materiais compositos

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Autores
Marcelo F.S.F. de Moura, Alfredo B. de Morais, António G. de Magalhães
título
Materiais Compósitos - Materiais, Fabrico e Comportamento Mecânico
editor
Publindústria, Edições Técnicas
Praça da Corujeira n.º 38 . 4300-144 PORTO
www.publindustria.pt
distribuidor 
Engebook - Conteúdos de Engenharia e Gestão
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Cdu
624 Engenharia Estrutural.
061 Materiais Compósitos.
isbN (ebook)
978-972-8953-73-7
engebook – Catalogação da publicação
Família: Mecânica
subfamília: Materiais/Metalurgia
Índice
Prefácio
1. INTRODUÇÃO AOS MATERIAIS COMPÓSITOS 1
1.1. Perspectiva global dos compósitos e suas aplicações 1
1.2. Reforços 9
1.2.1. Fibras de vidro 9
1.2.2. Fibras de carbono 11
1.2.3. Fibras aramídicas 13
1.2.4. Fibras de boro 14
1.2.5. Outros tipos de reforços 15
1.3. Formas que podem apresentar os reforços 16
1.3.1. Roving 16
1.3.2. Mantas 16
1.3.3. Tecidos 2D 17
1.3.3.1. Tecidos entrelaçados (woven fabrics) 17
1.3.3.2. Tecidos quase unidireccionais 18
1.3.3.3. Tecidos híbridos 18
1.3.4. Malhas (knitted fabrics) 18
1.3.5. Tecidos 3D 19
1.3.6. Entrançados (braids) 19
1.3.7. Pré-formas 17
1.4. Matrizes 21
1.4.1. Temperaturas de transição 22
1.4.2. Temperatura de deflexão sob carga 23
1.4.3. Matrizes termoplásticas 24
ÍNDICE
iii
1.4.3.1. Polipropileno (PP) 24
1.4.3.2. Poliamida (PA) 24
1.4.3.3. Policarbonato (PC) 25
1.4.3.4. Poli-éter-éter-cetona (PEEK) 25
1.4.3.5. Poliimidas termoplásticas 25
1.4.3.6. Polisufureto de fenileno (PPS) 26
1.4.4. Matrizes termoendurecíveis 27
1.4.4.1. Poliesteres insaturados 27
1.4.4.2. Resinas de vinilester 28
1.4.4.3. Resinas fenólicas 28
1.4.4.4. Resinas de epóxido 29
1.4.4.5. Bismaleimidas 29
1.4.4.6. Poliimidas termoendurecíveis 30
1.5. Semi-produtos 31
1.5.1. Compostos de moldação 31
1.5.1.1. SMC (sheet molding compound) 31
1.5.1.2. TMC (thick molding compound) 31
1.5.1.3. DMC (dough molding compound) 32
1.5.1.4. Compostos termoplásticos 32
1.5.2. Pré-impregnados 32
1.6. Cargas e outros aditivos 33
1.7. Conclusão 34
Questões 34
Referências 35
2. PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS 37
2.1. Moldação por contacto 38
2.1.1. Moldação manual 38
2.1.2. Moldação por projecção 40
2.2. Moldação por vácuo 41
2.3. Moldação por compressão 43
2.3.1. Moldação por compressão a frio 44
2.3.2. Moldação por compressão a quente 44
2.4. Moldação por injecção 45
2.5. Moldação por injecção a baixa pressão e por transferência 48
2.5.1. RTM (Reaction Transfer Moulding) 48
2.5.2. SRIM (Structural Reaction Injection Moulding) 50
2.5.3. RRIM (Reinforced Reaction Injection Moulding) 50
2.6. Moldação em autoclave 51
2.7. Enrolamento filamentar 54
2.8. Pultrusão 56
2.9. Moldação por centrifugação 57
2.10. Moldação em contínuo 58
2.11. Maquinagem de materiais compósitos 59
MATERIAIS COMPÓSITOS
iv
2.11.1. Furação de materiais compósitos 60
2.11.2. Corte de materiais compósitos 62
2.12. Reciclagem de materiais compósitos 63
Questões 64
Referências 64
3. LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA 67
3.1. Introdução 67
3.2. Análise geral de sólidos anisotrópicos 68
3.3. Ortotropia e isotropia transversal 71
3.4. Constantes de Engenharia da camada 75
3.5. Lei constitutiva tridimensional 78
3.6. Lei constitutiva para estado plano de tensão 82
Referências 89
4. ANÁLISE MICROMECÂNICA DA CAMADA 91
4.1. Introdução 91
4.2. Análise das constantes de engenharia 92
4.2.1. Modelos de mecânica dos materiais 93
4.2.2. Modelo auto-consistente 97
4.2.3. Limites superior e inferior 98
4.2.4. Modelos semi-empíricos 101
4.2.5. Método das células 102
4.2.6. Conclusão 106
4.3. Análise das resistências 108
4.3.1. Resistência longitudinal à tracção 111
4.3.2. Resistência longitudinal à compressão 119
4.3.3. Conclusão 126
Referências 127
5. CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA 131
5.1. Introdução 131
5.2. Critérios não-interactivos 132
5.3. Critérios interactivos 134
5.4. Critérios parcialmente interactivos 137
5.5. Conclusão 143
Referências 144
6. ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS 147
6.1. Introdução 147
6.2. Compósitos de fibras alinhadas 148
6.2.1. Modelo de Kelly-Tyson 149
6.2.2. Modelo de Cox 151
6.3. Compósitos de fibras com orientação aleatória 156
ÍNDICE
v
Referências 160
7. ANÁLISE DOS LAMINADOS 163
7.1. Introdução 163
7.2. Teoria clássica dos laminados 164
7.2.1. Relações esforços-deformações de alguns laminados 170
7.2.2. Constantes de engenharia de laminados simétricos 175
7.2.3. Análise da resistência de laminados 178
7.3. Teorias avançadas dos laminados 184
7.3.1. Teorias de deformação globais 184
7.3.2. Teorias de deformação locais 187
7.3.3. Teorias de deformação globais-locais 187
Referências 188
8. EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS 191
8.1. Introdução 191
8.2. Efeitos higrotérmicos 193
8.2.1. Degradação de propriedades 193
8.2.2. Leis constitutivas com efeitos higrotérmicos 196
8.3. Viscoelasticidade linear 204
8.3.1. Princípio da sobreposição de Boltzmann 204
8.3.2. Modelos de comportamento viscoelástico 205
8.3.3. Análise quase-elástica 209
8.3.4. Solicitações sinusoidais e notação complexa 210
8.3.5. Princípio de equivalência tempo-temperatura 213
Referências 216
9. MECÂNICA DA FRACTURA 221
9.1. Introdução 221
9.2. Fundamentos de Mecânica da Fractura 222
9.2.1. Teoria de Griffith 222
9.2.2. Extensão da teoria de Griffith 225
9.2.3. Factor intensidade de tensão e tenacidade à Fractura 226
9.2.4. Relação entre G e K 228
9.2.5. Modos de solicitação 230
9.2.6. Teoria da densidade de energia de deformação 234
9.3. Aplicação da mecânica da fractura aos compósitos 236
9.3.1. Fractura intralaminar 237
9.3.1.1. Factor intensidade de tensão e taxa de libertação de energia 237
9.3.1.2. Processo de rotura micromecânica em compósitos 239
9.3.1.3. Teoria da densidade de energia de deformação 241
9.3.2. Fractura interlaminar 243
9.3.2.1. Obtenção da taxa crítica de libertação de energia em modo I 243
9.3.2.2. Obtenção da taxa crítica de libertação de energia em modo II 248
MATERIAIS COMPÓSITOS
vi
9.3.2.3. Modo Misto 249
9.4. Métodos numéricos aplicados à fractura interlaminar 252
9.4.1. Método do fecho virtual de fenda 252
9.4.2. Elementos finitos de interface 254
Referências 258
10. TÓPICOS AVANÇADOS EM MATERIAIS COMPÓSITOS 261
10.1. Efeito de bordo 261
10.1.1. Laminados tipo (0, 90) 262
10.1.2. Laminados tipo (+�, -�) 263
10.1.3. Análise teórica de laminados 264
10.1.4. O ensaio de provetes delaminados nos bordos 265
10.2. Critérios de rotura para compósitos com furo e entalhes 268
10.3. Impacto em compósitos 273
10.3.1. Impacto de baixa velocidade 273
10.3.1.1. Ensaios de impacto de baixa velocidade 274
10.3.1.2. Métodos experimentais usados para a detecção do dano 276
10.3.1.3. Dano causado por impacto de baixa velocidade 277
10.3.1.4. Modelação 279
10.3.1.4.1. Força de impacto 279
10.3.1.4.1.1. Modelo do balanço energético 279
10.3.1.4.1.2. Modelo de massa e mola 281
10.3.1.4.1.3. Distribuição espacial da força de contacto 282
10.3.1.4.2. Previsão do dano causado pelo impacto 283
10.3.2. Impacto de alta velocidade 287
10.3.3. Parâmetros fundamentais na resistência ao impacto 289
10.3.4. Resistência residual após impacto 291
10.4. Fadiga em compósitos 295
10.4.1. Mecanismos de dano 295
10.4.2. Factores que afectam o comportamento à fadiga 298
10.4.3. Modelos 29910.4.3.1. Modelos de previsão da vida à fadiga 300
10.4.3.2. Modelos fenomenológicos 301
10.4.3.2.1. Modelos de rigidez residual 301
10.4.3.2.2. Modelos de resistência residual 302
10.4.3.2.3. Modelos de dano progressivo 303
Referências 305
11. ENSAIOS MECÂNICOS 311
11.1. Introdução 311
11.2. Ensaios de tracção 312
11.3. Ensaios de compressão 316
11.4. Ensaios de corte 320
11.4.1. Ensaio de tracção de laminados ±45º 320
ÍNDICE
vii
11.4.2. Ensaio de tracção de laminados unidireccionais a 10º 321
11.4.3. Ensaios de corte em calha 322
11.4.4. Ensaio Iosipescu 324
11.4.5. Ensaio de torção de placas 325
11.4.6. Ensaio de torção de tubos de paredes finas 326
11.5. Ensaios de flexão 327
11.6. Medição das propriedades na direcção da espessura 330
11.7. Ensaios de fractura 333
11.7.1. Modo I 333
11.7.2. Modo II 335
11.7.3. Modo misto I-II 337
11.7.4. Laminados multidireccionais 338
Referências 340
12. LIGAÇÕES EM MATERIAIS COMPÓSITOS 345
12.1. Ligações aparafusadas e rebitadas 346
12.1.1. Características 346
12.1.2. Modos de rotura 347
12.1.3. Modelação 349
12.2. Ligações coladas 352
12.2.1. Características 352
12.2.2. Procedimentos de execução de uma ligação colada 354
12.2.3. Tipos de adesivos 356
12.2.4. Modos de rotura 361
12.2.5. Modelação 363
12.2.6. Regras de projecto de uma ligação colada 366
12.3. Ligações por fusão 367
Referências 368
MATERIAIS COMPÓSITOS
viii
Prefácio
Os materiais compósitos iniciaram a sua caminhada de sucesso em meados do século
20 e daí em diante a sua expressão industrial não mais parou de crescer. Desde artigos
simples, utilizados quotidianamente por todos nós, até aplicações em estruturas e
componentes para a indústria aeronáutica e aeroespacial, os materiais compósitos
ocupam actualmente um lugar destacado entre os materiais de engenharia. Isto deve-se
naturalmente às vantagens que possuem relativamente aos materiais tradicionais,
entre as quais sobressaem a facilidade de processamento, a elevada rigidez e resistência
mecânica e o baixo peso específico dos compósitos de matriz polimérica. Por con-
seguinte, são eles o objecto de estudo neste livro.
O primeiro capítulo apresenta exemplos particularmente significativos da aplicação de
materiais compósitos em diversos domínios e descreve as características dos constitu-
intes principais, com ênfase nos tipos de fibras e de matrizes mais utilizados. Um factor
decisivo na disseminação dos compósitos é a existência de técnicas de fabrico que dão
ao projectista uma enorme liberdade de concepção e a garantia da competitividade do
produto final. As técnicas de processamento são por isso descritas detalhadamente no
capítulo 2.
Os capítulos 3 a 7 tratam os aspectos essenciais do comportamento mecânico. Os
materiais compósitos de alto desempenho são frequentemente constituídos por várias
camadas reforçadas com fibras contínuas. No capítulo 3 são formuladas as relações
entre tensões e deformações da camada, tratada como um sólido anisotrópico
PREFÁCIO
ix
homogéneo, abordagem que se designa por macromecânica. Todavia, a compreensão
do comportamento mecânico requer uma análise à escala microscópica, objecto dos
modelos micromecânicos que são apresentados no capítulo 4. Além disso, a natureza
heterogénea ao nível microscópico é responsável pela existência de vários modos de
rotura. O capítulo 5 aborda precisamente a previsão da rotura da camada, matéria de
grande complexidade. Sendo a utilização de fibras contínuas fundamental para a
obtenção de elevadas propriedades mecânicas, em certas aplicações prevalecem a
facilidade de processamento e o menor custo dos compósitos de fibras curtas. Os fun-
damentos do seu comportamento micro e macromecânico são tratados no capítulo 6,
onde se constata que a rigidez e a resistência são muito inferiores aos da camada 
unidireccional de fibras contínuas na direcção longitudinal. Porém, os laminados 
unidireccionais apresentam propriedades na direcção transversal relativamente
baixas. A solução para este problema passa pela utilização de laminados constituídos
por camadas com diferentes orientações. O seu comportamento é descrito habitual-
mente pela teoria clássica dos laminados, apresentada no capítulo 7.
Para além dos esforços mecânicos, os materiais estão geralmente expostos a
condições de humidade e temperatura que influenciam o seu comportamento. O
estudo dos chamados efeitos higrotérmicos assume particular relevância nos com-
pósitos de matriz polimérica, dado que as matrizes têm um carácter acentuadamente
viscoelástico, que se manifesta por exemplo em fenómenos de fluência e relaxação.
Estes assuntos são objecto de estudo no capítulo 8.
Os progressos nos meios computacionais de projecto e as exigências crescentes de 
competitividade económica têm diminuído a margem de segurança no projecto de
estruturas. Em muitos casos, é actualmente admissível a presença de defeitos, desde
que a sua evolução e efeitos na resistência possam ser previstos no sentido de evitar a
rotura catastrófica. Isto constitui o domínio da Mecânica da Fractura, cujas aplicações
aos compósitos são apresentadas no capítulo 9. Por outro lado, a natureza laminada dos
compósitos de elevado desempenho gera um conjunto particularidades no seu compor-
tamento, de que é exemplo significativo a sensibilidade ao impacto. Estes aspectos mais
avançados do comportamento mecânico são analisados no capítulo 10.
As aplicações estruturais exigem um conhecimento preciso do comportamento mecânico
dos materiais, que é geralmente obtido em ensaios de amostras. Há actualmente um 
conjunto significativo de ensaios que são objecto de normas internacionais. Porém, como
veremos no capítulo 11, subsistem dificuldades importantes na determinação de várias
vertentes do comportamento mecânico complexo dos compósitos.
MATERIAIS COMPÓSITOS
x
Finalmente, o capítulo 12 é dedicado às ligações de materiais compósitos. A necessidade
de efectuar ligações pode dever-se a razões tão diversas como limitações nas dimensões
ou formas das peças, requisitos de desmontabilidade ou realização de reparações. No
caso dos laminados, as ligações aparafusadas e rebitadas interrompem a continuidade
das fibras e favorecem danos localizados. Por conseguinte, assumem particular
importância as ligações coladas com adesivos estruturais.
Como se depreende deste breve resumo, este livro descreve detalhadamente o com-
portamento mecânico e os modelos usados para o cálculo de estruturas compósitas.
Trata-se de um assunto que é de relevância crescente para os profissionais das
Engenharias Mecânica, Civil, Aeronáutica e outras afins. De facto, a temática dos
materiais compósitos consta actualmente dos planos de estudos das licenciaturas e
dos mestrados naqueles domínios. A profundidade com que os assuntos são tratados
neste livro é consistente com as exigências de uma disciplina de mestrado. Todos os
capítulos têm por base uma revisão bibliográfica extensa da literatura internacional,
incluindo artigos científicos nas mais prestigiadas revistas sobre materiais compósitos.
Por outro lado, este livro pode servir de base à leccionação de disciplinas que tratem
os materiais compósitos a outros níveis. Assim, para uma disciplina de introdução aos
materiais serão úteis conhecimentos transmitidos nos capítulos 1 e 2. Além disso, os
capítulos 4.1, 4.2.1, 6.1 e 6.2.1 proporcionarão um entendimento básico do compor-
tamento mecânico. No caso de uma disciplina de materiais compósitos de licenciatura,
recomendam-se os capítulos 1 a 8 e 11.1 a 11.5.
A preparação deste livro assenta evidentemente na formação e na experiência de mais
de uma década dos autores em materiais compósitos. De facto, sendo todos licenciados
e doutorados em Engenharia Mecânica, os seus trabalhos de doutoramento foram
dedicados a diferentes aspectos do comportamento mecânico de materiais compósitos.
Para além da experiênciana leccionação de disciplinas sobre compósitos, os autores
têm também realizado vários trabalhos de investigação nesta área publicados em
revistas científicas internacionais. Os autores têm também em comum o facto de
terem sido alunos de licenciatura e de doutoramento de António Torres Marques,
Professor Catedrático da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto,
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial. O Professor António
Torres Marques tem tido um papel preponderante no desenvolvimento de trabalhos
de investigação sobre materiais compósitos em Portugal, sendo reconhecido actual-
mente como um dos grandes especialistas mundiais na matéria. Os autores querem
expressar um voto de agradecimento ao Professor António Torres Marques pela
colaboração prestada e pelo interesse na investigação que lhes incutiu.
PREFÁCIO
xi
Capítulo 1
Introdução aos 
materiais compósitos
1.1. Perspectiva Global dos Compósitos e suas Aplicações
Um material diz-se compósito quando resulta da combinação de dois ou mais 
materiais distintos. O exemplo clássico e mais vulgar são os compósitos fibrosos, isto
é, que resultam da dispersão de fibras num material aglomerante, que se designa por
matriz. A incorporação de fibras para melhorar as propriedades dos materiais 
tradicionais começou nos primórdios da história da humanidade. Um dos primeiros
exemplos, referido no nti o esta ento, são os tijolos de argila reforçados com fibras
de palha. Hoje em dia, o conjunto de materiais que se adjectivam de compósitos é
muito vasto, e vão desde o vulgar betão armado até aos compósitos de elevado desem-
penho, à base de resinas de epóxido reforçadas com fibras contínuas de carbono. 
Uma das razões principais para as excelentes propriedades dos compósitos resulta do
facto de as fibras apresentarem propriedades mecânicas muito superiores às dos 
materiais idênticos na forma maciça. Isto foi pela primeira vez demonstrado por Griffith
1.1 , que constatou que, na forma maciça, o vidro possuía tensões de rotura de cerca
de 170 MPa, enquanto fibras de vidro com cerca de 20 μm de diâmetro alcançavam 
tensões de rotura de 3500 MPa. A tabela 1.1 apresenta propriedades de algumas fibras
bem como de materiais na forma maciça, ilustrando de forma clara a importância das
fibras na obtenção das elevadas propriedades mecânicas dos compósitos fibrosos.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
1
Tabela 1.1. Propriedades de fibras e de materiais na sua forma maciça, adaptada de [1.2] e [1.3].
Apesar do papel fundamental no desempenho dos compósitos, devido à pequena
secção resistente, as fibras não podem ser directamente utilizadas em aplicações
estruturais de engenharia. De facto, cabem à matriz as funções essenciais de dar
forma estável ao compósito, de assegurar a distribuição eficiente de carga pelas fibras
e de proteger as suas superfícies. Os materiais compósitos podem classificar-se segundo
vários critérios, sendo precisamente o tipo de matriz um dos mais relevantes.
Podemos então distinguir compósitos de matriz polimérica, metálica, cerâmica e
cimentosa. A facilidade do processamento e a baixa densidade dos polímeros fazem
com que os compósitos de matriz polimérica sejam actualmente os mais importantes
em termos de desempenho e de campo de aplicações. Por conseguinte, são eles o
objecto de estudo neste livro, em que se adopta uma perspectiva de caracterização do
comportamento mecânico, tendo em vista aplicações estruturais e semi-estruturais.
As fibras mais utilizadas em compósitos de matriz polimérica são as fibras de 
carbono, de vidro e de aramida, cujas características principais são descritas nos 
capítulos 1.2 e 1.3. Por seu turno, as matrizes podem ser termoplásticos, como o
polipropileno, poliamida e o poli-éter-éter-cetena (PEEK), bem como resinas 
termoendurecíveis de poliester ou epóxidas, entre outras, conforme se verá no 
capítulo 1.4. As fibras e a matriz podem ser pré-combinadas, dando origem aos
chamados semi-produtos (ver capítulo 1.5), que são posteriormente processados para
a obtenção da peça compósito final mediante técnicas descritas no capítulo 2.
Finalmente, no capítulo 1.6 faz-se referência a um conjunto de aditivos frequente-
mente presentes nos compósitos, tendo objectivos tão diversos como diminuir o
custo, aumentar a tenacidade ou melhorar o comportamento ao fogo. Para concluir
MATERIAIS COMPÓSITOS
2
esta secção, apresentam-se alguns exemplos ilustrativos da variedade e relevância das
aplicações actuais dos compósitos.
Como é evidente, os materiais compósitos alargam substancialmente o leque de
opções que se colocam aos projectistas e engenheiros de materiais 1.4 . portanto
com toda a naturalidade que os materiais compósitos se encontram disseminados por
diferentes áreas de actividade que incluem indústrias de grande exigência e visibili-
dade tecnológica como a aeronáutica e as indústrias espacial e de defesa, ou outras
como os transportes (com particular destaque para a indústria automóvel), artigos
desportivos, componentes eléctricos e electrónicos e a construção civil.
a) b)
c) d)
Figura 1.1. Aplicações de materiais compósitos na aeronáutica: a) helicóptero Bell modelo 430 que utiliza 
materiais compósitos nas pás e no garfo que as sustenta [1.5]; b) o design apresentado pelo pequeno 
avião M309 seria impensável de realizar sem o recurso em grande escala aos materiais compósitos [1.6]; 
c) C-17 Globemaster III que apresenta partes importantes da estrutura em materiais compósitos [1.7]; d) Sonic 
cruiser, avião da Boeing em desenvolvimento que apresentará 60% dos seus materiais em compósitos [1.8].
Na indústria aeronáutica os desafios tecnológicos são permanentes e a sua especifici-
dade resulta de ser um tipo de produção em pequena escala, em que os elevados 
custos de fabrico podem ser compensados por menores custos operacionais.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
3
Utilizam-se compósitos de elevado desempenho mecânico, fundamentalmente à base
de fibras de carbono, aramida, híbridos de carbono-aramida, e até fibras de boro em
aplicações mais específicas. O objectivo é conseguir estruturas onde a elevada
resistência específica e a grande leveza se associam a uma enorme liberdade de 
concepção do produto. A figura 1.1 mostra exemplos que ilustram estes princípios.
Esta trajectória dos materiais compósitos na indústria aeronáutica iniciou-se por volta
dos anos 60. São de realçar aplicações em aeronaves militares, caso da cobertura dos
estabilizadores horizontais dos F-14A e, posteriormente, por ordem histórica, nos
estabilizadores verticais e leme dos F-15 e F-16, cobertura das asas dos F-18 e, final-
mente, asa completa, estabilizadores e parte da fuselagem exterior do A -8B 1.9
(figura 1.2). Também na aviação comercial a utilização em larga escala de materiais
compósitos nas estruturas contribui para uma redução significativa de peso, permitindo
deste modo um aumento da lotação dos aparelhos e, consequentemente, uma maior
rentabilidade que as diferentes empresas não podem descurar num mercado de forte
concorrência. A estrutura típica de um avião pode representar até 30 do peso total,
sendo que apenas 10 corresponde a peso útil efectivamente pago. Tomando em
conta que aviões comerciais como o Boeing 757 e 767 incorporam apenas 4 em
peso de compósitos avançados, percebe-se que o campo de progressão neste domínio
é enorme.
a) b)
c) d)
Figura 1.2. Aeronaves militares com aplicações significativas de compósitos: 
a) F15 [1.10]; b) F16 [1.11]; c) F-18 [1.12]; d) AV-8B [1.13].
MATERIAIS COMPÓSITOS
4
A indústria espacial é uma aplicação estrutural de enorme impacto e relevância 
evidenciando as potencialidades dos materiais compósitos. O custo em combustível
para colocação em órbita de qualquer estrutura é elevadíssimo, pelo que qualquer
ganho em peso é um factor decisivo na escolha. Algumas antenas incorporadas em
veículos espaciais,quando expostas directamente aos raios solares necessitam de
manter a sua estabilidade dimensional para se obter um bom desempenho no envio
do sinal. A utilização de estruturas de carbono-epóxido, que podem apresentar 
coeficientes de expansão térmica nulos, são particularmente úteis para esse tipo de
aplicações. A figura 1.3 ilustra o lançamento do Space Shuttle Atlantis, um exemplo
de utilização diversificada de materiais compósitos.
Figura 1.3. Space Shuttle Atlantis [1.14].
Na indústria automóvel, o constrangimento de custos com que se deparam os 
construtores determina que a produção se faça adaptada a elevadas cadências e
baixos custos. Assim, os compósitos de matriz de poliester e reforço em fibra de vidro
ocupam um lugar de destaque. Nos anos 30, a Ford iniciou a aplicação de materiais
compósitos em modelos seus, embora o maior sucesso conhecido seja a realização de
uma estrutura em fibra de vidro para o Chevrolet Corvette em 1953 (figura 1.4).
Figura 1.4. Chevrolet Corvette de 1953 [1.15, 1.16].
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
5
Os anos 70 e 80 ficaram marcados por grandes esforços no sentido de actualizar 
técnicas de fabrico aplicáveis aos diversos tipos de materiais que permitem reduções
significativas de peso. Contudo, a adesão às técnicas de produção desenvolvidas
especificamente para os materiais compósitos ficou aquém das expectativas iniciais, o
que se reflectiu naturalmente num crescimento mais lento do número de aplicações.
Nos anos 90, assistiu-se a progressos substanciais que tornaram as técnicas de 
produção compatíveis com as necessidades da produção massificada característica da
indústria automóvel. A Ford, por exemplo, demonstrou que a moldação em grande
escala de cerca de meia centena de peças a incorporar na estrutura de um seu veículo
proporcionava uma economia de cerca de 60 relativamente à utilização de chapa
embutida. O progresso conseguido, ano após ano, torna mais próximo o objectivo 
de produzir automóveis em materiais compósitos ao mesmo preço dos que são 
produzidos com materiais metálicos 1.17 . Na figura 1.5, por exemplo, pode 
observar-se um modelo actual onde se introduziram diversos componentes estru-
turais em materiais compósitos.
Figura 1.5. Aston Martin V12 Vanquish com indicação de locais (a verde) 
onde se utilizaram compósitos de fibra de carbono [1.18].
Ainda na indústria automóvel, mas num sector muito mais restrito como é o da 
competição, o custo final tem um peso bastante reduzido. O desenvolvimento de pro-
tótipos onde são testadas soluções inovadoras pode gerar uma vantagem tecnológica
decisiva em relação aos concorrentes. Até ao início dos anos 50, todos os chassis
desenvolvidos para a fórmula 1 eram feitos com perfis tubulares de alumínio, sendo
o monobloco revestido por painéis de alumínio. Por esta altura fez-se a introdução de
compósitos à base de fibra de vidro, com fibras aleatoriamente distribuídas numa
matriz de poliester. Estes materiais cedo se revelaram uma solução técnica e economi-
camente interessante, tanto mais que se adaptavam com facilidade à produção de
peças com geometria complexa. A sua utilização manteve-se até aos anos 80 quando
se formou a McLaren international, a primeira equipa a introduzir os compósitos de
carbono no chassis do modelo McLaren MP4-1, ilustrado na figura 1.6. Na opinião
MATERIAIS COMPÓSITOS
6
do seu director técnico, Ron Dennis, a introdução de materiais exóticos permitiu
um aumento da rigidez torsional estimado em 66 e uma considerável redução de
peso. A evolução tecnológica não parou e vários outros componentes foram sendo
sucessivamente substituídos por compósitos à base de carbono. Os chassis MP4-6,
utilizados pela McLaren em 1991, apresentavam cerca de 75 do seu peso em 
materiais compósitos. Actualmente, conseguem-se atingir percentagens ainda mais
elevadas, o que diz bem das potencialidades reconhecidas a estes materiais 1.9 .
Figura 1.6. MacLaren MP4-1 de 1981 [1.19].
No domínio dos transportes é de salientar ainda outros exemplos paradigmáticos.
Barcos, comboios, novos veículos em desenvolvimento, movidos a energias alternativas
(figura 1.7) são áreas onde os materiais compósitos desempenham papéis relevantes,
com tendência clara para aumentarem a sua influência.
a)
b) c)
Figura 1.7. Aplicações de materiais compósitos no domínio dos transportes [1.20]: 
a) barco; b) veículo solar; c) comboio de alta velocidade.
A indústria de componentes eléctricos e electrónicos representa actualmente cerca de
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
7
15 do mercado de materiais compósitos a nível mundial. Exigências de segurança
relacionadas com isolamento eléctrico justificam o uso de materiais compósitos em
vários componentes, como blindagens, circuitos impressos ou baterias. A figura 1.8
ilustra alguns exemplos de aplicações neste domínio. Outras aplicações comerciais
típicas são a produção de artigos desportivos (figura 1.9).
A generalização das aplicações em áreas tão díspares tem contribuído significativa-
mente para a redução do preço dos materiais compósitos e, consequentemente, para
a sua expansão. A provar que as propriedades mecânicas apresentadas concorrem,
com grande vantagem, com os materiais tradicionais de utilização estrutural, está o
reforço de colunas de pontes em regiões sismicamente activas, como a Califórnia e o
apão, recorrendo a compósitos de carbono epóxido (figura 1.10).
a) b)
c) d)
Figura 1.8. Aplicações na área dos componentes eléctricos e electrónicos [1.5]: a) circuito impresso com aplicação 
de uma resina de epóxido reforçada com fibras de vidro; b) cablagens em fibras ópticas; c) torre de distribuição de
energia eléctrica com perfis pultrudidos; d) tambor de máquina de lavar em polipropileno reforçado com fibra de vidro.
MATERIAIS COMPÓSITOS
8
a) b)
Figura 1.9. Aplicações de materiais compósitos em artigos desportivos: a) garfo de bicicleta que utiliza 
combinações de fibra de vidro sob a forma de entrançado e fibra de carbono [1.21]; b) raquetes de ténis [1.22].
´
Figura 1.10. Aplicação de materiais compósitos em pontes [1.5].
1.2. Reforços
1.2.1. FIBRAS DE VIDRO
As fibras de vidro constituem o tipo de reforço mais utilizado. A técnica mais comum
para produzir fibras de vidro é o estiramento de vidro fundido através de uma fieira
em liga de platina-ródio com orifícios de dimensões muito precisas, conforme ilustra
a figura 1.11. A temperatura de fusão depende da composição do vidro, mas ronda
normalmente os 1260ºC. As fibras de vidro são sujeitas a tratamentos superficiais à
saída da fieira, que variam consoante o fim a que se destinam um revestimento têxtil
para o fabrico de tecidos sem risco de danificação da fibra um revestimento plástico
para permitir a compatibilização da fibra com as diferentes matrizes orgânicas 
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
9
existentes. O revestimento plástico contém quatro componentes distintas
um ligante que permite manter os filamentos unidos, evitando-se movimento relativo
e abrasão os ligantes são constituídos por suspensões ou emulsões de poliacetato de
vinilo, resinas de poliester ou epóxido
um agente de adesão à base de compostos orgânicos de silício com o objectivo de
facilitar a adesão fibra-matriz de resina
um lubrificante
agentes anti-estáticos e ou agentes de impregnação.
Figura 1.11. Representação esquemática da produção de fibras de vidro.
