫ 2π
0
cosφ dφ = 0
(3.2)
〈yi〉 =
∫ π
0
`p(θ) sin θ dθ
∫ 2π
0
sinφ
dφ
2π
=
∫ π
0
`p(θ) sin θ dθ
1
2π�
��
�
��
�*0∫ 2π
0
sinφ dφ = 0
(3.3)
Portanto, 〈x〉 = 〈y〉 = 0.
Podemos ver também, através de argumentos de simetria, que 〈x〉 = 〈y〉 = 0. Finalmente, para 〈z〉 temos
〈z〉 =
∑
i
〈zi〉 = N〈zi〉 = N`〈cos θi〉 (3.4)
Por sua vez, 〈cos θi〉 é calculado como
2
〈cos θi〉 =
∫ π
0
p(θ) cos(θ) dθ =
∫ π/2
0
2 cos2(θ/2)/π cos(θ) dθ (3.5)
Utilizando as relações trigonométricas fundamentais, escrevemos cos2(θ/2) como
cos2(θ/2) =
cos θ + 1
2
;
substituindo este resultado na expressão de 〈cos θi〉 obtemos
〈cos θi〉 =
1
π
∫ π
0
(cos θ + 1) · cos θ dθ = 1
π
∫ π
0
cos2 θ + cos θ dθ
=
1
π
∫ π
0
cos2 θ + cos θ dθ =
1
π
∫ π
0
cos 2θ + 1
2
dθ +
1
π
∫ π
0
cos θ dθ
=
1
π
[π
2
+ 0
]
=
1
2
(3.6)
Assim, encontramos
〈z〉 = N`〈cos θi〉 =
N`
2
(3.7)
(b) Para calcular o valor esperado dos quadrados das coordenadas procedemos de maneira análoga ao item
anterior. Temos
〈x2〉 = 〈
∑
i,j
xixj〉 =
∑
i,j
〈xixj〉
=
∑
i 6=j
〈xixj〉+
∑
i
〈x2i 〉
(3.8)
Calculamos cada termo da expressão acima; assim como argumentamos na questão 02, o termo 〈xixj〉 se
cancela quando tomamos a média sobre um ensemble (pois φ é uniformemente distribúıdo), e ficamos apenas
com o termo
∑
i
〈x2i 〉. Temos:
〈x2i 〉 = `2 sin2 θ cos2 φ
=
`2
2π2
∫ 2π
0
dφ cos2 φ
∫ π
0
dθ sin2 θ(cos θ + 1) =
1
4
(3.9)
portanto
〈x2〉 = N`
2
4
(3.10)
De maneira similar, calculamos 〈y2〉:
3
〈y2〉 = 〈
∑
i,j
yiyj〉 =
∑
i,j
〈yiyj〉
=
∑
i6=j
〈yiyj〉+
∑
i
〈y2i 〉
(3.11)Assim como para o caso anterior, o termo 〈yiyj〉 se cancela quando tomamos a média sobre um ensemble, e
ficamos com
〈y2i 〉 = 〈`2 sin2 θ sin2 φ〉 =
`2
4
, (3.12)
e
〈y2〉 = N`
2
4
(3.13)
Por último, calculamos 〈y2〉 como sendo
〈z2〉 = 〈
∑
i,j
zizj〉 =
∑
i,j
〈zizj〉
=
∑
i 6=j
〈zizj〉+
∑
i
〈z2i 〉
=
∑
i 6=j
〈zi〉〈zj〉+
∑
i
〈z2i 〉
(3.14)
Avaliamos o primeiro termo na soma acima levando em conta que temos N posśıveis maneiras de escolher i,
e uma vez fixado i, nos restam (N − 1) posśıveis escolha para j diferrente de i; no segundo termo, temos N
elementos na somatória. Com isso,
〈z2〉 = N(N − 1)〈zi〉2 +N〈z2i 〉 (3.15)
Note, no entanto, que aqui não podemos zerar o primeiro termo na soma acima – ao contrário do que
fizemos para os cálculos de 〈z2〉 e 〈z2〉. Isso ocorre pois z possui dependência apenas com θ, o qual não é
uniformemente distribúıdo. Calculamos 〈z2i 〉:
〈z2i 〉 = 〈`2 cos2 θ〉 = `2〈cos2 θ〉 = `2
∫ π
0
p(θ) cos2 θ dθ
=
2`2
π
∫ π
0
cos2(θ/2) cos2 θ dθ
=
`2
π
∫ π
0
(cos θ + 1) cos2 θ dθ
=
`2
π
[∫ π
0
cos3 θ dθ +
∫ π
0
cos2 θ dθ
]
(3.16)
A primeira integral na expressão acima pode ser calculada se fizermos cos3 θ = cos2 θ cos θ = (1−sin2 θ) cos θ;
feito isso, faça a substituição u = sin θ, du = cos θdθ. A segunda integral é feita usando o fato de que
