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MATEMÁTICA GPA 6º ANO 4 MÓDULO I MATEMÁTICA GPA 6º ANO 5 1- SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Desde a pré-história os homens já haviam percebido a necessidade de contabilizar. A princípio para contabilizar o tempo, afim de realizarem seus rituais religiosos no tempo certo. Depois para contar os animais do rebanho. Registravam nas paredes das cavernas, em ossos, pedaços de pau, cordas... Para facilitar e registrar essas contagens os antigos foram criando e desenvolvendo sistemas de numeração. No princípio, vários sistemas foram criados pelos povos antigos e estes sistemas se espalhavam de acordo com os avanços territoriais das antigas civilizações. A história da humanidade nos mostra a existência de muitos sistemas de numeração criados por vários povos, como os egípcios, os babilônicos, os maias, os romanos, dentre outros. Sistema de numeração é o conjunto de regras que permite escrever e ler qualquer número utilizando símbolos. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 6 O sistema egípcio de numeração Os egípcios criaram um dos primeiros sistemas de numeração que se tem notícia. Veja os símbolos. Fazendo agrupamentos, era possível escrever números muito grandes utilizando as seguintes regras: Cada símbolo pode ser repetido, no máximo, nove vezes; A décima repetição do símbolo deve ser trocada por outro de um agrupamento superior; Soma-se o valor dos símbolos utilizados para encontrar um valor representado. 45 123 1200 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 7 Sistema de numeração romano Dos sistemas de numeração antigos é o mais conhecido devido a expansão do império romano pelo ocidente ao longo dos séculos. Esse sistema tem como base sete símbolos (letras maiúsculas do alfabeto latino). Tabela dos números romanos: MATEMÁTICA GPA 6º ANO 8 Sistema de numeração indo-arábico O sistema de numeração que revolucionou a escrita numérica e é adotado no brasil é o sistema de numeração decimal. Ele foi criado pelos hindus, que habitavam as terras as margens do rio Indo, mas coube aos árabes a tarefa de aperfeiçoar e divulgar o sistema. Hoje ele é aceito no mundo todo. Características importantes do nosso sistema de numeração I. Com apenas estes dez símbolos pode-se escrever qualquer número, por maior que seja: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) → estes são os algarismos indo-arábicos. II. O sistema decimal é de base 10, já que os agrupamentos são feitos de dez em dez. III. O sistema decimal é posicional, porque, dependendo da posição que ocupa no número, o mesmo símbolo pode representar valores diferentes. Exemplo: 323 tem o algarismo 3 com valor posicional de centena(trezentos) e valor posicional de unidade (três). IV. O sistema indo-arábico utiliza o zero par indicar uma “casa vazia” dentre os agrupamentos de dez do número considerado. V. O sistema decimal é multiplicativo, porque um algarismo escrito a esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se MATEMÁTICA GPA 6º ANO 9 estivesse ocupando a posição desse outro. Exemplo: 666 = 6 x 100 + 6 x 10 + 6. Ordens e classes Para facilitar a leitura e a escrita de um número, separamos seus algarismos, da direita para a esquerda, em grupos de três. Cada um desses grupos é uma classe. Cada posição dos algarismos recebe o nome de ordem. Veja, por exemplo, o número que aparece na informação abaixo: De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a área do Brasil mede, aproximadamente, 8.515.760 quilômetros quadrados. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 10 EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 1- Escreva os números abaixo para o nosso sistema de numeração. a. XXX: ________ b. XC: ________ c. LXV: ________ d. XLV: ________ e. XIII: ________ f. MCMLXIII: ________ g. MDCCCLXIX: ________ h. CCII: ________ i. DXXVII: ________ j. MDC: ________ k. MMC: ________ l. DC: ________ m. MMMDCCCXCIX: ________ 2- Escreva os números abaixo no sistema de numeração romano. a. 15: ________ b. 267: ________ c. 27: ________ d. 838: ________ e. 95: ________ f. 3.007: ________ g. 230: ________ h. 2.544: ________ i. 3.956: ________ j. 299: ________ k. 1.496: ________ l. 389: ________ m. 2.000: ________ 3- Responda com numeração romana. a. O dia em que você nasceu: ________ b. O ano em que você nasceu: ________ c. O ano em que estamos: ________ d. O século em que estamos: ________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 11 e. O ano em que o Brasil foi descoberto: ________ f. O ano que o Brasil ganhou sua primeira copa do mundo: ________ g. O ano que o Brasil ganhou o tetra: ________ h. O ano que o Brasil ganhou o penta: ________ 4- No número 8.515.692, a ordem do algarismo 1 é da dezena de milhar e seu valor posicional é 10.000. Ainda em relação a esse número. Responda: a. Qual é a ordem do algarismo 8? Qual o seu valor posicional? _________________________________________________________ b. Qual é a ordem do algarismo 6? Qual o seu valor posicional? _________________________________________________________ c. Quantas classes tem esse número? _________________________________________________________ d. Quantas ordens tem esse número? _________________________________________________________ 5- Analisando o número 12.389.645. a. Quantas classes tem esse número? _________________________________________________________ b. Quantas ordens tem esse número? _________________________________________________________ c. Escreva esse número como se lê. _________________________________________________________ 6- Escreva o número formado por: a. Nove unidades de milhar mais quatro centenas mais três dezenas mais sete unidades: ____________ b. Cinco dezenas de milhão mais sete centenas de milhar mais duas unidades de milhar mais nove dezenas: ____________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 12 c. Três unidades de milhão mais cinco unidades de milhar mais duas unidades: ____________ d. Uma dezena de milhão mais cinco dezenas de milhar mais cinco unidades de milhar mais oito centenas mais seis dezenas mais nove unidades: ____________ 7- Tente resolver esses desafios: a. Qual é o maior número de cinco algarismos em que aparece o algarismo 9 uma única vez? ____________ b. Qual é o menor número de cinco algarismos em que aparece o algarismo 9 uma única vez? ____________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 13 2- CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS – N Iniciando a partir do “zero” e somando sempre “uma” unidade, temos a sequência dos números naturais. {0, 1, 2, 3, 4, ...