Segundo estudos recentes, o teor alcalino é o principal responsável pela resistência ao
envelhecimento. Fibras com teores alcalinos inferiores a 14 apresentam alterações
menos significativas em contacto com agentes atmosféricos ou químicos particular-
mente desfavoráveis1.23 . Assim, a fibra do tipo A, fortemente alcalina, foi sendo
progressivamente substituída pela fibra do tipo E, um vidro de borosilicato com baixa
quantidade de compostos alcalinos, que apresenta boas propriedades eléctricas,
mecânicas e químicas. Actualmente, pelo menos três tipos de fibras são produzidas
sob a forma de fio, casos dos tipos E, S, e R. As duas últimas são produzidas a partir
de vidros de alta resistência e são muito aplicadas na indústria aeronáutica. Na tabela
1.2 são indicadas algumas propriedades que podemos encontrar nas principais fibras
de vidro.
Tabela 1.2. Propriedades de alguns tipos de fibra de vidro.
MATERIAIS COMPÓSITOS
10
As fibras de vidro são identificadas e classificadas por normas BS ISO. Segundo estas
normas, a designação EC 12 40 2400 diz respeito a uma fibra contínua de vidro E,
com um diâmetro nominal de 12 μm e com um peso de 40 gramas por cada 1000 
metros. Outra forma de classificação utiliza o conceito de e . Este termo designa o
peso de 1000 metros de um fio composto por aproximadamente 200 filamentos.
Segundo esta terminologia, a designação anterior, corresponderia a um fio com um
e de 40.
1.2.2. FIBRAS DE CARBONO
Existem dois tipos de fibras agrupáveis no termo mais lato de fibras de carbono as
fibras de carbono propriamente ditas, com percentagens de carbono entre 80 e 95 ,
e as fibras de grafite onde a percentagem de carbono chega aos 99 . Estas são apli-
cadas em compósitos de elevado desempenho mecânico, em áreas como a aeronáutica
e a indústria espacial.
A tecnologia mais recente para a produção de fibras de carbono centra-se na 
decomposição térmica de vários precursores orgânicos, que são essencialmente três
a celulose, que dá origem às chamadas ra on fibers , o poliacrilonitrilo (PAN) e o
alcatrão ( itc ). Os precursores devem possuir algumas características específicas,
tais como
possuir resistência apropriada e características de manuseamento necessárias para
manter as fibras juntas durante todas as etapas do processo de conversão em carbono 
não fundir durante qualquer etapa do processo (para isso deve seleccionar-se um 
precursor não-fusível ou estabilizar o precursor termoplástico antes do processo de
conversão)
não volatilizar completamente durante o processo de pirólise.
Os diferentes precursores conduzem a fibras de carbono com características mecânicas
distintas. A produção a partir da celulose, que foi o primeiro dos processos utilizados,
conduzia a fibras com baixas propriedades mecânicas e caiu rapidamente em desuso.
O método foi posteriormente melhorado e passou-se a obter fibras com propriedades
idênticas às obtidas pelos restantes processos. Contudo, são exigidas elevadíssimas
temperaturas na grafitização, tornando o processo muito dispendioso. As fibras obti-
das a partir do precursor de alcatrão apresentam propriedades mecânicas ligeira-
mente inferiores, embora, ainda assim, satisfaçam um largo conjunto de mercados,
como por exemplo, a indústria automóvel. Apresentam essencialmente vantagens
económicas. O precursor actualmente mais utilizado é o poliacrilonitrilo. O processo,
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
11
esquematicamente representado na figura 1.12 , comporta as seguintes etapas
oxidação - as fibras são aquecidas até 300 ºC em atmosfera rica em oxigénio, con-
duzindo à formação de uma estrutura reticular da cadeia molecular o objectivo desta
fase é suprimir artificialmente o ponto de fusão das fibras
carbonização - a cadeia molecular é aquecida progressivamente até cerca de 1100 ºC
num forno de atmosfera neutra permitindo que apenas átomos de carbono per-
maneçam no final as fibras obtidas apresentam boas propriedades mecânicas e podem
ser usadas sem posterior tratamento superficial
grafitização - é um processo necessário quando se pretende obter fibras de elevado
módulo de elasticidade em atmosfera neutra é feita a pirólise das fibras, obtendo-se
um elevado grau de orientação da estrutura
tratamento superficial - numa atmosfera de ácido nítrico ou ácido sulfúrico as super-
fícies são modificadas de forma a atingirem-se elevados níveis de adesão entre as fibras
e os vários sistemas de resina empregues como matrizes.
Figura 1.12. Processo esquemático de obtenção de fibras de carbono a partir do poliacrilonitrilo (PAN).
A tabela 1.3 ilustra exemplos de propriedades mecânicas de fibras de carbono obtidas
por qualquer um dos processos referenciados. As fibras de carbono são classificadas
com base na sua resistência mecânica e comercializadas segundo as seguintes desig-
nações 1.24
UHM ( tra i od s) para fibras com módulos superiores a 500 GPa
HM ( i od s) para fibras com módulos superiores a 300 GPa e rácio resistên-
cia mecânica módulo em tracção inferior a 1 
IM (inter ediate od s) para fibras com módulos até 300 GPa e rácio resistência
mecânica módulo de cerca de 1
fibras de baixo módulo, com valores inferiores a 100 GPa
HS ( i stren t ) para fibras de resistências à tracção superiores a 3 GPa e rácio
resistência rigidez entre 0.015 e 0.02.
MATERIAIS COMPÓSITOS
12
Tabela 1.3. Propriedades de alguns tipos de fibra de carbono.
As fibras de carbono apresentam uma particularidade importante no sentido longi-
tudinal têm um coeficiente de dilatação negativo ou quase nulo. Associadas a 
materiais com coeficiente de dilatação positivo podem dar origem ao aparecimento
de tensões prejudiciais na interface. Pelo contrário, conseguindo uma conjugação 
criteriosa entre a fibra e a matriz, conseguem-se fabricar materiais compósitos com
coeficiente de dilatação nulo, o que é útil para aplicações no domínio da metrologia,
da óptica e aeroespacial.
1.2.3. FIBRAS ARAMÍDICAS
As fibras aramídicas são produzidas a partir de poliamidas aromáticas. A solução de
polímero é mantida a baixa temperatura (entre -50ºC e -80ºC), sendo depois extru-
dida a uma temperatura de aproximadamente 200ºC. Por este método, a cadeia
molecular é alinhada conseguindo-se obter uma melhoria das propriedades mecânicas.
As fibras aramídicas foram comercializadas pela primeira vez pela Dupont, em 1972,
e posteriormente quer a Enke, quer a Teijin desenvolveram fibras similares.
Actualmente existem dois tipos de produtos 1.25
as fibras standard, tipo Kevlar 29, T aron ou HM.50 (referência utilizada pela
Teijin), com aplicações correntes em cabos, materiais diversos de baixo coeficiente de
atrito e objectos de protecção pessoal
as fibras de elevado módulo, tipo Kevlar 49 da Dupont ou T aron HM da Enke,
com inúmeras aplicações em cascos de barcos, estruturas de aviões, capacetes, coletes
de protecção balística e automóveis de competição.
Apresentam excelente resistência química, mecânica, óptima relação rigidez-peso,
boa resistência ao impacto e à fadiga, boa capacidade de amortecimento de vibrações,
boas características dieléctricas, elevada resistência a solventes orgânicos, com-
bustíveis e lubrificantes. Possuem também boa resistência a ácidos e alcalis. O seu
coeficiente de dilatação tem um comportamento idêntico ao das fibras de carbono
1.26 , com as consequências que então se referiu. As principais desvantagens são a
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
13
baixa resistência à compressão e à flexão, bem como elevada sensibilidade ao corte
interlaminar. Esta desvantagem é normalmente atribuída à fraca ligação interfacial
entre a matriz e as fibras, pelo que se desenvolveram diferentes tratamentos super-
ficiais das fibras aramídicas para melhorar a ligação interfacial e a resistência à 
delaminagem. A tabela 1.4 ilustra algumas propriedades mecânicas características.
Tabela 1.4. Propriedades mecânicas de fibras aramídicas.
1.2.4. FIBRAS DE BORO
As fibras de boro são produzidas por deposição de boro em fase de vapor sobre um
fio de tungsténio ou carbono, que actua como substrato 1.27 . O diâmetro deste é
cerca de 12 m e o resultado, após deposição do boro, é uma fibra que pode atingir
os200 μm. As fibras de boro apresentam um módulo de elasticidade cinco vezes
superior ao da fibra de vidro mas são ligeiramente mais pesadas do que estas.
Utilizam-se na forma de fitas pré-impregnadas numa resina de epóxido, fenólica ou
poliimida. Pelo seu elevado custo, os compósitos com fibras de boro aplicam-se
sobretudo na indústria aeronáutica. As fibras de boro também podem ser integradas
no seio de matrizes metálicas para produzir materiais de utilização a temperaturas
muito elevadas. Contudo, o boro tem o inconveniente de reagir com a matriz metálica,
destruindo-se. Esta situação é ultrapassada através de uma deposição final de car-
boneto de boro ou de carboneto de silício, que actua como barreira ao mecanismo de
difusão. Esta fibra designa-se por . Propriedades típicas de fibras de boro
são indicadas na tabela 1.5.
Tabela 1.5. Propriedades mecânicas de fibras de boro em função do seu diâmetro.
MATERIAIS COMPÓSITOS
14
1.2.5. OUTROS TIPOS DE REFORÇOS
Existe uma grande variedade de outras fibras que podem ser empregues em estruturas
compósitas, maioritariamente associadas a desempenhos de menor exigência. Estão
neste caso as fibras de amianto (asbestos), sisal, poliamidas e poliesteres.
Amianto - é uma fibra mineral, formada por um silicato complexo de composição 
variável e possui como principais propriedades 1.28 elevada resistência mecânica a
temperaturas elevadas, incombustibilidade, boa qualidade isolante, durabilidade, flexi-
bilidade, resistência elevada aos ataques de ácidos, alcalis e bactérias, e baixo custo, por
ser abundante na natureza. Como material para fins industriais teve o seu apogeu no
período compreendido entre as duas guerras mundiais, tendo vindo a decair pelo 
conhecimento de que estava associado ao desenvolvimento de doenças particularmente
graves, como cancros de pulmão e outros tumores malignos.
Sisal - é constituído por fibras naturais com diâmetros entre 125 e 500 μm e com com-
primentos entre 100 e 150 cm, habitualmente. Como reforço em materiais compósitos,
as suas propriedades estão francamente abaixo das que se conseguem com reforços em
fibra de vidro. Além disso salienta-se o facto de serem bastante higroscópicas.
Poliamidas - são mecanicamente resistentes, tenazes e resistentes à abrasão, e bastante
resistentes aos solventes orgânicos mais comuns, alcalis e alguns ácidos. São produzi-
das em filamentos contínuos e podem ser processadas em várias formas para aplicações
na indústria têxtil. Apresentam baixo módulo de elasticidade.
Poliesteres - As fibras de poliester apresentam propriedades semelhantes às poliami-
das, excepto o módulo de elasticidade, que é superior. Os laminados com fibras de
poliester comportam-se melhor que os seus congéneres em fibra de vidro nos casos
em que se exige resistência ao impacto e à abrasão.
Para aplicações a altas temperaturas, são de salientar as fibras cerâmicas obtidas por
deposição química em fase de vapor. Trata-se de fibras que combinam uma elevada
resistência mecânica e elevado módulo de elasticidade a uma capacidade de resistên-
cia a altas temperaturas bastante apreciável. De entre elas, distinguem-se as fibras de
alumina e de carboneto de silício. As fibras de natureza cerâmica são normalmente
produzidas sob a forma de pequenos w iskers. Os w iskers são constituídos por cristais
simples, produzidos em condições de crescimento controlado, conseguindo-se resis-
tências mecânicas equivalentes às fibras de vidro, módulos de elasticidade superiores
aos apresentados pelas fibras de boro 1.23 e tolerando alongamentos elásticos de 
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
15
3-4 , o que lhes confere propriedades assinaláveis. ários materiais, como os
metais, óxidos, carbonetos e compostos orgânicos podem ser preparados sob a forma
de w iskers. Estas fibras estão principalmente associadas à produção de compósitos
de matriz metálica, pelo que caem fora do âmbito desta publicação.
1.3. Formas que podem apresentar os Reforços
1.3.1. ROVING
O rovin , figura 1.13, é basicamente um cordão de filamentos contínuos enrolado
helicoidalmente em bobines. Habitualmente o rovin é constituído por fibras com
diâmetros de 9 ou 13 μm. Pode destinar-se à produção de fibras curtas (por exemplo
para a moldação por projecção), tecidos, ou pode ser processado para a produção de
mantas, entrançados, malhas ou híbrido.
Figura 1.13. Bobine de roving [1.5].
1.3.2. MANTAS
Nas mantas (figura 1.14) as fibras são distribuídas aleatoriamente e agregadas com
um ligante especial em emulsão ou em pó que confere estabilidade e deve ser solúvel
na impregnação. Podemos distinguir três tipos fundamentais de mantas as mantas de
filamentos cortados, designadas por CSM ( o ed trand at), as mantas de fila-
mentos contínuos designadas por CRM ( ontin o s ando at) e as mantas de
superfície. Nas CSM, as fibras apresentam comprimentos típicos menores do que 
50 mm e as propriedades mecânicas são baixas. Com o CRM consegue-se melhor 
conformabilidade e melhores propriedades do compósito. As mantas de superfície
caracterizam-se pela sua leveza (20 a 30 g m2) e são constituídas por fibras curtas 
pré-impregnadas com resina, nas quais se evita o afloramento de fibras à superfície.
MATERIAIS COMPÓSITOS
16
Apresentam bom acabamento superficial e possuem uma maior resistência química.
a) b)
Figura 1.14. Mantas tipo: a) CSM (Chopped Strand Mat); b) CRM (Continuous Random Mat) [1.29].
1.3.3. TECIDOS 2D
Um tecido pode ser do tipo 2D ou 3D e define-se como a confecção de uma ligação
entre feixes de fibras longas de carbono, aramida, vidro ou a combinação destas, para
aplicações em que se exigem elevadas propriedades mecânicas. Existem em várias
larguras, espessuras, orientações e resistências mecânicas. Devem ser suficientemente
estáveis para serem manuseados, cortados e aplicados, mantendo contudo uma
grande capacidade de conformação à forma do molde (propriedade que se designa
por dra abi it ). Os tecidos 3D distinguem-se dos 2D por possuírem fibras orientadas
na direcção da espessura, facto que confere melhor resistência interlaminar ao com-
pósito (ver capítulo 9). Porém, a necessidade de garantir a boa impregnação pela
resina, limita o teor das fibras orientadas no plano, diminuindo as propriedades
mecânicas em relação aos tecidos 2D. Os tecidos são caracterizados pela orientação
das fibras, pelos diferentes métodos empregues na sua confecção e classificados pela
massa por unidade de área, tal como as mantas.
1.3.3.1. Tecidos entrelaçados (woven fabrics)
São produzidos pelo entrelaçamento de fibras segundo direcções perpendiculares,
podendo apresentar padrões variados. Os mais comuns são designados por ane
weave , twi weave , e satin weave 1.30 . Nos tecidos ane weave , cada fibra 
orientada a 0º passa, alternadamente, por baixo e por cima de cada fibra orientada a
90º (figura 1.15a). O tecido é simétrico e com boa estabilidade. Nos tecidos twi
weave (figura 1.15b), uma ou mais fibras a 0º é tecida, alternadamente, por cima e
por baixo de duas ou mais fibras a 90º de uma forma regular ou repetida 1.31 . Os
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
17
tecidos satin weave (figura 1.15c) são basicamente tecidos do tipo twi weave
modificados de forma a provocar poucas intersecções entre as fibras a 0º e as fibras 
a 90º. 
a) b) c)
Figura 1.15. Diferentes tipos de tecido [1.32]: a) "plane weave"; b) "twill weave"; c) "satin weave".
1.3.3.2. Tecidos quase unidireccionais
Estes tecidos caracterizam-se por apresentarem uma elevada predominância de fibras
orientadas a 0º (até 95 da massa total). A principal função das fibras na trama é
garantir alguma estabilidade, permitindo colocar as fibras, num determinado compo-
nente, no local exacto pretendido e nas quantidades necessárias.
1.3.3.3. Tecidos híbridos
Os tecidos híbridos resultam decombinações de diferentes tipos de fibras, como por
exemplo vidro e carbono ou carbono e aramida. Desta forma, juntam-se as caracterís-
ticas mais favoráveis de cada tipo de fibra. A utilização de tecidos híbridos permite
confeccionar compósitos com algumas vantagens relativamente aos compósitos 
convencionais, nomeadamente minimização de distorções de origem térmica, melhor
compromisso entre resistência mecânica, rigidez e tenacidade ou ainda reduções de
peso e ou de custo.
1.3.4. MALHAS (KNITTED FABRICS)
São produzidos pela ligação sucessiva de camadas de fibras alinhadas. As diferentes
camadas são cozidas em conjunto, como ilustra a figura 1.16. Este tipo de construção
facilita a distribuição da carga pelas fibras, permitindo obter elevados módulos em
tracção e em flexão. Apresentam ainda excelente conformabilidade e boa resistência
MATERIAIS COMPÓSITOS
18
interlaminar. uando se utilizam diferentes orientações de fibras consegue-se obter
um reforço com propriedades quase isotrópicas (ver capítulos 3 e 7).
Figura 1.16. Exemplo de uma malha. É visível a existência de várias camadas cozidas entre si [1.33].
1.3.5. TECIDOS 3D
Os tecidos 3D são obtidos por processos especiais de tecelagem (figura 1.17) que
ligam múltiplas camadas de fibras com orientações diversas. Esta tecnologia permite
a confecção de formas para painéis e perfis com fins estruturais 1.21 . A sua resistên-
cia interlaminar é naturalmente boa.
Figura 1.17. Tecido 3D [1.34].
1.3.6. ENTRANÇADOS (BRAIDS)
Os entrançados (figura 1.18) são geralmente mais caros do que as mantas devido ao
processo de confecção. A sua resistência específica é mais elevada. Os entrançados
estão disponíveis em configuração tubular e plana, apresentam boa conformabilidade
podendo ser utilizados como forma de reforço no fabrico de produtos diversos como
raquetes de ténis, sticks de hóquei ou pás de hélices de avião.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
19
Figura 1.18. Figura 1.18. Entrançado (braid) em forma tubular [1.32].
1.3.7. PRÉ-FORMAS
As pré-formas são produzidas com diversas formas 2D ou 3D (figura 1.19), e tendo
fibras curtas ou fibras contínuas. As pré-formas de fibras curtas podem resultar do
corte e sobreposição manual de mantas ou da projecção das fibras e de um ligante
sobre uma armação perfurada. A sobreposição manual de mantas é um processo de
baixa reprodutibilidade que apenas se justifica para pequenas séries. A projecção é
um processo automatizável, mais dispendioso, que permite a realização de formas
complexas 3D com distribuição planar das fibras. As pré-formas de fibras contínuas
resultam da união de camadas bidimensionais de tecidos com várias orientações.
Apresentam melhor resistência interlaminar e é possível fazer variar a sua espessura.
a) b)
Figura 1.19. Exemplos de pré-formas: a) 2D em fibra de carbono [1.29]; b) 3D em fibra de vidro [1.5].
As pré-formas são utilizadas no fabrico de produtos complexos. Depois de colocadas
na cavidade de moldação é feita a injecção de resina. As pré-formas são estáveis e
oferecem óptima relação resistência - peso. 
MATERIAIS COMPÓSITOS
20
1.4. Matrizes
As matrizes de natureza polimérica dividem-se em duas categorias principais termo-
plásticas e termoendurecíveis.
As matrizes termoplásticas são constituídas maioritariamente pelos designados plás-
ticos técnicos. Estes plásticos são formados a partir de macromoléculas individuais
lineares sem qualquer reticulação entre si. Estas moléculas de grandes dimensões são
mantidas nas suas posições à custa de ligações secundárias (forças intermoleculares),
tais como forças de van der aals e ligações de hidrogénio. uando se aquecem os
polímeros termoplásticos, estas ligações são temporariamente quebradas e passa a
existir mobilidade molecular que permite a reconformação. Com o arrefecimento
posterior, as moléculas como que congelam nas posições entretanto alcançadas,
restabelecendo-se as ligações químicas acima referidas. Em geral, os termoplásticos
salientam-se por apresentarem maior resistência ao impacto, maior tenacidade e 
bastante menor higrospicidade quando comparados com os polímeros termo-
endurecíveis. São facilmente processados por injecção ou por termoformação e
podem ser reciclados, o que constitui um ponto importante nos dias de hoje. A
expansão dos compósitos de matriz termoplástica sempre foi condicionada pela maior
dificuldade em impregnar completamente os reforços. A produção comercial de
grânulos reforçados que ocorreu a partir da década de 60 facilitou o rápido cresci-
mento dos compósitos de matriz termoplástica, estimando-se que representem
actualmente cerca de 35 do mercado mundial de materiais compósitos.
As matrizes termoendurecíveis são constituídas por polímeros em que as moléculas
formam estruturas tridimensionais bastante rígidas. Os termoendurecíveis, ao con-
trário dos termoplásticos, não podem ser reprocessados. Uma vez aquecidos
assumem uma forma permanente. Estes polímeros, vulgarmente designados por
resinas termoendurecíveis, são frequentemente fornecidos para processamento sob a
forma de uma mistura de dois ou três componentes resina, acelerador e catalisador.
uando estes componentes são misturados na proporção adequada, dá-se a polime-
rização e a constituição da estrutura tridimensional, num processo que se designa
habitualmente por cura . Algumas resinas requerem a aplicação adicional de calor e
pressão para se efectuar a cura. Noutras, porém, a cura ocorre à temperatura ambi-
ente. Contudo, as propriedades mecânicas das resinas tendem a melhorar com um
tratamento de pós-cura a altas temperaturas. Uma das principais vantagens das
resinas termoendurecíveis é a maior facilidade de impregnação do reforço, dado que,
antes da cura, apresentam viscosidades bastante inferiores às dos termoplásticos.
Uma das características fundamentais das resinas é a temperatura limite de funciona-
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
21
mento. Neste contexto, assumem particular relevância as temperaturas ditas de tran-
sição e a temperatura de deflexão sob carga.
1.4.1. TEMPERATURAS DE TRANSIÇÃO
No aquecimento ou no arrefecimento de um polímero são observáveis várias fases a
que estão associadas te erat ras de transi o . Consideremos a figura 1.20, repre-
sentativa do andamento do volume específico de polímeros termoplásticos com a
temperatura. Os polímeros total ou parcialmente amorfos são caracterizados pela sua
temperatura de transição vítrea, . Esta temperatura marca a mudança de um com-
portamento rígido para um comportamento caracterizado pelo amolecimento. Acima
da temperatura de transição vítrea, o módulo reduz-se consideravelmente e os
polímeros são dúcteis e facilmente deformáveis. Continuando a aumentar a tempe-
ratura atinge-se o estado de líquido viscoso a uma temperatura designada por tem-
peratura de fusão, . Idealmente, um polímero totalmente cristalino não apresenta
temperatura de transição vítrea. uando se aproxima da temperatura de fusão, a sua
estrutura sofre um colapso catastrófico passando-se a um estado de líquido viscoso,
com o consequente aumento brusco do seu volume específico 1.35 .
Figura 1.20. Variação do volume específico de um polímero com a temperatura.
Os polímeros termoendurecíveis não apresentam fusão. A temperaturas elevadas
degradam-se de forma irreversível. A sua temperatura de transição vítrea é controlada
pelo grau de reticulação da estrutura e, normalmente, as alterações são muito menos
acentuadas do que nos termoplásticos 1.36 . A medição da temperatura de transição
vítrea em polímeros é realizada recorrendo a métodos como a calorimetria diferencial
de varrimento (DSC) ou análise térmica diferencial (DTA).
MATERIAIS COMPÓSITOS
22
Os efeitos da transição vítrea e da fusão no comportamento mecânico dos polímeros
são facilmente perceptíveis pela análise da evolução do módulo de elasticidade, ,
com a temperatura, como ilustraa figura 1.21. Um termoplástico amorfo apresenta
uma considerável alteração das propriedades mecânicas para a temperatura de tran-
sição vítrea. Assim, a temperatura máxima de utilização de um termoplástico amorfo
deve ser inferior a . Um polímero termoendurecível sofre alterações muito menos
pronunciadas a esta temperatura, devido ao elevado grau de reticulação. Contudo, a
temperatura máxima de utilização não deve exceder , para evitar fenómenos de
fluência e relaxação acentuados (ver capítulo 8). Os polímeros semicristalinos apre-
sentam igualmente pequenas variações de propriedades à temperatura de transição
vítrea, devido à presença das regiões cristalinas da matriz. Neste caso, é corrente a
utilização a temperaturas compreendidas entre e , pois abaixo de os
polímeros semicristalinos são geralmente demasiado frágeis.
a) b) c)
Figura 1.21. Evolução do módulo de elasticidade em função da temperatura: 
a) termoplástico amorfo; b) termoendurecível; termoplástico semicristalino.
1.4.2. TEMPERATURA DE DEFLEXÃO SOB CARGA (HEAT DEFLECTION TEM-
PERATURE, HDT)
As características de amolecimento de polímeros não reforçados são determinadas
com base na sua temperatura de deflexão sob carga, HDT. Um provete é sujeito a
uma tensão de flexão em três pontos de 264 psi (1.82 MPa) e aquecido a taxa 
constante até se deformar de um valor específico. A esta temperatura, o material 
apresenta ainda propriedades estruturais aceitáveis. Este procedimento encontra-se
descrito pela norma ASTM D648-72. uer a temperatura de deflexão ao calor sob
carga, HDT, quer a temperatura de transição vítrea, , dependem da densidade de
reticulação de um polímero. Os polímeros que apresentam HDT mais elevada 
apresentam melhores propriedades a temperaturas altas e melhor resistência química.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
23
A escolha do agente de cura e o ciclo de cura são os principais factores que a afectam
1.37 .
1.4.3. MATRIZES TERMOPLÁSTICAS
Genericamente, podemos dividir os compósitos de matriz termoplástica em duas 
categorias distintas os compósitos de fibras curtas, produzidos a partir de grânulos
contendo fibras de comprimento inferior a 6.4 mm, e os compósitos de fibras longas,
que se destacam por apresentarem propriedades mecânicas superiores.
Para aplicações não estruturais e semi-estruturais, os polímeros que podemos encontrar
mais frequentemente como matriz são polipropilenos, poliamidas, e policarbonatos.
Nos compósitos avançados de alta resistência usam-se sobretudo o PEEK (Poli-éter-
-éter-cetona), Poliimidas e o PPS (Polisulfureto de fenileno).
1.4.3.1. Polipropileno (PP)
O polipropileno é um polímero do grupo das poliolefinas, produzido pela primeira vez
em 1957. Trata-se de um termoplástico branco e opaco com cristalinidade em torno
de 60 a 70 . Apresenta boa resistência ao impacto e rigidez, resistência à distorção e
possui excelente resistência ao ataque químico por ácidos, álcalis e sais, mesmo a ele-
vadas temperaturas. As suas propriedades mecânicas dependem largamente do peso
molecular médio, da distribuição do peso molecular, da estereoregularidade da cadeia
e das condições de processamento. A sua cadeia macromolecular é aparentemente
desequilibrada, uma vez que, em átomos alternados da cadeia principal, aparecem gru-
pos laterais de metilo de grande peso molecular em comparação com os átomos de
hidrogénio. A temperatura típica de processamento ronda os 200 ºC, o que o torna um
dos mais acessíveis ao processamento por técnicas tradicionais.
1.4.3.2. Poliamida (PA)
As poliamidas, vulgarmente designadas por Nylons, têm designações específicas (6,
66, 11, entre outras) que se baseiam no número de átomos de carbono do ácido que
deu origem à amida-base. As que derivam de aminoácidos são designadas por um
único algarismo enquanto as que resultam de diaminas e de diácidos são designadas
por dois algarismos. As poliamidas são fortemente higroscópicas, apresentam baixos
MATERIAIS COMPÓSITOS
24
coeficientes de atrito, grande resistência ao desgaste, boa resistência térmica e, nas va-
riedades reforçadas, uma boa resistência mecânica. Como apresentam habitualmente
pesos moleculares inferiores aos dos plásticos comuns, a sua viscosidade é menor, o
que determina a necessidade de precauções especiais no processamento.
1.4.3.3. Policarbonato (PC)
O policarbonato é um termoplástico amorfo que resulta da reacção de compostos de
dihidróxido aromático com ácido carbónico. incolor, dimensionalmente estável,
durável, com boa resistência térmica, química e à exposição aos agentes ambientais.
Salienta-se ainda o facto de se tratar de um polímero retardador de chama, optica-
mente transparente e pouco higroscópico. A sua resistência ao impacto é elevada, 
considerando-se mesmo a mais elevada de entre os diversos termoplásticos. bastante
utilizado na indústria automóvel, sob a forma de compósitos de fibras longas, para 
certas aplicações onde a absorção de energia entre -40º C e 80º C é importante.
Apresenta temperatura de transição vítrea, , entre 140 e 150 ºC, mas não é
recomendável o seu uso em contínuo a temperaturas superiores a 80 ºC. A temperatura
típica de processamento é de 200 ºC.
1.4.3.4. Poli-éter-éter-cetona (PEEK)
A poli-éter-éter-cetona é um polímero semicristalino, com grau de cristalinidade
máximo de 48 , utilizado frequentemente em compósitos para a indústria aeronáu-
tica. Apresenta temperatura de transição vítrea, , próxima dos 143ºC e pode ser
usado em contínuo a temperaturas até 250 ºC. Relativamente às resinas de epóxido,
tem algumas vantagens importantes, como maior tenacidade e baixa absorção de
água (menor do que 0.5 a 23 ºC). Todavia o processamento é mais difícil devido
do facto da sua cristalinidade ser variável, e o seu custo é elevado. Para garantir uma
boa impregnação dos reforços são necessárias temperaturas e pressões elevadas.
1.4.3.5. Poliimidas termoplásticas
As poliimidas termoplásticas caracterizam-se genericamente pela boa resistência a
altas temperaturas, que lhes permitem funcionar em contínuo até aos 260 ºC. Ao
contrário das poliimidas termoendurecíveis, podem ser reprocessadas por aplicação
de calor e pressão. As polietermidas (PEI) e as poliamidas-imidas (PAI) são dois
exemplos de poliimidas termoplásticas. São ambas polímeros amorfos, com tempe-
raturas de transição vítrea de 217 ºC e 280 ºC, respectivamente 1.36 . A temperatura
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
25
de processamento é próxima dos 350 ºC. Apresentam elevada resistência mecânica e
rigidez a altas temperaturas, estabilidade dimensional e boas propriedades eléctricas.
São também retardadoras de chama e resistem bem a agentes químicos como hidro-
carbonetos e solventes halogenados. Em alguns casos, a sua elevada resistência à
fluência permite substituir metais e outros materiais em muitas aplicações estruturais.
Duas outras poliimidas termoplásticas, conhecidas como polímeros K e LARC-TPI
(Langley Research Center Thermoplastic Imide), são geralmente disponibilizadas
sob a forma de pré-polímeros dissolvidos em solventes adequados. Nesta forma 
apresentam baixas viscosidades que permitem impregnar as fibras para a produção de
pré-impregnados flexíveis. A cura requer temperaturas à volta dos 300 ºC. Dos
polímeros K conhecem-se duas versões K-1 e K-2. A poliimida K-1 é um polímero
amorfo com temperatura de transição vítrea de 210 ºC, que possui boas propriedades
mecânicas, excelente tenacidade, baixa absorção de humidade e boa resistência a
diversos agentes químicos. A poliimida K-2 é superior à K-1 em termos de tempe-
ratura de transição vítrea (cerca de 270 ºC) e de tenacidade 1.38 . A poliimida
LARC-TPI, que pertence ao grupo das poliimidas lineares, foi desenvolvida por 
laboratórios da NASA e apresenta boa tenacidade, é flexível e tem excelentes carac-
terísticas mecânicas e eléctricas para uma larga gama de temperaturas.
