Equações diferenciais

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Disc.: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Aluno(a): 
 
Acertos: 10,0 de 10,0 28/05/2023 
 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem e grau 2: 
 
 dxdz−x2=z(d2xdz2)3 
 (3p+1)∂m∂p=2mp 
 s3−(st′′)2=2t′+3 
 d2ydx2−(d3ydx3)2=dydx 
 ∂w∂x+∂2w∂x∂y=xy2∂ 
Respondido em 28/05/2023 19:57:58 
 
Explicação: 
A resposta correta é: d2ydx2−(d3ydx3)2=dydx�2���2−(�3���3)2=���� 
 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Obtenha a solução particular para equação 
diferencial u+(2v+u)v′=0�+(2�+�)�′=0 sabendo que v(1)=1�(1)=1: 
 
 2uv+u2−3=02��+�2−3=0 
 uv+2u2−4=0��+2�2−4=0 
 uv+u2−2=0��+�2−2=0 
 uv−2u2+1=0��−2�2+1=0 
 uv+v2−2=0��+�2−2=0 
Respondido em 28/05/2023 20:03:39 
 
Explicação: 
A resposta correta é: uv+v2−2=0��+�2−2=0 
 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determine a solução geral da equação 
diferencial d2udv−3dudv+2u=8�2���−3����+2�=8. 
 
 u=aev+be2v−2,a e b reais. 
 u=avev+be2v−2,a e b reais. 
 u=aev+bve−2v−2,a e b reais. 
 u=ae−v+be−2v−2,a e b reais. 
 u=aev+be2v+2,a e b reais. 
Respondido em 28/05/2023 20:07:40 
 
Explicação: 
A resposta correta é: u=aev+be2v+2,a e b reais. 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja a equação diferencial y′′+4y=0�″+4�=0. Sabe-se que as 
funções y=cos(2x)�=���(2�) e y=3sen(2x)�=3���(2�) são soluções da 
equação dada. Determine uma solução que atenda a condição inicial 
de y(0)=1�(0)=1 e y′(0)=4�′(0)=4. 
 
 cos(2x)+2sen(2x) 
 −cos(2x)+3sen(2x) 
 cos(2x)+2sen(x) 
 cos(x)−2sen(2x) 
 cosx+sen(x) 
Respondido em 28/05/2023 20:10:54 
 
Explicação: 
A resposta correta é: cos(2x)+2sen(2x) 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Marque a alternativa correta em relação às 
séries Σ∞1(8n2+51+16n2)nΣ1∞(8�2+51+16�2)�. 
 
 É divergente. 
 Nada se pode concluir quanto à sua convergência. 
 É absolutamente convergente. 
 É convergente porém não é absolutamente convergente. 
 É condicionalmente convergente. 
Respondido em 28/05/2023 20:20:26 
 
Explicação: 
A resposta correta é: É absolutamente convergente. 
 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determine o terceiro termo da série numérica associado à 
sequência an=2n3n−1−2��=2�3�−1−2, se iniciando para n=1�=1. 
 
 297297 
 353353 
 3535 
 11211121 
 8787 
Respondido em 28/05/2023 20:24:00 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 297297 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de 
f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8s2+648�2+64 
 
 s(s2+64)�(�2+64) 
 4(s2+64)4(�2+64) 
 s2(s2+64)�2(�2+64) 
 s+1(s2+64)�+1(�2+64) 
 2s(s2−64)2�(�2−64) 
Respondido em 28/05/2023 20:29:08 
 
Explicação: 
A resposta certa é:s+1(s2+64)�+1(�2+64) 
 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sabendo que a transformada de Laplace da função f(t) 
vale 1(s2+4)(n+1)1(�2+4)(�+1)sendo n um número inteiro, obtenha a transformada de 
Laplace de e
3
t f(t). 
 
 
 s(s2−6s+13)(n+1)�(�2−6�+13)(�+1) 
 4(s2+6s+26)(n+1)4(�2+6�+26)(�+1) 
 s−4(s2−6s+26)(n+1)�−4(�2−6�+26)(�+1) 
 s−4(s2−6s+13)(n+4)�−4(�2−6�+13)(�+4) 
 1(s2−6s+13)(n+1)1(�2−6�+13)(�+1) 
Respondido em 28/05/2023 20:31:45 
 
Explicação: 
A resposta certa é:1(s2−6s+13)(n+1)1(�2−6�+13)(�+1) 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em cima de uma janela 
retangular, conforme esquematizada na figura abaixo. Encontre as dimensões da janela de área 
máxima, sabendo-se que seu perímetro é de 5 m. 
 
