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LISTA DE APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
 
Entregar o desenvolvimento dos exercícios pares no Blackboard 
 
Aplicações da Derivada – Otimização 
 
1) Um tanque retangular aberto deve ter uma base quadrada e seu volume deve ser de 
125 m3. O custo por metro quadrado é de $15 para a base e de $13 para os lados. Ache 
as dimensões do tanque para que o custo total do material seja mínimo. 
 Resp: 6m x 3,4m 
 
 
2) Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de 288 
cm3. A base desta caixa é um retângulo com um comprimento três vezes maior que a 
sua altura (da base). Determine as dimensões da caixa para o uso de um mínimo 
material. 
 Resp.:12cm x 4cm x 
6 cm 
 
 
 
 
 
3) Resolva o exercício anterior caso a caixa não tenha tampa. 
Resp: 15,09cm x 5,03cm x 3,79cm 
 
 
4) Você foi contratado para otimizar o custo do material a ser utilizado na fabricação de 
tanques cilindricos que deverão suportar 900m3 de petróleo. Sabe-se que o custo do 
material a ser utilizado na base do tanque é de R$ 60,00/m2, o da lateral é R$ 90/m2 e 
o da tampa R$ 45,00/m2. Baseado nestas informações, determine: 
 
a) As dimensões deste tanque (diâmetro e altura - em metros com duas casas 
decimais) para que o valor a ser gasto com material seja mínimo. 
b) O valor (em R$) que custará este tanque este material para este tanque 
 Resp.: a) r = 6,26m, h = 7,31m b) Aprox. R$ 38.800,00 
 
Centro Universitário Ritter dos Reis 
Escola de Engenharia 
Cálculo Aplicado: Uma Variável 2021/II 
Profª Aline Seibel 
Profº Eduardo Araújo 
Profº Rosalvo Miranda 
3x 
x 
h 
 
5) Você foi contratado para projetar embalagens cilíndricas com uma capacidade de 
armazenar 12 litros de um determinado produto químico. Você sabe que o custo do 
material anticorrosivo que será utilizado na base de sua caixa custará R$ 2,50 / cm2, o 
material para a lateral custará R$ 2,00 e o material da tampa custará R$ 3,00/cm2. A 
partir destas condições obtenha as dimensões (raio e altura) para que você possa 
construir esta embalagem cilíndrica ao menor custo possível. 
6) Você foi contratado para construir formas cilíndricas de 1,5 litro (1.500cm3) que serão 
utilizadas como moldes de corpos de prova, com fundo, mas sem tampa, para uma 
determinada indústria. 
Em função das diferentes espessuras do material, o custo por cm2 do material da base 
ficou em R$ 0,15/cm2 e o custo do material para a lateral do cilindro ficou em R$ 
0,12/cm2. 
O contratante disponibilizou R$ 5.000,00 para que você construísse, com o menor 
custo possível, a maior quantidade de formas possíveis. 
Qual será o raio e a altura desta forma? Quantas formas você conseguirá entregar a 
ele, no menor custo possível unitário, e quanto custará esta quantidade de formas? 
Raio da base = 7,85 cm 
 
Aplicações da Derivada – Custo e Lucro 
Lucro é o quanto você recebe, menos o seu custo! 
L(x) = R(x) – C(x) 
 
1) Uma empresa vende a $200 cada uma de suas unidades de fabricação todo seu 
estoque. Se C(x) for o custo total da produção diária quando x unidades forem 
fabricadas e C(x)=2x2+40x+1400, ache o número de unidades produzidas diariamente 
para que a fábrica tenha um lucro máximo.(Dica: Lucro total é o total das vendas menos 
o custo total) 
 Resp.: 40 peças 
 
 
2) Sabendo-se que o custo total de produção de x micro-ondas/dia é de R$ ( 
𝟏
𝟐
 x² + 70x 
+ 50) e o preço unitário é de R$ (100- x). Qual deve ser a produção diária para que o 
lucro seja máximo? (Fonte: http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf 
) 
(Resp.: 10 unidades/dia) 
 
 
3) O preço da produção de n unidades de carpetes é dado pela função f(n) = 30 + 20n. 
Se o preço de venda de cada carpete é (60 – 
𝒏
𝟏𝟎𝟎𝟎
 ), para n < 50.000, determine o 
número de carpetes a ser fabricado e vendido para obter lucro máximo. 
Fonte: http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf ) 
 
 (Resp.: 20.000) 
 
 
http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf
http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf
4) Suponha que a função que representa o Lucro de uma determinada empresa possa 
ser expressa pela função L(n) = n3 – 6n2 + 6n – 90, onde “n” representa o número de 
peças produzidas pela empresa, em milhares de unidades. A partir da situação 
apresentada, obtenha o número de peças para que a empresa tenha o lucro máximo, 
nestas condições. 
 