1.4.3.6. Polisufureto de fenileno (PPS)O Polisulfureto de fenileno é um polímero semicristalinino, com grau de cristali-
nidade máximo de 65 , que tem temperatura de transição vítrea a 85ºC. O baixo
valor de resulta da ligação bastante flexível entre o sulfureto e os anéis aromáticos.
Apresenta elevada resistência mecânica, excelente resistência química e pode ser
usado em contínuo a temperaturas até 225 ºC.
A tabela 1.6 apresenta algumas propriedades das matrizes termoplásticas acima
referidas, e onde se ilustram os benefícios significativos do reforço na resistência e na
rigidez.
MATERIAIS COMPÓSITOS
26
Tabela 1.6. Propriedades típicas de alguns termoplásticos [1.39].
A amorfo C semicristalino R reforçado com 30 em peso de fibra curta de vidro NR não reforçado
1.4.4. MATRIZES TERMOENDURECÍVEIS
As resinas termoendurecíveis mais utilizadas no fabrico de compósitos para apli-
cações não-estruturais e semi-estruturais são os poliesteres insaturados, as resinas 
de vinilester e as resinas fenólicas. Em compósitos avançados de alta resistência, os
epóxidos, as bismaleimidas e as poliimidas são as referências mais comuns.
1.4.4.1. Poliesteres insaturados
As resinas de poliester classificam-se em duas grandes classes, designadas, respectiva-
mente, por saturadas e insaturadas. No primeiro grupo estão os poliesteres comercia-
lizados sob a forma de filme ou fibras, resinas termoplásticas ou plasticizadores
poliméricos. As resinas de poliester insaturado são das mais utilizadas no fabrico de
materiais compósitos, devido ao seu baixo custo, facilidade de processamento e bom
compromisso entre propriedades mecânicas, eléctricas e químicas. A cura tem início
imediatamente após adição de catalisadores - habitualmente peróxidos orgânicos - e
aceleradores especiais, por exemplo à base de cobalto. O processo desenvolve-se em
duas etapas na primeira, a resina líquida transforma-se num material gelatinoso -
etapa que se designa por ponto de gel a segunda fase conduz ao endurecimento final
através de um processo exotérmico (com libertação de calor). A velocidade de
reacção depende de vários factores, tais como a reactividade da resina, o teor de 
acelerador, o teor de catalisador e as condições ambientais. Por ordem crescente 
de resistência química, as resinas de poliester insaturado dividem-se em três grandes
grupos
as resinas ortoftálicas, que têm aplicação geral
as resinas isoftálicas, que se distinguem por possuírem boa resistência térmica e que
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
27
são aplicadas em meios levemente agressivos, húmidos ou sujeitos a condições
ambientais bastante desfavoráveis
as resinas bisfenólicas, usadas em meios particularmente agressivos - sobretudo com
características ácidas.
1.4.4.2. Resinas de vinilester
As resinas de vinilester são produzidas pela reacção de uma resina de vinilester insa-
turada com uma resina de epóxido. Estas resinas apresentam como características
uma excelente resistência química, elevada tensão de rotura, baixa viscosidade e
processo de cura rápido. A principal desvantagem é a elevada contracção volumétrica,
que pode atingir valores até 10 . uando comparadas com as resinas de epóxido,
exibem adesão moderada. As resinas de vinilester foram especificamente desenvolvi-
das para o fabrico de compósitos com aplicações em ambientes corrosivos e por isso
é frequente a sua utilização no fabrico de tubos e tanques para a indústria química.
1.4.4.3. Resinas fenólicas
As resinas fenólicas resultam da reacção de fenol com o formaldeído em condições
ácidas ou alcalinas, conforme o tipo de resina pretendida. Estas resinas foram
primeiramente introduzidas por Beakland, de que resultou o nome de Baquelite
para o primeiro tipo de resina fenólica produzida. Podem apresentar-se no estado
líquido (resóis) ou no estado sólido (novolacs), dependendo da proporção de cada
reagente, do tempo de polimerização, etc. As resinas líquidas, que são soluções ou
emulsões em água, álcool ou misturas água - álcool, usam-se para impregnação de
materiais diversos, como papéis, tecidos, madeiras, etc. O processo de fabrico dos
resóis desenrola-se em meio alcalino ou seco e é usado apenas quando se deseja obter
resinas translúcidas ou de cores muito claras. Estas resinas podem curar sem adição
de outro material. As resinas sólidas apresentam-se normalmente já formuladas com
cargas, plastificantes e outros aditivos, que lhe conferem uma cor escura. O processo
de fabrico é designado por ácido ou húmido e a sua reticulação faz-se por adição de
um agente endurecedor e aplicação de calor. A resina resultante presta-se bem à
moldação por compressão e por transferência. As resinas fenólicas têm geralmente
excelente comportamento ao fogo, com baixa emissão de fumos. A principal desvan-
tagem é o facto de haver libertação de voláteis na cura, que faz com que sejam pouco
usadas em compósitos de alto desempenho.
MATERIAIS COMPÓSITOS
28
1.4.4.4. Resinas de epóxido
As resinas de epóxido apresentam grande variedade de formulações químicas, a maior
parte baseadas no diglicidil éter de bisfenol A (DGEBA). O esquema de cura destas
resinas passa pela adição de um agente endurecedor apropriado, como aminas alifáti-
cas, aromáticas ou algumas poliamidas. O custo destas resinas é cerca de quatro vezes
o preço das resinas de poliester e cerca de duas vezes o custo das resinas de vinilester.
Como vantagens principais citam-se a elevada resistência mecânica, resistência à
abrasão, resistência química (sobretudo em meios alcalinos), boas propriedades de
adesão à fibra, processo de cura sem libertação de voláteis, grande estabilidade
dimensional em resultado da sua baixa contracção (2 a 3 ), baixa absorção de água
e temperaturas de funcionamento tipicamente entre 100 e 220 ºC. Apresentam boa
processabilidade, embora inferior à apresentada pelas resinas de poliester, face às
maiores viscosidades iniciais e aos tempos de cura longos. Por outro lado, as formu-
lações de base são algo frágeis, mas esta deficiência é facilmente colmatada através de
aditivos de alta tenacidade, tais como alguns termoplásticos como o ABS e borrachas
CTBN.
1.4.4.5. Bismaleimidas
As resinas bismaleimidas são substâncias de baixo peso molecular (pós secos) 
contendo estruturas imida já sob a forma de monómero. Estes monómeros podem
desencadear várias reacções de poli(adição) entre eles, bem como com outros 
co-monómeros. Em contraste com as poliimidas, as reacções de poli(adição) nas 
bismaleimidas não produzem polímeros lineares mas sim reticulações tridimensionais,
estruturas termoendurecíveis que também exibem elevada resistência térmica. Além
disso, as reacções de poliadição não produzem qualquer tipo de produtos voláteis
1.40 . As resinas bismaleimidas são largamente utilizadas na sua forma mais pura -
sólida. Em muitas aplicações, elas estão em conjunto com co-monómeros reactivos,
por exemplo, vinil e seus compostos, aminas aromáticas, compostos à base de fenol,
etc.. A vantagem mais significativa destas misturas sobre a forma original é a melhor
processabilidade. Com a ajuda dos co-monómeros, os pós podem ser transformados
em pasta e moldados à forma desejada. Contudo, a viscosidade destes sistemas é
muitas vezes elevada, pelo que se torna necessário adicionar solventes para facilitar o
processamento, ou mesmo para o tornar viável. As resinas bismaleimidas são utilizadas
como matrizes para compósitos de elevado grau de desempenho para a indústria
aeronáutica e espacial. Apresentam excelente resistência térmica, bom comportamento
ao desgaste, baixa flamabilidade e baixa emissão de fumos. No processo de cura, é
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
29
frequente requererem tempos longos e temperaturas elevadas (mais de 200 ºC). São
também caras e susceptíveis a ataques por alcalis.
1.4.4.6. Poliimidas termoendurecíveis
As poliimidas termoendurecíveis são utilizadas em compósitos aos quais é exigida 
elevada estabilidade dimensionala temperaturas elevadas. São preparadas fazendo
reagir uma diamina com um dianidrido, tornando-se insolúveis e infusíveis após
polimerização. As principais vantagens das resinas poliimidas são a sua elevada
resistência térmica (260 ºC em funcionamento contínuo, podendo chegar a 460 ºC
para curtos períodos, mesmo na presença de solventes), a elevada resistência mecânica,
a boa resistência ao impacto, a resistência à oxidação, a boa capacidade de adesão e
o baixo coeficiente de atrito. Como desvantagens, citam-se o elevado custo, a tendên-
cia para uma elevada absorção de água e a sua difícil transformação.
Como consequência do elevado grau de reticulação que é possível atingir, estes 
materiais são frequentemente frágeis, o que origina alguma tendência para uma
excessiva microfissuração. A melhoria da tenacidade passa por adicionar poliimidas
termoplásticas 1.37 , o que aumenta o tempo de reacção e melhora a processabili-
dade, aspectos favoráveis para o fabrico de peças de geometria mais complexa.
A tabela 1.7 apresenta algumas propriedades das matrizes termoendurecíveis acima
referidas.
Tabela 1.7. Propriedades de resinas termoendurecíveis [1.41].
MATERIAIS COMPÓSITOS
30
1.5. Semi-Produtos
Os semi-produtos são pré-combinações de fibras e matriz que são posteriormente
processados para a obtenção da peça compósito final, através das técnicas descritas
no capítulo 2. Há basicamente dois tipos de semi-produtos os compostos de
moldação e os chamados pré-impregnados.
1.5.1. COMPOSTOS DE MOLDAÇÃO
Os compostos de moldação são produzidos a partir de fibras curtas ou longas impregna-
das com resina. Geralmente são utilizados para a moldação por injecção ou moldação
por compressão (ver capítulo 2). Existem vários tipos disponíveis, com resinas de base
termoendurecível ou termoplástica, sendo os mais comuns designados por s eet o din
co o nd (SMC), t ick o din co o nd (TMC), do o din co o nd (DMC) ou
b k o din co o nd (BMC) e ass at t er o astic (GMT), respectivamente.
1.5.1.1. SMC (sheet molding compound)
A designação SMC refere-se a um composto constituído por fibras e resina (poliester
ou vinilester) envolvidas por folhas de polietileno, estando disponíveis com espessuras
até 6 mm. Utilizam-se para produção de componentes em que se exige uma elevada
cadência de produção e uma resistência mecânica moderada. Os SMC apresentam
tipicamente 30 de fibras em peso. Há também SMC especiais, com elevada
resistência mecânica e elevada resistência ao impacto, pelo que são designados por
i act ou, simplesmente, HMC. Considerando a forma da fibra utilizada,
existem três tipos de SMC disponíveis no mercado SMC-R, com fibras curtas 
dispersas aleatoriamente, SMC-CR, composto formado por fibras contínuas unidi-
reccionais e fibras curtas dispostas aleatoriamente, MC, que consiste numa mistura
de fibras curtas dispostas aleatoriamente e fibras contínuas dispostas numa configu-
ração 1.26 .
1.5.1.2. TMC (thick molding compound)
Distinguem-se dos compostos SMC porque apresentam espessuras que podem ir até
50 mm. Com este tipo de composto de moldação evita-se a necessidade de utilizar
várias camadas de SMC para produzir peças moldadas mais espessas. Devido à sua
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
31
espessura, é reduzida a possibilidade de empilhamento. Nos compostos TMC, as
fibras cortadas estão aleatoriamente distribuídas de uma forma tridimensional.
1.5.1.3. DMC (dough molding compound)
Os compostos DMC, também designados por BMC ( k o din o o nd),
referem-se a uma mistura pastosa de uma resina de poliester ou vinilester com fibras
curtas. A percentagem de fibras é de 15 a 20 , tendo comprimentos entre 6 e 12
mm. Devido à menor quantidade de fibras e aos menores comprimentos destas, a
resistência mecânica é inferior à dos compostos SMC.
1.5.1.4. Compostos termoplásticos
O interesse na utilização de compósitos termoplásticos tem-se acentuado nos últimos
anos. Estes materiais oferecem algumas vantagens relativamente aos compósitos de
matriz termoendurecível, nomeadamente porque podem ser reprocessados.
Genericamente estes compósitos podem apresentar-se nas seguintes formas 
pré-preparadas GMT (G ass at er o astics) e ATC ( dvanced er o astic
o osites). Em princípio, as formulações GMT podem utilizar qualquer tipo de
matriz termoplástica, embora 95 das aplicações comerciais sejam à base de
polipropileno. O reforço é constituído por fibras curtas de vidro E. A temperatura de
utilização destes não excede os 110ºC. O seu domínio de utilização é fundamental-
mente a indústria automóvel.
Originalmente, os ATC utilizavam termoplásticos amorfos para a matriz, tais como
as polietersulfonas e as polietermidas. Hoje em dia outros termoplásticos podem ser
usados, como por exemplo PEEK e PPS. O reforço, sob a forma de fibras contínuas,
pode ser vidro E (para temperaturas de utilização mais baixas), carbono ou aramida.
O seu domínio preferencial de utilização é a indústria aeronáutica.
1.5.2. PRÉ-IMPREGNADOS
Os pré-impregnados constituem misturas de fibra e resina para posterior consoli-
dação, geralmente através da moldação em autoclave (ver capítulo 2). São semi-
-produtos de custo elevado para aplicações de grande exigência, como é o caso da
indústria aeronáutica. Existem pré-impregnados de base termoendurecível e 
MATERIAIS COMPÓSITOS
32
pré-impregnados de base termoplástica, embora os primeiros sejam de aplicação mais
generalizada. Os reforços podem ser à base de vidro, carbono ou aramida na forma
de fibras contínuas unidireccionais ou tecidos. Nos pré-impregnados termoen-
durecíveis, o sistema de resina mais comum é o epóxido. resina são adicionados
inibidores que impedem a cura antes do processamento, desde que armazenados a
temperaturas baixas. Como características mais importantes salientam-se maneabi-
lidade, auto-adesão de camadas no empilhamento, facilidade de posicionamento, 
boa conformabilidade a curvaturas do molde, mas validade limitada. Ao invés, os 
pré-impregnados termoplásticos têm um tempo de validade ilimitado à temperatura
ambiente. São processados à temperatura de fusão da resina, cuja elevada viscosidade
dificulta a impregnação e consolidação. São também rígidos e mais difíceis de manter
em posição no empilhamento. Como não possuem capacidade de auto-adesão de
camadas, o processamento posterior exige pré-aquecimento. Os maiores benefícios
do uso de pré-impregnados termoplásticos são a sua capacidade de reciclagem, o
reduzido tempo de processamento, elevada tenacidade e resistência ao impacto.
1.6. Cargas e outros aditivos
Para além do reforço e da matriz os compósitos são constituídos por cargas e outros
aditivos que se juntam com o propósito de produzir vários efeitos como
diminuição do custo
facilidade de manuseamento
melhoria das características de moldação
melhoria das propriedades pós-cura
introdução de motivos decorativos.
As cargas mais comuns são obtidas a partir de depósitos naturais, por exemplo mica,
feldspato, sílica, quartzo, argila ou cálcio e têm como principal função diminuir o
preço do compósito. As suas principais características devem ser a boa dispersabili-
dade, estabilidade de suspensão, baixa densidade, cor clara, baixa percentagem de
humidade, baixa absorção de óleo, resistência ao calor e resistência química.
Com o objectivo de melhorar determinadas propriedades específicas são empregues
aditivos que, embora em peso tenham uma reduzida percentagem relativamente às
cargas e aos reforços, desempenham funções muito importantes, como por exemplo
diminuição da contracção da matriz durante o processo de cura
melhoria da resistência ao fogo
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
33
diminuição da emissão de voláteis
supressão da emissão de estireno, contribuindo para a melhoria da qualidade do ar
no ambiente de trabalho
condutibilidade eléctrica
melhoria da tenacidade
estabilizadores de ultravioletascoloração
efeitos anti-estáticos.
1.7. Conclusão
Neste capítulo foram descritos os constituintes principais dos compósitos de matriz
polimérica, os seja, os vários tipos de fibras e de matrizes mais utilizados.
Inicialmente, apresentaram-se vários exemplos de aplicações demonstrativos das 
vantagens dos compósitos em relação aos materiais tradicionais, nomeadamente ao
nível das propriedades mecânicas. A caracterização do comportamento mecânico dos
compósitos, que está na base do projecto, é tratada em detalhe neste livro a partir do
capítulo 3. No entanto, o sucesso dos compósitos deve-se também aos progressos
conseguidos nas técnicas de fabrico, que permitem a obtenção de peças de geometria
complexa, grandes dimensões, excelentes propriedades mecânicas, com custos de
produção cada vez mais competitivos. Por conseguinte, o capítulo que se segue aborda
precisamente as técnicas de processamento específicas dos compósitos.
Questões
1.1. O que se entende por material compósito
Em sentido lato, a combinação de dois ou mais materiais constitui um compósito. No entanto, os com-
pósitos reforçados com fibras distinguem-se neste contexto genérico na medida em que os constituintes,
além de serem diferentes ao nível molecular, são mecanicamente separáveis.
1.2. ue funções desempenham as fibras e a matriz
As funções principais das fibras são conferir rigidez, resistência mecânica, estabilidade térmica e outras
propriedades estruturais ao compósito permitir a condutibilidade eléctrica ou isolamento, dependendo do
tipo de fibra utilizada.
As funções da matriz são dar forma estável ao compósito assegurar a distribuição eficiente de carga pelas
MATERIAIS COMPÓSITOS
34
fibras protecção contra o ataque de agentes ambientais e evitar a danificação mecânica, nomeadamente
por atrito permitir uma superfície com bom acabamento.
1.3. O que são compostos de moldação Indique os principais tipos.
Os compostos de moldação são misturas de resina e fibras normalmente usados para a moldação por
injecção ou moldação por compressão. Existem vários tipos disponíveis, com resinas de base termo-
endurecível ou termoplástica, sendo os mais comuns designados por SMC, DMC ou BMC e GMT,
respectivamente.
1.4. Defina temperatura de transição vítrea.
Define-se temperatura de transição vítrea como a temperatura à qual o polímero passa de um estado vítreo
a um estado de amolecimento com o aquecimento. A esta temperatura associam-se variações sensíveis das
suas propriedades, como é o caso da redução significativa do módulo.
1.5. ue características devem ter as cargas
As principais características das cargas devem ser boa dispersabilidade, estabilidade de suspensão, baixa 
densidade, baixa percentagem de humidade, baixa absorção de óleo, resistência ao calor e resistência química.
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MATERIAIS COMPÓSITOS
36
Capítulo 2
Processamento de
Materiais Compósitos
A designação processamento refere-se aqui ao conjunto de técnicas que conduzem à
obtenção ou modificação de peças em materiais compósitos de matriz polimérica. Para
além das excelentes propriedades mecânicas, a utilização de componentes compósitos
permite uma grande flexibilidade na concepção, facto que constitui uma vantagem
importante sobre os materiais tradicionais. Além disso, as técnicas de fabrico propiciam
reduções substanciais do número de peças a integrar um determinado conjunto,
diminuindo os custos de mão-de-obra associados à montagem. O desenvolvimento
tecnológico dos últimos anos tem permitido acentuar o grau de automatização e tornar
os diferentes processos de fabrico economicamente mais competitivos. Este factor, 
aliado ao melhor conhecimento do comportamento em serviço, tem garantido a 
contínua expansão dos materiais compósitos, impondo-os definitivamente em áreas
tão díspares como a aeronáutica, a indústria automóvel, indústrias de componentes
eléctricos e electrónicos, construção civil, transportes, desporto e recreio.
Os diferentes processos podem ser, genericamente, classificados em dois tipos proces-
sos em molde aberto ou processos em molde fechado. Nos primeiros, apenas uma das
superfícies tem bom acabamento, limitação que é compensada pela possibilidade de
realização de componentes de grandes dimensões e de geometria complexa, pois a
pressão exercida é reduzida ou inexistente. Os componentes obtidos por processos
com moldes fechados apresentam excelente acabamento nas duas superfícies e óptima
reprodutibilidade. Outra vantagem inerente aos moldes fechados é a menor emissão
de produtos voláteis, nocivos à saúde, nomeadamente o monómero de estireno, 
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTODE MATERIAIS COMPÓSITOS
37
presente na maior parte dos processos que envolvem as resinas de poliester. Recentes
directivas internacionais impõem limites apertados a estas emissões, facto que tem
estimulado o desenvolvimento de novos materiais e métodos de fabrico onde o con-
trolo dessa emissão é maior.
Outro factor de diferenciação dos processos é a natureza da matriz, que, como se viu
no capítulo anterior, pode ser termoendurecível ou termoplástica. No primeiro caso,
os ciclos de aquecimento e arrefecimento são utilizados para iniciar e controlar o
processo de cura, de modo a garantir o preenchimento do molde e a consolidação da
peça. A elevada fluidez inicial da resina permite a utilização de pressões baixas. 
Ao invés, com matrizes termoplásticas, o aquecimento inicial provoca o necessário
amolecimento e fusão sendo combinado com a aplicação de pressões elevadas. Segue-se
naturalmente o arrefecimento do molde para minimizar os ciclos de fabrico, dentro de
algumas restrições ligadas ao grau de cristalinidade.
Como veremos em seguida, existem vários processos de fabrico disponíveis, cada qual
com as suas especificidades que, obviamente, condicionam os tipos de peças que
podem ser produzidas. Factores como os requisitos de propriedades mecânicas,
dimensões, complexidade das formas, volume e taxa de produção são decisivos na
selecção do processo.
2.1. Moldação por Contacto
A moldação por contacto sobre a superfície de um molde é o método mais económico
e mais comum, sobretudo para compósitos de fibra de vidro. O processo pode ou não
ser automatizado, levando a que se faça a distinção entre dois métodos a moldação
manual e a moldação por projecção.
2.1.1. MOLDAÇÃO MANUAL
Neste método, o empilhamento e a impregnação de sucessivas camadas de reforço
(manta, tecido) é feito manualmente em molde aberto. Previamente, sobre a face do
molde utilizada, é aplicada uma resina de poliester, designada por e coat cuja
função é a de garantir um bom acabamento superficial. Em seguida o e coat é
endurecido num forno a uma temperatura de, aproximadamente, 50ºC. Para facilitar
a desmoldagem, é aplicado sobre o molde um agente desmoldante. Cada camada de
MATERIAIS COMPÓSITOS
38
reforço colocada é impregnada com resina catalisada de viscosidade entre 1000 e
1500 centipoises (cps) e compactada com ajuda de rolos. Tipicamente a percentagem
de fibras no produto final realizado por este processo é de 25 . A moldação manual,
ilustrada na figura 2.1, adequa-se ao fabrico de pequenas séries (abaixo de 1000 peças
por ano) e com uma cadência diária de uma a quatro peças por molde (50 a 200
kg homem dia). Geralmente a mão-de-obra, embora pouco qualificada, tem um peso
importante nos custos. Devido à libertação de voláteis, sobretudo estireno, exige-se
que seja realizada em locais de boa ventilação. As principais vantagens do método
são simplicidade, reduzido investimento inicial, poucas restrições à geometria das
peças a realizar (espessuras mínimas de 1 mm e raios de curvatura mínimos de 5
mm). As maiores desvantagens estão associadas à necessidade de uma quantidade de
mão-de-obra importante, à forte dependência da habilidade e cuidado do operário,
baixa produtividade, bom acabamento superficial numa só face, teor de fibra 
heterogéneo, necessidade de rebarbagem e acabamento da peça e importante emis-
são de estireno. Aplicações habituais desta técnica podem ser encontradas no fabrico
de pequenos barcos de recreio, figura 2.2a), reparações, reforço de pontes, figura
2.2b), etc.
Figura 2.1. Representação esquemática da moldação manual, adaptação de [2.1].
a) b)
Figura 2.2. Exemplos de moldação manual: a) aplicação de uma camada de reforço no corpo de um barco [2.2]; 
b) aplicação de um reforço em carbono no pilar de uma ponte [2.3].
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
39
2.1.2. MOLDAÇÃO POR PROJECÇÃO
O processo consiste na aplicação simultânea de resina e fibra, sobre um molde, através
de uma pistola de projecção conforme representado na figura 2.3. A resina utilizada tem
uma viscosidade entre 500 e 1000 cps e a fibra, sob a forma de roving, é conduzida até
à cabeça da pistola de projecção onde é cortada no comprimento desejado e lançada
sobre o jacto de resina. A moldação por projecção, de que se ilustram exemplos na figu-
ra 2.4, é basicamente similar à moldação manual. Adequa-se ao fabrico de pequenas
séries (até 1000 peças) com cadências diárias até 600 kg homem dia. Embora possa ter
algum grau de automatização, na maioria dos casos, a projecção é feita por um operário.
Normalmente as características mecânicas das peças obtidas são piores do que as que
se conseguem na moldação manual, sobretudo porque, tipicamente, se atingem apenas
15 de fibras incorporadas. O processo deve ser realizado em locais arejados devido à
libertação de voláteis anteriormente referida.
Figura 2.3. Representação esquemática da moldação por projecção.
a) b)
Figura 2.4. Aplicações da técnica de moldação por projecção [2.4], [2.5].
MATERIAIS COMPÓSITOS
40
2.2. Moldação por Vácuo
A moldação por vácuo é semelhante à prensagem a frio, com a vantagem de exigir um
investimento menor em moldes e equipamentos. O processo consiste na aplicação de
vácuo no interior do molde. A utilização de moldes estanques permite reduzir as
emissões de produtos voláteis, nocivos à saúde. A resina é injectada a baixa pressão
no interior do molde ou, alternativamente, a resina e o reforço são introduzidos pre-
viamente no interior do molde. uando o molde é fechado, aplica-se vácuo no seu
interior. Este processo, representado esquematicamente na figura 2.5, permite a
obtenção de duas superfícies lisas, com quantidades reduzidas de bolhas de ar e per-
centagens até 70 de fibras. A figura 2.6 ilustra a sequência operatória deste processo,
que é adequado para produzir componentes de médias e grandes dimensões e séries
que vão de 500 até 5000 peças por ano. A figura 2.7 ilustra o exemplo de um com-
ponente de grandes dimensões produzido por este processo, enquanto a figura 2.8
mostra um barco salva vidas com casco produzido em polipropileno reforçado com
fibras de vidro. O fabricante (Halmatic) produz cerca de 500 unidades ano.
Figura 2.5. Representação esquemática da moldação por vácuo.
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
41
a) b)
c) d)
Figura 2.6. Etapas da moldação por vácuo [2.6]: a) colocação da resina líquida; 
b) colocação do roving cortado; c) aplicação de vácuo; d) remoção da peça.
Figura 2.7. Exemplo de um componente produzido por moldação em vácuo [2.7].
MATERIAIS COMPÓSITOS
42
Figura 2.8. Barco salva-vidas produzido por moldação em vácuo [2.8].
2.3. Moldação por Compressão
A moldação por compressão (figura 2.9) pode ser feita a frio ou a quente, dependendo
da necessidade de pré-aquecimento dos moldes utilizados. A moldação por compressão
permite obter peças aplicadas nas carrocerias de automóvel, ou outros componentes
estruturais para a indústria automóvel, equipamentos eléctricos e electrónicos, materi-
ais sanitários (banheiras, por exemplo) e mobiliário urbano.
Figura 2.9. Representação esquemática da
moldação por compressão
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
43
2.3.1. MOLDAÇÃO POR COMPRESSÃO A FRIO
Este processo consiste na compressão de reforços em fibra de vidro sobre os quais se
deposita posteriormente a resina líquida. As resinas empregues são habitualmente
poliesteres insaturados às quais se associa um sistema catalítico bastante activo, forte-
mente exotérmico, que assegura o aquecimento progressivo do molde e permite ciclos
de moldação industriais adequados. As pressões exercidas são baixas - inferiores a 4
bar - e as temperaturas de 30 a 45ºC, o que permite utilizar prensas leves e moldes
mais baratos, realizados em compósitos termoendurecíveis de matriz epóxida ou de
poliester.Para manter as mesmas condições de moldação em produção são utilizados
sistemas de extracção de calor. A compressão a frio é adequada à produção de séries
médias de peças (4 a 12 peças por hora), com superfícies simples entre 0.01 e 6 m2 e
com acabamentos superficiais pouco cuidados. Devido à contracção, a precisão
dimensional é fraca. Além disso, não é aconselhável a presença de ângulos vivos,
nervuras ou outras partes verticais relativamente à superfície do molde.
2.3.2. MOLDAÇÃO POR COMPRESSÃO A QUENTE
A compressão a quente é um processo similar ao descrito anteriormente. Neste caso,
porém, os moldes são pré-aquecidos a temperaturas entre 80º e 170ºC e as pressões
desenvolvidas na compressão podem variar entre 0.5 a 15 MPa, o que requer a 
utilização de moldes metálicos. O ciclo de produção depende da temperatura, com-
plexidade e peso da peça moldada, podendo ser muito rápido, da ordem dos 30
segundos, ou de 2 a 4 minutos, como é mais comum. As cadências de produção,
maiores do que na compressão a frio, elevam-se para valores entre 15 e 30 peças por
hora. As peças obtidas incorporam maiores quantidades de reforço, o que melhora as
propriedades mecânicas conseguidas.
A compressão a quente é também utilizada com compostos de moldação do tipo SMC,
BMC e GMT (ver capítulo 1). O composto de moldação é colocado no interior de um
molde metálico pré-aquecido até 140ºC. Por compressão, o composto flui dentro do
molde e preenche a cavidade de moldação expulsando o ar acumulado. A peça fica
pronta após um curto processo de cura - 1 a 4 minutos, dependendo da espessura - sob
efeito da pressão e da temperatura. Este método está largamente difundido na indústria
automóvel na produção de painéis, pisos, coberturas de radiadores, suportes para
depósitos, como se exemplifica nas figuras 2.10 e 2.11. De salientar a utilização cres-
cente de GMT (glass mat thermoplastic), face à reciclabilidade e aos menores ciclos de
produção (3 1 para moldação de SMC e 2 1 sobre a moldação por injecção).
MATERIAIS COMPÓSITOS
44
Figura 2.10. Componente de carroceria de veículo Isuzu produzida por compressão de um composto SMC
(produção de 10000 unidades/ano) [2.9].
Figura 2.11. Fabrico do painel frontal GM/Renault-X83 produzido por compressão de um 
composto termoplástico GMT (86000 unidades/ano) [2.10].
2.4. Moldação por Injecção
A moldação por injecção é um processo muito utilizado para a produção de grandes
séries de peças. Pode ser aplicado a compostos de moldação de matriz termoendurecível
ou termoplástica. No que diz respeito à produção de componentes termoendurecíveis
reforçados, podemos distinguir a moldação por injecção 2.11 de granulados reforçados
prontos a moldar e de compostos de moldação. Os primeiros apresentam a vantagem
de serem facilmente processados em equipamentos convencionais. São essencialmente
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
45
constituídos por matrizes fenólicas ou de poliester reforçadas com fibras de dimensões
muito curtas. Os segundos são preparados a partir de uma resina líquida, sobretudo
de poliester insaturado. A principal vantagem é o facto do comprimento de fibras
(entre 6 e 12 mm) permitir obter compósitos de características mecânicas elevadas.
Em ambos os casos, a matéria prima é alimentada através de um êmbolo ou de um
parafuso helicoidal para dentro da cavidade de moldação. As duas partes do molde
são mantidas sob pressão até que a resina cure. A figura 2.12 a) ilustra esquematica-
mente uma máquina de injecção convencional, onde se destacam os seguintes com-
ponentes principais o molde e a unidade de fecho (1 e 4, respectivamente), a unidade
de injecção (2) e a unidade de potência (3). A unidade de fecho, que acomoda o
molde, assegura os movimentos da parte móvel do molde e as forças de fecho, aperto
e abertura do molde. A unidade de injecção recebe o material da tremonha (5) e
transporta-o até ao bico de injecção por acção de um parafuso alternativo, represen-
tado na figura 2.12 b). A unidade de potência suporta as unidades de injecção e de
fecho e incorpora um sistema de accionamento que fornece a pressão necessária aos
diversos movimentos da máquina.
a)
b)
Figura 2.12. Representação esquemática de uma máquina de injecção: a) componentes principais; 
b) detalhe da unidade de injecção.