} Uma vez que todo número natural tem um sucessor maior que ele, a sequência dos números naturais é infinita. Isso é representado pelas reticências (três pontinhos). Sequências especiais de números naturais Temos conhecidas duas sequências especiais dentro dos números naturais: Sequência dos números naturais pares: números que terminam com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 0. Sequência dos números naturais ímpares: números que terminam com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Operações com os números naturais ADIÇÃO: é importante obedecer a sequência de operação, sempre começando pelo algarismo da unidade e avançando ordem por ordem.Em toda soma cujo resultado seja maior ou igual a uma dezena, escrevemos no resultado apenas o algarismo da unidade e adicionamos o algarismo da dezena ao resultado da operação na ordem subsequente. Exemplo: MATEMÁTICA GPA 6º ANO 14 SUBTRAÇÃO: dentro dos números naturais a subtração só é possível se o minuendo for maior que o subtraendo. A ordem da subtração é a mesma da operação de soma, efetuando algarismo por algarismo. Quando no minuendo tem-se algarismos menores do que os de mesma ordem no subtraendo, adicionamos “uma” dezena que éretirada da ordem subsequente (pegar emprestado). Exemplo: EXPRESSÃO NUMÉRICA COM ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Para resolver uma expressão numérica, devemos observar as seguintes condições: Efetuamos as operações de adição e subtração na ordem em que as escrevemos (esquerda para a direita); Caso apareçam parênteses, colchetes e chaves, resolvemos obedecendo esta mesma ordem. Exemplos: MATEMÁTICA GPA 6º ANO 15 EXERCÍCIOS CONTENDO SOMA E SUBTRAÇÃO 1- Determine o valor das expressões numéricas a seguir: a. 40 – 5 + 13 – 10 + 7 = b. 20 + 6 – 14 + 2 – 7 = c. 5 + (6 – 4) – 1 + 2 – 8 = d. 10 – (3 + 4) + 5 + 2 – 1 = e. 10 + 20 – 5 + 3 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 16 2- Calcular o valor de cada uma das expressões numéricas abaixo: a. {2 + [(3 – 1) – (2 – 1)] + 5} = b. [10 – (3 + 5) – 2] + 8 = c. 5 + {8 + 2 – [3 + (5 – 4 + 1)] – 1} = d. 1 + {[(5 – 1) + 4] – 3} + 10 = e. 8 – [4 + (9 – 7) – 1] = f. 25 – [10 + (7 – 4)] = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 17 g. 32 + [10 – (9 – 4) + 8] = h. 45 – [12 – 4 + (2 + 1)] = i. 70 – {20 – [10 – (5 – 1)]} = j. 28 + {13 – [6 – (4 + 1) + 2] – 1} = k. 53 – {20 – [30 – (15 – 1 + 6) + 2]} = l. 62 – {16 – [7 – (6 – 4) + 1]} = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 18 m. 15 + {25 – [2 – (8 – 6)] + 2} = n. 56 – [3 + (8 – 2) + (51 – 10) – (7 – 2)] = o. {42 + [(45 – 19) – (18 – 3) + 1] – (28 – 15) – 1} = p. 25 + {12 + (2 – (8 – 6)] + 2} = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 19 MULTIPLICAÇÃO: multiplicar consiste em somar um número por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes. É a adição de parcelas iguais. Exemplo: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 → 7 x 3 = 21 (Lê-se sete vezes três igual a vinte e um.) Dizemos que 7 e 3 são os fatores (termos da multiplicação) e 21 é o produto (resultado da multiplicação). Algumas propriedades da multiplicação: Qualquer número multiplicado por zero dá como resultado “zero”; Qualquer número multiplicado por um tem como resultado o próprio número (elemento neutro da multiplicação). A ordem dos fatores não altera o produto (propriedade comutativa). A multiplicação de três ou mais termos pode ser feita associando-se em qualquer direção (direita para esquerda ou vice-versa). Uma das maneiras de estudar multiplicações e facilitar seu entendimento é através da tabuada. Existem diversos modelos de tabuadas e um desses modelos que auxiliam no aprendizado, além de mostrar para o aluno como é seu preenchimento é a tábua de Pitágoras. Esta tabuada funciona da seguinte forma: os números que queremos multiplicar são identificados na linha e coluna em cinza (ver exemplo). O ponto de encontro entre os termos a serem multiplicados é o resultado da multiplicação. Exemplo: 4 x 7 = 28 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 20 Complete a tabuada de Pitágoras (sua tabuada) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 8 3 3 6 12 15 27 4 4 12 32 40 5 5 20 40 6 6 18 30 54 60 7 7 49 8 16 40 56 72 9 9 36 10 10 20 40 70 100 Procedimento para multiplicação na conta armada: Multiplicar pro números de um dígito Primeiro aprenderemos a multiplicar números com vários dígitos por outro de apenas um. Como exemplo, faremos a multiplicação 157 x 3 . Passo 1: Assim como na adição e na subtração, devemos colocar os números “um embaixo do outro” fazendo com que as unidades, as dezenas e as centenas correspondam verticalmente. Ainda que a ordem destes números não seja importante, é comum colocar o menor número embaixo do maior. Passo 2: Primeiro devemos multiplicar as unidades. Aqui, neste caso, efetuaremos a operação3 x 7, cujo resultado é 21. O 1 deverá ser colocado na https://edu.gcfglobal.org/pt/somar-e-subtrair/adicao-de-quantidades/1/ https://edu.gcfglobal.org/pt/somar-e-subtrair/subtracao-de-quantidades/1/ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 21 casa da resposta das unidades, e o2 é passado para ser somado na casa das dezenas. No caso do 21, o 1 representa "uma unidade e o 2 representa duas dezenas. Por isso, o um é colocado na casa das unidades e o dois deve subir para ser somado na casa das dezenas. Passo 3: Agora devemos multiplicar as dezenas, ou seja, fazer a operação 3 X 5. Como 3 X 5 = 15, e já tínhamos um 2, o resultado será 17. Colocamos o 7 no lugar das dezenas e passamos o 1 para ser somado junto com as centenas. Nesta multiplicação das dezenas onde o resultado é 17, o 7 representa sete dezenas e o 1 “um grupo” de dez dezenas, ou seja, uma centena. Agora colocamos o 7 na casa das dezenas e subimos o 1 para ser adicionado com as centenas. Passo 4: Finalmente multiplicamos as centenas calculando o produto de 3 X 1. Como o resultado é 3 , somamos o 1 e o resultado 4 deve ser colocado no lugar das centenas. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 22 O resultado final da multiplicação é 15 X 3 = 471. Multiplicar por números de vários dígitos Observe a realização da operação 243 X 256. Como sempre, começamos colocando os números nos lugares corretos, ou seja, posicionando os valores posicionais um embaixo do outro verticalmente. Passo 1: Depois dos números estarem corretamente posicionados, multiplicamos as unidades do segundo fator pelo primeiro. Neste caso, devemos realizar a operação 243 X 6. Colocamos o resultado desta operação na parte inferior, da mesma forma que fizemos no exemplo da página anterior. Passo 2: Em seguida multiplicamos o primeiro fator pela dezena do segundo, ou seja, 243 X 5 . https://edu.gcfglobal.org/pt/como-fazer-multiplicacao/comecando-a-multiplicar/1/ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 23 Colocamos o resultado 1.215 embaixo do resultado anterior, mas movemos uma casa para a esquerda. Passo 3: Em seguida, o primeiro fator é multiplicado pelas centenas do segundo, ou seja, 243 x 2. Colocamos a resposta embaixo da anterior, lembrando que temos de mover uma casa para à esquerda assim como fizemos no anterior. Se os números que estamos multiplicando tiverem mais dígitos, continuamos multiplicando e colocando os resultados na vertical sempre com uma casa à esquerda. Passo 4: Os resultados obtidos são somados por colunas respeitando a posição que estão. O resultado desta soma será o resultado final da nossa multiplicação. Assim, podemos dizer que 243 X 256 = 62.208. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 24 Como você deve ter percebido, este processo é mais longo que os anteriores, mas quando já se tem um pouco de prática, conseguimos ver que ele é tão fácil quanto os outros. Outra ideia associada a multiplicação: disposição retangular Disposição retangular consiste em multiplicar valores como se estivessem organizados na formação de um retângulo, ou seja, como se fossem filas com quantidades iguais em cada uma delas. Nesse caso basta multiplicarmos a quantidade de filas organizadas pela quantidade de itens em cada fila. Exemplo: Uma sala de aula é disposta de 5 fileiras e cada fileira tem 6 carteiras. Qual a capacidade total de alunos nessa turma considerando que todos os lugares estão ocupados? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 25 Resolução: temos 5 fileiras e em cada fileira temos 6 carteiras. Podemos somar então 5 parcelas de 6 carteiras, resultando em um total de 30 carteiras. Mas, se a soma de parcelas iguais é o mesmo que multiplicar o total de parcelas pelas quantidades em cada parcela, então podemos resolver este problema multiplicando 5 (fileiras) por 6 (carteiras): 5 x 6 = 30. Na disposição retangular, devido a organização dos elementos, podemos calcular mais facilmente ototal de elementos apenas multiplicando os termos (lados de um retângulo). OBS: note que na tabuada existem resultados que aparecem mais de uma vez. Além da propriedade comutativa da multiplicação (ordem dos fatores não altera o resultado) também temos outros números distintos que, quando multiplicados, apresentam mesmo resultado. SALA DE AULA 5 FI LE IR AS 6 CARTEIRAS MATEMÁTICA GPA 6º ANO 26 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 27 EXERCÍCIOS SOBRE MULTIPICAÇÃO 1- Determine através da disposição retangular: a. Quantas árvores temos? b. Quantas cadeiras temos? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 28 c. Quantas motos temos? d. Quantos assentos temos? e. Quantos lugares temos? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 29 DIVISÃO: separação em partes iguais. A operação da divisão faz o caminho contrário das demais operações da aritmética (é feita da esquerda para a direita). Termos de uma divisão: Dividendo: número, quantidade ou valor a ser dividido. Divisor: em quantas partes será dividido. Quociente: resultado da divisão. Resto: temos aqui duas situações. Se o resto for “zero” a divisão é exata. Se o resto for diferente de “zero” temos então uma divisão não exata. Exemplo: tenho 20 bolas de gude para dividir entre 4 colegas. Quantas bolas de gude serão para cada um? OBS: o resto de uma divisão não pode ser maior nem igual ao valor do divisor. Procedimento para divisão: 1º passo – repartimos a partir da maior ordem no dividendo pelo divisor. O que sobrar após repartir é utilizado no próximo passo; 2º passo – o resto do passo anterior é tomado como dezena e adicionado ao algarismo (unidade) da ordem seguinte e assim reparte novamente pelo divisor; 0 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 30 3º passo – repetição dos procedimentos anteriores com as ordens subsequentes. A divisão entre números naturais se encerra quando o resto for um número menor que o divisor. Caso este número seja zero significa que a divisão é exata. Ideias associadas a divisão Repartir igualmente: um pai de família quer repartir igualmente 84 balas entre as 6 crianças que frequentam sua casa. Com quantas balas cada criança ficará? Medida ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra: Em uma fábrica de refrigerante, embalam-se 6 garrafas em uma caixa. Quantas caixas são necessárias para embalar 195 refrigerantes? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 31 O zero na divisão: Quando o dividendo é “zero” e o divisor é qualquer número diferente de zero, o quociente sempre será “zero”. Não existe a divisão por “zero”, ou seja, jamais pode-se ter “zero” no divisor. Exemplo: O 1º mandamento da matemática: “Jamais dividirás por zero.” Então, não podemos dividir nenhum número por “zero”, mas podemos dividir “zero” por qualquer número? 0 : 8 = 0 8 : 0 = impossível pois nenhum número vezes “zero” é igual a 8. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 32 EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 1- Considerando a igualdade 7 x 4 = 28, responda: a. Qual o nome desta operação? ___________________________________________________ b. Como são chamados os números 7 e 4 dentro desta operação? ___________________________________________________ c. Como é chamado o número 28? ___________________________________________________ 2- Observe a igualdade 56 : 7 = 8 e responda: a. Como é chamado o número 56 nesta operação? ___________________________________________________ b. Como é chamado o número 7 nesta operação? ___________________________________________________ c. Como é chamado o número 8 nesta operação? ___________________________________________________ 3- Arme e efetue as multiplicações a seguir: a. 45 x 12 = b. 620 x 12 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 33 c. 51 x 9 = d. 202 x 10 = e. 42 x 7 = f. 18 x 7 = g. 11 x 90 = h. 21 x 6 = i. 0 x 27 = j. 121 x 1 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 34 4- Arme e efetue as divisões exatas a seguir: a. 124 : 4 = b. 12 : 3 = c. 44 : 4 = d. 200 : 5 = e. 27 : 9 = f. 45 : 3 = g. 36 : 6 = h. 32 : 8 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 35 i. 70 : 7 = j. 48 : 12 = 5- Arme e efetue as divisões não exatas a seguir: a. 48 : 9 = b. 23 : 4 = c. 30 : 4 = d. 18 : 5 = e. 20 : 6 = f. 16 : 3 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 36 g. 100 : 8 = h. 125 : 6 = 6- Em uma multiplicação, os fatores são 134 e 296. Qual é o produto? 7- Em uma multiplicação, um dos fatores é o 0. Qual é o produto? 8- Numa mercearia há 7 caixas de bombons e cada caixa contem 3 dúzias de bombons. Quantos bombons há na mercearia? 9- Um trabalhador ganha R$ 96,00 diários e gasta R$ 58,00 por dia. Quanto esse trabalhador economizou no mês de agosto e setembro? 10- Uma pessoa deu R$ 4.700,00 de entrada numa compra e pagou mais 6 prestações de R$ 2.300,00. Quanto custou essa compra? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 37 11- Marque quais das divisões abaixo são exatas: a. 20 : 5 b. 14 : 8 c. 12 : 1 d. 46 : 8 e. 37 : 37 f. 52 : 14 12- Responda o que se pede: a. Qual é a metade de 784? b. Qual é a terça parte de 144? c. Qual é a quinta parte de 1800? d. Qual é a decima parte de 3500? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 38 EXPRESSÃO NUMÉRICA COM AS QUATRO OPERACÕES Para resolver uma expressão numérica que envolva as quatro operações fundamentais da aritmética devemos seguir a seguinte ordem: 1º passo – efetuar a multiplicação e a divisão, na ordem que aparecerem na expressão; 2º passo – efetuar a soma e a subtração, na ordem que aparecerem na expressão; Caso apareçam, prioridade passa a ser parênteses, colchetes e chaves. Nesta respectiva ordem. Exemplo 01: Exemplo 02: MATEMÁTICA GPA 6º ANO 39 EXPRESSÕES NUMÉRICAS CONTENDO AS QUATRO OPERAÇÕES 1- Resolva as expressões numéricas a seguir: a. 8 + 9 : 3 – 5 x 2 = b. 3 + 5 x 4 = c. 8 + 2 x 5 – 18 = d. 20 – 12 : 4 + 1 = e. 9 – 20 : 4 + 2 x 9 – 6 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 40 f. (6 x 5 – 2) : (15 – 16 : 4 + 3) x 2 = g. 20 – {18 – 2 x [8 + (5 + 3) x 2] : 3} = h. (20 – 3 x 4) : (2 + 3 x 2) x (10 – 5 + 3) = i. {30 – [10 + 3 x (6 – 2): 2] + 10 = j. 40 – {10 + 3 x [2 + (3 + 4) x 2] : 4} + 1 = k. 50 + 24 : (10 + 2 – 8) x 3 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 41 l. (7 x 7 + 5) : (18 – 15 : 3 + 5) x 2 = m. (30 – 5 x 6) : (7 + 2 x 10) x (40 – 30 + 5) = n. 120 : (4 + 4) x 5 = o. 2 + 30 : 5 + (9 x 6 – 4) : 5 – (40 : 10 + 3) = p. (3 + 2) x (5 – 1) + 4 = q. 82 – 8 x 7 : (4 – 1 x 3) = r. 25 – [10 – (2 x 3 + 1)] = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 42 s. 70 – [12 + (5 x 2 – 1) + 6] = t. 8 : 2 + [15 – (4 x 2 + 1)] = u. 50 + {10 – 2 x [(6 + 4 : 2) - (10 - 3)]} = v. 180 : {10 + 2 x [20 – 45 : (13 – 2 x 5)]} = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 43 Múltiplos de um número natural A palavra “múltiplos” está ligada à operação de multiplicação (tabuada). Em outras palavras, múltiplos de um número são todos os resultados da multiplicação deste pela sequência dos números naturais. Exemplo: múltiplos de 5: 5 x 0 = 0 5 x 1 = 5 5 x 2 = 10 5 x 3 = 15 5 x 4 = 20 ⋯ M (5): {0, 5, 10, 15, 20, ...} O conjuntode múltiplos de um número é infinito; O menor múltiplo de um número é o “zero”. Divisores de um número natural Verificar a divisibilidade de um número natural por outro número natural usando o algoritmo da divisão pode ser trabalhoso e demorado. Vamos conhecer uma maneira mais prática de fazer essas verificações? Os critérios de divisibilidade são condições que nos permitem saber se um número é ou não divisível por outro sem a necessidade de efetuarmos a divisão. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 44 Vamos, a seguir, conhecer alguns critérios de divisibilidade. Um número é divisível por: 2 Quando termina em 0, 2, 4, 6 e 8, ou seja, quando é par. 3 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismo for divisível por 3 4 Quando os dois últimos algarismos forem 0 ou for um número divisível por 4. 5 Quando o número termina em 0 ou 5. 6 Quando o número é divisível por 2 e 3. 7 Quando o dobro do último algarismo subtraído dos números restantes der um número divisível por 7. 9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos der 9. 10 Quando o número termina em 0. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 45 Divisores naturais são todos os fatores que podem dividir de forma exata o número em questão. Exemplo: Divisores de 20: D(20)= {1, 2, 4, 5, 10, 20} OBS 01: existe uma regularidade nos divisores de um número natural OBS 02: todo número natural é divisível por “1” e o próprio número. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 46 EXERCÍCIOS SOBRE MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL 1- Verifique se 6 é um divisor de? a. 26 b. 48 c. 72 d. 86 2- Verifique se 92 é múltiplo de: a. 4 b. 6 c. 8 d. 23 3- Dentre os elementos do conjunto A = {2, 3, 5, 6, 9, 10}, identifique os que são divisores de: a. 14 b. 18 c. 25 d. 45 e. 54 f. 70 4- Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25? 5- Determine os divisores de: a. 14 que não são divisores de 35. ______________ b. 35 que não são divisores de 14. ______________ c. 14 que são, também, divisores de 35. ______________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 47 6- Dona Ana fez 10 bolinhos e vai distribuí-los igualmente em pratos. De quantas formas diferentes ela pode distribuir os bolinhos. Marque as alternativas corretas: a. 1 pedaço por prato b. 2 pedaços por prato c. 3 pedaços por prato d. 4 pedaços por prato e. 5 pedaços por prato f. 6 pedaços por prato g. 7 pedaços por prato h. 8 pedaços por prato i. 9 pedaços por prato j. 10 pedaços por prato 7- Determine: a. Os divisores de 14: b. Os divisores de 13: c. Os divisores de 15: d. Os divisores de 16: e. Os divisores de 20: f. Os divisores de 30: g. Os divisores de 50: 8- Responda as tirinhas a seguir: a. Qual a idade da tia da Mafalda? A idade da minha tia corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o 60. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 48 b. Qual número que ela está pensando? c. Quaisnúmerossão esses? d. Um número constituído de três algarismos é divisível por 2 e 3. Se o algarismo das centenas é o 9 e o algarismo das dezenas é o 5, responda: Um número natural que é divisível por 2 e 3, é maior que 30 e menor que 40. São dois números naturais menores que 500, múltiplos de 2 e de 3, cada um com três algarismos iguais. QUAL DEVERÁ SER O ALGARISMO DA UNIDADE? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 49 POTENCIAÇÃO Essa operação consiste em multiplicações sucessivas de um mesmo número, chamado de base. A quantidade de vezes que esta base aparece nessa multiplicação depende do valor numérico que aparece no lado superior direito da base, chamado de expoente. Exemplo: 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 Lê- se dois elevado a quatro é igual a dezesseis. 2 => base 4 => expoente 16 => resultado Propriedades de potenciação 1- Todo número elevado a 0 é igual a 1; 2- Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número; 3- Base 1 elevado a qualquer número é igual a 1; 4- Base 0 elevado a qualquer número é igual a 0. (Exceto se o expoente também for 0). MATEMÁTICA GPA 6º ANO 50 EXERCÍCIOS SOBRE POTENCIAÇÃO 1- Na operação 72 = 49; responda: a. Qual é o número da base? _______ b. Qual é o número do expoente? _______ 2- Reescreva as operações abaixo na forma de potenciação: a. 4 x 4 x 4 = b. 5 x 5 = c. 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = d. 7 x 7 x 7 x 7 = e. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = f. 8 x 8 x 8 x 8 = g. 10 x 10 x 10 x 10 = h. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = i. 6 x 6 x 6 = j. 44 x 44 x 44 = k. 13 x 13 x 13 = l. 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 3- Completa com maior, menor ou igual: a. 2501 ______________1250 b. 4000______________0400 c. 0700______________7000 d. 101______________ 110 e. 52______________ 25 f. 74______________ 47 g. 42______________ 24 h. 23______________ 32 i. 25______________ 52 j. 82______________ 28 k. 10______________ 01 l. 102______________ 54 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 51 4- Calcule as potenciações a seguir: a. 32 = ___________ b. 23 = ___________ c. 82 = ___________ d. 33 = ___________ e. 63 = ___________ f. 72 = ___________ g. 37 = ___________ h. 44 = ___________ i. 93 = ___________ j. 105 = ___________ k. 112 = ___________ l. 1000 =___________ m. 302 = ___________ n. 122 = ___________ o. 113 = ___________ p. 132 = ___________ q. 36 = ___________ r. 53 = ___________ s. 102 = ___________ t. 25 = ___________ u. 101 = ___________ v. 252 = ___________ w. 54 = ___________ x. 42 = ___________ y. 24 = ___________ z. 35 = ___________ 5- Dona Maria teve 4 filhos. Cada filho lhe deu 4 netos. Cada um dos netos lhe deu 4 bisnetos. Cada bisneto teve 4 filhos. Quantos são os descendentes de dona Maria? 6- Em uma sala há 3 gaveteiros com 3 gavetas em cada um. Cada gaveta contem 3 pastas e em cada pasta há 3 cadernos. Qual o número total de cadernos nessa sala? 7- Indique a potenciação e calcule o resultado em cada situação a seguir: a. Base 6 e expoente 3: ___________ b. Base 11 e expoente 2: ___________ c. Expoente 4 e base 1: ___________ d. Base 3 e expoente 5: ___________ e. Base 0 e expoente 6: ___________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 52 f. Expoente 3 e base 20: ___________ g. Base 5 e expoente 4: ___________ h. Expoente 2 e base 50: ___________ 8- Investigue e descubra: a. b. c. A potência de base 3 e expoente 4 é igual a potência de base 4 e expoente 3? Qual é a única potenciação que tem, na base e no expoente, números iguais e, como resultado, um número natural de dois algarismos? O resultado de uma potenciação é 64. Somando uma unidade na base e diminuindo uma unidade no expoente, o resultado diminui 39 unidades. Qual é a potenciação inicial? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 53 d. e. f. Qual é o número natural que deve ser a base de uma potenciação de expoente 2 e resultado 900? Qual é a potenciação que indica o sêxtuplo do sêxtuplo do sêxtuplo do sêxtuplo de 6? Indique a base, expoente e o resultado. A base e o expoente são diferentes, mas quando troco estes números de lugar o resultado continua o mesmo. De quais números estou falando? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 54 RADICIAÇÃO (RAIZ QUADRADA) Radiciação é a operação contraria da potenciação. Existem diversos graus de raiz. Para calcular uma raiz quadrada, por exemplo, de um número natural, basta encontrar qual número que, multiplicado por ele mesmo, tem como resultado o número em questão. Exemplo: √36 = 2 6 ↔6 x 6 = 36 → Lê- se raiz quadrada de 36 é igual a 6. Neste exemplo temos: OBS 01: os números naturais que possuem raízes quadradas exatas sãochamados de quadrados perfeitos. A raiz quadrada de um número natural sempre será um número natural. OBS 02: não são todos os números que possuem raízes exatas. Nesta condição, calculamos a raiz aproximada. OBS 03: para raízes quadradas, o grau da raiz não é necessário aparecer por se tratar o menor grau que uma raiz pode ter. Os demais valores de grau de raiz devem, obrigatoriamente, ser indicados. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 55 EXERCÍCIOS SOBRE RAIZ QUADRADA 1- Lembrando que a raiz quadrada de um número natural será um outro número que, ao ser multiplicado por ele mesmo, resulta no número inicial, indique as raízes quadradas a seguir: a. √49 2 = ________ b. √100 2 = ________ c. √25 2 = ________ d. √16 2 = ________ e. √36 2 = ________ f. √64 2 = ________ g. √121 2 = ________ h. √9 2 = ________ i. √4 2 = ________ j. √225 2 = ________ k. √196 2 = ________ l. √144 2 = ________ m. √400 2 = ________ n. √324 2 = ________ o. √81 2 = ________ p. √121 2 = ________ q. √900 2 = ________ r. √625 2 = ________ s. √10000 2 = ________ t. √2500 2 = ________ u. √0 2 = ________ v. √1 2 = ________ w. √1600 2 = ________ x. √169 2 = ________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 56 EXPRESSÃO NUMÉRICA COM POTENCIAÇÃO E RAIZ QUADRADA. Para resolver uma expressão numérica que contenha potências e raízes, além das demais operações, seguimos a sequência: 1º passo – resolver as potenciações e raízes, obedecendo a ordem em que aparecem; 2º passo – resolver as multiplicações e divisões, obedecendo a ordem em que aparecem; 3º passo – resolver as somas e subtrações, obedecendo a ordem em que aparecem. Esta sequência pode alterar caso a expressão apresente parênteses, colchetes e chaves. Exemplo 01: 24 ∶ 4 + 32 𝑥 10 = 16 ∶ 4 + 9 𝑥 10 = 4 + 90 = 94 Exemplo 02: √64 ∶ 2 − 100 = 8 ∶ 2 − 1 = 4 − 1 = 3 Exemplo 03: [(122 + 1) ∶ (54 − 72)] − (34 ∶ √9) = [(144 + 1) ∶ (54 − 49)] − (81 ∶ 3) = 145 ∶ 5 − 27 = 29 − 27 = 2 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 57 EXERCÍCIOS DE EXPRESSÃO NUMÉRICA COM TODAS AS OPERAÇÕES ESTUDADAS 1- Resolva as expressões numéricas a seguir: a. 72 − 40 + 18 ∶ 32 − 2 = b. (62 − 52) x 33 − 10 = c. 62 ∶ (23 + 1)x (32 − 5) = d. (7 x 3 + 112)x 103 = e. (7 x 32 − 1) ∶ (82 − 2 x 31) = f. 25 + 42 − 23 x 3 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 58 g. 25 + (42 − 23) x 3 = h. (25 + 42 − 23)x 3 = i. √81 2 x 2 x 102 + 19 x 22 = j. 102 x √25 x 3 + 82 + 21 = k. 32 + 23 = l. √49 x √4 2 = m. 2 + √9 2 x 5 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 59 n. (32 − 23)x 32 − 23 + 22 x 42 = o. (√54 − 52) ∶ (6 + 12 x √4) = p. 14 − 2 x √49 = q. {[(20 ∶ √100 2 x √4) + √25] ∶ 3} + 23 = r. {2 x [√49 − (√16 2 + √1) ∶ 5] ∶ 22} 2 = s. (92 + √2 2 ) x (62 − 36) + 23 = t. [(33 − 24 − 40) ∶ (42 − 11)]2 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 60 u. {3 + 2 x [40 − (32 − 7) − 10]}2 = v. 10 ∶ {2 + [(√16 2 + 23) − 22]} x √9 2 = w. √[33 + (25 − 5 x 21) 2 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 61 ATIVIDADES COMPLEMENTARES – 1ª ETAPA 1- Analise as afirmativas abaixo sobre os resultados das operações fundamentais: a) 3.248 + 1.985 = 5.233 ; 2.841 -849 = 1.992 b) 389 x 14 = 4.346 ; 1.296 : 48 = 18 c) 3.248 + 1.985 = 4.233 ; 2.841 -849 = 1.782 d) 389 x 14 = 5.446 ; 1.296∶ 48 = 27 Estão CORRETAS as afirmativas. a) Apenas III, IV. b) Apenas II, III. c) Apenas I, IV. d) Nenhuma das alternativas. 2- Assinale a alternativa que apresenta corretamente a resposta para a seguinte operação matemática: (42 + 15 x 109). a) 1.677 b) 1.688 c) 1.698 d) 1.777 e) 1.877 3- Assinale a alternativa correta para a seguinte operação com números reais: (1.045 + 54 x 17): a) 1.863 b) 1.877 c) 1.898 d) 1.945 e) 1.963 4- Quem é maior? a) 32 𝑜𝑢 23: _________________ b) 561 𝑜𝑢 156 ∶ _________________ c) 1000 𝑜𝑢 1001 ∶ _____________ d) 43 𝑜𝑢 34 ∶ _________________ e) 52 𝑜𝑢 25 ∶ _________________ 5- Indique qual é o valor do expoente: a) 3𝑥 = 81 _________ b) 2𝑥 = 32 _________ c) 5𝑥 = 125 _________ d) 7𝑥 = 49 _________ e) 2𝑥 = 1 _________ f) 6𝑥 = 216 _________ g) 4𝑥 = 64 _________ 6- Represente na forma de potenciação e indique o resultado: a) Nove elevado a quinta potência: ____________________ b) Doze elevado a dois: _____________________ c) Cinco elevado a quarta potência: _____________________ d) Vinte elevado a terceira potência: _____________________ e) Seis elevado a terceira potência: _____________________ 7- Leia com atenção ao que se pede e responda: a) A soma do quadrado de 5 e 12. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 62 _______________________ b) O quadrado da soma de 5 e 12. _______________________ c) O quadrado da diferença entre 12 e 5. _______________________ d) A diferença do quadrado de 12 e 5. _______________________ 8- Dentre os conjuntos abaixo, marque aquele onde estão todos os divisores de 36: a) {2. 3. 4. 5. 6. 9, 18, 36} b) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 16, 36} c) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36} d) {1, 3, 4, 5, 6, 9, 16, 36} e) {1, 2, 3, 5, 6, 8, 16, 36} 9- Marque V para verdadeiro e F para falso: (____) O número zero é múltiplo de todos os números. (____) Todo número que divide por seis divide por três e dois ao mesmo tempo. (____) O conjunto dos múltiplos é limitado. (____) O conjunto dos divisores é limitado. (____) O número um é múltiplo de todos os números. (____) Qualquer número pode dividir por zero. (____) Qualquer número pode dividir por um. (____) Todos os números que dividem por quatro também dividem por oito. (____) O maior múltiplo comum entre dois números é chamado de MMC. 10- Marque as opções em que as respostas para as raízes quadradas estão corretas: a) √100 2 = 10 b) √8 2 = 4 c) √4 2 = 2 d) √6 2 = 3 e) √9 2 = 3 f) √16 2 = 8 g) √16 2 = 4 h) √25 2 = 5 i) √36 2 = 18 j) √0 2 = 0 11- Qual o resultado final para a seguinte expressão numérica: 60 − [(√9 2 x √4 2 + 1) 2 + (42 − 32)] = a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 12- Qual o resultado final para a seguinte expressão numérica: [(2)3 x (5 + 23) + 42] ∶ (32 − 1 ) a) 12 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 63 13- De acordo com o sistema de numeração romana, marque as respostas que estão corretas. a) 19 = XIX b) 999 = IM c) 209 = CCVIIII d) 313 = CCCXIIV e) 210 = CCX f) 109 = CIX g) 1088 = MLXXXVIII h) 111 = CXI i) 555 = LDV j) 1.505 = MDV k) 2.788 = MMLCCDXXXIIX l) 729 = DCCXXIX m) 872 = LCCDXXII 14- Dada a soma a seguir, indique o resultado final. MDXXXIV + MLIX = a) 2.599 b) 2.678 c) 2.756 d) 2.593 15- (OBMEP) Luiza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que: − Luiza é maior que Antônio − Maria é maior que Luíza; − Antônio é maior que Júlio; − Júlio é menor que Maria. Quais deles têm a mesma altura? a) Maria e Júlio b) Júlio e Luíza c) Antônio e Luíza d) Antônio e Júlio e) Antônio e Maria 16- (ANRESC) Observando o desenho e sabendo que Roberta é vizinha de Júlia e que Júlia mora ao lado da prefeitura, descubra onde mora Roberta. a) Na casa 1 b) Na casa 2 c) Na casa 3 d) Na casa 4 17- (OBMEP) O campeonato brasileiro de 2005 foi disputado por 22 times. Cada time enfrenta cada um dos outros duas vezes, uma vez no seu campo eoutra no campo do adversário. Quantas partidas serão disputadas por cada time? a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 18- (SARESP) Luiz tem uma coleção de bolinhas de gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas novas de seu primo e ficou com 150 bolinhas. Desse modo, podemos afirmar que, antes de ganhar esse presente do primo, Luiz tinha: a) 124 bolinhas b) 125 bolinhas c) 126 bolinhas d) 174 bolinhas 19- (OBMEP) O aniversário de Carlinhos é no dia 20 de julho. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 64 Em agosto de 2005, ao preencher uma ficha em sua escola, Carlinhos inverteu a posição dos dois últimos algarismos do ano em que nasceu. A professora que recebeu a ficha disse: “Carlinhos, pro favor, corrija o ano do seu nascimento, senão as pessoas vão pensar que você tem 56 anos!” Qual era a idade de Carlinhos em agosto de 2005? a) 11 anos b) 12 anos c) 13 anos d) 14 anos e) 15 anos 20- (OBMEP - Adaptada) Sete equipes participam do torneiro de futebol do meu bairro. Todos jogavam contra todos com cada equipe enfrentando uma a outra duas vezes (uma partida em cada turno). Faziam a final as melhores equipes de cada turno em jogo de ida e volta. a) Quantas rodadas ao todo foram realizadas juntando os dois turnos? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 b) Quantas partidas no total a equipe campeã fez? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 65 MÓDULO II MATEMÁTICA GPA 6º ANO 66 3- GEOMETRIA FORMAS GEOMÉTRICAS PLANAS Perímetro É a soma das medidas dos lados de uma figura plana. Analise do contorno desta forma geométrica. Exemplo: perímetro: 35 + 35 + 10 + 10 = 90 Área de figuras planas É o produto entre as dimensões da forma geométrica (lados). Calcular área é determinar o preenchimento de uma superfície. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 67 Algumas figuras geométricas já tem fórmulas específicas para calcular sua área, como indica o quadro a seguir: Exemplo: a- Calcular a área do triangulo abaixo: 𝐴∆ = 12𝑐𝑚 𝑥 23𝑐𝑚 2 = 138cm² b- Calcular a área do quadrado abaixo: A = L x L A = 8cm x 8cm A = 64cm² MATEMÁTICA GPA 6º ANO 68 c- Calcular a área do trapézio abaixo: d- Calcular a área retângulo abaixo: A= c x L A= 7cm x 3cm A= 21cm² e- Calcular a área do losango abaixo: 𝐴∆ = 𝐷 𝑥 𝑑 2 𝐴∆ = 6𝑐𝑚 𝑥 4𝑐𝑚 2 A= 12cm² f- Calcular a área do paralelogramo abaixo: A= b x h A= 25cm x 20cm A= 500cm² MATEMÁTICA GPA 6º ANO 69 EXERCÍCIOS SOBRE PERÍMETROS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 1- Calcule o perímetro das figuras a seguir: a. b. c. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 70 d. e. f. g. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 71 2- Utilizando as fórmulas já estudadas, calcule as áreas de figuras planas de acordo com os dados apresentados a seguir: a. Quadrado com 25 de lado. b. Triângulo com 6 de altura e 9 de base. c. Retângulo com lados 14 e 23. d. Losango com diagonais medindo 27 e 36. e. Paralelogramo de altura 14 e base 8. f. Trapézio de altura 23 e bases 14 e 9. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 72 3- Mona Lisa, também conhecida como La Gioconda, é o nome deste quadro de Leonardo da Vinci, pintado por volta de 1503 – 1506. Ele se encontra no museu do Louvre, em Paris (França). Suas dimensões são 77 centímetros de altura por 53 centímetros largura. Determine a área e o perímetro dessa tela. 4- As dimensões do campo de futebol do estádio Cícero Pompeu de Toledo, também conhecido como estádio do Morumbi (SP), são, aproximadamente, 108 metros de comprimento e 72 metros de largura, enquanto as do estádio Jornalista Mário Filho, também conhecido como Maracanã (RJ), são 100 metros de comprimento e 75 metros de largura. Qual desses dois estádios tem maior perímetro? Qual deles tem a maior área? 5- Se uma região retangular tem 26 centímetros de comprimento e 18 centímetros de largura, qual é sua área e seu perímetro? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 73 6- Um quadrado tem 120 centímetros de perímetro. Qual é a área desse quadrado? 7- Os lados de um triângulo medem 4, 3 e 5 centímetros. Determine o perímetro desse triângulo. 8- Um lote retangular mede 12 metros de frente por 14 metros de lado. Determine a área e o perímetro deste lote. 9- Determine os perímetros e as áreas das figuras abaixo: a. b. 15 11 9 10 16 7 18 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 74 c. d. 16 21 Todos os lados medem 18. 26 12 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 75 4- CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q Quando se analisa parte de um inteiro, estamos falando do conjunto dos números racionais, onde pegamos um inteiro e o dividimos em partes iguais. O próprio símbolo deste conjunto, Q, vem do inglês quotient (quociente), resultado de uma divisão. Os números racionais podem ser representados tanto na forma de fração quanto na forma decimal. FRAÇÕES Forma numérica que representa parte de um inteiro. É composta por um numerador (número de cima – representa quanto do inteiro que foi tomado) e denominador (número de baixo – representa em quantas partes o inteiro foi dividido). Exemplo: => lê-se dois quintos ou dois sobre cinco. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 76 Leitura do denominador Tipos de frações Frações próprias:são frações que têm o numerador menor que o denominador. Exemplo: 3 5 ; 1 4 ; … Frações impróprias:são frações que têm o numerador maior que o denominador. Exemplo: 5 2 ; 11 4 ; … Frações aparentes:são frações que representam números naturais, ou seja, ao realizar a divisão do numerador pelo denominador encontramos um número natural como resultado. Exemplo: 30 5 = 6 ; 8 4 = 2 ; … MATEMÁTICA GPA 6º ANO 77 Frações equivalentes:são frações que representam uma mesma porção, ou seja, tem igual valor, mas com números diferentes. Exemplo: 3 5 = 12 20 ; 1 2 = 4 8 … Simplificação de frações (fração reduzida) Se temos frações equivalente, podemos fazer o caminho contrário que é reduzir uma fração dada (simplificar), para obter uma nova fração com termos menores. Para isso dividimos tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número (diferente de 1), independentemente da quantidade de vezes, até que não seja mais possível. Exemplos: 12 20 => 12 ∶ 2 20 ∶ 2 = 6 ∶ 2 10 ∶2 = 3 5 24 36 => 24 ∶ 2 36 ∶ 2 = 12 ∶ 2 18 ∶ 2 = 6 ∶ 3 9 ∶ 3 = 2 3 Quando uma fração não admite mais simplificação, ela é chamada de fração irredutível. Nesse caso, o numerador e o denominador são números primos entre si. Podemos obter mais rapidamente “a fração irredutível” dividindo os termos da fração (numerador e denominador) por números maiores. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 78 EXERCÍCIOS SOBRE FRAÇÕES 1- Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada desenho em relação a figura toda: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 79 2- Das frações abaixo, marque quais delas são irredutíveis: 4 8 ; 6 4 ; 2 13 ; 1 4 ; 3 6 3- Simplifique as frações a seguir: a. 4 6 = b. 6 15 = c. 10 15 = d. 3 9 = e. 4 8 = f. 6 8 = g. 12 15 = h. 10 16 = i. 7 35 = j. 17 28 = k. 45 75 = l. 50 100 = m. 108 144 = n. 192 240 = o. 90 120 = p. 1100 4004 = q.888 999 = r. 175 25 = s. 234 390 = t. 72 117 = u. 360 120 = v. 125 75 = 4- Dadas as figuras abaixo, reparta e pinte de acordo com a fração correspondente: a. b. 𝟒 𝟓 𝟑 𝟖 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 80 c. d. e. f. 5- Escreva como se lê as frações abaixo: a. 2 5 → ________________________________________ b. 8 9 → ________________________________________ c. 3 8 → ________________________________________ d. 1 2 → ________________________________________ e. 3 12 → ________________________________________ 𝟓 𝟖 𝟑 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟕 𝟏𝟎 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 81 6- Enumere a coluna da direita de acordo com a coluna da esquerda: A. Frações próprias B. Frações improprias C. Frações equivalentes D. Frações aparentes (____) São frações com o numerador maior que o denominador; (____) São frações que representam um número natural; (____) São frações onde o numerador é menor que o denominador; (____)São frações com números diferentes, mas que representam a mesma porção. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 82 NÚMEROS DECIMAIS Outra forma de representar parte de um inteiro é através de números com virgula. Estamos falando do que é menor que a unidade. Toda fração tem um número decimal que a representa. Os números decimais que representam as frações são obtidos através da divisão do numerador pelo denominador destas frações. Exemplo: Outro exemplo de número decimal está no nosso sistema monetário. O inteiro chamamos de Real e as partes do Real chamamos de centavos. Exemplo:R$ 23,46 → vinte e três reais e quarenta e seis centavos. OBS: o “zero” após a vírgula só tem valor caso à sua direita tenham outros números não nulos. Exemplo: 9,7 = 9,70 = 9,700 = 9,7000 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 83 Operações com números decimais ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO O essencial é manter as virgulas (na conta armada) uma sobre a outra e assim proceder a operação. A resposta terá a mesma quantidade de algarismos após a vírgula que o termo da operação com a maior quantidade. Exemplo 01: Exemplo 02: Vírgula debaixo de vírgula e segue o fluxo... MATEMÁTICA GPA 6º ANO 84 EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS DECIMAIS COM SOMA E SUBTRAÇÃO 1- Arme e efetue as operações de soma e subtração a seguir: a. 1 + 0,78 = b. 0,8 + 0,5 = c. 2,5 + 0,5 + 0,7 = d. 9,1 + 7,6 + 5,1 = e. 16,4 + 2,12 + 3,15 = f. 2,746 + 0,92 = g. 0,45 + 4,125 + 1,2 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 85 h. 0,3 + 1,25 + 11,03 = i. 2,18 + 0,014 + 10,11 = j. 0,3 + 15,34 + 0,001 = k. 6 + 0,013 = l. 8,2 – 1,7 = m. 5 – 0,74 = n. 4,92 – 1,74 = o. 12,3 – 1,74 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 86 p. 4,329 – 2,011 = q. 15,8 – 9,81 = r. 10,1 – 2,734 = s. 17,3 + 0,47 – 8,01 = t. 3,25 – 1,03 – 1,18 = u. 1,503 – (2,35 – 2,04) = v. (7 + 2,75) – (0,12 + 1,04) = w. 12 + (15 – 10,456) = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 87 x. 45 – (14,2 – 8,3) = y. (3,8 – 1,6) – (6,2 + 5,02) = z. (12,53 – 1,451) + (6,009 + 1,01) = 2- Veja quanto um caminhão transportou de cana-de-açúcar de 2ª a 6ª feira em determinada semana: 2ª feira – 8,35 toneladas 3ª feira – 0,25 toneladas a mais que na 2ª feira 4ª feira – 4,3 toneladas a menos do que na 3ª feira 5ª feira – 3,4 toneladas a menos do que na 2ª feira 6ª feira – 6,8 toneladas Nesses cinco dias, quantas toneladas ao todo esse caminhão transportou? MATEMÁTICA GPA 6º ANO 88 3- Dentre os números a seguir, quais têm o mesmo valor? 4- Considere os números decimais abaixo e responda: 3,7 7,01 10,01 0,095 0,305 3,016 0,28 1,0004 a. Quais destes números decimais é maior que 1? ______________________________________________________ b. Quais destes números decimais é menor que 1? ______________________________________________________ c. Quais destes números decimais estão entre 0,5 e 1? ______________________________________________________ d. Quais destes números decimais é menor que 0,1? ______________________________________________________ 2,3 2,030 2,0300 2,03 2,003 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 89 MULTIPLICAÇÃO O procedimento não é diferente de uma multiplicação com números naturais. A diferença está na resposta. A quantidade de algarismos após a virgula será a soma da quantidade de todos os algarismos após a virgula dos termos multiplicados. Exemplo: DIVISÃO 1ª situação: divisão entre números naturais com resultado contendo números decimais (divisão aproximada). 2ª situação: divisão de um número decimal por um número natural. Total de três algarismos após a virgula contando em todos os termos da multiplicação, logo, na resposta também devem conter três algarismos após a virgula. Nesta divisão o resto 1 continua a ser dividido; no caso, a unidade é convertida para 100 centésimos. Para fazer a conversão e continuar a divisão acrescentamos a virgula ao quociente. Nesta divisão podemos “zeros” ao divisor de acordo com a quantidade de algarismos após a virgula no dividendo e, após, eliminar a virgula para proceder com a divisão normalmente como no procedimento anterior. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 90 3ª situação: divisão de um número natural por número decimal e divisão de um decimal por outro. OBS 01: se os termos de uma divisão forem multiplicados por um mesmo número diferente de “zero”, a nova divisão terá o mesmo resultado (quociente). Exemplo: 6 : 3 = 2 (x 4) 24 : 12 = 2 OBS 02: os melhores números para se utilizar são os múltiplos de 10, pois podem fazer a virgula “sumir” nos termos da divisão. Exemplo 01: nesta divisão multiplicamos os dois termos por 10 por se tratar de um número decimal com um algarismo após a virgula. Exemplo 02: nesta divisão os termos foram multiplicados por 1000 por se tratar de números decimais com três algarismos após a virgula. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 91 EXERCÍCIOS SOBRE DECIMAIS COM MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 1- Arme e efetue as multiplicações a seguir: a. 10 x 1,08 = b. 100 x 0,572 = c. 7,2 x 4,8 = d. 5 x 9,8 = e. 7 x 1,25 = f. 12 x 8,3 = g. 25 x 0,64 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 92 h. 3 x 0,989 = i. 7,2 x 4,8 = j. 0,9 x 10,5 = k. 7,25 x 0,6 = l. 9,9 x 5,5 = m. 0,96 x 0,5 = n. 3,21 x 0,9 x 1,07 = o. 1,7 x 3 x 5,29 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 93 p. 14,2 x 0,4 x 2,5 = q. 0,7 x 0,9 x 3,5 = r. 1,7 x 3 x 5,29 = s. 9,05 – 2,5 x 2,5 = t. (6 – 1,07) x 3,1 = u. 257 x 0,0006 = v. 3 x 1,025 = w. 31,08 X 1,2 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 94 2- Arme e efetue as divisões: a. 38,6 : 2 = b. 7,6 : 1,9 = c. 3,5 : 0,7 = d. 17,92 : 5,6 = e. 155 : 0,25 = f. 6,996 : 5,83 = g. 9,576 : 5,32 = h. 2,280 : 0,05 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 95 i. 1,24 : 0,004 = j. 7,2624 : 2,136 = k. 7,2 : 2,4 + 1,7 = l. 2,1 + 6,8 : 2 = m. 6,9 : 3 – 0,71 = n. 8,36 : 2 – 1,03 = o. 1,6 : 4 – 0,12 = p. 8,7 – 1,5 : 0,3 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 96 q. 7 : 3 = r. 9 : 4 =s. 12 : 15 = t. 3,6 : 0,6 = u. 0,625 : 0,25 = v. 0,625 : 25 = w. 0,0625 : 0,25 = x. 92,8 : 7,25 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 97 y. 46,50 : 10 = z. 250 : 1000 = MATEMÁTICA GPA 6º ANO 98 POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS NA BASE Valem as regras de multiplicação com números decimais como critério de resolução e as mesmas regras da potenciação para os números naturais. Exemplo: 0,72 = 0,49 0,252 = 0,0625 0,023 = 0,000008 RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO DECIMAL Valem as mesmas regras para raiz quadrada em números naturais. Dica: esqueça a virgula e calcule a raiz quadrada normalmente. Para voltar com a virgula basta considerar para resposta a metade de algarismos após a virgula do número inicial. Exemplos: √0,49 2 = 0,7 √12,96 2 = 3,6 Esquecendo a virgula, teríamos que calcular a raiz quadrada de 49, que é 7. O número inicial tem dois algarismos após a virgula. A resposta deve conter a metade da quantidade de algarismo, logo, terá apenas um algarismo após a virgula. Esquecendo a vírgula, teríamos que calcular a raiz quadrada de 1296, que é 36. O número inicial tem dois algarismos após a virgula. A resposta deve conter a metade da quantidade de algarismo, logo, terá apenas um algarismo após a virgula. MATEMÁTICA GPA 6º ANO 99 EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS DECIMAIS COM POTENCIAÇÃO E RAIZ QUADRADA 1- Calcule as potenciações: a. (0,7)2 = ________ b. (0,3)2 = ________ c. (1,2)2 = ________ d. (2,5)2 = ________ e. (1,7)2 = ________ f. (0,8)3 = ________ g. (8,4)2 = ________ h. (1,1)2 = ________ i. (0,1)3 = ________ j. (0,15)2 = ________ k. (0,2)4 = ________ l. (1,1)3 = ________ m. (1,5)3 = ________ n. (0,3)4 = ________ o. (1,2)3 = ________ p. (0,4)2 = ________ q. (0,9)2 = ________ r. (1,01)2 = ________ s. (0,15)2 = ________ t. (0,11)2 = ________ u. (0,4)3 = ________ v. (0,5)3 = ________ w. (0,5)2 = ________ x. (0,00002)0 = ________ y. (0,01)1 = ________ z. (0,11)1 = ________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 100 2- Calcule as raízes quadradas exatas a seguir: a. √0,81 2 = ________ b. √0,0625 2 = ________ c. √12,96 2 = ________ d. √0,0121 2 = ________ e. √0,25 2 = ________ f. √0,16 2 = ________ g. √0,09 2 = ________ h. √1,44 2 = ________ i. √12,25 2 = ________ j. √0,04 2 = ________ k. √0,36 2 = ________ l. √1,69 2 = ________ m. √0,0144 2 = ________ n. √1,96 2 = ________ o. √0,6561 2 = ________ p. √2,25 2 = ________ q. √0,0225 2 = ________ r. √0,0001 2 = ________ s. √10,24 2 = ________ t. √0,0256 2 = ________ u. √0,0289 2 = ________ v. √6,25 2 = ________ w. √7,29 2 = ________ x. √0,0009 2 = ________ y. √0,1225 2 = ________ z. √0,1296 2 = ________ MATEMÁTICA GPA 6º ANO 101 ATIVIDADES COMPLEMENTARES – 2ª DE ETAPA 1- (SARESP) Os triângulos desenhados abaixo têm, cada um, 2cm³ de área, e o quadrado tem 4cm² de área: Formei três figuras (l, ll e lll) usando, em cada uma delas os três polígonos acima descritos: É correto afirmar que: a) A área das três figuras são iguais b) A área da figura ll é maior que a área da figura lll c) A área da figura l é maior que a área da figura ll d) A área da figura l é maior que a área da figura lll. 2- (SARESP) Numa praça será construído um jardim com o formado da figura abaixo e plantada grama no seu interior. O lado do quadrado mede 2 metros, e os triângulos são todos iguais. A área a ser plantada é: a) 6m² b) 10m² c) 12m² d) 14m² 3- (SARESP) Observando a superfície das figuras retangulares, podemos dizer que: a) As figuras A e B têm a mesma área. b) A área de D é menor que a área de E. c) A área de B é menor que a área de A. d) A área de A é menor que a área de D. 4- (OBMEP) Daniela que cercar o terreno representado pela figura. Todas as medidas estão indicadas em metros. Logo, quantos metros de cerca Daniela terá que comprar para cercar todo o seu terreno? a) 140 b) 280 c) 320 d) 1.800 e) 4.800 2 m 2 l ll lll MATEMÁTICA GPA 6º ANO 102 5- Na figura abaixo, o perímetro do quadrado ABCD é de 80cm. Sabendo que o triângulo EBC tem todos os lados iguais, qual seria então o perímetro da figura formada pela união do quadrado com o triângulo? a) 6.400 cm b) 400 cm c) 480 cm d) 320 cm 6- (PISA) Um carpinteiro tem 32 metros de madeira e quer construir uma cerca em torno de um canteiro. Está considerando os seguintes desenhos para o canteiro: Quais desses canteiros poderão ser feitos com 32 metros de madeira? a) A &B b) B &C c) C &D d) D &A e) B & D f) C & A 7- (OBMEP) O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento do lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo? a) 113 b) 123 c) 122 d) 132 e) 152 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 103 8- Lembrando que um “eixo de simetria” é um segmento de reta que pode dividir uma figura geométrica em duas partes iguais, quais das afirmações a seguir são verdadeiras? a) As diagonais de um retângulo contêm eixos de simetria do retângulo. b) As diagonais de um quadrado contêm eixos de simetria do quadrado. c) Um quadrado tem quatro eixos de simetria. d) Um paralelogramo com dois eixos de simetria é um losango. e) Um quadrilátero com dois eixos de simetria é um retângulo. f) Um triângulo com os três lados iguais tem três eixos de simetria. 9- Um relógio, com ponteiros de horas, minutos e segundos, faz um biptoda vez que um ponteiro ultrapassa outro no mostrador. O número de bipsregistrados em um certo dia, no período de 12 horas e 1 segundo e as 23 horas, 59 minutos e 59 segundos é: a) 732 b) 1.438 c) 1.440 d) 1.446 e) 1.452 10- Assinale V para verdadeiro e F para falso: (___)Uma fração própria tem o numerador maior que o denominador. (___)Frações equivalentes são aquelas que representam a mesma porção. (___)Frações impróprias têm o numerador maior que o denominador. (___)Denominador representa em quantas partes um inteiro foi dividido. (___)O número que fica na parte de baixo é chamado de numerador. (___)Toda fração pode ser representada em números decimais. (___)Existem infinitos números entre 0 e 1. (___)Frações aparentes são têm o numerador menor que o denominador. (___)Não é possível efetuar a operação de radiciação com números decimais. (___)Potenciação só é válida para números naturais. 11- (OBMEP) Das expressões numéricas abaixo, qual delas tem como resultado um número impar? a) 7 x 5 x 11 x 3 x 2 b) (2005 − 2003)x(2004 + 2003) c) 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 d) 52 + 32 e) 3 x 5 + 7 x 9 + 11 x 13 12- (OBMEP) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1000 MATEMÁTICA GPA 6º ANO 104 a 9999. Marcelo comprou os bilhetes nos quais o algarismo 7 aparece exatamente três vezes e o zero não aparece. Quantos bilhetes Marcelo comprou? a) 32 b) 36 c) 45 d) 46 e) 48 13- Uma folha de papel de seda tem 60cm de perímetro. Ela tem a forma retangular e um dos lados mede 9cm de comprimento. Determine a medida da largura dessa folha e sua área. a) 21 de largura e 189 de área. b) 21 de largura e 60 de área. c) 42 de largura e 189 de área. d) 42 de largura e 60 de área. e) 9 de largura e 189 de área. 14- (OBEMEP) Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da seguinte maneira: um quadrado de área 16cm², cinco quadrados de área 4cm² e trezequadrados de área 1cm² cada um. Qual era a medida do lado dessa folha antes de ela ser cortada? a) 3cm b) 4cm c) 5cm d) 7cm e) 8cm 15- O perímetro de um quadrado que tem 81m² de lado é de: a) 81m b) 9m c) 18 d) 27 e) 36m 16- Em uma turma há 10 meninos e 15 meninas. A fração que pode representar a relação entre o número de meninos e o total de estudantes dessa turma é: a) 10 15 b) 10 25 c) 15 10 d) 25 10 17- Qual o resultado de (3 – 1,124)? a) 2,124 b) 1,876 c) 2,976 d) 2,986 18- (ANRESC) Uma casa tem 3,88m de altura. Um engenheiro foi contratado para projetar o segundo andar e foi informado de que a prefeitura só permite MATEMÁTICA GPA 6º ANO 105 construir casas de dois andares com altura igual a 7,80m. qual deve ser a altura, em metros, do segundo andar? a) 3,92 b) 4 c) 4,92 d) 11,68 19- (ANRESC) O quadro abaixo mostra a altura de algumas crianças, em metros: NOME ALTURA Camila 1,006 Carlos 1,6 Simone 1,06 Sérgio 1,600 Comparando as alturas das crianças, conclui-se que: a) Carlos é a criança mais baixa. b) Camila e Sérgio possuem a mesma altura. c) Camila é a criança mais alta. d) Carlos e Sérgio possuem a mesma altura. 20- A representação fracionaria do número 0,25 é: a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 5 21- (SARESP) Foi realizada uma pesquisa entre todas as crianças de 8 anos de um certo estado para saber se estavam alfabetizadas. Para tal, foi aplicada uma prova cujo valor variava de 0 a 10, sendo considerada alfabetizada a criança com nota superior a 5,0. A média obtida nesta prova foi 5,4. Dentre as opções abaixo, a única que pode concluir pela média é que: a) Todas as crianças estão alfabetizadas. b) Nenhuma criança esta alfabetizada. c) Alguma criança tirou 5,4. d) Há crianças alfabetizadas. 22- Muitos restaurantes adotam o sistema de “comida a quilo”, isto é, o cliente pago de acordo com o “peso” dos alimentos. Num certo restaurante o preço do “quilo” é de R$ 16,00 e o refrigerante custa R$ 1,30. Uma pessoa consome 0,340g de alimentos e 2 refrigerantes. Quantos reais essa pessoa gastará? a) R$ 6,74 b) R$ 8,40 c) R$ 3,14 d) R$ 7,07 23- O custo de produção de uma determinada peça é de R$ 3,50. Se cada peça é vendida por R$ 5,00, quanto se MATEMÁTICA GPA 6º ANO 106 lucraria na venda de 2.500 peças? (Lembrando que lucro é obtido subtraindo o que se ganhou com as vendas pelo que se gastou produzindo). a) R$ 3.750,00 b) R$ 8.750,00 c) R$ 12.500,00 d) R$ 21.250,00 24- Complete o quadro mágico. Só pode usar uma vez os algarismos de 1 a 9 e a soma em todas as direções tem que dar 15. 2 5 8 6
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