4
cos2 = (cos 2θ + 1)/2. Assim, ficamos com
〈z2i 〉 =
`2
π
[
sin θ|π0 −
sin3 θ
3
∣∣∣∣π
0
+
sin 2θ
4
∣∣∣∣π
0
+
π
2
]
=
`2
2
(3.17)
Por fim,
〈z2〉 = N(N − 1)
(
`
2
)2
+
N`2
2
= N(N + 1)
`2
4
(3.18)
(c) Desejamos agora calcular as covariâncias 〈xy〉, 〈yz〉 e 〈xy〉. Temos:
〈xy〉 = 〈`2 sin2 θ cosφ sinφ〉 = `2〈sin2 θ1
2
sin 2φ〉
=
`2
2
∫ π
0
p(θ) sin2 θ dθ
��
�
��
��*
0∫ 2π
0
sin 2φ dφ
= 0
(3.19)
〈yz〉 = 〈`2 sin θ cos θ sinφ〉
= `2
∫ π
0
p(θ) sin θ cos θ dθ
�
��
�
��
�*0∫ 2π
0
sinφ dφ
= 0
(3.20)
〈yz〉 = 〈`2 sin θ cos θ cosφ〉
= `2
∫ π
0
p(θ) sin θ cos θ dθ
��
�
��
��*
0∫ 2π
0
cosφ dφ
= 0
(3.21)
4 Questão 04
Questão 04
(a) A distribuição de probabilidade para o tamanho do passo é a distribuição uniforme, com o tamanho do passo
variando de ` − b até ` + b. Ou seja, temos uma distribuição uniforme em um intervalo de tamanho 2b.
A probabilidade deve ser normalizada; graficamente, isso equivale a ter a área sobre a curva no gráfico de
distribuição de probabilidade igual a um. Assim, o gráfico da probabilidade ω(s) do tamanho do passo variar
entre s e s+ ds é dado por:
5
(b) Se o passeio aleatório não tivesse um bias (i.e., se os passos pudessem ser tanto para a esquerda quanto para
a direita), o deslocamento médio seria nulo. Como o deslocamento é sempre positivo, isso não é o que ocorre!
O deslocamento após N passos é dado por X =
N∑
i=1
~xi, onde o passo ~xi pode assumir qualquer valor entre
` − b e ` + b. Como o tamanho do passo é dado por uma distibuição uniforme, o tamanho médio de cada
passo é dado por (`− b+ `+ b)/2 = `, e:
〈X〉 =
〈
N∑
i=1
~xi
〉
=
N∑
i=1
〈~xi〉 =
N∑
i=1
` = N` (4.1)
Assim, o deslocamento médio após N passos é simplesmente
〈x〉 = 〈X〉
N
=
N`
N
= ` (4.2)
(c) Queremos calcular a dispersão 〈x − 〈x〉2〉 após N passos. No item anterior já determinamos que, após N
passos, temos 〈x〉 = `; com isso, a dispersão fica
〈x− 〈x〉2〉 = 〈x− `2〉, (4.3)
que podemos escrever como
〈x− `2〉 = 1
N
 N∑
i=1
〈(si − `)2〉+
∑
i 6=j
〈si − `〉〈sj − `〉
 (4.4)
Por outro lado, temos 〈si − `〉 = 〈si〉 − 〈`〉 = 〈si〉 − ` = 0, fazendo com que o segundo termo na equação
acima seja nulo, e ficamos com
〈x− `2〉 = 1
N
(
N∑
i=1
〈(si − `)2〉
)
(4.5)
A probabilidade de que um passo tenha tamanho entre s e s + ds (dentro do intervalo de ` − b até ` + b)
é simplesmente ds/2b (pois temos uma distribuição uniforme em intervalo de tamanho 2b). Utilizando essa
6
probabilidade e a definição de valor esperado, escrevemos
〈(si − `)2〉 =
∫ `+b
`−b
(s− `)2 ds
2b
=
1
2b
∫ `+b
`−b
(s− `)2 ds
=
1
2b
(s− `)3
3
∣∣∣∣`+b
`−b
=
1
2b
(
(`+ b− `)3
3
− (`− b− `)
3
3
)
=
1
2b
(
b3
3
− −b
3
3
)
=
b2
3
(4.6)
ou seja, 〈x− 〈x〉2〉 = 1
N
N∑
i=1
b2
3
=
b2
3
.