As máquinas de injecção modernas, controladas por microprocessadores e dotadas e
vários sensores, permitem a obtenção de peças de alta qualidade, face à capacidade
de monitorização e correcção em tempo real, se necessário, de alguns parâmetros
essenciais, por exemplo, a dosagem conveniente da matéria prima, temperatura de
injecção, temperatura do molde, velocidade de injecção, pressão de injecção, veloci-
dade de rotação do parafuso, etc. 
Um ciclo de injecção comporta várias fases, conforme representa a figura 2.13. O
MATERIAIS COMPÓSITOS
46
ciclo inicia-se com o fecho do molde. A matéria plastificada é transportada pelo fuso
até à câmara de injecção e, após aquecimento e homogeneização suficientes, procede-se
à injecção no interior do molde através de um movimento rápido de translação do
fuso. Segue-se a fase de pressurização, em que se procura compensar eventuais con-
tracções da peça. A fase de plasticização corresponde à preparação do material para
um novo ciclo, enquanto se espera que a peça no interior do molde arrefeça.
Finalmente, a peça está a uma temperatura à qual pode ser extraída sem distorção.
Depois da extracção da peça e após um período de pausa, por vezes necessário para
a execução de algumas operações manuais, começa um novo ciclo.
Figura 2.13. Representação esquemática de um ciclo de injecção
Os moldes são normalmente em aços tratados de forma a suportarem as elevadas
pressões de injecção, sobretudo no caso da injecção de compostos termoplásticos,
cujas matrizes podem ser poliamidas, polipropilenos, policarbonatos, etc. As cadên-
cias de produção são muito elevadas podendo atingir 20 a 100 peças hora. Os
parâmetros que controlam essa cadência são a temperatura de aquecimento da
matéria prima (200 a 350ºC), a temperatura do molde (20 a 120ºC) e a pressão de
injecção, que pode ir de 300 a 1500 bar. Além disso, os moldes são normalmente
dotados de canais de arrefecimento com circulação de água.
Uma das maiores vantagens da moldação por injecção de termoplásticos consiste na
produção de peças de geometria bastante complexa numa única operação. Reduz-se
assim consideravelmente o número de pequenas peças que seriam necessárias para a
produção de um determinado componente. Podemos ainda citar a leveza conseguida
nas peças, a estabilidade dimensional e algumas propriedades como a rigidez, a resistên-
cia à tracção e à flexão. Os inconvenientes principais são a possibilidade de ocorrência
de anisotropia material, resultante de forma como a matéria prima flui no interior do
molde, bem como os elevados investimentos nas máquinas de injecção e nos moldes.
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
47
2.5. Moldação por Injecção a Baixa Pressão e 
por Transferência
Os processos de moldação por injecção a baixa pressão e por transferência têm
adquirido relevância crescente na produção de componentes compósitos de matriz
termoendurecível. De facto, a utilização de formulações de baixa viscosidade permite
que a injecção seja feita a pressões entre 1 e 5 bar. Por um lado, isto possibilita a uti-
lização de equipamentos mais simples e muito menos dispendiosos do que as
máquinas de injecção de fuso (figura 2.12). Além disso, torna-se exequível o reforço
por fibras contínuas, previamente posicionadas no molde, com grandes vantagens ao
nível das propriedades mecânicas, bem como a realização de peças de grandes dimen-
sões. Todavia, a complexidade de formas que se podem obter, sendo superior à
moldação por compressão, não está ao nível da moldação por injecção. As cadências
de produção atingidas sãotambém inferiores às da moldação por injecção, facto que
se procura compensar recorrendo a resinas altamente reactivas. Relativamente aos
processos de moldação manual ou projecção, são nítidas as vantagens ao nível da
qualidade (desde logo, duas superfícies lisas) e da reprodutibilidade (pouca influên-
cia da mão-de-obra). Os parágrafos seguintes descrevem algumas variantes dos
processos de moldação por injecção a baixa pressão e por transferência.
2.5.1. RTM (REACTION TRANSFER MOULDING)
O processo é esquematicamente representado na figura 2.14. O reforço é colocado na
parte inferior do molde. Fechado o molde, injecta-se resina sob pressão dentro da
cavidade de moldação. A resina impregna o reforço e cura, formando o compósito. A
figura 2.15 ilustra um molde utilizado para a moldação por transferência de resina.
Figura 2.14. Representação esquemática da moldação por transferência de resina.
MATERIAIS COMPÓSITOS
48
Estando tradicionalmente associada a uma técnica com cadências limitadas de 
produção e baixas taxas de reforço conseguidas, o processo RTM desenvolveu-se 
significativamente nos últimos anos. Nesta evolução é importante referir o papel da
produção automatizada de pré-formas (ver capítulo 1) recorrendo a métodos de corte
mais rápidos baseados na tecnologia CNC Computer Numerically Controlled . O
desenvolvimento conseguido neste sector e a combinação com o uso de resinas com
sistema de cura por ultravioletas permitiu atingir as elevadas taxas de produção actuais,
tornando-as compatíveis com uma indústria de referência, como a indústria
automóvel. Em componentes de grandes dimensões e geometria complexa, é comum
encontrarmos ciclos de uma a duas horas, mas para componentes de pequena dimensão,
conseguem-se tempos de ciclo inferiores a três minutos e percentagens de fibras de
50 . A evolução previsível poderá levar a tempos de ciclo inferiores a um minuto e
percentagens de reforço próximas de 60 em volume. O interesse do RTM é igual-
mente visível na indústria aeronáutica, porque permite em alguns casos competir
directamente com a moldação em autoclave, permitindo uma redução considerável
de custos.
Uma variante do processo RTM recorre à utilização de vácuo após a injecção da
resina. Este processo, designado por ARTM ( ac ssisted esin ransfer
o din ), permite que a resina impregne mais facilmente o reforço, aumentando os
teores de fibra até 70 , e minimizando a formação de porosidades. Em 1980, foi
patenteada uma versão do processo ARTM com o nome de SCRIMP ( ee ann
o osite esin nf sion o din rocess). O processo tem sido utilizado em aplicações
de áreas diversas, incluindo a indústria automóvel, a produção de pás de turbinas e
barcos, por exemplo. A característica principal está associada à produção de formas
estruturais de grande dimensão e virtualmente isentas de vazios.
Figura 2.15. Exemplo de um molde para moldação RTM [2.12].
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
49
2.5.2. SRIM (STRUCTURAL REACTION INJECTION MOULDING) 
Este processo utiliza um sistema de resina de baixa viscosidade, com dois compo-
nentes (isocianato e poliol), os quais são combinados e misturados juntos, conforme
ilustra a figura 2.16. Em seguida são injectados na cavidade do molde que contém o
reforço. Este reforço é, geralmente, de fibras contínuas. Na cavidade do molde, a
resina cura rapidamente. Trata-se de um sistema que permite uma redução do tempo
de ciclo, relativamente ao processo RTM. As peças produzidas por este processo são
particularmente aplicadas na indústria automóvel e destacam-se por apresentarem
geralmente grandes dimensões, leveza e boa resistência ao choque.
Figura 2.16. Representação esquemática da moldação por SRIM.
2.5.3. RRIM (REINFORCED REACTION INJECTION MOULDING)
As peças produzidas por este processo apresentam características semelhantes às
descritas para o processo anterior. Conforme representado na figura 2.17, o reforço
é adicionado aos componentes da resina antes de reagirem. A combinação de resina
reforçada é injectada na cavidade do molde, onde a resina reage rapidamente e cura
formando o compósito.
MATERIAIS COMPÓSITOS
50
Figura 2.17. Representação esquemática da moldação por RRIM.
2.6. Moldação em Autoclave
O processo de moldação em autoclave (figura 2.18) consiste em consolidar um com-
ponente pré-formado através da aplicação simultânea de temperatura, pressão e
vácuo. Os ciclos destas variáveis dependem naturalmente do material a moldar, mas
implicam quase sempre uma subida gradual, estágio a valores constantes e
diminuição também gradual, estando frequentemente desfasados. Numa primeira
fase, procura-se baixar a viscosidade da resina para eliminação de voláteis e promover
o fluxo de resina, de modo a garantir teores de fibra elevados e homogéneos. Caso
não sejam usados pré-impregnados, a boa impregnação do reforço será também um
objectivo fundamental. A aplicação de vácuo no molde é sempre decisiva. A etapa
Figura 2.18. Panorâmica geral de um autoclave [2.13].
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
51
seguinte é a cura e consolidação do componente, na qual a pressão desempenha o
papel mais relevante.
Este processo de moldação é frequentemente utilizado na produção de laminados. Para
tal, começa-se por cortar e empilhar o pré-impregnado sobre o molde, na sequência
pretendida e até se atingir a espessura desejada. O conjunto é inserido num saco de
vácuo e sujeito a um ciclo de pressão e temperatura devidamente definido. A figura 2.19
ilustra de modo esquemático a montagem necessária para produzir o laminado.
erifica-se que o laminado está inserido entre duas películas de Teflon poroso, que
permite o escoamento do excesso de resina ao mesmo tempo que facilitam a desmol-
dagem. O excesso de resina é retido no tecido absorvente, colocado imediatamente
antes das placas de moldação. Finalmente, o tecido homogeneizador para promover
a uniformização do vácuo a toda a placa. Todo este conjunto está coberto por uma
película de Nylon , designada por saco de vácuo, cuja vedação é garantida por tiras
de silicone. Todo o conjunto é colocado no interior do autoclave, conforme se repre-
senta na figura 2.18.
Figura 2.19. Representação esquemática da obtenção de um laminado.
A moldação em autoclave permite a produção de peças de grandes dimensões e
geometria complexa (figura 2.20) com elevada qualidade e excelentes propriedades
mecânicas, devido à elevada fracção volúmica de reforço (mais de 60 ).
MATERIAIS COMPÓSITOS
52
a) b)
Figura 2.20. Exemplos de moldes para produção de componentes em autoclave [2.14].
 particularmente adequada para o fabrico de pequenas séries de componentes
sujeitos aos mais exigentes requisitos de desempenho mecânico e qualidade, como se
verifica na indústria aeronáutica e no desporto automóvel. A figura 2.21 a), por exemplo,
ilustra a obtenção de um componente de um chassis Renault utilizado em fórmula 1
(figura 2.21 b).
a) b)
Figura 2.21. a) Moldação em autoclave de componente de um chassis Renault; b) chassis Renault R24 [2.15]. 
As suas principais desvantagens são o forte investimento inicial e a morosidade na
moldação que torna o processo inadequado para a produção em série.
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
53
2.7. Enrolamento Filamentar
O enrolamento filamentar, ilustrado na figura 2.22, é um processo que consiste em
depositar sobre um mandril em rotação fibra em forma de roving previamente
impregnada com resina. As resinas com utilização mais habitual são as resinas ter-
moendurecíveis de poliester, fenólicas, epóxidos, poliimidas ou de silicone, embora
também possam utilizar-se resinas termoplásticas, conforme se descreverá adiante.
Através de sistemas de guiamento,o reforço é desenrolado sob condições contro-
ladas, impregnado em resina e enrolado em várias camadas sobre o mandril em
rotação. Durante a fase de enrolamento, as fibras são orientadas em função das soli-
citações a que a peça estará sujeita em serviço, bastando para tal controlar os 
movimentos de translação do carro e de rotação do mandril, figura 2.23. O uso de
uma tensão controlada na fase de enrolamento permite dar união às fibras e boas 
características mecânicas às peças obtidas. Após o enrolamento procede-se à polime-
rização em forno ou através de luzes infravermelhas.
Figura 2.22. Visão global do processo de enrolamento filamentar [2.16].
Figura 2.23. Enrolamento de fibras sobre o mandril. É visível o carro e a orientação concedida 
às fibras para obtenção das melhores propriedades mecânicas [2.17]. 
MATERIAIS COMPÓSITOS
54
O enrolamento filamentar também pode ser realizado com resinas termoplásticas.
Recorre-se a uma fita termoplástica pré-impregnada que é enrolada enquanto se aplica
calor e pressão no ponto de contacto com o mandril para promover a fusão e conso-
lidação do termoplástico. Habitualmente, utilizam-se combinações reforço-matriz à
base de carbono PEEK, carbono nylon ou carbono PPS. Relativamente ao enrola-
mento filamentar tradicional, o processo com resinas termoplásticas é mais compli-
cado, embora possua a vantagem de ser um processo mais limpo devido à ausência
de emissões de estireno, prejudiciais à saúde.
Através do enrolamento filamentar podem ser produzidas peças como reservatórios
de pressão, peças esféricas ou cilíndrico-esféricas, tubos cilíndricos, quadrangulares
ou hexagonais, com taxas de reforço de 60 a 75 de fibras em peso. A figura 2.24
representa alguns produtos simples obtidos por este processo.
Figura 2.24. Tubos obtidos por enrolamento filamentar [2.18].
As principais vantagens do método são a sua simplicidade, automatização, volume
de fibras elevado e portanto peças com boas características mecânicas, possibilidade
de orientação do reforço segundo as solicitações previstas, possibilidade de produção
de peças de grandes dimensões. As desvantagens mais importantes são limitações 
na forma das peças, sobretudo no que toca a concavidades, necessidade de maqui-
nagem ou acabamentos posteriores, requer a presença permanente de um 
operador qualificado para fazer a mudança de bobines ou verificar deslizamentos de
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
55
fibras, dificuldade na obtenção de ângulos baixos (0 a 15º) na orientação das fibras
relativamente ao eixo de rotação do mandril.
2.8. Pultrusão
A pultrusão (figura 2.25) é um processo contínuo através do qual se produzem perfis
de secção constante, ocos ou maciços, de diferentes formas. Os reforços são dispostos de
modo a proporcionarem um reforço longitudinal, sendo fibras de vidro, carbono ou
aramida, tipicamente na forma de roving, manta ou tecido. O reforço é traccionado
através de um recipiente com resina no estado líquido - normalmente resina de poli-
ester - onde se dá a impregnação, e, em seguida, é conduzido através de uma fieira
de aço pré-aquecida. Esta, também designada por molde, confere a forma do perfil e
polimeriza o reforço impregnado. O perfil pultrudido, figura 2.26, é puxado pelo
módulo de arrasto e, no final do processo, um sistema de corte deixa o perfil no com-
primento desejado. A velocidade típica da pultrusão é de 0.5 a 2 metros por minuto,
dependendo da resina, espessura e complexidade do perfil.
Figura 2.25. Representação esquemática da moldação por pultrusão.
Figura 2.26. Pultrusão de perfis [2.17].
MATERIAIS COMPÓSITOS
56
As principais vantagens da pultrusão são a produção contínua e totalmente automática,
e portanto com pouca incorporação de mão de obra no produto final, as excelentes
características mecânicas na direcção longitudinal dos perfis, em virtude das elevadas
percentagens de fibras (30 a 70 ) em peso, e a variedade de secções que se podem
obter. Como principais desvantagens citam-se limitação ao fabrico de componentes
com secção constante, não ser possível produzir peças com grande rigor dimensional,
o reforço está limitado à direcção longitudinal sendo necessário recorrer a tecidos
para melhorar as propriedades transversais. No caso de serem usadas resinas termo-
plásticas (que possuem maior viscosidade) são necessárias maiores forças de arrasto
e o processo torna-se mais complexo.
Para o fabrico de perfis curvos de secção constante, existe uma variante do processo
de pultrusão, conhecida como for in . A sequência operatória para a produção
do perfil é semelhante ao descrito anteriormente mas antes de terminada a cura, a
peça é curvada 2.19 .
2.9. Moldação por Centrifugação
Num molde metálico com forma cilíndrica, que é mantido em rotação, é introduzida
uma resina, de poliester ou epóxido, e o reforço sob a forma de roving, tecido, manta
ou materiais mais complexos. Por efeito da força centrífuga desenvolvida, a resina
impregna o reforço e forma, depois da polimerização, uma estrutura cilíndrica. A veloci-
dade de moldação depende de alguns factores como a quantidade e a natureza do
reforço, a espessura e diâmetro da peça a produzir e a viscosidade da resina empregue.
O processo, esquematicamente ilustrado na figura 2.27, é adequado para a produção de
peças ocas, como por exemplo, tubos para instalações químicas, petrolíferas, de
abastecimento de água ou depósitos para armazenamento de vinho, leite ou produtos
químicos. O exemplo de um tanque de armazenamento produzido por este processo é
ilustrado na figura 2.28.
 moldação por centrifugação estão associadas algumas vantagens como, por exemplo,
a obtenção de duas faces lisas através do uso do e coat, boa reprodutibilidade e con-
trolo do compósito durante o fabrico. A força centrífuga permite a aplicação e
manutenção in sit do reforço, a repartição uniforme da resina, a eliminação de bolhas
de ar e uma elevada percentagem de reforço.
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
57
Figura 2.27. Moldação por centrifugação.
Figura 2.28. Tanque produzido por centrifugação [2.20].
As principais desvantagens deste método são o investimento na instalação, a limitação
na forma das peças (cilíndricas ou cilíndrico-cónicas), a necessidade de mão-de-obra
qualificada e a exigência de grande precisão no balanceamento do molde.
2.10. Moldação em Contínuo
O processo de moldação em contínuo (figura 2.29), também designado por lami-
nagem contínua, consiste na impregnação contínua de rovings cortados ou de mats
de filamentos, cortados ou contínuos, com resina. A camada de resina é introduzida
entre duas películas de celulose que servem de molde. Este processo é utilizado para
produzir chapas em configurações lisas ou perfiladas cujas principais aplicações estão
na construção civil (revestimentos de fachadas e telhados) e no sector agrícola para 
MATERIAIS COMPÓSITOS
58
a construção de estufas.
A conformação faz-se de forma progressiva, ligada a um ciclo de polimerização em
estufa, após o qual a chapa é cortada nas dimensões desejadas. As principais vanta-
gens apontadas ao processo são produção contínua e completamente automática,
velocidades de produção elevadas (3 a 15 metros por minuto), necessidade de pouca
mão-de-obra. A aplicação do e coat ou a colocação do filme adesivo permite obter
um bom acabamento superficial e uma boa resistência ao envelhecimento. O elevado
investimento inicial e a necessidade de uma área de trabalho com grandes dimensões
(1500 a 2000 m2) constituem as principais desvantagens do processo.
Figura 2.29. Moldação em contínuo.
2.11. Maquinagem de Materiais Compósitos
A maquinagem em materiais compósitos advém da necessidade de ligar componentes
estruturais. A furação é um dos processos de maquinagem mais usado, nomeada-
mente para o estabelecimento de ligações ou reparaçõesestruturais. Num avião é
comum a existência de 250 mil a 2 milhões de furos numa só asa podem existir até
5 mil furos. O desempenho das juntas aparafusadas depende da qualidade dos furos
executados. O corte de materiais compósitos é outro processo que deve merecer
atenção pelos danos que pode causar. Independentemente do método usado, a
maquinagem de materiais compósitos apresenta as seguintes características
é uma operação delicada, devido à heterogeneidade e anisotropia dos materiais não
se consegue alcançar a mesma qualidade obtida nos materiais metálicos
os métodos tradicionais usados nos materiais metálicos devem ser adaptados de modo
a reduzir os danos causados por factores térmicos e mecânicos
a orientação das fibras tem grande importância no comportamento ao corte
a criação de descontinuidade nas fibras afecta o desempenho do componente
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
59
as fibras ficam expostas à humidade e ao ataque por agentes químicos
a temperatura durante a operação de corte não deve exceder a temperatura de cura
nas resinas termoendurecíveis para evitar a degradação do material as fibras de vidro
e aramida apresentam baixa condutividade térmica, o que pode originar excessivo
aquecimento localizado no caso de resinas termoplásticas, devem-se evitar tempera-
turas próximas da temperatura de fusão caso contrário poderá ocorrer a obstrução da
ferramenta de corte com consequências para o material circundante
a diferença de coeficientes de expansão térmica entre as fibras e a matriz dificulta o
rigor dimensional é comum a obtenção de furos de diâmetro inferior ao da broca
utilizada
é importante o uso de um fluido de arrefecimento adequado durante o corte no caso
do aço, 75 do calor gerado dissipa-se nas aparas e apenas 18 e 7 são absorvidos
pela ferramenta e pela peça, respectivamente nos compósitos 50 é absorvido pela
ferramenta e a outra metade é igualmente absorvida pelas aparas e pela peça por outro
lado, a vida da ferramenta aumenta devido à diminuição do coeficiente de atrito
a vida da ferramenta é curta em face da natureza abrasiva dos compósitos as ferra-
mentas são usualmente diamantadas ou revestidas por carboneto de tungsténio ou
nitreto de titânio para reduzir o seu desgaste
é difícil a obtenção de superfícies suaves e com bom acabamento os compósitos de
aramida, em particular, são muito tenazes e absorvem bastante energia durante o
corte, o que implica uma superfície de corte irregular
a maquinagem de materiais compósitos origina delaminagens junto às superfícies de
corte a orientação e sequência de empilhamento das camadas têm grande influência
neste aspecto.
amos de seguida apresentar com mais detalhe as principais características dos dois
métodos de maquinagem referidos.
2.11.1. FURAÇÃO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
A furação dos compósitos recorre geralmente a ferramentas de corte revestidas 
(carboneto de tungsténio, nitreto de titânio ou diamante) para aumentar o tempo de
vida útil. Esta operação pode causar diversos defeitos nas peças, como é o caso da
delaminagem, fissuras interlaminares, descolamento fibra matriz e danos de origem
térmica (ver figura 2.30).
MATERIAIS COMPÓSITOS
60
Figura 2.30. Visualização por radiografia por raios X com líquido contrastante dos danos causados 
por furação em materiais compósitos.
As delaminagens constituem o dano mais importante. A furação provoca delaminagens
quer à entrada quer à saída da broca. entrada, a broca promove o arrancamento
das camadas superiores 2.21 (ver figura 2.30), provocado pelo maior filete de corte
a partir do momento em que a extremidade da broca corta a primeira camada. 
saída, a broca actua como um punção e a força de avanço promove delaminagens
entre as camadas inferiores 2.22 .
Figura 2.31. Delaminagens causadas pela furação de materiais compósitos.
Estudos realizados por Meade 2.23 mostraram que brocas mais pontiagudas origi-
nam uma penetração mais gradual, diminuindo assim a extensão das delaminagens.
Tsao et al. 2.24 e Durão et al. 2.25 comprovaram que a força de avanço pode ser
substancialmente reduzida através da realização de um pré-furo de menor diâmetro.
 também universalmente aceite que o apoio do componente a furar sobre suportes
de plástico ou de madeira e a diminuinção da velocidade de avanço à saída da broca
contribuem para a minimização das delaminagens. Todavia, a diminuição da veloci-
dade de avanço aumenta o tempo de maquinagem e o desgaste da ferramenta, que
por vezes contribui para a extensão dos defeitos encontrados nas peças. A orientação
das fibras e a sequência de empilhamento também afectam a extensão das delaminagens
durante a furação. Os laminados com camadas diferentemente orientadas apresentam
melhores superfícies após a maquinagem do que os laminados unidireccionais.
Nestes, as fibras tendem a ser arrancadas da matriz nas zonas onde o movimento
relativo entre a ferramenta e a peça é paralelo às fibras.
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
61
2.11.2. CORTE DE MATERIAIS COMPÓSITOS
O corte de materiais compósitos pode ser executado recorrendo a três métodos dife-
rentes o corte com serra, o corte com jacto de água e o corte com laser.
As operações de corte com serra podem ser executadas com diferentes tipos de serra
(serras de fita, serras de disco), geralmente diamantadas para melhor resistência ao
desgaste. Para uma melhor qualidade de corte, a velocidade de corte deve ser a mais
elevada que a matriz possa suportar, no sentido de minimizar as forças de avanço, o
que reduz a quantidade de defeitos induzidos pelo corte. ang et al. 2.26 concluíram
que a orientação das fibras é fundamental na obtenção de uma boa superfície de
corte. Os autores verificaram que uma orientação de fibras de 90º relativamente à
direcção de corte correspondia a um valor crítico, a partir do qual a flexão das fibras
originava superfícies de corte mais rugosas.
No corte por jacto de água, esta é projectada a muito alta velocidade (800 m s)
através de um orifício de muito pequenas dimensões (0.25 mm) sobre a superfície a
cortar. A pressão da água chega a ultrapassar os 400 MPa. Os parâmetros mais
importantes são a pressão da água, a velocidade de corte, a espessura do laminado e
o diâmetro do orifício de saída. comum a adição de partículas abrasivas à água para
aumentar a velocidade de corte e cortar laminados mais espessos. Hulrburt et al.
2.27 verificaram que quanto menor for o diâmetro do orifício de saída melhor é a
qualidade do corte. Todavia, o diâmetro do orifício está condicionado pela espessura
da peça a cortar. Constataram ainda que maiores pressões do jacto de água e menores
velocidades de corte originam melhores superfícies corte. Este processo de corte apre-
senta como vantagens o facto de não originar pó prejudicial à saúde do operador, e
do nível de ruído associado ser baixo (inferior a 80 dB). Todavia a possibilidade de
existência de delaminagens com a consequente absorção de água por parte do lami-
nado não deve ser descurada 2.28 .
O corte com laser é executado a partir de um feixe concentrado de luz monocromática
focado na peça a cortar. O corte executa-se por fusão, vaporização e degradação
química. Este processo de corte geralmente danifica a resina na zona de corte devido
ao aquecimento localizado que provoca. Na realidade, as temperaturas de corte exigi-
das pelas fibras (3300 ºC para as de carbono, 2300 ºC para as de vidro e 950 ºC para
as aramídicas) provocam a degradação da matriz. As matrizes termoplásticas fundem
localmente ao passo que as termoendurecíveis apresentam vaporização localizada e
degradação química. A carbonização dos bordos aumenta com a espessura do lami-
nado a cortar em placas finas pode ser reduzida por aumento da velocidade de corte.
MATERIAIS COMPÓSITOS
62
A necessidade de ventilação é importante devido aos fumos emitidos durante estetipo
de operação.
2.12. Reciclagem de Materiais Compósitos
A utilização crescente de materiais compósitos conduz naturalmente ao aumento de
componentes que estão fora de serviço. Actualmente, o depósito em aterro é o destino
da maioria dos resíduos de materiais compósitos. Todavia, como os plásticos e os com-
pósitos não são biodegradáveis, quando depositados num aterro apresentam vida quase
infinita e causam poluição ambiental. De facto, as sobras e as peças degradadas destes
materiais não podem continuar a ser enviadas para aterros, devido à falta de espaço para
novos aterros, à opinião pública negativa e à legislação cada vez mais restritiva. Por
outro lado, a incineração pura e simples, geralmente num forno municipal, queima
materiais com valor económico importante (fibras de carbono e aramida por exemplo)
e constitui uma fonte de poluição. Todavia, estas desvantagens podem ser compensadas
se a energia obtida a partir dos gases libertados for aproveitada para outros fins.
A reciclagem nasce portanto da necessidade de preservar os recursos naturais limitados
e de propiciar um melhor ambiente. De salientar que a comunidade europeia esta-
beleceu recentemente que os plásticos e compósitos devem ser reciclados, não
obstante as dificuldades resultantes do facto dos compósitos serem constituídos por
dois ou mais materiais diferentes (ver capítulo 1).
A reciclagem pode ser dividida em quatro categorias primária, secundária, terciária
e quaternária. A reciclagem primária envolve o reprocessamento dos resíduos com o
objectivo de obter um produto igual ou similar ao original. Em geral é o que acon-
tece aos componentes fabricados com resinas termoplásticas não reforçadas. Na reci-
clagem secundária, o produto obtido após reciclagem não apresenta as mesmas pro-
priedades do material original. Isso acontece porque, durante a vida do produto,
algumas das suas propriedades degradaram-se e não são recuperáveis. Na reciclagem
terciária, os polímeros usados nos compósitos são separados nos seus componentes
químicos. Os hidrocarbonetos obtidos podem ser usados como monómeros,
polímeros, fuels e outros produtos químicos, contribuindo para a conservação dos
recursos petrolíferos. As fibras e cargas obtidas por este processo podem ser usadas
para compostos de moldação. Finalmente, na reciclagem quaternária, os resíduos são
queimados e a energia obtida a partir do gás ou fuel produzido pelo processo é usada
para outras aplicações.
CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
63
As técnicas actualmente mais usadas para a reciclagem de compósitos são trituração,
pirólise, incineração e dissolução por ácidos. A trituração é um processo de reciclagem
secundário em que os resíduos de compósito são cortados num tamanho adequado
para servirem como cargas noutras aplicações. No caso dos compósitos de matriz 
termoplástica, os materiais resultantes são usados nos processos de moldação por
injecção ou compressão. Os compósitos de matriz termoendurecível são utilizados
como cargas nos compostos de moldação. A pirólise é um processo de reciclagem 
terciário em que o polímero é decomposto sob temperaturas elevadas e na ausência
de oxigénio. Este processo produz hidrocarbonetos reutilizáveis, tais como
monómeros, fuels e produtos químicos, o que contribui para a conservação dos recursos
petrolíferos. Como as temperaturas atingidas são bastante inferiores à temperatura de
queima, as fibras retêm a sua resistência inicial e não se tornam frágeis. Assim, as
fibras são separadas e reutilizadas como reforços ou cargas, nomeadamente nos com-
postos de moldação. A incineração, como já foi referido, pode ser considerada um
processo de reciclagem desde que a energia produzida seja aproveitada para outros
fins. Finalmente, a dissolução por ácidos, que consiste no uso de produtos químicos
para dissolver o polímero. Durante o procedimento forma-se uma mistura de hidro-
carbonetos e ácido que requer mais processamento. Em geral este processo não é
aceitável do ponto de vista ambiental.
Questões
2.1. uais os materiais e equipamentos necessários para uma moldação manual
2.2. Compare o processo de injecção de resinas termoplásticas com a injecção de resinas termoendurecíveis.
2.3. ue potenciais vantagens podem apresentar os processos de moldação em molde fechado
2.4. Indique os principais componentes de uma máquina de injecção. uais as suas funções 
2.5. Descreva sucintamente a moldação em autoclave.
2.6. Indique alguns objectos que possam ser produzidos por centrifugação.
2.7. Indique algumas características específicas da maquinagem de materiais compósitos.
2.8. uais as principais técnicas utilizadas para a reciclagem de materiais compósitos
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MATERIAIS COMPÓSITOS
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CAPÍTULO 2: PROCESSAMENTO DE MATERIAIS COMPÓSITOS
65
Capítulo 3
Leis Constitutivas 
da Camada
3.1. Introdução
Os compósitos de fibras contínuas apresentam rigidez e resistência elevadas, tendo
por isso aplicações estruturais de grande exigência. Como vimos nos capítulos prece-
dentes, estes materiais possuem geralmente uma estrutura laminada, isto é, são 
constituídos por várias camadas nas quais as fibras estão todas alinhadas na mesma
direcção. A camada é portanto um bloco elementar cujo comportamento mecânico é
fundamental caracterizar. De facto, veremos no capítulo 6 como definir o comporta-
mento mecânico do laminado com base no comportamento da camada, sabendo que
os laminados têm normalmente várias camadas diferentemente orientadas. Por outro
lado, acamada pode ser considerada um compósito unidireccional. Logo, as leis 
constitutivas apresentadas neste capítulo são geralmente válidas para compósitos 
unidireccionais de pultrusão, apesar de estes não possuírem uma estrutura laminada.
O mesmo se passa para compósitos reforçados com tecidos bidireccionais, desde que
todas as camadas tenham a mesma orientação.
Importa desde já definir claramente a escala de análise aqui utilizada. Obviamente, as
propriedades mecânicas da fibra e da matriz determinam as distribuições internas de
tensões e as propriedades mecânicas efectivas da camada. inclusive de grande inte-
resse ter modelos capazes de prever as propriedades da camada em função do teor e
das propriedades dos constituintes. Isto é domínio da chamada icro ec nica, que é
assunto do capítulo 4. No entanto, é evidente que, possuindo a camada uma enorme
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
67
quantidade de fibras, é conveniente tratá-la como um sólido homogéneo para descrever
o seu comportamento mecânico. esta a abordagem que seguimos neste capítulo.