 
5)Uma empresa vende a R$ 18,00 cada uma de suas unidades de fabricação todo seu 
estoque diário. Se C(x) for o custo total da produção diária quando x unidades forem 
fabricadas e C(x)=0,1x2 + 0,4x + 750, ache o número de unidades produzidas 
diariamente para que a fábrica tenha um lucro máximo. 
Resp.: 88 unidades 
Aplicações da Derivada: VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 
1) Um móvel se desloca de acordo com a função S(t) = 20 + 10t + 3t2. A partir desta 
expressão obtenha: 
a) Vm [0,5] b) v(3) c) am [0,5] d) a(2) 
 
2) Se S(t) = √𝑡
3
+ 𝑡2 (no S.I), calcule: 
a) v (1) b) v (8) c) a (1) 
 
As questões 3 e 4 se referem ao enunciado abaixo: 
Sabe-se que o cálculo e a física têm estreitas relações e que diversas das ditas 
“fórmulas físicas” podem ser obtidas através de aplicações da derivada. Um dos 
exemplos estudados desta relação é que, se temos a expressão e deslocamento de um 
determinado objeto e a derivamos, encontramos a expressão de sua velocidade e, ao 
derivarmos novamente (fazendo a segunda derivada da expressão deslocamento) 
encontramos a expressão de sua aceleração. Dado o contexto citado, responda às 
questões 3 e 4 com relação ao enunciado que segue: 
Um móvel desloca-se de acordo com a função deslocamento (nos sistema internacional 
de medida) 
𝒔(𝒕) = 𝟐𝒕𝟑 + 𝟒√𝒕. 
3) A velocidade deste móvel no instante t = 4 será: 
a) 96m/s b) 97 m/s c) 98 m/s d) 99 m/s e) NDA 
 
4) A aceleração deste móvel em t = 1s será: 
a) 10m/s2 b) 11m/s2 c) 12m/s2 d) 14m/s2 e) NDA 
5) Um objeto é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20m/s. 
Considerando g=10m/s2 e a expressão 
2
2gt
tvh o += , obtenha o tempo de percurso 
para o qual a altura é máxima e essa altura máxima 
 
 
6) Uma bola de basquete é lançada verticalmente para cima, por um menino, e tem 
posições s no decorrer do tempo t dadas pela função horária s(t) = 60t − 5t² (s em metros 
e t em segundos). Fonte: http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf 
a) Calcule o tempo gasto para atingir a altura máxima. 
b) Determine a altura máxima em relação ao solo. Ver na Figura 4. 
 
7) A função abaixo representa o movimento de uma certa partícula, sendo s(t) a 
equação que representa a distância percorrida (em cm) pela partícula com relação ao 
tempo (em segundos). 
,0,
)1(
)1(
)(
22
22

+
−
= t
t
t
ts 
A partir da função dada, pede-se: 
a) Determine uma expressão para v(t) 
b) Calcule a velocidade instantânea para t=1s 
c) Calcule a velocidade instantânea para t=2s 
 
 
GABARITO 
 
EXERCÍCIO 1 : a) 25m/s; b) 28m/s; c) 6m/s2; d) 6m/s2 
EXERCÍCIO 2: a) 7/3 m/s; b) 193/12 m/s; c) 16/9m/s2 
EXERCÍCIO 3: B 
EXERCÍCIO 4: B 
EXERCÍCIO 5: t = 2s, h = 20m 
EXERCÍCIO 6: a) 6s; b) 180m 
EXERCÍCIO 7: a) scm
t
tt
/
)1(
)1(8
32
2
+
− b) 0 cm/s; c) scm /384,0 
http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf