Livro 5 Cap 10 Função 2º grau

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Livro 5 
Equação de 2º grau – Cap. 10 
Professor: Matheus Burgão
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Equações redutíveis e condição de existência
Primeiro passo determinar as condições de existência
 por soma e produto temos que essa equação terá duas raízes reais iguais, , para a segunda função temos, x-3=0 logo a solução para essa equação também será 3. Temos então que , pois caso tenhamos esse valor como solução teríamos uma divisão por zero. 
Fazendo o produto dos meios pelos extremos temos:
Por soma e produto temos: , contudo o 3 não pode fazer parte do conjunto solução. Logo
Primeiro passo determinar as condições de existência:
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02 - Um grupo de alunos do 9o ano decidiu comprar um presente no valor de 60 reais para o professor de Matemática. O valor deveria ser dividido igualmente entre os alunos participantes. No entanto, no dia combinado para levarem o dinheiro, três alunos faltaram. Dessa forma, cada um dos alunos presentes precisou contribuir com mais 1 real. No fim, quantos alunos efetivamente contribuíram para a compra do presente?
1ª Situação, onde todos participação.
X – valor dado por cada aluno.
N - número de alunos.
2ª Situação
Valor pago por cada aluno - x + 1
Número de alunos – N – 3
Tirando o mínimo
Por soma e produto temos que:
Não tem como eu ter um número de alunos negativo, assim o número de alunos que contribuíram 15.
3
02 – Dada a equação 
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Módulo 83 e 84 – Equação biquadrada
Se , onde a, b e c são constantes, para resolver essa vamos utilizar o sistema de substituição e variável. Podemos escrever a equação como sendo, , vamos dizer então que:
Substituindo a variável teremos que: 
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Substituindo a variável teremos que: 
Assim temos que t=0 e t=9
Substituindo a variável teremos que: 
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Em um estudo sobre área, um engenheiro chegou à equação biquadrada dada por x4 – 5x2 – 36 = 0. Ele deve agora calcular as raízes reais dessa equação, chegando ao seu conjunto solução S. Se calcular corretamente, chegará ao conjunto
Substituindo a variável teremos que: 
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04 - Escreva uma equação biquadrada, em sua forma geral, que apresente o seguinte conjunto solução: S = {–1; 1; –6; 6}
Equação geral 
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05 - Admitindo U = R, determine o conjunto solução de cada equação dada.
Substituindo a variável teremos que: 
Substituindo a variável teremos que: 
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02 - Considerando U = R, determine o conjunto solução de cada equação irracional dada. Lembre-se de verificar a validade das raízes encontradas.
Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
Por soma e produto temos 
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03 – a) Uma equação irracional pode ser associada a raízes de outros índices, como raiz cúbica e raiz quarta. Nesse contexto, observem com atenção as equações dadas a seguir e encontrem uma
maneira de resolvê-las. Indiquem o conjunto solução, considerando U = R.
Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
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Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
04 - Resolva a equação a seguir. (Dica: escreva os termos que apresentam radical em um mesmo membro.)
Por soma e produto temos que as raízes são:
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05 - Com relação à equação , é correto afirmar que
Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
Por soma e produto temos:
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06 - Em relação à equação dada a seguir, para U = R, faça o que se pede.
Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
a. Verifique se 2 é raiz dessa equação, substituindo-o na incógnita.
b. De acordo com o cálculo anterior, substituindo x = 2 na equação, é possível afirmar que apenas 2 seja raiz dessa equação?
Não, pois é necessário determinar o conjunto solução, fazendo processo de resolução de equações irracionais.
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07 - Existe um número inteiro não nulo x que apresenta a seguinte relação: a média geométrica entre o dobro e o antecessor de x é igual ao próprio número x. Que número é esse?
Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
NÚMERO – X
DOBRO – 2X
ANTECESSOR – X- 1
MÉDIA GEOMÉTRICA 
Temos dois resultados possíveis, 
Entretanto o enunciado cita que x é um número não nulo, logo 
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08 - Resolva as equações dadas considerando o conjunto dos números reais como conjunto universo.
Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
Por soma e produto temos que 
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Módulo 85 e 86 – Equação Irracional 
09 - Sendo 8 – 2x a expressão que indica a área de um quadrado, deseja-se relacionar a medida do lado dessa figura com o valor x da seguinte forma: Nesse caso, temos uma equação irracional, cuja raiz se espera ser
 