Por conseguinte, as tensões e as deformações que consideramos são quantidades
médias de um elemento de volume representativo, cujas dimensões serão necessaria-
mente de ordem de grandeza superior à do diâmetro da fibra.
Não obstante trabalharmos com um modelo homogeneizado da camada, o seu com-
portamento não deixa de ser substancialmente mais complexo do que o dos materiais
estruturais mais correntes, como os aços e as ligas de alumínio. Como é sabido, no
regime elástico, aqueles materiais são isotrópicos, ou seja, as leis constitutivas são
independentes da orientação local. Pelo contrário, devido à grande diferença entre as
propriedades da fibra e da matriz, a camada é fortemente anisotrópica. Por exemplo,
a rigidez na direcção das fibras é uma ou duas ordens de grandeza superior à rigidez
na direcção perpendicular.
Outra hipótese básica que admitimos é a de a camada ter comportamento linear elás-
tico. Na realidade, aproximando-se de estados limite, as relações tensão-deformação
podem tornar-se não-lineares devido a plastificação e ou à formação gradual de fis-
suras. Todavia, a análise ao nível da elasticidade, para além de ser fundamental para
a compreensão do comportamento dos compósitos, é adequada na grande maioria
das situações de projecto de estruturas de materiais compósitos.
Neste capítulo começamos pela análise das relações tensão-deformação de sólidos
anisotrópicos, desde a anisotropia extrema até a isotropia transversal que a camada
apresenta. Admitimos nesta fase que o leitor tem conhecimentos de Mecânica de
Sólidos e que está familiarizado com a notação tensorial.
3.2. Análise Geral de Sólidos Anisotrópicos
Um dado ponto material pode estar sujeito a um estado de tensão tridimensional
(figura 3.1), caracterizado pelo tensor das tensões σi , com i, 1, 2, 3. As equações
de equilíbrio ditam a simetria do tensor das tensões 3.1, 3.2 , isto é,
(3.1)
MATERIAIS COMPÓSITOS
68
Figura 3.1. Estado de tensão tridimensional num elemento de volume de um sólido.
As tensões dão naturalmente origem a um estado de deformação, descrito pelo tensor
das deformações, εk , que também é simétrico 3.1, 3.2 , ou seja,
(3.2)
com k, 1, 2, 3.
Na grande maioria das situações, os sólidos têm comportamento linear elástico, pelo
que as relações tensão-deformação podem ser expressas por
(3.3)
em que i k é o tensor de rigidez. Os seus termos também se designam por onstantes
sticas. Da simetria dos tensores das tensões (3.1) e das deformações (3.2),
(3.4)
Podemos então resumir (3.3) na forma matricial
(3.5)
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
69
ou ainda, procedendo a uma contracção de índices,
(3.6)
De modo análogo, é possível exprimir as relações deformação-tensão por
(3.7)
em que
(3.8)
é o chamado tensor de flexibilidade. Na forma matricial,
(3.9)
Aparentemente, (3.5) e (3.9) sugerem que são necessárias 6 × 6 36 constantes elás-
ticas para caracterizar completamente um sólido elástico anisotrópico. Na realidade
não é esse o caso, e podemos demonstrá-lo recorrendo ao conceito de densidade de
energia de deformação, ou seja, energia de deformação por unidade de volume,
(3.10)
que, atendendo a (3.3), se pode escrever
(3.11)
MATERIAIS COMPÓSITOS
70
Se considerarmos um sólido elástico sujeito a várias solicitações, só depende do
estado de deformação final, e não da ordem pela qual são aplicadas as diversas defor-
mações parciais. Matematicamente, esta condição exprime-se por
(3.12)
No entanto, atendendo a (3.4) e a (3.8), também temos,
(3.13)
(3.14)
Portanto as matrizes de rigidez em (3.5) e de flexibilidade em (3.9) são simétricas, e
o número de constantes elásticas independentes fica reduzido a 21.
3.3. Ortotropia e Isotropia Transversal
A camada dos laminados é ortotrópica, ou seja, tem 3 planos de simetria mutuamente
perpendiculares, facto que permite diminuir o número de constantes elásticas inde-
pendentes. s rectas de intersecção desses planos são associados os eixos principais
de ortotropia 1, 2 e 3 (figura 3.2), estabelecidos de modo que o eixo 1 é o da direcção
das fibras, e o eixo 3 é o da direcção perpendicular ao plano da camada.
Figura 3.2. Eixos principais da camada.
uando expresso no referencial 123 , S tem vários elementos nulos, e os termos não
nulos têm um significado físico mais claro, sendo relacionáveis com as chamadas
onstantes de n en aria, isto é, os módulos de elasticidade e os coeficientes de
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
71
Poisson. Para demonstrarmos estas particularidades, vamos recorrer à lei de transfor-
mação dos tensores perante rotação de referencial (figura 3.3).
Figura 3.3. Rotação de referencial em torno do eixo 3.
Assim, podemos obter o tensor das tensões em , σ , a partir do tensor em
123 , σk , através de 3.1, 3.2 ,
(3.15)
(3.16)
designa o cosseno do ângulo formado entre os versores dos eixos correspondentes aos
índices e k. Por exemplo, se, como sugere a figura 3.3, se obtiver de 123
por rotação de um ângulo θ em torno de 3, teremos
etc., podendo (3.15) ser expressa na forma matricial
MATERIAIS COMPÓSITOS
72
(3.17)
onde
(3.18)
O tensor das deformações transforma-se de forma análoga,
(3.19)
Suponhamos então que, conhecido o tensor i k , expresso em 123 , pretendemos
obter o tensor n , expresso em (figura 3.3), tal que
(3.20)
Se substituirmos (3.15) e (3.19) em (3.20), obtemos
(3.21)
e portanto, da analogia com (3.7),
(3.22)
Consideremos agora o caso da figura 3.4, em que 1 2 3 se obtém de 123 através
de uma rotação θ 180º em torno de 3. evidente que as constantes elásticas têm
que ser iguais em ambos os referenciais.
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
73
Figura 3.4. Rotação de referencial em torno do eixo 3 de 180º.
ejamos o que resulta da aplicação de (3.22) a alguns termos. Por exemplo,
em que é necessário considerar o somatório de 81 termos, correspondente a todas as
combinações de i, , k e . No entanto, facilmente se vê que
e portanto, como seria de prever,
Se analisarmos agora o termo
é fácil ver que a expressão se reduz a
No entanto, como as direcções dos eixos de 1 2 3 são as mesmas de 123 , as cons-
tantes elásticas têm que ser iguais nos dois referenciais, isto é,
pelo que,
Se prosseguíssemos a análise dos outros termos e considerássemos também referenciais
1 2 3 obtidos de 123 por rotações de 180º em torno dos eixos 1 e 2, obteríamos
MATERIAIS COMPÓSITOS
74
(3.23)
revelando a existência de apenas 9 constantes elásticas independentes.
Na realidade, verifica-se ainda que as fibras estão distribuídas aleatoriamente no
plano transversal 23 . A camada apresenta por isso isotropia transversal, ou seja, as
suas constantes elásticas são independentes daorientação dos eixos no plano 23 ,
sendo fácil de mostrar que
(3.24)
Resumindo, a camada apresenta 5 constantes elásticas independentes. O seu compor-
tamento é portanto bastante mais complexo do que o dos materiais isotrópicos, que,
recorde-se, possuem apenas 2 constantes elásticas independentes. Nos cálculos de
Engenharia utiliza-se habitualmente o módulo de elasticidade , também conhecido
por módulo de oung, e o coeficiente de Poisson. amos agora obter as Constantes
de Engenharia da camada.
3.4. Constantes de Engenharia da Camada
Consideremos um elemento rectangular de camada sujeito a uma tensão tractiva σ11
(figura 3.5). Atendendo a (3.9) e a (3.23), o elemento sofre uma deformação
(3.25)
Sabendo que um módulo de elasticidade é o quociente entre uma tensão aplicada
única e a deformação resultante na mesma direcção, define-se o módulo de elastici-
dade longitudinal
(3.26)
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
75
O elemento rectangular da figura 3.5 tem ainda deformações transversais ε22 e ε33. O
quociente entre uma deformação transversal e a deformação longitudinal é um coefi-
ciente de Poisson. Podemos então definir os seguintes coeficientes de Poisson
(3.27)
A partir de (3.9), (3.23) e (3.26), obtemos 
(3.28)
Figura 3.5. Camada sob solicitação longitudinal, incluindo a representação da deformada a tracejado.
Definem-se de modo análogo módulos de elasticidade transversal, 2 e 3, e coefi-
cientes de Poisson ν21, ν23, ν31 e ν32.
Consideremos agora um elemento rectangular de camada sob uma tensão de corte τ12
(figura 3.6). Notar que, em vez de σ, usamos o símbolo τ, habitual em Engenharia
para designar tensões de corte. O módulo de corte é o quociente entre uma tensão de
corte única e a deformação de corte de Engenharia resultante. Logo, define-se o
módulo de corte longitudinal
(3.29)
 importante relembrar a diferença entre a deformação de corte tensorial, εij, e a
deformação de corte de engenharia, γi , pois
(3.30)
Atendendo também a (3.9) e a (3.23),
MATERIAIS COMPÓSITOS
76
(3.31)
Figura 3.6. Camada ao corte, incluindo a representação da deformada a tracejado.
A análise de outros casos permite facilmente obter
(3.32)
Da simetria de S,
(3.33)
enquanto a isotropia transversal (3.24) impõe que
(3.34)
Portanto, as constantes elásticas independentes necessárias para caracterizar o com-
portamento tensão-deformação da camada são 5 1 2 ν12 G12 e ν23 ou G23. A
tabela 3.1 apresenta alguns valores típicos destas grandezas, obtidas em ensaios de
compósitos unidireccionais. Raramente estão disponíveis valores experimentais de
ν23 e de G23, mais difíceis de medir, e nem sempre necessários se for admitido esta-
do plano de tensão. Notar também que é sempre medido o coeficiente de Poisson ν12,
em detrimento de ν21. De facto, este último assume valores muito baixos, pois
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
77
e 1 2. Por exemplo, com 1 143 GPa, 2 10.3 GPa e ν12 0.27, obtém-se
ν21 0.0194.
Tabela 3.1. Propriedades de alguns compósitos [3.3].
3.5. Lei Constitutiva Tridimensional
Dada conveniência em usar as deformação de corte ij (3.30), de agora em diante,
consideramos na lei constitutiva
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
MATERIAIS COMPÓSITOS
78
Na relação inversa
(3.39)
a matriz de rigidez é
(3.40)
em que os seus elementos não nulos são dados na tabela 3.2.
Tabela 3.2. Fórmulas explícitas para os termos não nulos de C (3.40) [3.4].
Como é evidente, as equações (3.35) a (3.40) só são aplicáveis no referencial principal
123 . Nas aplicações usam-se quase sempre laminados ditos multidireccionais, 
constituídos por camadas com diferentes orientações e portanto com diferentes 
referenciais 123 . Como veremos no capítulo 6, para definir o comportamento de
um laminado, é necessário obter a lei constitutiva de cada camada num referencial
global comum , em que 3. Por outro lado, os critérios de rotura da cama-
da, objecto de estudo no capítulo 5, são expressos em função das tensões em 123 .
amos agora tomar como referência precisamente a operação de transformação de
tensores em para 123 , com 3 (figura 3.7). Devido à utilização de γi (3.30)
em εi (3.36), há que proceder a adaptações na lei de transformação dos tensores
(3.22), que permitem escrever
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
79
(3.41)
(3.42)
com
(3.43)
Figura 3.7. Mudança de referencial {xyz} para {123}.
Como já referimos, interessa também obter a matriz de rigidez C em , a partir
de C em 123 , tal que
(3.44)
Se substituirmos as equações (3.41) e (3.42) em (3.39), obtemos
MATERIAIS COMPÓSITOS
80
(3.45)
cuja comparação com (3.44) permite verificar que
(3.46)
Esta matriz tem a forma genérica
(3.47)
em que os seus elementos não nulos são dados na tabela 3.3.
Tabela 3.3. Fórmulas explícitas para os termos não nulos de C' (3.47) [3.4].
De modo análogo, é possível demonstrar que, na relação
(3.48)
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
81
.
(3.49)
com
(3.50)
em que os seus elementos não nulos são dados na tabela 3.4.
Tabela 3.4. Fórmulas explícitas para os termos não nulos de S' (3.47) [3.4].
3.6. Lei Constitutiva para Estado Plano de Tensão
Devido às suas excelentes propriedades mecânicas, os laminados utilizam-se geralmente
sob a forma de placas relativamente finas. Torna-se então frequentemente legítimo
admitir que as camadas estão sob estado plano de tensão, isto é, que as tensões na
MATERIAIS COMPÓSITOS
82
direcção da espessura, σ33, τ13 e τ23 têm valores desprezáveis face aos das tensões no
plano 12 da camada, σ11, σ22 e τ12. Nestas circunstâncias, a lei constitutiva (3.35)
reduz-se a
(3.51)
onde, atendendo a (3.38)
(3.52)
Designamos por Q a matriz de rigidez em estado plano de tensão, tal que,
(3.53)
e em que, sendo Q S-1, os seus termos são
(3.54)
As transformações de referencial (3.41) e (3.42) exprimem-se por
(3.55)
(3.56)
respectivamente. Num referencial xyz , as relações (3.44) e (3.48), reduzem-se a
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
83
(3.57)
(3.58)
respectivamente, sendo os seus termos dados nas tabelas 3.5 e 3.6.
Estando já bem definidas no referencial 123 , podemos agora definir as onstantes
de n en aria num referencial genérico . Para tal, basta proceder à interpretação
dos termos de S , de que resulta
(3.59)
Tabela 3.5. Fórmulas explícitas para os termos não nulos de Q' (3.57) [3.4].
Tabela 3.6. Fórmulas explícitas para os termos não nulos de S' (3.58) [3.4].
MATERIAIS COMPÓSITOS
84
Notar a inclusão dos termos η e μ , ditos de acoplamento tracção-corte. De facto,
quando solicitada por uma única tensão σ , ou seja, quando
o estado de deformação resultante é
incluindo portanto uma deformação de corte γ não nula, como é esquematicamente
representado na figura 3.8. Isto ilustra bem as particularidades do comportamento
dos compósitos.
Figura 3.8. Representação esquemática da deformada da camada perante uma tensão axial 
desviada dos eixos principais.
 interessante estudar a variação das Constantes de Engenharia aparentes com o
ângulo θ em relação a 123 (figura 3.7). Se igualarmos os termos de (3.59) aos obti-
dos das fórmulas da tabela (3.6), podemos obter, entre outras, as relações
(3.60)
(3.61)
(3.62)
(3.63)
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
85
Estas equações são representadas graficamente na figura 3.9, tendo-se para tal admitido
propriedades típicas da camada de um compósito de fibra de carbono 1 140 GPa 
2 10 GPa ν12 0.28 e G12 6 GPa. Devido à grande diferença entre os módulos na
direcção das fibras, 1, e na direcção perpendicular, 2, há várias características a salientar
o decréscimo acentuado de com θ para valores relativamente próximos de 0º
os máximos atingidospor ν e por η para valores de θ relativamente baixos
o máximo de G a θ 45º, facilmente interpretado se atendermos à equivalência de
estados de tensão da figura 3.10 quando σ σ τ12.
Figura 3.9. Variação típica das Constantes de Engenharia com a orientação da camada para compósitos de fibras de carbono.
MATERIAIS COMPÓSITOS
86
Figura 3.10. Estados de tensão equivalentes no comportamento elástico se σx = σy = 12.
Exemplo 3.1. Considere a barra rectangular de compósito unidireccional carbono epóxido solicitada por
uma tensão σ 100 MPa de acordo com a figura 3.8. Sabendo que θ 30º e admitindo que 1 140 GPa,
2 10 GPa, ν12 0.28 e G12 6 GPa
a) Determine as tensões no referencial principal.
b) Calcule as deformações resultantes.
Resolução
a) Aplicando (3.55) ao caso presente,
b) Recorrendo a (3.58) e à tabela 3.6, obtemos
e depois
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
87
Notar portanto que, tal como sugere a figura 3.8, para além das contracções de Poisson (ε ), a barra sofre
também uma deformação de corte γ considerável. Logo, para obter efectivamente o estado de tensão uni-
axial σ , o sistema de transmissão de carga teria de permitir a referida deformação de corte, o que, na prática,
é difícil de conseguir.
Exemplo 3.2. oltando à barra rectangular do exercício anterior, calcule agora o estado de tensão no 
referencial principal para o valor de ε obtido anteriormente, supondo agora que, por constrangimentos da
transmissão de carga, γ 0.
Resolução. Perante a restrição à deformação de corte, obtemos de (3.57),
onde intervêm os termos de matriz de rigidez (tabela 3.5),
Por outro lado, de (3.58) e das condições do problema,
Se substituirmos as relações entre tensões e deformações,
As tensões em são portanto
enquanto no referencial principal,
estados de tensão substancialmente diferentes dos que foram impostos no exemplo 3.1. Estes exemplos
ilustram a importância dos carregamentos e das condições fronteira no comportamento de compósitos.
MATERIAIS COMPÓSITOS
88
Referências
3.1. Timoshenko, S. P., . N. Goodier. Theory of Elasticity. McGra -Hill, 1970.
3.2. Malvern, L. E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice Hall, 1969.
3.3. Berenberg, B. Composite Materials Guide. http plastics.about.com , 2002.
3.4. Berthelot, . M. Composite Materials Mechanical Behaviour and Structural Analysis. Springer-
erlag, 1998.
CAPÍTULO 3: LEIS CONSTITUTIVAS DA CAMADA
89
Capítulo 4
Análise Micromecânica
da Camada
4.1. Introdução
No capítulo anterior, apresentámos as relações tensão-deformação da camada unidi-
reccional dos compósitos de fibras contínuas, em que esta foi tratada como um sólido
homogéneo. Esta abordagem, que se designa habitualmente por Macromecânica, é
essencial para o projecto com materiais compósitos. Por outro lado, a compreensão
do comportamento dos compósitos exige uma análise ao nível dos constituintes, que
permita por exemplo justificar os valores típicos das Constantes de Engenharia 
apresentados em 3.4. Este é o domínio da chamada Micromecânica, cujo objectivo
essencial é prever as propriedades da camada a partir do teor e propriedades dos 
constituintes [4.1-4.3].
Como a camada é constituída por uma infinidade de fibras, a Micromecânica procura
geralmente recorrer a modelos do tipo "célula elementar", cujo comportamento seja
representativo de toda a camada, e de maneira que a análise conduza a expressões
analíticas relativamente simples. Estes objectivos foram já atingidos num número 
limitado de casos, sendo o exemplo mais significativo o do módulo de elasticidade na
direcção das fibras (E1). Todavia, há geralmente obstáculos importantes ao desen-
volvimento e aplicação prática de modelos micromecânicos rigorosos.
As dificuldades começam na incerteza acerca das propriedades dos constituintes. De
facto, é extremamente difícil medir algumas propriedades das fibras, sobretudo quando
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
91
estas são fortemente anisotrópicas, como é o caso das fibras de carbono e de aramida.
Normalmente apenas se encontram disponíveis o módulo e a tensão de rotura à
tracção longitudinais. As propriedades transversais são frequentemente estimadas a
partir de resultados de ensaios de compósitos usando modelos micromecânicos.
Também é importante salientar que os valores disponíveis para propriedades das
resinas são obtidos com provetes de dimensões muito superiores às das finas camadas
de matriz que envolvem as fibras.
Como é evidente, a previsão das tensões de rotura é muito mais complexa do que a
previsão das constantes elásticas. Para isso contribuem os efeitos da heterogeneidade
local e os diferentes modos de rotura. A investigação nesta área é objecto de revisão,
com destaque para as resistências longitudinais à tracção e à compressão, cujos ele-
vados valores estão entre as principais vantagens dos compósitos.
Por conseguinte, no actual estado da arte, os modelos micromecânicos não 
substituem a realização de ensaios. Porém, a forte anisotropia da camada faz com que
seja necessário realizar um número elevado de ensaios, nos quais é por vezes difícil
obter resultados válidos. Há portanto grande interesse no desenvolvimento de 
modelos micromecânicos rigorosos.
Neste capítulo, são apresentados modelos micromecânicos para a camada unidirec-
cional ou para compósitos unidireccionais de fibras contínuas, que são os mais impor-
tantes a nível de aplicações estruturais. As expressões obtidas não se aplicam aos
compósitos reforçados por tecidos bidireccionais. De facto, a modelação destes é
extremamente difícil, resultado da geometria complexa dos feixes de fibras, dos
efeitos da curvatura localizada dos mesmos e do escorregamento relativo entre feixes
aquando da aplicação de cargas. Não estão ainda bem estabelecidos modelos rigo-
rosos, que serão provavelmente numéricos.
4.2. Análise das Constantes de Engenharia
O objectivo dos modelos que apresentamos neste item é prever as Constantes de
Engenharia independentes dos compósitos unidireccionais de fibras contínuas, que, como
vimos no capítulo 3, são E1, E2, ν12, G12 e G23 ou ν23. Os modelos são de complexidade
muito variável, mas baseiam-se quase sempre no seguinte conjunto de hipóteses:
› fibra e matriz como únicos constituintes, excluindo vazios e inclusões;
› arranjos regulares simplificados para a distribuição espacial das fibras; 
MATERIAIS COMPÓSITOS
92
› comportamento linear elástico para fibra e para a matriz, que se admite isotrópica;
› perfeita adesão interfacial fibra/matriz. 
Os parágrafos que se seguem descrevem os princípios básicos em que assentam os
principais modelos, escolhidos de acordo com critérios de interesse teórico e de rigor
nas previsões. Estes modelos são enquadrados nas seguintes categorias:
› modelos de Mecânica dos Materiais;
› Modelo Auto-Consistente;
› limites superior e inferior;
› modelos semi-empíricos;
› Método das Células;
Os modelos numéricos, como os modelos de elementos finitos, não conduzem às 
fórmulas explícitas pretendidas, mas são úteis na validação de modelos mais simples,
o que justifica uma breve referência neste contexto.
4.2.1. MODELOS DE MECÂNICA DOS MATERIAIS
Os modelos de Mecânica dos Materiais são os mais simples, baseando-se na análise
de uma célula elementar bidimensional (figura 4.1), constituída por uma só fibra
envolvida por duas camadas de matriz. As suas dimensões devem reproduzir a fracção
volúmica de fibra do compósito, ou seja,
(4.1)
Figura 4.1. Célula elementar das leis das misturas.
Quando solicitada longitudinalmente (figura 4.2), a célula elementar sofre defor-
mações longitudinal e transversal.
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
93
Figura 4.2. Célula elementar sob solicitação longitudinal, incluindo a representação da deformada a tracejado.
Nas zonas suficientementeafastadas dos pontos de aplicação das cargas, a defor-
mação longitudinal é igual para a fibra e para a matriz, isto é,
(4.2)
Por outro lado, a força total será repartida pela fibra e pela matriz, e portanto,
(4.3)
que, atendendo a (4.1), podemos reescrever na forma da chamada Lei das Misturas
da tensão longitudinal,
(4.4)
Se admitirmos estado plano de tensão, ou seja:
(4.5)
obtemos a equação
(4.6)
também conhecida por Lei das Misturas ou por Modelo de Voigt. Modelos mais sofisti-
cados e os próprios resultados experimentais confirmaram o rigor de (4.6) [4.1-4.3].
Notar que, sendo o módulo da fibra uma ou duas ordens de grandeza superior ao da
matriz, e como Vf anda tipicamente entre 0.5 e 0.65,
Logo, há todo o interesse em que o teor de fibra seja elevado, de maneira a obter um
compósito mais rígido. Na prática, a necessidade de garantir a boa impregnação das
fibras por parte da matriz limita o teor de fibra máximo a cerca de 70 %.
Retomando a análise do modelo da figura 4.2, a contracção transversal de Poisson é
MATERIAIS COMPÓSITOS
94
(4.7)
Usando agora a lei de Hooke,
(4.8)
chegamos à equação
(4.9)
que, não sendo tão rigorosa como (4.6), parece estar em boa concordância com os
resultados experimentais, se bem que haja alguma incerteza nos valores de νf12 [4.1-4.3].
Vejamos agora o caso de uma solicitação transversal (figura 4.3).
Figura 4.3. Célula elementar sob solicitação transversal, incluindo a representação da deformada a tracejado.
Admitimos que a tensão transversal é igual na fibra e matriz, isto é,
(4.10)
bem como estado plano de tensão,
(4.11)
Substituindo (4.10) e (4.11) em (4.7), que se mantém válida, obtemos
(4.12)
equação que é conhecida como Modelo de Reuss. Ao contrário de (4.6) e (4.9), esta
equação é claramente inadequada, subestimando consideravelmente os valores expe-
rimentais [4.1-4.3]. De resto, facilmente se constata que a hipótese de estado plano
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
95
de tensão (4.11) não é correcta, pois dela resultariam diferentes contracções de
Poisson na direcção 1 que são inconsistentes com a noção de célula elementar. Por
outro lado, admitir contracção uniforme na direcção 1, isto é,
não conduz a uma expressão suficientemente rigorosa para ter interesse prático. Na
realidade, a previsão de E2 exige uma célula elementar de geometria mais realista e
análises bastante mais complexas, como veremos mais à frente.
Finalmente, o módulo de corte longitudinal, G12 é deduzido do modelo da figura 4.4.
Figura 4.4. Célula elementar ao corte longitudinal, incluindo a representação da deformada a tracejado.
A cinemática do modelo traduz-se por
(4.13)
sendo complementada pela Lei de Hooke,
(4.14)
e pela hipótese de tensão de corte uniforme
(4.15)
Obtém-se então
(4.16)
equação que, como (4.12), subestima excessivamente o valor experimental [4.1-4.3].
MATERIAIS COMPÓSITOS
96
4.2.2. MODELO AUTO-CONSISTENTE
Entre os modelos que fazem apelo a análises do âmbito da Teoria da Elasticidade,
adquiriu particular notoriedade o chamado Modelo Auto-Consistente [4.4, 4.5]. Este
modelo considera uma célula elementar cilíndrica, embebida num meio homogéneo
de propriedades equivalentes iguais às da célula (figura 4.5). Em seguida, são reali-
zadas análises de tensões em coordenadas cilíndricas (r, θ, z) de que apenas expomos
as hipóteses básicas e os resultados finais, dada a complexidade dos desenvolvimentos.
Figura 4.5. Representação esquemática do Modelo Auto-Consistente [4.4, 4.5].
Assim, no caso da previsão de E1 e de ν12, admite-se um campo de deslocamentos na
fibra e matriz do tipo:
em que F(r) é uma função a determinar e u0 é um deslocamento uniforme. As
equações obtidas são [4.3-4.5]:
(4.17)
(4.18)
onde k designa o módulo de compressibilidade em estado plano de deformação.
Consideremos um elemento cilíndrico de compósito, com o eixo z coincidente com
a orientação das fibras, e com os deslocamentos axiais dos topos impedidos, ou seja,
εz = 0. Quando sujeito a uma tensão radial σr, o cilindro sofre uma deformação radi-
al εr, sendo então
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
97
Observa-se que (4.17) e (4.18) acrescentam termos algebricamente complicados a
(4.6) e (4.9), respectivamente. Facilmente se demonstra que, no campo habitual de
propriedades das fibras e das matrizes poliméricas, esses termos são desprezáveis,
sobretudo no caso de (4.17).
É evidente que a geometria cilíndrica da célula não é adequada para a previsão de E2
nem de ν23, mas sim para k2. Os desenvolvimentos analíticos conduzem a [4.3-4.5]
(4.19)
No entanto, k2 não é uma Constante de Engenharia conveniente para a análise da
camada, se bem que esteja relacionada com as outras constantes através de [4.3-4.5]
(4.20)
Finalmente, o Modelo Auto-Consistente permite prever G12, admitindo que actua
uma tensão de corte τrz uniforme e o campo de deslocamentos:
sendo U(r,θ) uma função deslocamento a determinar. O resultado,
(4.21)
é a equação mais importante do Modelo Auto-Consistente, na medida em que se 
revelou em boa concordância com valores experimentais para compósitos de fibra de
vidro [4.3-4.5]. Os resultados também são considerados rigorosos para compósitos
de fibra de carbono, se bem que haja incerteza nos valores de Gf12. O Modelo Auto-
Consistente é portanto um contributo importante para a previsão das Constantes de
Engenharia.
4.2.3. LIMITES SUPERIOR E INFERIOR
Em face das dificuldades na obtenção de equações rigorosas, foram propostos modelos
que permitem determinar os limites inferior e superior das Constantes de Engenharia.
Recordemos que a energia de deformação de um dado corpo com volume Φ é dada por
(4.22)
MATERIAIS COMPÓSITOS
98
com i = 1, 2, ..., 6. A lei de Hooke generalizada dá origem às equações:
(4.23)
(4.24)
O método dos limites implica admitir campos de tensões ou campos de deformações
compatíveis com as condições fronteira do problema, explorando depois os diferentes
resultados de (4.23) e (4.24). De facto, segundo o Princípio Variacional da Energia
Potencial Mínima, a energia de deformação real, Ur, é sempre sobrestimada, ou seja,
(4.25)
de onde resultam limites superiores para Sij e Cij. No entanto, como Sij = Cij-1,
podemos estabelecer limites inferior (-) e superior (+) para Cij,
(4.26)
cujos termos são directamente proporcionais às Constantes de Engenharia.
Como é evidente, o aspecto crítico desta abordagem é a escolha dos campos de tensão
ou de deformação. A título exemplificativo, consideramos os limites ditos "primi-
tivos", que se obtêm admitindo campos uniformes.
Se considerarmos então o estado uniaxial de deformação uniforme:
(4.27)
e aplicarmos (4.23) e (4.25),
(4.28)
que é uma expressão muito semelhante à Lei das Misturas (4.6). De facto, quando
concretizada para i = j = 1, demonstra-se que o limite superior primitivo é [4.3]
(4.29)
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
99
mas, atendendo aos valores típicos das propriedades,
Analogamente, se P for uma qualquer Constante de Engenharia, o seu limite superior
primitivo é [4.3]
(4.30)
Do ponto de vista físico, a hipótese de estado de deformação uniforme resulta num
limite superior de P, devido a não se verificar o equilíbrio de forças, e portanto o estado
energético ser superior ao real.
Quanto ao limite primitivo inferior, podemos obtê-lo admitindo o estado uniaxial de
tensão uniforme:
(4.31)
resultando de (4.24) e (4.25)
(4.32)
Concretizando agora para i = j = 2, obtemos o limite inferior primitivo
(4.33)
expressão idêntica a (4.11), sendo também válida a generalização [4.3]
(4.34)
A interpretação física é que a hipótese de tensão uniforme implica vazios e
sobreposições, sendo por isso necessária mais energia para compatibilizar deformações.
Na prática, estes limitesprimitivos estão demasiado afastados para fornecerem esti-
mativas úteis das Constantes de Engenharia. Por exemplo, para um compósito de
fibra de vidro-E com Ef = 75 GPa, νf = 0.2, Em = 3 GPa, νm = 0.35, Vf = 0.55, com
fibra e matriz isotrópicas, obtemos 6.36 ≤ E2 (GPa) ≤ 42.6, intervalo de valores 
manifestamente excessivo.
MATERIAIS COMPÓSITOS
100
Recorrendo a técnicas variacionais sofisticadas, é possível gerar campos de tensões e de
deformações que dão origem a limites mais apertados [4.3, 4.6, 4.7]. No entanto, as
expressões obtidas tornam-se muito complicadas e os limites continuam separados
por intervalos demasiado amplos. Por conseguinte, esta abordagem não parece ser a
mais indicada.
