Calculo - Unidade 3 - Pratique e Compartilhe

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CÁLCULO DE 1 VARIÁVEL 
PRATIQUE E COMPARTILHE - UNIDADE 3 
ALUNO: MAURÍLIO CORREIA CÉSAR 
 
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de, 𝑉 = 75 ×
10−4𝜋 𝑚3. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 1,50 o metro quadrado 
e o custo do material usado para a parte curva é de R$ 0,50 por metro quadrado. Se não há 
perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
Para responder a essas perguntas, você deve seguir os seguintes passos: 
 
a) Determinar a função custo: 𝐶(𝑥) = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 ×
𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙. Em reais. 
 
Resposta: 
 
Seja 𝐴𝑙𝑎𝑡 = 𝑏 ∗ ℎ e 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋 ∗ 𝑟
2 
 
Então 𝐶(𝑉) = 0,5𝑏ℎ + 2𝜋𝑟 ∗ 1,5 = 0,5𝑏ℎ + 3𝜋𝑟 
 
Como 𝑏 = Circunferência = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟 então 𝑟 =
𝑏
2𝜋
 
 
Sendo assim, 𝐶(𝑉) = 0,5𝑏ℎ + 3𝜋
𝑏
2𝜋
= 0,5𝑏ℎ +
3
2
𝑏 = 𝑏 (0,5ℎ +
3
2
) 
 
Considerando que 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋 (
𝑏
2𝜋
)
2
ℎ =
𝑏2
4𝜋
ℎ = 75 ∗ 10−4𝜋 
 
ℎ =
4 ∗ 75 ∗ 10−4𝜋2
𝑏2
 
 
Concluímos que o custo em relação à variável b é: 
𝐶(𝑏) = 𝑏 (
0,5 ∗ 4 ∗ 75 ∗ 10−4𝜋2
𝑏2
+
3
2
) =
300 × 10−4𝜋2 + 3𝑏2
2𝑏
 
 
 
b) Obter números críticos: 𝐶´(𝑏) = 0 ou 𝐶(𝑏) não existe. 
 
Resposta: 
𝐶´(𝑏) =
6 ∗ 𝑏 ∗ 2𝑏 − 2 ∗ (300 × 10−4𝜋2 + 3𝑏2)
(2𝑏)2
=
12𝑏2 − 600 × 10−4𝜋2 + 6𝑏2
4𝑏2
 
=
18𝑏2 − 600 × 10−4𝜋2
4𝑏2
= 0 
Então 
 
18𝑏2 − 600 × 10−4𝜋2 = 0 ⇒ 𝑏 = ±√
600𝜋2
18 × 104
 
𝑏 = ±
𝜋2
30
√3 
Logo temos dois pontos, sendo um de máximo e um de mínimo. Como consideramos 
que a dimensão da base é necessariamente maior que zero, temos que a reposta a o 
número critico é 
𝑏 = +
𝜋2
30
√3 
 
c) Verificar, por meio do teste da primeira ou segunda derivada, o ponto de máximo local, 
que, nesse caso, coincide com o máximo absoluto, desde quando o intervalo não é 
fechado. 
𝐶´´ (
𝜋2
30
√3) =
300 ∗ 10−4𝜋2
𝜋2
30 √
3
3 
 
d) Obter a as dimensões (raio e altura), que minimiza o custo. 
𝑟 =
𝑏
2𝜋
=
𝜋2
30 √
3
2𝜋
=
2𝜋3
30
√3 =
𝜋3
15
√3 
 
ℎ =
4 ∗ 75 ∗ 10−4𝜋2
(
𝜋2
30 √
3)
2 =
32
𝜋2
 
 
 
e) Construir gráfico da função custo para obter, também, a solução gráfica (veja o roteiro na 
Figura 3 ou utilize um software matemático para a construção gráfica.