5 Questão 05
Questão 05
(a) Se o livro contém 600 erros em 600 páginas, então a média de erros por página é igual a 1; este é o parâmetro
λ da distribuição de Poisson que representa a probabilidade de se encontrar uma quantidade de erros em
uma página. Para n ocorrências e um parâmetro λ qualquer, a distribuição de Poisson é
P (n) =
λn
n!
e−λ (5.1)
Para determinar a probabilidade de que uma página não contenha erros, no caso do nosso livro (λ = 1),
precisamos calcular
P (n = 0) =
10
0!
e−1 =
1
e
≈ 0, 37 (5.2)
(b) A probabilidade de que uma página contenha pelo menos três erros é escrita como P (n > 3), e pode ser
calculada se levamos em conta que o evento “uma página contém pelo menos três erros” é a união dos
eventos disjuntos: “uma página contém três erros”, “uma página contém quatro erros”, ... , “uma página
contém k erros”, ‘uma página contém k + 1 erros”, etc. Por outro lado, a probabilidade total (a soma das
probabilidades de todos os eventos disjuntos) é igual a um, então:
P (n > 3) = 1− P (n < 3) = 1− (P (n = 0) + P (n = 1) + P (n = 2))
= 1−
(
10
0!
e−1 +
11
1!
e−1 +
12
2!
e−1
)
≈ 0, 08
(5.3)
6 Questão 06
Questão 06
Inicialmente, deixamos o jogador escolher a porta na qual ele acha que está o prêmio, e deixamos M. Hall abrir
uma das portas (revelando um bode). Feito isso, nomeamos as portas como:
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a é a porta que o jogador (o Pateta!) escolhe; b é a porta que Monty Hall abre, e c é a porta que sobra.
Defina os eventos:
� A é o evento “o prêmio está atrás da porta a”;
� B é o evento “o prêmio está atrás da porta b”;
� C é o evento “o prêmio está atrás da porta c”.
Defina ainda o evento O como sendo “Monty Hall abre a porta b” (lembre que ao abrir a porta b M. Hall nos
mostra um bode). Em termos dos eventos definidos, a pergunta do problema (i.e., é vantajoso trocar da porta a
para a porta c após Monty Hall revelar a porta b?) se traduz como:
P (A|O)
?
> P (C|O) (6.1)
onde:
� P (A|O) é a probabilidade de o prêmio estar na porta a (aquela que foi escolhida pelo jogador) dado que M.
Hall abriu a porta b.
� P (C|O) é a probabilidade de o prêmio estar na porta c (aquela que sobrou) dado que M. Hall abriu a porta
b.
Comparando P (A|O) e P (C|O) o jogador pode decidir se é mais vantajoso continuar com a sua porta escolhida
a ou trocar para a porta c. Utilizando o teorema de Bayes, podemos escrever:
P (A|O) = P (A) · P (O|A)
P (O)
, P (C|O) = P (C) · P (O|C)
P (O)
(6.2)
Como assumimos que o prêmio tem chances iguais de estar atrás de qualquer uma das portas:
P (A) = P (B) = P (C) =
1
3
(6.3)
Calculamos agora P (O|A);P (O|B) e P (O|C).
� A probabilidade de M. Hall abrir a porta b dado que o prêmio está em a: P (O|A) = 1/2 (se o prêmio está
em a, M. Hall escolhe a porta b ou c para revelar com probabilidades iguais)
� A probabilidade de M. Hall abrir a porta b dado que o prêmio está em b: P (O|B) = 0 (se o prêmio está em
b, M. Hall não pode escolher a porta b para revelar)
� A probabilidade de M. Hall abrir a porta b dado que o prêmio está em c: P (O|C) = 1 (se o prêmio está em
c, e o jogador escolheu a, M. Hall só pode escolher a porta b para revelar, ou seja, ele escolhe a porta b com
probabilidade 1.)
8
Calculamos P (O), lembrando que P (O) = P (O∩A)∪P (O∩B)∪P (O∩C). Como os eventos O∩A,O∩B e O∩C
são mutuamente exclusivos, ficamos com
P (O) = P (O ∩A) + P (O ∩B) + P (O ∩ C)
= P (O|A)P (A) + P (O|B)P (B) + P (O|C)P (C)
=
1
2
· 1
3
+ 0 · 1
3
+ 1 · 1
3
=
1
2
(6.4)
Portanto,
P (A|O) = P (A) · P (O|A)
P (O)
=
1
3 ·
1
2
1
2
=
1
3
P (C|O) = P (C) · P (O|C)
P (O)
=
1
3 · 1
1
2
=
2
3
(6.5)
Ou seja, é mais vantajoso trocar de porta – de fato, ao trocar de porta, suas chances dobram.
9
	Questão 01
	Questão 02
	Questão 03
	Questão 04
	Questão 05
	Questão 06