Fonte: YDUQS, 2023. 
 
 x=14+πm e y=14+πm. 
 x=204+πm e y=54+πm. 
 x=54+πm e y=104+πm. 
 x=104+πm e y=54+πm. 
 x=102+πm e y=52+πm. 
Respondido em 28/05/2023 20:40:54 
 
Explicação: 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do retângulo e do semicírculo: 
Aret. =xyAsem. =πr22�ret. =���sem. =��22 
Sabemos que r=x2�=�2, logo 
Asem. =π(x2)22=πx28�sem. =�(�2)22=��28 
Área total da janela: 
Atotal =Aret. +Asem. =xy+πx28�total =�ret. +�sem. =��+��28 
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale 5m5� : 
2y+x+2πr2=52�+�+2��2=5 
2y+x+πr=52�+�+��=5 
Substituindo o r� por x2�2, temos: 
2y+x+πx2=52�+�+��2=5 
Isolando y� : 
2y=5−x−πx2=10−2x−πx2y=10−2x−πx4=10−x(2+π)42�=5−�−��2=10−2�−��2�=10−2�−�
�4=10−�(2+�)4 
Substituindo y�, na equação de área total, temos: 
Atotal =xy+πx28=x(10−x(2+π)4)+πx28=10x−x2(2+π)4+πx28Atotal =20x−x2(2+π)+πx28=20x−4x2−πx28Atot
al =5x2−−x22−πx28�total =��+��28=�(10−�(2+�)4)+��28=10�−�2(2+�)4+��28�t
otal =20�−�2(2+�)+��28=20�−4�2−��28�total =5�2−−�22−��28 
Agora derivando para encontrar o seu máximo: 
A′total =52−x−πx4=10−4x−πx4=10−x(4+π)4�total ′=52−�−��4=10−4�−��4=10−�(4+�)4 
Igualando a zero, temos: 
A′total =010−x(4+π)4=010−x(4+π)=0x(4+π)=10x=104+π�total ′=010−�(4+�)4=010−�(4+�)=0�(
4+�)=10�=104+� 
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função. Analisando o sinal da derivada 
perto de x=104+π′�=104+�′, temos: 
- Antes de x=104+π:A′total >0�=104+�:�total ′>0 
- Depois de x=104+π:A′total <0�=104+�:�total ′<0 
Logo, x=104+π�=104+� é um ponto de máximo local. 
Também precisamos do valor de y� quando x=104+π�=104+�. Sabemos que 
y=10−x(2+π)4�=10−�(2+�)4 
Substituindo o valor de x� que encontramos 
y=10−104+π⋅(2+π)4=10(4+π)−10⋅(2+π)4+π4=40+10π−20+10π4+π4�=10−104+�⋅(2+�)4=10(4+�)−10⋅(2+�)4
+�4=40+10�−20+10�4+�4 
y=204+π4=204(4+π)=54+π�=204+�4=204(4+�)=54+� 
Assim, as dimensões para a janela de área máxima devem ser: 
x=104+πm�=104+�� 
e 
y=54+πm�=54+�� 
 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m
2
 usando muros externos e divisórias 
internas como mostrado na figura abaixo. 
 
 
Fonte: YDUQS, 2023. 
 
Sabendo-se que o preço do muro é de R$ 10,00/m e o preço das divisórias é de R$ 5,00/m, 
determine as dimensões do terreno de modo que o custo total seja o menor possível. 
 
 x=5√ 10 m e y=6√ 10 m.�=510� e �=610�. 
 x=5√ 6 m e y=10√ 6 m.�=56� e �=106�. 
 x=6√ 10 m e y=6√ 10 m.�=610� e �=610�. 
 x=6√ 10 m e y=5√ 6 m.�=610� e �=56�. 
 x=10√10 m e y=10√ 10 m.�=1010� e �=1010�. 
Respondido em 28/05/2023 20:35:41 
 
Explicação: 
Área do terreno: 
Aret. =xy=300m2�ret. =��=300�2 
Sabe-se que, pela figura, serão necessários 2x+y2�+� metros de divisórias e 2x+2y2�+2� metros de 
muro. Assim, o custo total será: 
C=5(2x+y)+10(2x+2y)=10x+5y+20x+200y=30x+25y�=5(2�+�)+10(2�+2�)=10�+5�+20�+2
00�=30�+25� 
Usando a equação da área para isolar o y� em função do x� : 
y=300x�=300� 
Voltando na equação e custo: 
C=30x+25y=30x+25(300x)=30x+7500x�=30�+25�=30�+25(300�)=30�+7500� 
Derivando o custo para obter o custo mínimo: 
C′=30+7500x2=30x2+7500x2�′=30+7500�2=30�2+7500�2 
Verificando os pontos críticos, fazendo C′=0�′=0 
30x2+7500x2=030x2+7500=0→x2=250→x=√ 250=5√ 10 30�2+7500�2=030�2+7500=0→�2=25
0→�=250=510 
Analisando o sinal da derivada: 
Quando x<5√10 :C′<0�<510:�′<0 
Quando x>5√10 :C′>0�>510:�′>0 
portanto x=5√ 10�=510 é um mínimo da função. 
Voltando na equação da área e substituindo o valor de x� encontrado para determinar o valor de y� 
5√ 10 ⋅y=300y=3005√ 10=60√10=60√ 10 10=6√10 510⋅�=300�=300510=6010=601010=610 
As dimensões para minimizar o custo em delimitar o terreno são: 
x=5√ 10 m e y=6√ 10 m.�=510� e �=610�.