4.2.4. MODELOS SEMI-EMPÍRICOS 
O princípio básico destes modelos é o recurso a parâmetros empíricos, cujos valores
extremos respeitem os limites superior e inferior. O modelo mais conhecido é clara-
mente o de Halpin-Tsai [4.2], cuja equação base é
(4.35)
onde P representa uma qualquer Constante de Engenharia e ξ é um parâmetro
empírico de valores não negativos (ξ ≥ 0). Este parâmetro é determinado por ajuste
de resultados experimentais, e traduz a eficiência do reforço. Facilmente se verifica
que o modelo respeita os limites primitivos (4.30) e (4.34), uma vez que:
A figura 4.6 compara este modelo com os limites primitivos para P = E2 de um 
compósito de fibra de vidro-E. Os resultados experimentais destes compósitos suge-
rem ξ(E2) = 0.9 a 2 e ξ(G12) = 1, sendo interessante constatar que, neste último caso,
(4.35) fica igual à equação (4.21) do Modelo Auto-Consistente.
Este tipo de abordagem tem como principais desvantagens a necessidade de calibração
experimental do parâmetro empírico e o facto de a equação base não ser rigorosa.
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
101
Figura 4.6. Previsão de E2 de um compósito de fibra de vidro-E com o modelo de Halpin-Tsai, HT(ξ). Estão 
também representados os limites superior (Voigt) e inferior (Reuss). Admitiu-se fibra e matriz isotrópicas
com Ef = 75 GPa, νf = 0.2, Em = 3 GPa, νm = 0.35.
4.2.5. MÉTODO DAS CÉLULAS
O chamado Método das Células baseia-se numa análise 3D de uma célula elementar.
Na sua forma original, Aboudi [4.8] considerou uma célula quadrada (figura 4.7),
dividida em quatro sub-células (figura 4.8) em que se admitem tensões constantes.
Figura 4.7. Arranjo geométrico e célula elementar do Método das Células [4.8].
MATERIAIS COMPÓSITOS
102
Figura 4.8. Sub-células da célula elementar.
A análise envolve a aplicação das condições de equilíbrio, bem como a determinação
das propriedades em todas as direcções no plano 23. Em seguida, procede-se ao cál-
culo dos valores médios de todas as propriedades nesse plano, de forma a satisfazer o
requisito de isotropia transversal, ao qual a célula quadrada não obedece "a priori".
Daqui resulta uma série de equações extremamente longas, que na prática exigem
meios informáticos, e que estão geralmente em boa concordância com os resultados
experimentais [4.8]. Esta análise foi objecto de refinamentos posteriores, no intuito
de prever aspectos mais complexos do comportamento dos compósitos, por exemplo,
a componente viscoplástica [4.9].
Tendo em mente o interesse em obter equações relativamente simples, realizou-se em
[4.10] uma análise simplificada da célula quadrada da figura 4.8, na qual se consi-
dera apenas uma solicitação na direcção 2 para obter E2. Desprezando as tensões de
corte, as equações de equilíbrio são:
(4.36)
(4.37)
(4.38)
Para fibras transversalmente isotrópicas, a lei de Hooke pode escrever-se
(4.39)
com i, j e k = 1,2,3, enquanto a matriz é isotrópica. A compatibilidade geométrica das
várias células impõe a uniformidade de ε1 e de ε2, ou seja:
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
103
(4.40)
(4.41)
(4.42)
Falta impor uma condição na direcção 3, que, à partida, deveria ser a de ε3 uniforme,
Todavia, esta hipótese conduz a um sistema de equações complicado e, como já foi
referido, torna necessário analisar todas as direcções no plano <23>. Para evitar estes
inconvenientes, e para esbater a anisotropia em <23> inerente ao arranjo geométrico
considerado, admite-se estado plano de tensão em <12>,
(4.43)
Nestas circunstâncias, se substituirmos a lei de Hooke (4.39) para a fibra e para a
matriz e (4.43) em (4.40) a (4.42), obtemos
(4.44)
(4.45)
(4.46)
(4.47)
(4.48)
Podemos agora resolver o sistema constituído pelas equações (4.37), (4.38) e (4.44)
a (4.48). Sabendo que
(4.49)
e desprezando alguns termos tendo em conta que Ef1 >> Em, facilmente se demons-
tra que [4.10]:
MATERIAIS COMPÓSITOS
104
(4.50)
e portanto
(4.51)
As previsões desta equação foram comparadas com as de um modelo 3D de elementos
finitos, no qual se considerou uma célula elementar do arranjo hexagonal de fibras
[4.10] (figura 4.9). Este arranjo é tido como o mais realista para o campo habitual de
Vf (55 a 65 %), respeitando a condição de isotropia transversal. Impõe-se à célula um
deslocamento uniforme da sua face superior, y = b, e que as restantes faces se man-
tenham planas. Os erros de (4.51) foram inferiores a 10 % para compósitos de fibra
de vidro e de fibra de carbono.
Figura 4.9. Célula elementar de um modelo de elementos finitos, incluindo a representação 
da deformada a tracejado [4.10].
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
105
4.2.6. CONCLUSÃO
Dos modelos micromecânicos que foram apresentados, resultaram um conjunto de
equações que permitem prever com bastante rigor as Constantes de Engenharia mais
comuns. Trata-se, concretamente, das equações (4.6), (4.9), (4.21) e (4.51) para E1,
ν12, G12 e E2, respectivamente. Se for necessário o valor de ν23, podemos obter k2 de
(4.19), e, de (4.20),
(4.52)
No entanto, como já foi referido, uma das principais dificuldades na aplicação dos
modelos é a ausência de dados seguros para certas propriedades das fibras anisotrópicas
(Ef2, νf12, Gf12, Gf23). Estas têm vindo a ser inferidas dos resultados experimentais dos
compósitos, combinados com os modelos micromecânicos. A tabela 4.1 dá intervalos
típicos para as propriedades das fibras. Quanto às matrizes, temos habitualmente 
Em = 2 a 5 GPa e νm = 0.35 a 0.42.
Tabela 4.1. Intervalos de valores típicos das propriedades das fibras.
Finalmente, há que ter consciência que, por muito rigorosos que sejam, os modelos
micromecânicos nunca substituirão a realização de alguns ensaios de comprovação,
para efeitos de projecto com materiais compósitos.
Exemplo 4.1. Estime as Constantes de Engenharia de um compósito unidireccional de fibra de vidro com
as seguintes características: Ef = 75 GPa; νf = 0.20; Em = 3 GPa; νm = 0.38 e Vf = 0.55.
Resolução. Admite-se normalmente que a fibra de vidro é isotrópica. Aplicando (4.6) e (4.9), obtemos
Da equação (4.51),
MATERIAIS COMPÓSITOS
106
Dada a isotropia da fibra e da matriz:
Podemos agora recorrer à equação (4.21),
Como vimos no capítulo 3, estas Constantes de Engenharia são suficientes para os problemas mais habi-
tuais de estado plano de tensão. Caso seja necessária uma análise 3D, então há que calcular os módulos
de compressibilidade (4.20):
para então obtermos de (4.19)
e finalmente, de (4.52),
Exemplo 4.2. Considere um compósito carbono/epóxido em que os constituintes têm as seguintes pro-
priedades: Ef1 = 294 GPa; Ef2 = 20 GPa; Gf12 = 40 GPa; νf12 = 0.22; νf23 = 0.28; Em = 3.5 GPa e νm = 0.35.
O fabrico de peças através da moldação por autoclave permite, seguindo as instruções do fabricante, obter
Vf= 0.65. No entanto, com uma amostra de uma peça fabricada através de moldação por vácuo, obteve-se
E1 = 169 GPa nos ensaios de tracção. Preveja as diferenças entre os valores esperados, fornecidos na folha
de especificações do fabricante, e os valores que seriam efectivamente medidos das Constantes de Engenharia.
Resolução.Se de facto tivéssemos Vf = 0.65,
em relação ao qual o valor medido é 12.1 % inferior. Logo, Vf é necessariamente inferior, podendo ser 
calculado através de
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
107
Aplicando (4.9),
pelo que:
mostrando uma pequena diferença de 3.6 % relativamente ao valor esperado. Recorrendo agora a (4.51),
temos então:
ou seja, o valor medido seria cerca de 13 % inferior ao esperado. Finalmente, no que toca ao módulo de
corte (4.21), sabendo que Gm = Em/2(1 + νm) = 1.296 GPa,
obtemos:
sendo portanto de esperar uma diferença de -20 % em relação ao valor esperado. Estas diferenças de 
valores podem dar origem a erros importantes nos cálculos de dimensionamento. Por isso, é importante
estar atento aos valores efectivos do teor de fibra.
4.3. Análise das Resistências
A rotura da camada é geralmente um processo complexo, que pode envolver plasti-
cidade e formação e crescimento de fendas localizadas, sendo portanto muito difícil
de prever. Apesar disto, a análise Micromecânica permite tirar conclusões úteis acerca
dos mecanismos de rotura e das propriedades relevantes dos constituintes. Convém
desde já definir os modos básicos de solicitação da camada (figura 4.10), aos quais
correspondem as seguintes tensões de rotura:
MATERIAIS COMPÓSITOS
108
› σut1 = tensão de rotura longitudinal à tracção;
› σuc1 = tensão de rotura longitudinal à compressão;
› σut2 = tensão de rotura transversal à tracção;
› σuc2 = tensão de rotura transversal à compressão;
› σu12 = tensão de rotura ao corte;
para as quais a tabela 4.2 apresenta alguns valores típicos.
Figura 4.10. Os modos básicos de solicitação da camada.
Tabela 4.2. Tensões de rotura de alguns compósitos unidireccionais [4.11]
Como se pode constatar, à semelhança do que acontece com os módulos, são grandes
as diferenças entre as resistências longitudinais e as transversais. As análises
micromecânicas já realizadas permitem facilmente justificar essas diferenças. Por
exemplo, retomando a equação (4.4), e como Ef1 >> Em,
o que explica que os elevados valores das resistências longitudinais das fibras se
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
109
reflectem nas resistências nos compósitos. Na realidade, há que refinar esta análise,
bem como distinguir as solicitações de tracção das de compressão, pois os mecanis-
mos de rotura são diferentes.
Por outro lado, os modelos de 4.2.1 prevêem que, se a matriz for menos resistente
que a fibra (o que é geralmente correcto, excepto para os compósitos de fibra de
aramida), teremos σut2 = σutm e τu12 = τum. Apesar destes modelos não serem rigo-
rosos, σut2 e σuc2 de compósitos de fibra de vidro e de fibra de carbono são frequente-
mente semelhantes aos das respectivas matrizes. Aliás, o facto de σuc2 ser superior a
σut2 resulta directamente do melhor comportamento à compressão das resinas
poliméricas [4.12, 4.13]. Relativamente a τu12, os seus valores são geralmente superi-
ores aos de σut2. Isso deve-se parcialmente ao facto de, nas resinas poliméricas, τum ser
muito próximo de σutm [4.14, 4.15]. Outra razão é a maior eficácia do reforço na
rigidez ao corte do que à tracção transversal, isto é, o rácio G12/Gm é superior a E2/Em.
No entanto, é importante salientar que os valores de τu12 são algo sensíveis às
metodologias de ensaio [4.16, 4.17].
Há, porém, uma dificuldade básica na definição de σut2 e τu12: verifica-se que, em
compósitos multidirecionais, aquelas dependem das orientações das camadas vizinhas
[4.18-4.20]. Por exemplo, σut2 de um laminado unidireccional é inferior a σut2 de uma
camada de um laminado multidireccional, cujas camadas vizinhas tenham orien-
tações diferentes. As razões para tal são ainda objecto de investigação, mas estão 
relacionadas com influência da presença de fendas, com maior probabilidade de 
existirem e seguramente mais críticas quando há várias camadas com a mesma orien-
tação agrupadas, acabando por constituir uma só camada de maior espessura. Por
conseguinte, os valores de σut2 e τu12 obtidos através de ensaios de provetes unidirec-
cionais devem ser encarados com alguma reserva, o mesmo se aplicando natural-
mente à previsão micromecânica.
Vamos portanto concentrar-nos exclusivamente na análise das resistências longitudinais
de tracção e de compressão, que são de resto as mais importantes por duas razões
fundamentais. Primeiro, porque são as mais elevadas, visto que beneficiam mais 
eficazmente do contributo das fibras. Segundo, porque, nos compósitos multidirec-
cionais, há todo o interesse em ter camadas orientadas nas direcções das cargas 
principais, pois são estas que suportam a maior parte do esforço, dada a sua maior
rigidez.
MATERIAIS COMPÓSITOS
110
4.3.1. RESISTÊNCIA LONGITUDINAL À TRACÇÃO
A base para a previsão da resistência longitudinal à tracção, σut1, é naturalmente o
Modelo de Mecânica dos Materiais da secção 4.2.1. Numa primeira análise, a rotura
do compósito inicia-se quando for atingida a deformação de rotura da fibra, εuf1, ou
da matriz, εum. Torna-se por isso necessário considerar dois casos: εuf1 > εum (figura
4.11a) e εuf1 < εum (figura 4.11b).
a)
b)
Figura 4.11. Representação dos dois casos possíveis de ductilidade relativa dos constituintes e 
suas repercussões na resistência do compósito.
Do ponto de vista das aplicações estruturais, é claramente desejável a primeira situa-
ção (figura 4.11a), para que se aproveite em pleno a elevada resistência das fibras. 
O segundo caso (figura 4.11b) verifica-se nos compósitos de matriz metálica e de
matriz cerâmica, nos quais as preocupações essenciais têm a ver com a rigidez a altas
temperaturas ou com a resistência ao desgaste. Na prática, as matrizes poliméricas
são mais dúcteis do que as fibras, embora por vezes com valores de εum relativamente
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
111
baixos. Nestas condições, a tensão de rotura do compósito é, numa primeira abordagem,
(4.53)
sendo σmf a tensão na matriz para εuf1(figura 4.11a). Deve dizer-se que, apesar de os
diagramas da figura 4.11 sugerirem relações tensão-deformação lineares, esta análise
mantém-se válida quando tal não se verifica, o que é aliás frequente nas matrizes
poliméricas. Por outro lado, a equação (4.53) supõe que σuf1 >> σmf, e que o teor 
de fibras é suficientemente elevado para que a rotura das fibras implique a rotura 
imediata do compósito. Podemos, todavia, para efeitos de análise, considerar o caso
contrário, no qual a matriz poderia suportar alguma carga após a rotura das fibras, e
portanto,
(4.54)
A figura 4.12 confronta as equações (4.53) e (4.54), revelando a existência de uma
fracção volúmica mínima de fibra, Vf,min, a que corresponde σut1 mínima, bem como
uma fracção volúmica crítica de fibra,
(4.55)
acima da qual há ganhos de resistência relativamente à matriz, ou seja, σut1 > σum. Na
realidade, como os valores de Vf,crit são muito baixos, tipicamente à volta de 5 %, só
têm interesse prático as condições de (4.53).
Figura 4.12. Variação da resistência do compósito com a fracção volúmica de fibra segundo as equações (4.53) e (4.54).
Aparentemente, portanto, a previsão de σut1 seria bastante simples. Contudo, a varia-
bilidade estatística da resistência das fibras complica significativamente o problema,
MATERIAIS COMPÓSITOS
112
como vamos em seguida demonstrar.
Recordemos que a distribuição estatística de σuf1 resulta da existência de defeitos ao
longo do comprimento das fibras. Aplica-se habitualmente uma distribuição de
Weibull [4.1, 4.21-4.27],
(4.56)
em que P designa a probabilidade acumulada de rotura, L é o comprimento de refe-
rência da fibra e σw0 e ρ são parâmetros da distribuição que se obtêm dos resultados
experimentais. Logo, para um mesmo nível de probabilidade de rotura P, as tensões
de rotura correspondentes para diferentes comprimentos relacionam-se por
(4.57)
traduzindouma diminuição da resistência com o comprimento de referência da fibra
no ensaio de tracção, até determinado L, naturalmente. A resistência média de uma
fibra, que corresponde a P(σuf1) = 0.5, é então
(4.58)
Por outro lado, se considerarmos um feixe de fibras, todas de comprimento L, a
resistência média do conjunto é
(4.59)
onde é a tensão máxima suportada pelo feixe, ou seja,
(4.60)
e portanto
(4.61)
sendo e a base do logaritmo de Neper. Esta resistência média do feixe de fibras é evi-
dentemente inferior à resistência média de uma só fibra (4.58). Por exemplo, para
fibras de carbono T300, obteve-se uma distribuição estatística (4.56) com σw0 = 6016
MPa, ρ = 7 e L = 25 mm [4.26]. Para o mesmo comprimento de referência, obtemos
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
113
de (4.58), = 3605 MPa, e de (4.61), = 2494 MPa.
Num compósito unidireccional, o processo de rotura é bastante mais complexo, pois,
à medida que, sob tensões crescentes, vão ocorrendo roturas sucessivas em pontos
menos resistentes das fibras, as tensões são redistribuídas pelas restantes zonas das
fibras através de dois mecanismos principais:
› a transferência de carga gradual para a fibra que partiu, até que esta recupere o valor
da tensão que actua nas fibras íntegras suficientemente afastadas do ponto de rotura;
› acréscimos de tensões nas restantes fibras, sobretudo nas mais próximas da fibra que
partiu, devido à concentração de tensões.
Embora modelos analíticos mais simples tenham obtido concentrações de tensões
apreciáveis [4.23-4.29], estudos com modelos mais elaborados [4.29-4.32], incluindo
modelos 3D de elementos finitos [4.31, 4.32] mostram que este último efeito é 
altamente localizado, e relativamente modesto em termos de tensão média na fibra.
Pelo contrário, os mecanismos de transferência de carga são fundamentais, condicio-
nando o chamado "comprimento ineficiente", li, ao longo do qual a tensão na fibra
partida retoma gradualmente a tensão das fibras íntegras. Quanto mais eficiente for a
transferência de carga, menor será li, e portanto maior será o número de roturas que
cada fibra pode sofrer, permitindo globalmente uma maior tensão de rotura do 
compósito.
Vejamos em mais pormenor o que se passa após a rotura de uma fibra, de acordo com
a representação esquemática da figura 4.13. Devido às elevadas tensões aplicadas, as
superfícies de fractura da fibra separam-se, gerando instantaneamente na interface
fibra-matriz tensões de corte elevadas. A camada de matriz que circunda as superfí-
cies fracturadas da fibra vai estar sujeita às tensões de corte transmitidas pela inter-
face. Logo, se a interface for menos resistente ao corte do que a matriz, dar-se-à a
descoesão interfacial. Caso contrário, devido à acção combinada das tensões de corte
e das tensões normais, forma-se uma fenda na matriz, seguida de uma zona plástica
relativamente extensa.
Para analisarmos a transferência de carga, consideremos inicialmente o equilíbrio de
forças de um elemento de fibra (figura 4.14), que se traduz por
(4.62)
MATERIAIS COMPÓSITOS
114
sendo df o diâmetro da fibra e τi a tensão de corte longitudinal na interface.
a) b)
Figura 4.13. Modos de rotura à volta de uma fibra partida: a) descoesão interfacial; b) fissuração da matriz.
Figura 4.14. Equilíbrio de forças de um elemento de fibra à tracção.
Resta estabelecer as condições exactas de transferência de carga, o que fazemos recor-
rendo ao modelo da figura 4.15 [4.32]. Neste, a camada de matriz à volta da fibra
partida é representada por um cilindro de raio exterior rm, tangente às fibras vizinhas
de um arranjo hexagonal.
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
115
Figura 4.15. Modelo de cilindros concêntricos para determinação da transferência de carga da matriz para 
a fibra partida [4.32], aplicável para descoesão interfacial (a) ou fissuração da matriz (b).
Como vimos anteriormente, imediatamente a seguir à superfície fracturada da fibra,
ou seja, para 0 ≤ z < zr (figura 4.15), dá-se descoesão interfacial ou forma-se uma
zona de cedência plástica da matriz. Admitimos então que a tensão de corte interfa-
cial assume nessa zona um valor constante, τir, igual à tensão de rotura da interface,
τui, ou à tensão de cedência da matriz, τpm. Esta última hipótese implica admitir que
a matriz tem comportamento elasto-perfeitamente plástico. Assim, sendo a tensão na
fibra nula em z = 0, da integração de (4.62),
(4.63)
equação idêntica à dos modelos de Kelly [4.33] e de Piggott [4.34] para os casos de
adesão perfeita e de descoesão interfacial, respectivamente.
Em qualquer dos casos, em z ≥ zr, há, obviamente, uma zona de adesão interfacial em
que a matriz se mantém elástica. Dada a maior rigidez das fibras, podemos admitir
deformação de corte na matriz constante na direcção radial, e que,
(4.64)
onde wb e wo são os deslocamentos axiais das fibras partida e vizinhas mais próximas
(figura 4.15), respectivamente, e, da geometria hexagonal da célula (figura 4.15),
(4.65)
Se aplicarmos a lei de Hooke,
MATERIAIS COMPÓSITOS
116
(4.66)
substituirmos as variáveis em (4.62), e derivarmos esta última, obtemos
(4.67)
Sendo σfo a tensão remota nas fibras íntegras,
(4.68)
(4.69)
que, substituídas em (4.67), dão origem a uma equação diferencial para σf, cuja
solução é
(4.70)
com
(4.71)
As condições fronteira a impor são que σf → σfo quando z → ∝, de onde C2 = 0, e
que τi(zr) = τir, obtendo-se τi(z) da substituição de (4.70) em (4.62). Obtemos final-
mente
(4.72)
e, da continuidade de σf em z = zr,
(4.73)
A equação (4.72) é semelhante à de Cox [4.35], que, porém, não considerou nenhu-
ma zona precedente, tornando portanto o seu modelo irrealista. A figura 4.16 mostra
a forma típica da curva de evolução da tensão na fibra partida. Dada a evolução
assimptótica de σf na zona elástica, define-se normalmente o comprimento ineficiente
li anteriormente referido como sendo a distância z na qual se atinge uma percentagem
elevada da tensão remota, ou seja,
(4.74)
Portanto, atendendo a (4.72) e a (4.73),
(4.75)
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
117
Como sugere a figura 4.16, li é fortemente condicionado pelas zonas de descoesão
interfacial ou de cedência da matriz.
Figura 4.16. Forma típica da distribuição de tensão ao longo da fibra partida.
Exemplo 4.3. Considere um compósito carbono/epóxido unidireccional com as seguintes características:
Ef1 = 230 GPa; df = 6 μm; Em = 3.5 GPa; νm = 0.35; τpm = 60 MPa; Vf = 0.6.
a) Definindo li como sendo a distância a que a tensão na fibra atinge 98 % da tensão remota e admitindo 
que τir = τpm, determine li quando εfo = 1 % e quando εfo = 1.5 %. 
b) Resolva a) com τir = 0.5τpm.
Resolução
a) De (4.65), tm = 1.377 μm, e sabendo que
obtemos de (4.71) β = 52.24 mm-1. Como
da aplicação de (4.75) resulta
b) Procedendo de modo análogo a a), obtém-se
Este exemplo mostra claramente a importância da boa adesão interfacial para mini-
mizar li, que se traduz em melhoria na resistência à tracção longitudinal. Estudos mais
recentes [4.36, 4.37] indicam ser esta a situação mais frequente nos compósitos, dada
a utilização de revestimentos das fibras com o objectivo específico de promover boa
adesão à matriz. No entanto, em [4.32] é colocada a hipótese de haver roturas inter-
MATERIAIS COMPÓSITOS
118
faciais devido às elevadas deformações de corte locais a que está sujeita a fina camada
de matriz. O exemplo permite também verificar que li é muito mais pequeno do que
os comprimentos de referência, L, em que é possível determinar directamente as 
distribuições estatísticas de resistência das fibras (4.56). É portanto questionável a
aplicabilidade destas a segmentos de fibra com comprimento li, problema que é par-
ticularmente importante, pois os modelos de previsão da resistência do compósitodividem as fibras em vários segmentos com aquela dimensão.
Os modelos mais elaborados recorrem à simulação de Monte Carlo [4.25-4.27], com
a resistência de cada segmento gerada aleatoriamente com base na distribuição
estatística (4.56). Procede-se então ao acréscimo gradual da carga aplicada, determi-
nando as roturas sucessivas dos vários segmentos de fibra e efectuando as redis-
tribuições de tensões correspondentes, até que não seja possível aumentar mais a
carga. Trata-se portanto de modelos que exigem meios computacionais conside-
ráveis, e que não deixam de assentar em algumas hipóteses simplistas, por exemplo,
li independente da tensão na fibras, e regras relativamente grosseiras de transferência
de carga para as fibras vizinhas [4.25-4.27].
Mais uma vez, face a estas dificuldades, é pertinente a questão da real necessidade da
previsão micromecânica de σut1, dado que se trata de uma grandeza que é essencial
medir. Por um lado, recordemos que a análise micromecânica permitiu compreender
os mecanismos de rotura e identificar os factores relevantes para maximizar σut1, caso
da boa adesão interfacial. Por outro lado, há também uma aplicação de grande
importância, que são os efeitos de tamanho em σut1, resultantes da distribuição
estatística de resistência das fibras. Como veremos no capítulo 6, estes manifestam-se
na presença de zonas de concentração de tensões, pois o volume de material sujeito
a tensões elevadas é relativamente pequeno. Por conseguinte, a previsão da resistência
longitudinal à tracção é uma área de investigação relevante.
4.3.2. RESISTÊNCIA LONGITUDINAL À COMPRESSÃO
O interesse na previsão micromecânica da resistência longitudinal à compressão,
σuc1, é reforçado pelas dificuldades na medição experimental. De facto, como veremos
em mais detalhe no capítulo 9, dos ensaios de compressão de provetes unidireccionais
obtêm-se geralmente valores de σuc1 inferiores aos de σut1 [4.38-4.42]. Na verdade,
isso deve-se a acentuados efeitos de transmissão de carga, que conduzem a rotura
prematura junto às zonas de amarração. Com métodos de ensaio mais recentes,
demonstrou-se que, em vários tipos de compósitos, σuc1 era frequentemente superior
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
119
a σut1 [4.41, 4.42].
Diversos estudos experimentais mostraram que o mecanismo de rotura à escala
micromecânica é a microencurvadura das fibras, que por vezes dá origem às
chamadas bandas de corte (figura 4.17), visíveis após a rotura dos provetes [4.1,
4.43-4.45]. Os modelos de previsão são por isso de dois tipos:
› modelos que tratam directamente a microencurvadura das fibras, trabalhando a uma
escala verdadeiramente micromecânica;
› modelos que consideram a propagação das bandas de corte que surgem em conse-
quência da microencurvadura.
Figura 4.17. Bandas de corte observadas em ensaios de compressão de compósitos unidireccionais.
Dentro da primeira categoria, o modelo de Rosen [4.46] foi a primeira abordagem a
adquirir notoriedade. Rosen considerou dois modos de microencurvadura (figura
4.18), que classificou de "extensional" e "de corte", consoante as deformações
prevalecentes na matriz. Com base nas análises e nas observações experimentais, 
verificou-se, como aliás é intuitivo, que é o modo de corte que ocorre nos casos de
interesse prático, nos quais os compósitos possuem teores de fibra elevados. O modelo
2D de Rosen assenta fundamentalmente nas seguintes hipóteses:
› as fibras estão inicialmente perfeitamente alinhadas com a carga de compressão apli-
cada;
› a flexão das fibras é descrita pela Teoria das Vigas;
› a matriz tem comportamento linear elástico.
Figura 4.18. Os modos de microencurvadura: a) extensional; b) de corte.
MATERIAIS COMPÓSITOS
120
A rotura dá-se quando é atingida a tensão limiar de instabilidade da fibra, σfi, sendo
a resistência à compressão do compósito σuc1 obtida através de (4.4), na qual
podemos desprezar a contribuição da matriz, isto é,
(4.76)
A energia potencial do sistema é dada por
(4.77)
em que W é o trabalho realizado pela carga aplicada à fibra, Uf é a energia de defor-
mação de flexão da fibra e Um é a energia de deformação de corte da matriz. Por 
conveniência, consideramos todas estas quantidades por unidade de espessura do
compósito. Tratando-se de uma análise linear, a instabilidade ocorre quando a energia
potencial se anula, ou seja, quando
(4.78)
O trabalho realizado pela carga de compressão é
(4.79)
onde hf e hm são as dimensões características da fibra e da matriz (figura 4.1) e uc é o
deslocamento do ponto de aplicação da carga. Desprezando as deformações de com-
pressão da fibra, (figura 4.19), 
(4.80)
admitindo pequenos deslocamentos transversais da fibra, y(x).
Figura 4.19. Definição do deslocamento do ponto de aplicação da carga de compressão.
Recorrendo à Teoria das Vigas, a energia de flexão da fibra é dada por [4.47]
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
121
(4.81)
em que o momento flector é
(4.82)
e If é o segundo momento de área da secção, neste caso, If = hf3/12, pelo que (4.81)
pode escrever-se
(4.83)
A energia de deformação de corte da matriz é, genericamente,
(4.84)
onde a deformação de corte da matriz, γm, é determinada com base nas hipóteses 
cinemáticas da figura 4.20, ou seja,
(4.85)
que, substituída em (4.84), dá
(4.86)
Figura 4.20. Cinemática do modelo de modo de corte de microencurvadura [4.46].
Resta agora substituir as equações (4.79), (4.80), (4.83) e (4.86) em (4.78), obtendo-
-se uma equação diferencial para a deformada da fibra y(x). Demonstra-se [4.46,
4.47] que a solução que dá origem à menor tensão crítica é
MATERIAIS COMPÓSITOS
122
(4.87)
do que resulta
(4.88)
pois o comprimento de encurvadura, L, é naturalmente muito maior do que hf.
Substituindo agora (4.88) em (4.76), obtém-se a conhecida fórmula de Rosen
(4.89)
na qual é interessante verificar que não intervêm as propriedades da fibra, pois a energia
de flexão da fibra é desprezável face à energia de deformação ao corte da matriz. Na
realidade, esta expressão prevê valores demasiado elevados para a resistência à com-
pressão, tipicamente entre 3 e 4 GPa, facto que se explica pela influência combinada
da ondulação inicial das fibras e do comportamento não-linear da matriz. Vários
autores (por exemplo [4.48-4.51]) desenvolveram modelos, baseados na formulação
de Rosen, com o intuito de ter em conta aqueles dois factores. Todavia, os modelos
rigorosos exigem sempre formulações geometricamente não-lineares e procedimentos
numéricos iterativos de resolução das equações [4.52, 4.53].
Uma hipótese para simplificar o problema consiste em admitir que o estado de insta-
bilidade é aproximadamente igual ao de início de cedência plástica da matriz [4.54].
Na presença de ondulações iniciais do tipo sinusoidal
(4.90)
e supondo que a deformada é, em qualquer instante,
(4.91)
o trabalho realizado pela carga aplicada é agora dado por
(4.92)
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
123
Por seu turno, a deformação de corte na matriz é
(4.93)
e, uma vez inserida em (4.84), obtém-se
(4.94)
Desprezando a energia de flexão da fibra, a energia potencial do sistema (4.77) é apenas
e substituindo (4.92) e (4.94),
(4.95)
Do Princípio da Energia Potencial Mínima,
(4.96)
obtemos
(4.97)
Resta agora usar um critério de cedência da matriz, que, no caso mais geral, tem que
ter em conta o estado biaxial de tensões a que esta está sujeita, incluindo as tensões
de compressão, σm. No entanto, se admitirmos que Ef1 >> Em, o que é uma excelente
aproximação para compósitos de fibra de carbono, podemos ignorar σm e considerar
apenas a tensão de corte
(4.98)
depois de substituídas (4.93), (4.90) e (4.91). Atendendo a (4.97),
(4.99)
em que θ0 é o ângulo máximo de ondulação da sinusóide, que, sendo bastante
pequeno,
MATERIAISCOMPÓSITOS
124
(4.100)
Se recorrermos à aproximação elasto-perfeitamente plástica de igual energia de defor-
mação da figura 4.21 e usarmos um módulo de corte médio, Gem = τum/γem, podemos
resolver (4.99) para a tensão de rotura
(4.101)
Figura 4.21. Aproximação elasto-perfeitamente plástica de igual energia de deformação.