Por soma e produto temos que 
Por se tratar de uma medida não podemos adotar valores negativos
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01 - Resolva cada sistema dado considerando U = R e fazendo uso do método da substituição ou da adição.
Módulo 87 e 88 – Sistemas de equação
Isolaremos a variável y
Substituindo na segunda
Por soma e produto temos:
Agora substituindo na primeira para verificar se ambas as raízes satisfazem.
Verificamos que na primeira equação que:
É uma expressão falsa, pois:
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02 - O produto de dois números inteiros é –24, e a diferença do maior para o menor é 10. Escreva um sistema de equações que traduza essa situação e resolva-o determinando quais são esses números.
Módulo 87 e 88 – Sistemas de equação
Pelo enunciado temos:
Produto de 2 números é -24 logo: 
Podemos então fazer dizer que 
Substituindo na primeira temos:
Determinando agora os possíveis valores para x
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03 - Um vidraceiro recebeu uma encomenda para a confecção de um vitral, o qual deve ser formado por quatro retângulos com algumas das dimensões mostradas na figura ao lado. Veja que, por um descuido de quem enviou o pedido, duas das dimensões não foram dadas, as quais, aqui, assinalamos com as letras x e y. Sabe-se que o perímetro de todo o vitral deve ser de 156 cm. Usando um sistema de equações, determine as medidas que não foram informadas.
Módulo 87 e 88 – Sistemas de equação
Pelo enunciado temos
Portanto 
Por soma e produto temos que:
Determinando dos valores de x
Para 
Para 
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Módulo 87 e 88 – Sistemas de equação
04 - Deseja-se encontrar dois números cuja soma seja –1 e a soma de seus quadrados seja 13. Então, chamando de x e de y esses dois números, tem-se o seguinte sistema de equações de 2º grau:
Resolvendo corretamente esse sistema, será possível concluir que o maior valor para x é
Para que x tenha o maior valor, temos que pegar o menor valor para y, pois na expressão que define o valor de x ,y é negativo, assim
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01 - Jorge e Felipe trabalham em uma linha de produção, mas em ritmos diferentes. Certo lote de peças é montado, pelos dois funcionários, em um tempo de 3 horas. Trabalhando separadamente, sabe-se que Felipe pode levar 8 horas a mais que Jorge para produzir a mesma quantidade de peças desse lote. Quantas horas levaria cada um para produzir as peças desse lote individualmente?
Módulo 89 e 90 – Sistemas de equação
Felipe e Jorge gastam 3 horas para montar um mesmo lote
Logo: 
Temos que Felipe gasta 8 horas a mais que Jorge para fazer um lote sozinho, assim temos que 
Portanto temos que 
Assim se 
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Módulo 89 e 90 – Sistemas de equação
02 - Um triângulo será construído de tal forma que sua área seja de 36 cm². Além disso, a soma das medidas da base e da altura é de 17 cm, sendo a base maior que a altura. Calcule a diferença entre essas duas medidas.
Temos pelo enunciado que :
 
Assim , substituindo o valor encontrado na Área temos:
Por soma e produto temos que 
Portanto para se temos que a base pode ser, , o enunciado afirma que a base é maior, portanto b = 9 e h = 8, a diferença entre essas medidas fica sendo 
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Módulo 89 e 90 – Sistemas de equação
04 - Um serviço, no valor de R$ 6.000,00, foi contratado por uma empresa para ser realizado por x trabalhadores, sendo que o valor total pago pelo serviço seria repartido em partes iguais entre os trabalhadores. Dois deles desistiram do serviço e, assim, este foi realizado por(x – 2) trabalhadores, mas o valor do serviço, combinado em R$ 6.000,00, foi mantido, e essa quantia foi repartida em partes iguais entre os trabalhadores que realizaram o serviço. Se cada trabalhador que realizou o serviço recebeu R$ 800,00 a mais do que receberia se ninguém tivesse desistido, então o número de trabalhadores que realizaram o trabalho foi:
Vamos propor que o valor pago a cada funcionário na 1ª situação fica dado por: , onde y é o valor recebido por cada funcionário e x o número de funcionários.
Na 2ª situação temos que o número de funcionários é dado por x-2 e que o valor recebido por cada um fica sendo y+800, portando temos que 
Temos então que o número de funcionários que realizaram o serviço foi 3
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Módulo 89 e 90 – Sistemas de equação
05 - Sabe-se que a equação apresenta duas raízes dadas por números irracionais. Determine
quais são os dois números inteiros mais próximos da menor dessas raízes.
Fazendo o produto dos meios pelos extremos temos que 
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Módulo 89 e 90 – Sistemas de equação
06 - Considere a seguinte equação biquadrada: determine a soma das raízes:
Substituindo a variável teremos que: 
Ao somar as raízes o resultado 
Será igual a zero 
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Módulo 89 e 90 – Sistemas de equação
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