Esta formulação 2D pode ainda ser extendida a 3D substituindo em (4.101) Gem por
um módulo equivalente [4.53, 4.54]
(4.102)
pelo que 
(4.103)
Como é evidente, é difícil encontrar disponíveis os valores do ângulo de ondulação θ0
e de Gem, que exige o conhecimento de toda a curva τ-γ da matriz. Os valores de θ0
podem ser obtidos por análise da elipticidade das secções das fibras em cortes trans-
versais do compósito [4.55-4.58], ou por reconstituição das trajectórias dos centros
das fibras ao longo de cortes transversais sucessivos [4.59]. Os ângulos das ondu-
lações são obviamente sujeitos a variabilidade estatística, e os valores absolutos
médios andam à volta de 0.8 a 1º [4.55-4.59]. A tabela 4.3 compara as previsões de
(4.95) com resultados experimentais [4.54], revelando geralmente boa concordância.
CAPÍTULO 4: MICROMECÂNICA DA CAMADA
125
Tabela 4.3. Comparação do modelo de previsão com resultados experimentais para compósitos carbono/epóxido [4.44].
Para concluir, uma breve referência à outra abordagem referida, que consiste em
modelar a propagação das bandas de corte (figura 4.17), originada pela rotura à
flexão das fibras resultante de microencurvadura localizada [4.60-4.67]. Estes mode-
los tratam o compósito como um sólido homogéneo anisotrópico, não sendo por isso
verdadeiramente micromecânicos. O principal modelo deste tipo foi desenvolvido por
Budianski [4.60]. Os cálculos são longos e elaborados sobretudo quando são incluídos
os desalinhamentos iniciais e o comportamento elasto-perfeitamente plástico da
matriz. Uma limitação importante do modelo é necessitar, como dado do problema,
do valor do ângulo de inclinação da banda, β (figura 4.17). Segundo a maior parte
dos autores [4.60-4.67], β ≈ 15º, valor para o qual se prevê [4.60]
(4.104)
em que φ0 é o ângulo de desalinhamento inicial das fibras. É interessante verificar
que, não obstante serem diferentes as quantidades envolvidas, são notórias as seme-
lhanças entre as equações (4.96) e (4.95).
4.3.3. CONCLUSÃO
Nesta secção, foram apresentadas análises micromecânicas das resistências longi-
tudinais à tracção e à compressão da camada. No primeiro caso, há dificuldades em
obter dados experimentais que são essenciais para os modelos. Por outro lado, os
modelos até agora propostos são complexos, sem que o rigor possa ser realmente
comprovado. Quanto à resistência à compressão, há modelos que se exprimem por
equações bastante simples, e cujas previsões se revelaram bastante rigorosas.
Todavia, os dados necessários para os aplicar raramente estão disponíveis. Estas 
limitações, que resultam naturalmente da complexidade dos problemas tratados,
poderão ser ultrapassadas com os progressos nas técnicas experimentais, o que 
MATERIAIS COMPÓSITOS
126
permitirá aplicar modelos micromecânicos com maiores níveis de confiança.
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MATERIAIS COMPÓSITOS
130
Capítulo 5
Critérios de Rotura 
da Camada
5.1. Introdução
No capítulo anterior (vide 4.3), foram apresentados os modos básicos de solicitação
da camada, bem como valores típicos das tensões de rotura correspondentes. No
entanto, é fundamental saber prever a rotura nas situações mais gerais, em que uma
camada integra um compósito multidireccional, sujeito a solicitações multiaxiais. É
precisamente este o objectivo dos critérios de rotura.
Como é evidente, trata-se de um assunto cuja complexidade é incompatível com uma
análise micromecânica nos moldes do capítulo 4. Volta-se por isso a considerar a cama-
da como um sólido homogéneo anisotrópico, como foi feito no capítulo 3. Ficaram
então patentes as vantagens em recorrer às leis constitutivas no referencial principal
123 , e daí os critérios de rotura serem sempre expressos em função das tensões neste
referencial. Por conseguinte, a obtenção destas tensões através das operações descritas
no capítulo 3 é o primeiro passo para avaliar a integridade da camada. Atendendo ao
actual estado da arte e à sua importância prática, continuamos, no seguimento de 3.6,
a admitir estado plano de tensão na direcção da espessura da camada.
Idealmente, os critérios de rotura deveriam obedecer a dois requisitos fundamentais
algo contraditórios:
› interactividade plena, ou seja, a capacidade de ter em conta os efeitos de todas as
componentes das tensões;
CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
131
› permitir a identificação do modo de rotura ao nível micromecânico, o que é parti-
cularmente importante ao nível da distinção básica entre roturas de fibras e roturas
da matriz, poissão as primeiras que comprometem decisivamente a integridade
global do laminado, como veremos no capítulo 7.
Outro ponto importante é o compromisso entre complexidade e rigor. De facto, os
critérios mais elaborados exigem geralmente mais dados experimentais, nomeada-
mente resultados de ensaios biaxiais. Todavia, estes ensaios são de execução delicada,
estando sujeitos a problemas de rotura prematura junto aos sistemas de amarração 
e a dispersões estatísticas consideráveis (ver capítulo 10).
O desenvolvimento de critérios de rotura tem merecido grande atenção dos investi-
gadores, não sendo possível rever exaustivamente todos os critérios propostos. Vamos
portanto restringir-nos principalmente aos que têm demonstrado ser os mais 
rigorosos, tendo porém em mente que não existe actualmente um critério que se
possa afirmar ser claramente superior a outros.
5.2. Critérios Não-Interactivos
Tal como o nome indica, os critérios não-interactivos não têm em conta os efeitos
combinados das várias componentes do tensor das tensões [5.1, 5.2]. A limitação
principal destes critérios é que as previsões não são geralmente conservadoras, sobre-
tudo perante estados de tensão que se desviam bastante da uniaxialidade. No entanto,
há autores que preferem este tipo de critérios, na medida em que possibilitam uma
identificação imediata do modo de rotura, e porque não está efectivamente demons-
trado que sejam menos rigorosos que os critérios interactivos [5.3-5.6].
Pertence a este grupo o chamado critério da tensão máxima, que prevê a rotura quando
uma das componentes do tensor das tensões atinge a tensão de rotura correspon-
dente. Deste modo, para evitar a rotura há que garantir que se verificam as seguintes
desigualdades:
(5.1)
onde os valores numéricos das resistências à compressão são considerados positivos.
MATERIAIS COMPÓSITOS
132
Zinoviev et al [5.3, 5.4] usaram este critério num estudo internacional recente em que
foi disponibilizado um vasto conjunto de resultados experimentais [5.7]. Apesar da
não-interactividade, o critério da tensão máxima revelou-se um dos mais rigorosos
[5.7].
Outro critério não-interactivo é o critério da deformação máxima, segundo o qual a
rotura se dá quando uma das deformações atinge o respectivo valor de rotura. A
condição de integridade exprime-se agora por
(5.2)
Recorrendo à lei constitutiva (3.51), pode-se exprimir este critério em termos de ten-
sões. A figura 5.1 compara as curvas de rotura previstas pelos critérios da tensão 
máxima e da deformação máxima numa situação de carregamento biaxial com σ1 e
σ2, admitindo propriedades típicas da camada de um compósito de fibra de carbono.
Figura 5.1. Curvas de rotura previstas pelos critérios de tensão máxima (TM) e da deformação máxima (DM). 
Admitiu-se E1 = 140 GPa, E2 = 10 GPa, ν12 = 0.28, G12 = 6 GPa, σut1 = 2000 MPa, σuc1 = 1800 MPa, σut2 = 60 MPa, 
σuc2 = 180 MPa e τu12 = 75 MPa. 
Este critério não apresenta vantagens significativas em relação ao da tensão máxima,
e tem como limitação a necessidade de recorrer à lei constitutiva, o que dificulta a
aplicação a processos de degradação progressiva das camadas em laminados multi-
direccionais. Hart-Smith [5.5, 5.6] introduziu algumas alterações ao critério com o
intuito de melhorar as suas previsões. Porém, quando confrontados com um vasto
conjunto de resultados experimentais, as diversas variantes do critério revelaram-se
claramente inferiores ao critério de Zinoviev et al, bem como a alguns critérios 
interactivos.
CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
133
5.3. Critérios Interactivos
Os critérios de rotura interactivos mais importantes são quadráticos, isto é,
exprimem-se em função das tensões sob a forma de polinómios do 2º grau. Um dos
mais utilizados é o chamado critério de Tsai-Hill [5.1, 5.2, 5.8], que deriva do critério
de Hill de cedência plástica dos metais. Este, por sua vez, foi desenvolvido a partir do
critério de cedência de von Mises para metais isotrópicos, com o objectivo de 
descrever a anisotropia resultante do encruamento. No caso mais geral de solicitações
tridimensionais, a fórmula do critério de Hill é
(5.3)
em que as constantes A, , , F são determinadas com base nas tensões de cedên-
cia σ0,ij, medidas em ensaios sob solicitações uniaxiais:
(5.4)
Admitindo estado plano de tensão e substituindo as tensões de cedência por tensões
de rotura, obtém-se o critério de Tsai-Hill, que prevê a rotura quando
(5.5)
Notar que o critério de Hill admite que as tensões de cedência são iguais em tracção
e em compressão, mas tal não se aplica às tensões de rotura da camada. Na prática,
esta dificuldade é contornada adoptando a resistência correspondente ao sinal da 
tensão. Por exemplo, se σ1 > 0 e σ2 < 0, devem-se usar em (5.5) σut1 e σuc2. A figura
5.2 mostra a curva de rotura prevista para estados de tensão biaxiais com σ1 e σ2,
comparando-a com o critério da tensão máxima.
MATERIAIS COMPÓSITOS
134
Figura 5.2. Curvas de rotura previstas pelos critérios da tensão máxima (TM) e de Tsai-Hill (TH). 
Admitiu-se σut1 = 2000 MPa, σuc1 = 1800 MPa, σut2 = 60 MPa, σuc2 = 180 MPa e τu12 = 75 MPa. 
Apesar de ter tido alguma popularidade, o critério de Tsai-Hill apresenta várias 
deficiências ao nível da sua base teórica. De facto, são evidentes as inconsistências
com a formulação inicial de Hill de que deriva, e que contrariam os resultados expe-
rimentais para compósitos. Nomeadamente, é sabido que, nos metais, estados de 
tensão hidrostáticos não provocam cedência plástica, facto que motiva a utilização
exclusiva de termos quadráticos das tensões em (5.3), que obviamente se mantém em
(5.5). Na realidade, verifica-se que os compósitos unidireccionais podem sofrer rotura
sob estados de tensão hidrostáticos. Hoffman [5.9] prop s um critério que incorpora
termos lineares nas tensões. Na realidade, trata-se de um caso particular da formu-
lação de Tsai e Wu [5.10], na qual a superfície de fractura é descrita pelo polinómio
tensorial quadrático
(5.6)
em que Fi e Fij são tensores de resistência a determinar experimentalmente e i, j = 1,
2, ... , 6, recorrendo portanto à notação contraída definida no capítulo 3. Admitindo
estado plano de tensão e excluindo o termo linear em σ6 = τ12, desnecessário porque
a resistência ao corte não depende do sinal, obtém-se a fórmula do critério dito de
Tsai-Wu,
(5.7)
Facilmente se constata que a inclusão dos termos lineares em σ1 e em σ2 permite ter
em conta as diferentes resistências à tracção e à compressão, o que torna o critério
naturalmente consistente com o comportamento real dos compósitos. As situações de
carregamento uniaxial podem ser usadas para determinar quase todos os parâmetros
CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
135
de (5.7). Por exemplo, os parâmetros F1 e F11 são obtidos considerando os casos de
tracção e de compressão longitudinais, resolvendo o sistema de equações
Procedendo deste modo, facilmente se obtêm:
(5.8)
continuando a assumir valores algebricamente positivos para as resistências à com-
pressão. A excepção é F12, cuja determinação rigorosa exige a realização de ensaios
biaxiais com tensões σ1 e σ2. Como já foi referido, estes são difíceis de executar, e os
resultados apresentam dispersões consideráveis. Isto afecta o rigor dos valores de F12
e, consequentemente, das previsões do critério. Wu [5.11] sugeriu por isso processos
elaborados de optimização do rácio σ1/σ2 a adoptar no ensaio biaxial de modo a 
minimizar o erro na determinação de F12. Para assegurar que (5.7) delimita uma
superfície fechada, deve verificar-se que
(5.9)
Por outro lado, a concretização do valor de F12 permite também encarar outros
critérios propostos como casos particulares do critério de Tsai-Wu. Por exemplo, no
critério de Hoffman [5.9],
(5.10)
enquanto Tsai e Hahn [5.12] sugeriram
(5.11)
dando origem ao chamadocritério de von Mises generalizado. Resultados experimentais
indicam que, para a maior parte dos materiais [5.13, 5.14], 
(5.12)
sendo que o limite inferior (5.11) se ajusta bem ao comportamento dos compósitos
MATERIAIS COMPÓSITOS
136
de fibra de carbono. Como se pode constatar na figura 5.3, as previsões do critério
são bastante sensíveis ao valor de F12 no intervalo definido por (5.12). Notar também
que, quando F12/(F11.F22)1/2 = -1/2, o critério prevê um aumento substancial da
resistência no domínio da compressão biaxial, ou seja, quando σ1 e σ2 < 0, facto para
o qual não há comprovação experimental [5.7]. Apesar destas limitações, o critério
de Tsai-Wu é considerado um dos melhores critérios actualmente disponíveis, à luz
de um estudo internacional realizado recentemente [5.7].
É ainda possível melhorar as capacidades de previsão dos critérios interactivos recor-
rendo a polinómios tensoriais cúbicos [5.15]. Todavia, acentuam-se as dificuldades
na determinação dos parâmetros experimentais necessários, e subsiste uma limitação
inerente aos critérios interactivos: a impossibilidade de identificar claramente o modo
de rotura.
Figura 5.3. Curvas de rotura previstas pelo critério Tsai-Wu com F12/(F11.F22)1/2 = -1/2 e 0. 
Admitiu-se σut1 = 2000 MPa, σuc1 = 1800 MPa, σut2 = 60 MPa, σuc2 = 180 MPa e τu12 = 75 MPa. 
5.4. Critérios Parcialmente Interactivos
Estes critérios visam atingir um compromisso entre interactividade e capacidade de
distinguir modos de rotura, sobretudo a nível de roturas de fibras e roturas de matriz.
Por conseguinte, procura-se uma base micromecânica, que, como vimos no capítulo
4, assenta geralmente em duas hipóteses simplificadoras: 
› as tensões longitudinais são suportadas essencialmente pelas fibras;
› as tensões transversais e de corte tendem a provocar roturas da matriz, uma vez que
esta é menos resistente que a fibra.
CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
137
Descrevemos aqui os critérios de Hashin-Rotem [5.16] e de Puck [5.17, 5.18], que
foram recentemente objecto de avaliação favorável [5.7].
O critério de Hashin-Rotem é idêntico ao critério da tensão máxima no que toca à
rotura das fibras, ou seja, a condição de integridade é
(5.13)
Por seu turno, a rotura da matriz é prevista quando
(5.14)
sendo que σu2 = σut2 se σ2 > 0 e σu2 = σuc2 se σ2 < 0. A figura 5.4 representa a curva
de rotura correspondente. Este critério foi implementado por Sun et al [5.19, 5.20],
tendo-se verificado bons níveis de concordância com os resultados experimentais do
estudo internacional já mencionado [5.7].
Figura 5.4. Curva de rotura de matriz prevista pelo critério de Hashin-Rotem. 
Admitiu-se σut2 = 60 MPa, σuc2 = 180 MPa e τu12 = 75 MPa. 
O critério de Puck [5.17, 5.18] vai mais longe na análise da rotura transversal, que é
genericamente designada por rotura entre fibras, de forma a incluir eventuais roturas
interfaciais ou das próprias fibras. Puck considera a hipótese de o ângulo de fissu-
ração da camada, α, poder variar conforme as solicitações que actuam na camada
(figura 5.5), sendo o critério expresso em função das tensões σn, τnt e τnl, que actuam
na face da fenda, e das respectivas resistências, Rn, Rnt e Rnl. Concretamente, Puck e
Sch rmann [5.17, 5.18] propõem
MATERIAIS COMPÓSITOS
138
(5.15)
em que c1, c2, pnt e pnl são parâmetros empíricos a determinar por ajuste de resultados
experimentais.
Do equilíbrio de forças do elemento representado na figura 5.5, obtêm-se as tensões
σn, τnt e τnl em função de σ2 e τ12:
(5.16)
Figura 5.5. Tensões na face da fenda que são consideradas no critério de Puck.
De forma análoga, é possível relacionar as resistências Rn, Rnt e Rnl com σut2, σuc2 e
τu12, atendendo também à isotropia transversal da camada. Por exemplo, é fácil ver
que Rn = σut2, e que Rnl = τu12. Como é evidente, a aplicação deste critério exige tam-
bém um cálculo prévio do ângulo de fissuração α, que, perante um estado de tensão
conhecido (σ2 e τ12), consiste em achar o máximo da função Fu(α), dada por
(5.17)
CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
139
Puck distingue então 3 modos de fissuração (figura 5.6):
› modo A, que se dá para σ2 ≥ 0 com α = 0º;
› modo B, no qual α = 0º e σ2 < 0;
› modo C, que se observa para σ2 < 0 e com ≠ 0 em compósitos relativamente espes-
sos.
Trata-se portanto de um critério de aplicação mais complexa, e que envolve um 
conjunto significativo de parâmetros empíricos. Os seus valores, bem como simplifi-
cações adicionais, são justificadas em [5.17, 5.18]. Pode-se também constatar que o
critério de Puck é claramente mais optimista do que o de Hashin-Rotem na zona de
σ2 < 0 (figuras 5.4 e 5.6). A comparação com resultados experimentais permitiu que
o critério de Puck fosse considerado um dos melhores actualmente disponíveis [5.7].
Figura 5.6. Forma típica de uma curva de rotura transversal prevista pelo critério de Puck, e correspondência 
com os modos de rotura definidos. Para efeitos de comparação, incluiu-se a curva do critério de Hashin-Rotem.
Exemplo .1. Uma placa em compósito unidireccional vidro/epóxido está submetida a um estado de com-
pressão biaxial, tal que ε2 = 3ε1. As propriedades do compósito são: E1 = 40 GPa; E2 = 8 GPa; ν12 = 0.30;
G12 = 4 GPa; σut1 = 1100 MPa; σuc1 = 800 MPa; σut2 = 40 MPa; σuc2 = 130 MPa e τu12 = 70 MPa, cal-
cule as tensões no compósito quando se der a rotura, de acordo com as previsões dos critérios de Tsai-Hill,
Tsai-Wu e Hashin-Rotem.
Resolução. Como vimos em 3.6, nomeadamente nas equações (3.51) e (3.52),
MATERIAIS COMPÓSITOS
140
não sendo relevantes para este caso as tensões e deformações de corte. Como os critérios de rotura estão
expressos em função das tensões, é conveniente definir
pelo que, atendendo aos dados do problema (ε2 = 3ε1),
Começando pelo critério de Tsai-Hill, a equação (5.5) reduz-se a
Recorrendo à relação entre as tensões e atendendo a que se trata de compressão biaxial, obtém-se facilmente
No que toca ao critério de Tsai-Wu (5.7), na ausência de tensões de corte,
onde, de (5.8) e (5.11):
Trata-se agora de resolver para σ2 a equação polinomial quadrática,
considerando apenas o caso de σ2 < 0, e de obter posteriormente σ1. O resultado:
é um pouco mais optimista que o anterior.
Finalmente, o critério de Hashin-Rotem (5.13) prevê rotura das fibras para
A rotura da matriz (5.14) ocorreria quando
CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
141
sendo portanto crítica. Notar que, neste caso particular, o critério de Hashin-Rotem é idêntico ao da tensão
máxima (5.1).
Exemplo .2. Um laminado multidireccional de carbono/epóxido está sujeito a uma tensão normal σx.
Pretende-se prever a rotura de uma das suas camadas que está orientada a 45º relativamente à tensão apli-
cada. A natureza do laminado e das condições fronteira permitem admitir que εy = γxy = 0. As propriedades
da camada medidas foram: E1 = 140 GPa; E2 = 10 GPa; ν12 = 0.28; G12 = 6 GPa; σut1 = 2000 MPa; 
σuc1= 1800 MPa; σut2 = 60 MPa; σuc2 = 180 MPa e τu12 = 75 MPa. Calcule a tensão σx crítica segundo
os critérios da tensão máxima, Tsai-Hill, Tsai-Wu e Hashin-Rotem. 
Resolução. A primeira fase do problema consiste em obter as tensões na camada. Assim, começamos por
determinar as constantes de rigidez no referencial principal recorrendo a (3.54), de onde:
Em seguida, obtemos os termos da matriz de rigidez no referencial xyz , aplicando as fórmulas da tabela
3.5 com c = cos 45º e s = sin 45º, tal que:
Da lei constitutiva (3.57):
Agora há que obter as tensões no referencial principal aplicando (3.55), de onde resultam
com α1 = 1.5914, α2 = 0.14265 e α6 = -0.13298. Estamos finalmente em condições de aplicar os critérios
de rotura.
Do critério da tensão máxima (5.1), 
MATERIAIS COMPÓSITOS
142
sendo o segundo rácio o crítico, ou seja, prevê-se rotura à tracção transversal.O critério de Tsai-Hill (5.5) prevê
valor claramente mais conservador.
Quanto ao critério de Tsai-Wu (5.7), de (5.8) e (5.11):
Resolvendo a equação polinomial quadrática,
resultado muito próximo do critério de Tsai-Hill.
Finalmente, o critério de Hashin-Rotem (5.13) prevê rotura das fibras para
Da condição de rotura da matriz (5.14),
5.5. Conclusão
Apresentaram-se neste capítulo os critérios de rotura actualmente mais utilizados,
tendo sido feita a sua apreciação à luz dos resultados de um estudo internacional
recente. Apesar do esforço que tem sido feito no sentido de desenvolver e validar
critérios, é evidente que se está longe de poder apontar o mais rigoroso. As dificul-
dades são muitas, não só a nível das formulações, mas também a nível experimental,
entre as quais salientamos:
› modos de rotura indesejados, como é o caso da encurvadura em ensaios de com-
pressão;
› deformações plásticas e não-linearidade geométrica consideráveis em solicitações de
CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
143
compressão transversal e ao corte de certos tipos de compósitos, que tornam difícil
definir um ponto de rotura;
› incertezas quanto ao estado de tensão real, em virtude de efeitos de tensões residuais
de fabrico, que podem ser particularmente significativas, como veremos no capítulo 7;
› problemas na detecção da fissuração transversal em laminados multidireccionais,
uma vez que estes continuam geralmente a poder suportar cargas crescentes;
› dependência das resistências à tracção transversal e ao corte da orientação das
camadas vizinhas, fenómeno que já foi referido no capítulo 4;
› dispersões muito consideráveis nos resultados experimentais, que resultam essen-
cialmente da natureza heterogénea dos compósitos. 
São estes problemas que justificam o facto, à partida paradoxal, de, com base nos
mesmos resultados experimentais [5.7], se tenha concluído acerca do bom desem-
penho de critérios tão diferentes como os de Zinoviev [5.3, 5.4], Tsai-Wu [5.13,
5.14] e Puck [5.17, 5.18]. Naturalmente, o desempenho destes variou conforme a
situação, embora não se tenham verificado tendências sistemáticas. É também impor-
tante salientar que alguns dos critérios recorrem a vários parâmetros empíricos, facto
que pode disfarçar deficiências fundamentais.
No actual estado da arte, há que distinguir claramente duas situações, no caso mais
comum de laminados multidireccionais: a primeira rotura de camada; e a rotura 
catastrófica final. O projecto com base na prevenção da primeira rotura de camada pode
ser excessivamente conservador. No entanto, pode-se revelar a abordagem mais apro-
priada em situações em que seja fundamental garantir a durabilidade, por exemplo, sob
cargas variáveis susceptíveis de causar fadiga. Neste caso, recomenda-se a utilização de
critérios interactivos. Em situações nas quais a rotura é desencadeada por sobrecargas,
é particularmente importante determinar o estado limite correspondente à rotura catas-
trófica. Torna-se então fundamental distinguir modos de rotura, facto que favorece os
critérios não-interactivos ou parcialmente interactivos. No entanto, na modelação do
processo de danificação progressiva, é necessário considerar a degradação de pro-
priedades de rigidez e de resistência. Este assunto será desenvolvido no capítulo 7.
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144
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Composite Laminates: Comparison with Experimental Results. Composites Science and Technology,
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CAPÍTULO 5: CRITÉRIOS DE ROTURA DA CAMADA
145
Capítulo 6
Análise dos Compósitos
de Fibras Curtas
6.1. Introdução
Os capítulos 3 a 5 foram dedicados aos compósitos de fibras "longas", que são de
facto os mais interessantes para aplicações estruturais. Os compósitos de fibras "curtas"
apresentam valores do módulo e da resistência bastante inferiores. Isso deve-se em
parte às fracções volúmicas de reforço substancialmente inferiores, tipicamente 20 %,
contra cerca de 65 % nos compósitos de fibras longas. Como vimos no capítulo 2, a
limitação ao teor de fibra resulta da necessidade de garantir boas condições de
processabilidade. Por outro lado, as fibras curtas tendem a distribuir-se de forma mais
ou menos aleatória ao longo do volume do compósito, o que impede que se atinjam
os elevados valores dos módulos e das resistências dos compósitos unidireccionais na
direcção das fibras. Neste caso, porém, a menor anisotropia simplifica o projecto, que
se faz frequentemente de forma análoga à dos materiais estruturais correntes. Outra
vantagem importante dos compósitos de fibras curtas é a facilidade com que obtêm
formas complexas, através da moldação por injecção, do RTM ou da moldação porcompressão, processos que permitem altas taxas de produção (ver capítulo 2).
Por estas razões, os compósitos de fibras curtas possuem actualmente um vasto 
conjunto de aplicações (ver capítulo 1). Como veremos nos parágrafos seguintes, a
previsão rigorosa das propriedades mecânicas exige modelos numéricos complexos, 
o que, na prática, nem sempre se justifica. O objectivo deste capítulo é portanto 
transmitir um entendimento básico das propriedades mecânicas destes materiais,
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
147
recorrendo para tal a análises micro e macromecânica relativamente simples.
6.2. Compósitos de Fibras Alinhadas
Conforme foi dito nos capítulos 1 e 2, as fibras são geralmente cortadas com compri-
mentos entre 3 e 10 mm para efeitos de incorporação em semi-produtos (DMC,
SMC e GMT) [6.1]. No entanto, as elevadas tensões a que estes são sujeitos durante
o processamento provocam roturas de fibras, que frequentemente reduzem o compri-
mento médio das fibras a valores inferiores a 1 mm [6.1]. Facilmente se compreende
que a eficácia de reforço das fibras depende, em certa medida, do seu comprimento.
É isto que vamos de seguida demonstrar através de uma análise micromecânica de
compósitos com fibras alinhadas.
Consideremos um elemento de volume cilíndrico, contendo uma fibra completa-
mente envolvida por resina (figura 6.1). Quando o elemento é sujeito a tracção, dá-
se transferência de carga da matriz para a fibra através de tensões de corte na inter-
face, de uma forma semelhante à descrita em 4.3.1. Do equilíbrio de forças de um
elemento infinitesimal de fibra, concluímos que
(6.1)
sendo df o diâmetro da fibra e τi a tensão de corte longitudinal na interface
Figura 6.1. Elemento de volume usado para a análise da transferência de carga em compósitos de fibras curtas.
Se desprezarmos as tensões nos topos, a tensão na fibra escreve-se
(6.2)
MATERIAIS COMPÓSITOS
148
Para melhor compreensão do fenómeno da transferência de carga, vamos recorrer a
modelos simplificados que admitem uma adesão interfacial perfeita.
6.2.1. MODELO DE KELLY-TYSON 
Kelly e Tyson [6.2] consideraram a matriz rígida-perfeitamente plástica (figura 6.2),
o que faz com que a integração de (6.2) conduza a
(6.3)
traduzindo uma distribuição linear da tensão na fibra, necessariamente simétrica em
relação a x = Lf/2 (figura 6.3). Conclui-se portanto que a tensão máxima na fibra,
(6.4)
aumenta com o seu comprimento. Na realidade, este aumento tem um limite, que é
o valor da tensão na fibra num compósito de fibras longas, obtido da equação (4.5)
da Lei das Misturas, 
(6.5)
Figura 6.2. Comportamento rígido-perfeitamente plástico admitido para a matriz em [6.2].
Figura 6.3. Comportamento rígido-perfeitamente plástico admitido para a matriz em [6.2]
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
149
O comprimento mínimo da fibra que permite que se atinja σf1max (6.5) designa-se por
comprimento ineficiente, e é dado por
(6.6)
O comprimento ineficiente, cujo conceito já foi abordado em 4.3.1, diz respeito à
zona ao longo da qual a tensão na fibra adquire o valor máximo. Para comprimentos
de fibra Lf Li, existe uma zona central de tensão constante (figura 6.4).
Por outro lado, para se tirar pleno partido da alta resistência da fibra, a tensão máxima
nesta deve atingir a tensão de rotura à tracção, σuf1. Caso contrário, a rotura do com-
pósito será provocada pela rotura da matriz, ocorrendo a tensões mais baixas. Assim,
resulta da equação (6.4) que as fibras devem ter um comprimento não inferior ao
comprimento cr tico
(6.7)
Figura 6.4. Distribuições de tensões na interface e na fibra segundo o modelo de Kelly-Tyson [6.2] se Lf > Li.
Por conseguinte, o Modelo de Kelly-Tyson permite facilmente justificar a necessi-
dade de as fibras possuírem um comprimento mínimo para maximizar a resistência
do compósito. No entanto, do ponto de vista quantitativo, os resultados não são rigo-
rosos, em virtude das simplificações inerentes ao modelo. Relembre-se ainda que se
admitiu adesão interfacial perfeita, isto é, que a tensão de rotura ao corte da interface,
τui, é igual à tensão de cedência ao corte da matriz, o que nem sempre se verifica. De
facto, a expressão (6.7) é frequentemente utilizada em sentido inverso para obter
(6.8)
MATERIAIS COMPÓSITOS
150
nos chamados ensaios de fragmentação [6.3]. Nestes ensaios, o provete consiste
numa única fibra embebida numa matriz translúcida, sendo sujeito a cargas de
tracção ao mesmo tempo que é observado em microscópio. medida que a carga
aumenta, a fibra vai-se partindo em segmentos de comprimento Lc.
6.2.2. MODELO DE COX
Voltando à análise do elemento de volume da figura 6.1, em termos de tensões
médias, aplica-se obviamente a Lei das Misturas
(6.9)
e se ε1 for a deformação imposta ao elemento de volume, o seu módulo é dado por
(6.10)
admitindo tensão constante na matriz. Como a tensão média na fibra é proporcional
ao seu comprimento (figuras 6.3 e 6.4), é evidente que o módulo de um compósito
de fibras curtas depende do comprimento destas. Para analisarmos quantitativamente
este efeito, vamos recorrer ao modelo de Cox [6.4]. Este modelo admite que a matriz
se mantém elástica e que a tensão de corte interfacial em determinado ponto é 
proporcional à diferença entre o deslocamento da fibra, uf1, e o deslocamento ug1 que
esse ponto teria caso o elemento de volume fosse inteiramente de resina. Nestas 
circunstâncias, a equação 6.1 escreve-se agora
(6.11)
em que designa uma função da geometria e das propriedades dos materiais que é
definida de seguida. Derivando (6.11),
(6.12)
onde surgem
(6.13)
(6.14)
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
151
que, substituídas em (6.12), dão origem a uma equação diferencial para σf1, cuja
solução se pode escrever na forma
(6.15)
com
(6.16)
Impondo as condições fronteira: σf1 = 0 em x = 0 e em x = Lf; obtém-se após algumas
manipulações algébricas
(6.17)
e substituindo em (6.1), a tensão de corte na interface é dada por
(6.18)
estando estas distribuições de tensões representadas na figura 6.5.
a)
b)
Figura 6.5. Distribuições de tensões a) na interface b) na fibra segundo o modelo de Cox [6.4]. 
As tensões foram normalizadas pela quantidade Ef1ε1.
MATERIAIS COMPÓSITOS
152
Recorrendo a uma análise das deformações da matriz, Cox [6.4] demonstrou ainda que
(6.19)
em que é o diâmetro exterior do elemento de volume da figura 6.1. Recorrendo a
(6.17), a tensão média na fibra é então
(6.20)
e, a sua substituição em (6.10),
(6.21)
mostra claramente o efeito do comprimento das fibras no módulo (figura 6.6).
Figura 6.6. Efeito do comprimento das fibras no módulo E1 de um compósito unidireccional de fibras curtas 
segundo o modelo de Cox [6.4]. E1 foi normalizado pelo valor previsto pela lei das misturas (equação 4.6)
Mais uma vez, apesar de o modelo de Cox possibilitar uma análise relativamente 
simples do efeito do comprimento da fibra no módulo, as equações não são efectiva-
mente rigorosas. Ao longo dos anos, foram apresentados vários modelos analíticos
substancialmente mais elaborados, nos quais o problema é tratado em termos de 
cálculo tensorial [6.5-6.8]. Um dos modelos mais conhecidos é o de Mori-Tanaka
[6.6], que foi originalmente desenvolvido para tratar o problema de um sólido com
inclusões elipsoidais alinhadas e uniformemente distribuídas. Trata-se porém de um
modelo complexo, cuja descrição está fora do âmbito deste texto. No entanto, foi
com base no modelo de Mori-Tanaka que Tandon e Weng [6.7] concretizaram um
conjunto de expressões analíticas para as constantes elásticas de compósitos de fibras
curtas isotrópicas e alinhadas. Estas expressões continuam a ser complicadas e a
necessitar de soluções iterativas para o coeficiente de Poissonν12 e para o módulo de
compressibilidade em estado plano de deformação, k2, embora tenha sido sugerido
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
153
um procedimento para evitar as iterações [6.5]. Não sendo possível a validação com
resultados experimentais, dada a impossibilidade de produzir compósitos de fibras
curtas verdadeiramente unidireccionais, a avaliação dos modelos tem sido feita por
comparação com modelos de elementos finitos [6.5]. Tucker e Liang [6.5] demons-
traram que o modelo de Mori-Tanaka [6.6] é o melhor actualmente disponível.
Todavia, há que salientar um conjunto importante de simplificações admitidas, entre
as quais citamos:
a) a necessidade de definir a geometria exacta do modelo, isto é, o diâmetro exterior
e o comprimento do elemento de volume cilíndrico (figura 6.1), que estão apenas
condicionados pela fracção volúmica do reforço (ver exemplo 6.1);
b) as possíveis interacções entre os vários elementos de volume, que podem ser tidas
em conta admitindo uma disposição espacial idealizada, por exemplo, um arranjo
hexagonal semelhante ao da figura 4.9;
c) a utilização de um comprimento único médio para as fibras, quando na realidade
o comprimento das fibras num compósito não é uniforme;
d) a ausência de cedência plástica da matriz ou de descoesão interfacial das fibras
junto às extremidades destas, aspectos que, em rigor, não podem ser ignorados.
Atendendo à complexidade deste problema, Halpin [6.9] sugeriu que o módulo 
longitudinal de um compósito unidireccional de fibras curtas pode ser previsto pela
equação de Halpin-Tsai (4.35),
(6.22)
usando neste caso ξ = 2Lf/df. A comparação com modelos de elementos finitos 
revelou que as previsões da equação (6.22), sendo conservadoras, são geralmente
aceitavelmente rigorosas [6.5]. Verificou-se também, conforme Halpin tinha concluído,
que E2, G12 e ν12 são praticamente independentes do comprimento da fibra.
Exemplo .1. Um compósito unidireccional de fibras curtas de carbono tem as seguintes características:
Ef1 = 230 GPa; Em = 3.0 GPa; Gm = 1.1 GPa; df = 7 μm; Lf = 500 μm; Vf = 0.2; σuf1 = 3500 MPa; 
σpm = 60 MPa; τpm = 50 MPa. Usando os modelos acima expostos, preveja o módulo e a tensão de rotu-
ra longitudinais do compósito.
Resolução. O módulo E1 pode ser estimado recorrendo às fórmulas do modelo de Cox (6.21) e de
Halpin-Tsai (6.22). No primeiro caso, é necessário determinar β (6.19), o que exige o cálculo de . Se o
elemento de volume da figura 6.1 tiver um comprimento L, então a fracção volúmica de fibra é dada por
MATERIAIS COMPÓSITOS
154
Isto demonstra alguma sensibilidade do modelo à geometria exacta do elemento de volume, como já foi
anteriormente referido. Se admitirmos uma distribuição uniforme de volume de matriz, isto é, que o 
volume de matriz nos topos do elemento é igual ao volume de matriz à volta da fibra, o que se traduz por
obtemos
e aplicando a equação (6.19),
Estamos agora em condições de usar a equação (6.21),
Recorrendo à fórmula de Halpin-Tsai (6.22) com ξ = 2Lf/df = 142.9, 
Ambos os modelos prevêem resultados inferiores à Lei das Misturas (4.6)
Por outro lado, o comprimento das fibras é claramente superior ao comprimento crítico do modelo de
Kelly (6.7),
Logo, como a deformação de rotura das fibras é inferior à deformação de plastificação da matriz, ou seja,
a tensão de rotura do compósito é dada por
de onde resultam os valores 662 e 533 MPa para os modelos de Cox e de Halpin-Tsai, respectivamente,
enquanto a Lei das Misturas prevê 737 MPa. A tensão de rotura de compósitos de fibras curtas é muito
inferior a qualquer destes valores, pois estes compósitos não são realmente unidireccionais.
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
155
6.3. Compósitos de Fibras com Orientação Aleatória
A influência da orientação da fibra nas propriedades elásticas é extremamente difícil
de avaliar em moldes semelhantes aos de 6.2. Por isso recorre-se habitualmente ao
seguinte procedimento:
a) prever os módulos do compósito unidireccional de fibras curtas, E1, E2, G12, ν12 e
ν23, admitindo isotropia transversal;
b) obter a matriz de flexibilidade (3.38) e/ou a matriz de rigidez (3.40);
c) aplicar as leis de transformação das referidas matrizes perante rotações de referen-
cial (equação 3.22) para obter e/ou .
Num compósito, as fibras têm uma distribuição espacial estatística, sendo portanto
necessário o cálculo de constantes elásticas médias. Há dois casos principais a distin-
guir, conforme a relação entre o comprimento das fibras Lf e a espessura da peça t
[6.9, 6.10].
Se Lf for bastante inferior a t, situação que ocorre geralmente nos compósitos fabri-
cados por injecção, então as fibras têm uma distribuição espacial tridimensional.
Numa primeira abordagem, poder-se-ia admitir uma distribuição aleatória, o que
daria origem a um material isotrópico. Assim, a matriz de rigidez seria obtida calcu-
lando os valores médios para todas as orientações espaciais (figura 6.7),
(6.23)
em que os termos da matriz dependem apenas de um módulo e de um coeficiente de
Poisson.
Figura 6.7. Definição da orientação tridimensional das fibras.
Christensen e Waals [6.10] obtiveram
MATERIAIS COMPÓSITOS
156
(6.24)
(6.25)
equações relativamente complicadas, e que necessitam ainda da determinação de E1,
E2, G12, ν12, G23 e k2 aplicando as equações micromecânicas apropriadas (ver capítulos
4.2 e 6.2).
Na realidade, a distribuição da orientação das fibras não é aleatória, dado que estas
tendem a alinhar-se segundo as linhas de escoamento [6.5, 6.11-6.16]. De facto, as
elevadas pressões e os fluxos pronunciados no processo de injecção fazem com que a
própria matriz seja anisotrópica. Por outro lado, como já foi referido, existe também
uma distribuição estatística de comprimentos de fibras, cuja gama de valores afecta o
módulo E1. As distribuições estatísticas do comprimento e da orientação das fibras
podem ser obtidas recorrendo a técnicas microscópicas de análise de imagem de
secções do compósito [6.1, 6.13-6.16]. As medições efectuadas servem de base a
abordagens de modelação numéricas bastante elaboradas, que envolvem a geração
automática de malhas de elementos finitos contendo centenas de fibras, cujas orien-
tações são geradas através de simulação [6.13, 6.14]. O problema é normalmente
simplificado admitindo que todas as fibras têm o comprimento médio. Obviamente,
são necessários meios computacionais poderosos para implementar estes modelos.
Se Lf for de ordem de grandeza não inferior à de t, as fibras tendem a distribuir-se
aleatoriamente em planos paralelos à espessura, e portanto o compósito apresenta
isotropia planar. É esta a situação habitual na moldação por compressão e no RTM,
em que se usam mantas de fibras aleatórias. Nestas circunstâncias, a matriz de rigidez
no plano de isotropia <12> obtém-se de (figura 6.8)
(6.26)
Figura 6.8. Definição da orientação das fibras no plano.
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
157
Para este caso, as soluções de Christensen e Waals [6.10] são
(6.27)
com
(6.28)
equações que se revelaram em boa concordância com resultados experimentais [6.9].
Por outro lado, Tsai e Pagano [6.17] propuseram as equações
(6.29)
que têm a vantagem de ser claramente mais simples. Relembre-se que é sempre
necessário obter os módulos do compósito unidireccional.
Relativamente à previsão das resistências, trata-se evidentemente de um problema
muito complexo, não havendo actualmente modelos rigorosos. Foram já desenvolvidos
modelos que exprimem a resistência de compósitos com isotropia planar em função
das resistências de compósitos unidireccionais. Por exemplo, Lees [6.18] prop s 
a equação
(6.30)
onde
(6.31)
Para além das simplificações admitidas, este tipo de modelos sofre das limitações dos
modelos micromecânicos dos compósitos unidireccionais(ver capítulo 4).
Exemplo .2. Um compósito de fibras curtas de vidro tem as seguintes características: Ef = 75 GPa; νf = 0.2;
Em = 2.7 GPa; νm = 0.35; df = 10 m; Lf = 6 mm; Vf = 0.15. Admitindo isotropia planar, preveja as pro-
priedades elásticas do compósito.
MATERIAIS COMPÓSITOS
158
Resolução. Trata-se de aplicar as expressões (6.27) e (6.28) de Christensen e Waals e as equações (6.29)
de Tsai e Pagano. Em ambos os casos, há que determinar as propriedades do compósito unidireccional.
Como o comprimento das fibras é apreciável, podemos ignorar o seu efeito no módulo E1. Aplicando
sucessivamente as equações (4.6), (4.9) e (4.51), obtemos:
Resta agora recorrer às equações (4.19) e (4.21), que necessitam do cálculo prévio do módulo de corte e do
módulo de compressibilidade em estado plano de deformação da fibra e da matriz. Sendo estas isotrópicas
(ver equação 4.20),
de onde resultam Gm = 1.0 GPa, Gf = 31.25 GPa, km = 3.33 GPa, kf = 52.08 GPa, e posteriormente:
Da equação (4.52),
e da condição de isotropia transversal (equações 3.34),
Estamos finalmente em condições de aplicar as equações (6.27) e (6.28), das quais resultam:
CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
159
Por outro lado, as equações (6.29) e a condição de isotropia planar permitem obter:
É notório que o valor previsto para o coeficiente de Poisson é algo irrealista, face aos valores de f e de m,
e que a previsão do módulo é mais optimista do que a de Christensen e Waals. Por conseguinte, apesar de
mais complicadas, é de preferir as equações de Christensen e Waals.
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MATERIAIS COMPÓSITOS
160
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CAPÍTULO 6: ANÁLISE DOS COMPÓSITOS DE FIBRAS CURTAS
161
Capítulo 7
Análise dos Laminados
7.1. Introdução
Até aqui, o estudo do comportamento mecânico dos compósitos de fibras contínuas
restringiu-se à camada unidireccional, ou aos laminados unidireccionais (capítulos 3
e 4). No entanto, devido às propriedades transversais relativamente fracas destes, 
utilizam-se laminados multidireccionais na maioria das aplicações. Tal como o nome
indica, estes laminados são constituídos por camadas com diferentes orientações, 
dispostas segundo sequências diversas na direcção da espessura. É evidente que o
número, as orientações e as sequências de empilhamento das camadas são variáveis
de projecto adicionais relativamente aos materiais estruturais correntes, que conferem
uma enorme flexibilidade à concepção de estruturas compósitas. Por outro lado, é
também notória a conveniência em prever o comportamento dos laminados a partir
do comportamento da camada, tratada como um sólido homogéneo e anisotrópico
(ver capítulo 3). O objectivo deste capítulo é precisamente apresentar os modelos que
permitem determinar o comportamento dos laminados multidireccionais segundo
esta metodologia. 
Começamos pela chamada Teoria Clássica dos Laminados, modelo que está larga-
mente difundido, sendo depois objecto de referência algumas teorias mais avançadas.
Em ambos os casos, trata-se de modelos que são aplicados a placas compósitas, se
bem que possam ser generalizados a cascas. Neste capítulo, porém, limitamo-nos a
deduzir as relações entre esforços mecânicos e deformações de placas laminadas. De
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
163
facto, a resolução de problemas do domínio da análise estrutural exige quase sempre
métodos numéricos.
Antes de iniciarmos a exposição das teorias dos laminados, há que estabelecer algumas
convenções para a designação destes. A base da designação é a lista entre parêntesis
rectos das orientações das camadas da superfície superior para a inferior, separadas
pelo traço "/". No sentido de contrair a designação, introduzem-se várias simplifi-
cações ilustradas nos exemplos da figura 7.1:
› nos laminados simétricos, a lista inclui apenas as camadas até meia-espessura, recor-
rendo-se ao índice "s" para indicar simetria, e colocando um traço superior na camada
central quando o laminado tiver número ímpar de camadas, para indicar que aquela
não se repete; 
› utilização de índices numéricos para descrever repetições de camadas ou de conjuntos
de camadas.
No caso de laminados compósitos híbridos, que são constituídos por camadas de
diferentes materiais, deverão ser usados índices suplementares para os identificar.
Figura 7.1. Alguns exemplos de sequências de empilhamento e designações correspondentes.
7.2. Teoria Clássica dos Laminados
A Teoria Clássica dos Laminados foi sendo desenvolvida por vários investigadores
[7.1, 7.2] com base na Teoria das Placas de Kirchhoff para materiais isotrópicos
[7.3]. Admite-se que o laminado é uma placa rectangular relativamente fina, ou seja,que a espessura h, constante, é muito inferior às restantes dimensões a e b (figura
7.2). Para efeitos de análise, posiciona-se o referencial xyz de modo que o plano
<xy> coincida com o plano médio da placa, que é frequentemente o único represen-
tado nos esquemas.
MATERIAIS COMPÓSITOS
164
Figura 7.2. Placa rectangular com indicações das dimensões e do referencial utilizado.
A Teoria das Placas de Kirchhoff estabelece relações entre as curvaturas da placa e
os momentos flectores e torçores internos, que são normalmente gerados por cargas
transversais concentradas ou distribuídas. A figura 7.3 representa um elemento de
volume de uma placa, que está geralmente sujeito a uma carga distribuída, (x,y),
aproximadamente constante no elemento, e aos seguintes esforços internos:
› momentos flectores Mx, My, e momento torçor Mxy = Myx, que designaremos gene-
ricamente por "esforços de flexão";
› esforços de corte transversal Vx e Vy.
Figura 7.3. Elemento de volume de uma placa sujeito a uma carga distribuída q(x,y) 
e aos esforços internos indicados, representados separadamente para maior clareza.
Notar que o índice atribuído a cada esforço coincide com o do eixo perpendicular à
face em que aquele actua, e não com a sua projecção no sistema de eixos. Por exem-
plo, o momento Mx é assim designado por actuar numa face perpendicular ao eixo
dos x, apesar de ser um momento segundo o eixo y. De salientar ainda que qualquer
dos esforços referidos está distribuído ao longo da face em que actua, sendo por isso
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
165
expresso por unidade de largura daquela. As equações que relacionam os esforços
com as tensões escrevem-se
(7.1)
(7.2)
Face à hipótese de h a, b (figura 7.2), facilmente se compreende que os momentos
flectores e torçores prevaleçam claramente sobre os esforços de corte transversal. De
facto, a Teoria das Placas de Kirchhoff admite que as tensões σz, τxz e τyz são
desprezáveis relativamente a σx, σy e τxy. Nestas circunstâncias, as deformações εz, γxz
e γyz são igualmente desprezáveis em relação a εx, εy e γxy. A hipótese de εz ≈ 0 implica
que o deslocamento na direcção da espessura, w, é independente da coordenada z.
Por outro lado, sendo u e os deslocamentos segundo x e y, respectivamente, as
hipóteses relativas às deformações de corte transversal, 
(7.3)
conduzem a
(7.4)
ou seja, os deslocamentos variam linearmente ao longo da espessura da placa.
Portanto, qualquer secção recta da placa, inicialmente paralela a z, permanece recta
após a aplicação dos esforços, sofrendo rotações
(7.5)
conforme se ilustra na figura 7.4. Obviamente, a aplicação destas hipóteses cinemáticas
às placas laminadas pressupõe que existe uma adesão perfeita entre camadas e que se
despreza a contribuição da fina camada interlaminar, rica em resina.
Figura 7.4. Representação da deformada de flexão de uma placa no plano <xz>.
MATERIAIS COMPÓSITOS
166
Em geral, para além dos esforços de flexão, as placas estão também sujeitas aos
chamados esforços de membrana (figura 7.5), que são provocados por cargas paralelas
ao plano médio. Os esforços de membrana são as forças normais x e y, e as forças
de corte xy = yx, todas distribuídas ao longo das faces em que actuam, e que se
relacionam com as tensões através de
(7.6)
Estes esforços dão naturalmente origem a deslocamentos independentes de z, u0(x,y)
e 0(x,y).
Figura 7.5. Esforços membrana que podem actuar numa placa.
Por conseguinte, quando actuam simultaneamente esforços de flexão e esforços
membrana, o campo de deslocamentos é expresso por
(7.7)
Em regime de pequenos deslocamentos, as deformações obtêm-se substituindo as
equações (7.7) em
(7.8)
Daqui resulta a equação base das deformações da Teoria Clássica dos Laminados,
(7.9)
onde
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
167
(7.10)
é o vector de deformações membrana e
(7.11)
é o vector de curvaturas.
Tendo definido as relações cinemáticas, resta agora introduzir a natureza laminada
do material nos esforços membrana e de flexão. Se designarmos por zk-1 e zk as coor-
denadas das superfícies superior e inferior da camada k de um laminado com n
camadas (figura 7.6), as equações (7.6) e (7.1) podem ser reescritas na forma
(7.12)
(7.13)
respectivamente, definidos os vectores e ,
e sendo σ'k as tensões na camada k.
Figura 7.6. Sistema de numeração das camadas e das respectivas superfícies.
Devemos agora recorrer à lei constitutiva da camada (equação 3.57), fazendo nela
intervir o campo de deformações (7.9), tal que
MATERIAIS COMPÓSITOS
168
(7.14)
com zk-1 ≤ z ≤ zk. De salientar que, sendo os campos de deformações contínuos, a
diferença de propriedades elásticas das camadas ( k) faz com que as tensões σ'k
sejam descontínuas nas interfaces (ver exemplo 7.1). Da substituição de (7.14) em
(7.12) e (7.13) e da integração destas, resultam as equações fundamentais da Teoria
Clássica dos Laminados,
(7.15)
(7.16)
Note-se desde já a existência de "acoplamento" membrana-flexão, isto é, esforços de
membrana podem provocar deformações de flexão, assim como esforços de flexão
podem gerar deformações de membrana.
As equações (7.15) e (7.16) são normalmente condensadas na forma matricial
(7.17)
onde surgem a matriz de rigidez de membrana 
(7.18)
a matriz de acoplamento membrana-flexão
(7.19)
e a matriz de rigidez de flexão
(7.20)
De salientar que o comportamento membrana é independente da sequência de empi-
lhamento das camadas de um laminado. Por exemplo, os laminados [0/90/ 45]s e
[ 45/0/90]s têm a mesma matriz . Todavia, as matrizes e são sensíveis à
sequência de empilhamento.
A forma expandida da equação (7.17) é
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
169
(7.21)
Em muitas situações, são conhecidos os esforços e pretende-se calcular as defor-
mações e curvaturas. Isto pode ser feito invertendo a equação (7.17),
(7.22)
onde
(7.23)
7.2.1. RELAÇÕES ESFORÇOS-DEFORMAÇÕES DE ALGUNS LAMINADOS
Há certos tipos de laminados que merecem atenção especial por serem representa-
tivos de muitas aplicações e/ou porque apresentam certas particularidades na relação
esforços-deformações. O caso específico de maior relevância é claramente o dos lami-
nados simétricos. Estes laminados apresentam simetria de orientações, materiais e
espessuras das camadas em relação ao plano <xy> (ver figuras 7.1 e 7.2). Logo, por
cada camada k de orientação θ, do material M e com superfícies de coordenadas zk-1,
zk ≥ 0, há sempre uma camada m, também de orientação θ, do material M e com
superfícies de coordenadas zm-1 = −zk e zm = −zk-1. Como k = m, facilmente se
constata na equação (7.19) que = , isto é, à semelhança do que sucede nas placas
de materiais isotrópicos, deixa de haver acoplamento membrana-flexão. A equação
(7.22) fica também bastante mais simples, pois = , = -1 e = -1. Para além
da simplificação da relação esforços-deformações, os laminados simétricos têm a van-
tagem de não sofrer os empenamentos associados às tensões residuais pós-fabrico ou
às variações higrotérmicas, tema que é abordado no capítulo 8.
Em algumas aplicações, são utilizados laminados anti-simétricos, frequentemente do
MATERIAIS COMPÓSITOS
170
tipo [( θ)p], que se designam na literatura anglo-saxónica por angle-ply laminates, ou
simplesmente angle-plies. Num laminado anti-simétrico, por cada camada k de orien-
tação θ, do material M e com superfícies de zk-1, zk ≥ 0, há sempre uma camada m, de
orientação -θ, do material M e com superfícies de coordenadas zm-1 = −zk e zm = −zk-1.
Note-se que um laminado só pode ser considerado anti-simétrico se não tiver
camadas orientadas a 0º nem a 90º. Por exemplo, o laminado [( 45)4], representado
na figura 7.1 é anti-simétrico. Atendendo às leis de transformação da matriz derigidez da camada (tabela 3.5), verifica-se que 16(θ) = − 16(−θ), 26(θ) = − 26(−θ)
e 66(θ) = 66(−θ). Logo, resulta da anti-simetria e das equações (7.18) a (7.20) que
A16 = A26 = 0, 11 = 12 = 22 = 66 e 16 = 26 = 0. É portanto evidente que estes
laminados apresentam baixos níveis de acoplamento membrana-flexão. Além disso,
não possuem acoplamentos corte-tracção nem flexão-torção, o que é muito favorável
em situações que envolvam esforços consideráveis de corte e/ou de torção.
Também têm aplicação muito frequente os laminados ditos quase-isotrópicos. Esta 
designação justifica-se pelo facto da matriz ser de facto equivalente à de um material
isotrópico, isto é, A22 = A11, A16 = A26 = 0 e A66 = (A11 - A12)/2 (ver exemplo 7.4).
Todavia, as matrizes e não têm geralmente a forma equivalente à dos materiais
isotrópicos. Os laminados quase-isotrópicos são constituídos por blocos de m camadas
adjacentes com orientações que diferem de 180º/m, por exemplo, [(60/0/-60)3],
[(0/45/90/-45)2] e [0/90/ 45]2s.
Exemplo .1. Uma placa laminada [(0/90)2]s de 1.2 mm de espessura é constituída por camadas de
vidro/epóxido com E1 = 39 GPa, E2 = 8.6 GPa, 12 = 0.28 e G12 = 3.8 GPa. Desenhe os gráficos das tensões
nas camadas quando actuam os esforços: a) x = 60 N/mm e y = 30 N/mm; b) Mx = 24 N e My = 6 N.
Resolução. Estamos na presença de um laminado de camadas cruzadas a 0º e a 90º, que na literatura anglo-
saxónica se designa por cross-ply laminate. A primeira etapa da resolução consiste em determinar as matrizes de
rigidez das camadas no referencial global (tabela 3.5),
Podemos agora calcular as matrizes de rigidez do laminado, sabendo desde já que , dado tratar-se de um
laminado simétrico. A espessura da camada é hc = 1.2/8 = 0.15 mm, e portanto teremos z0 = 0.6 mm, z1 =
0.45 mm, , z8 = -0.6 mm. Das equações (7.18) e (7.20) obtemos:
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
171
Na matriz observamos que A11 = A22, pois o laminado tem igual número de camadas a 0º e a 90º e o
comportamento membrana é independente da sequência de empilhamento. Por outro lado, 11 é bastante
superior a 22. De facto, a contribuição de cada camada para a rigidez à flexão é proporcional à sua dis-
tância ao plano médio, e neste caso há camadas a 0º nas superfícies do laminado, que possuem '11 > '22.
Notar também que a rigidez ao corte A66 é muito inferior a A11, o que indica que este laminado não é 
apropriado quando há tensões de corte significativas. Isto seria de esperar da análise da rigidez da camada
realizada no capítulo 3, onde se concluiu serem as orientações 45º as que maximizam a rigidez ao corte
(figura 3.9). A situação é análoga à torção, face ao baixo valor de 66. Tratando-se de um laminado
simétrico, temos , e (equações 7.23)
onde as elevadas flexibilidades ao corte a66 e à torção d66 confirmam a análise anterior. Vejamos agora os
dois casos de carregamento propostos:
Da equação (7.22) obtemos
o que nos permite calcular as tensões em cada camada a partir da equação (7.14). A figura E7.1 mostra as
distribuições das tensões σx e σy, sendo que τxy = 0.
MATERIAIS COMPÓSITOS
172
Figura E7.1. Distribuições das tensões σx e σy ao longo da espessura do laminado (hc é a espessura da camada). 
Introduzindo os novos valores dos esforços na equação (7.22), obtemos
As tensões nas camadas são determinadas usando a equação (7.14), estando representadas graficamente
na figura E7.2 (τxy = 0).
Figura E7.2. Distribuições das tensões σx e σy ao longo da espessura do laminado (hc é a espessura da camada). 
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
173
Exemplo .2. Uma placa laminada [( 45)6] de 1.5 mm de espessura é constituída por camadas de car-
bono/PEEK com E1 = 135 GPa, E2 = 9.0 GPa, 12 = 0.28 e G12 = 5.2 GPa. a) Determine as deformações
da placa quando esta é sujeita a Mxy = 50 N. b) Calcule os esforços a aplicar para obter torção pura com
o valor de κxy obtido em a).
Resolução. Trata-se de um laminado anti-simétrico do tipo angle-ply. As matrizes de rigidez das camadas
são (tabela 3.5)
Sendo a espessura média da camada hc = 1.5/12 = 0.125 mm, as coordenadas das interfaces são z0 = 0.75 mm,
z1 = 0.625 mm, , z12 = -0.75 mm. Recorrendo às equações (7.18) a (7.20) obtemos
onde as unidades dos termos de , e são N/mm, N e Nmm, respectivamente. Pode-se observar os 
valores nulos de vários coeficientes de acoplamento, conforme a análise anterior. Da equação (7.23),
Atendendo aos esforços aplicados, as deformações e curvaturas são (equação 7.22)
o que mostra que a aplicação de um momento torçor provoca também deformações membrana, se bem
que bastante pequenas no caso presente.
MATERIAIS COMPÓSITOS
174
Pretende-se agora que as deformações e curvaturas sejam
Logo, da equação (7.17) concluímos que é necessário aplicar os esforços
onde o valor de Mxy difere em menos de 2 % do anterior, resultado de acoplamentos membrana-flexão
modestos.
7.2.2. CONSTANTES DE ENGENHARIA DE LAMINADOS SIMÉTRICOS
Como vimos anteriormente, nos laminados simétricos podemos considerar separada-
mente o comportamento membrana do comportamento à flexão. No primeiro caso,
definimos tensões médias
(7.24)
que substituimos na equação (7.22),
(7.25)
Podemos agora interpretar os termos da matriz h à luz das definições das Constantes
de Engenharia (equação 3.59), isto é:
(7.26)
É possível medir os valores destas Constantes de Engenharia em ensaios de provetes
cortados das placas laminadas. Todavia, a caracterização sistemática do comporta-
mento dos laminados por esta via é manifestamente inconveniente e dispendiosa, face
à infinidade de sequências de empilhamento que é possível construir a partir de
camadas de um determinado material. A abordagem de projecto que é habitualmente
seguida consiste por isso em caracterizar o comportamento mecânico da camada, e,
posteriormente, prever o comportamento dos laminados com base numa teoria de
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
175
laminados. Não obstante, é boa prática realizar um conjunto limitado de ensaios de
laminados, por exemplo, para medir o módulo Ex, no sentido de confirmar os valores
calculados. Convém relembrar que diferenças nos processos e/ou nos parâmetros de
fabrico podem conduzir a alterações significativas do teor de fibras, e, consequente-
mente das propriedades mecânicas. Em geral, satisfeitos estes requisitos, verifica-se
que os valores medidos das Constantes de Engenharia estão em muito boa concordân-
cia com os valores calculados através da Teoria Clássica dos Laminados [7.1, 7.2].
De referir também que se podem definir módulos de flexão, Efx e Efy. Recordemos que,
quando uma placa isotrópica de módulo E e coeficiente de Poisson ν está sujeita a um
único momento Mx, verifica-se que a curvatura resultante é [7.3]
(7.27)
onde Iy = h3/12 é o momento estático de segunda ordem da placa por unidade de
largura e Ef = E/(1−ν2) é o módulo aparente de flexão. Por conseguinte, a analogia
com os termos da matriz da relação momentos-curvaturas (7.22),
(7.28)
permite definir os módulos à flexão
(7.29)
Exemplo .3. Calcule os valores das Constantes de Engenharia e dos módulos de flexão do laminado
analisado no exemplo 7.1.
Resolução. Tendo já obtido a matriz , as equações (7.26) permitem obter:
Mais uma vez, tendo o laminado igual número de camadas a 0º e a 90º e sendo o comportamento mem-
brana independente da sequência de empilhamento, Ex seria necessariamente igual a Ey. Por outro lado,
nota-se ainda os baixos valores de Gxy, que é igual a G12, e de νxy, que se deve à resistência à contracção
das camadas a 90º.
MATERIAIS COMPÓSITOS
176
Quanto aos módulos de flexão, há que usar nas equações (7.29) os termos de já calculados, tal que
De salientar que Efx não é igual a Ex nem a Efy, reflectindo a importância da sequência de empilhamento
no comportamento à flexão.
Exemplo .4. Uma placa laminada [0/90/ 45]s de 1.12mm de espessura é constituída por camadas de
carbono/epóxido com E1 = 177 GPa, E2 = 11.0 GPa, 12 = 0.27, G12 = 7.6 GPa. a) Mostre que o lami-
nado é quase-isotrópico e obtenha as suas Constantes de Engenharia. b) Calcule os módulos de flexão.
Resolução. Como nos exemplos anteriores, começamos por calcular as matrizes de rigidez correspon-
dentes às várias orientações de camadas (tabela 3.5):
Usando a espessura da camada hc = 1.12/8 = 0.14 mm, temos z0 = 0.56 mm, z1 = 0.42 mm, , z8 = -0.56 mm,
o que permite obter as matrizes de rigidez do laminado (equações 7.18 a 7.20)
sendo que , pois o laminado é simétrico. Logo, da equação (7.23),
Das equações (7.26) obtemos:
onde o carácter quase-isotrópico do laminado se manifesta por Ex = Ey e por Gxy = Ex/2(1 + νxy).
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
177
Usando os termos da matriz já calculados, resulta das equações (7.29)
valores diferentes entre si e de Ex e Ey.
7.2.3. ANÁLISE DA RESISTÊNCIA DE LAMINADOS 
Uma placa compósita deve ser concebida escolhendo materiais, número e orientações
de camadas de maneira a obter a rigidez e resistência necessárias para suportar os 
valores pretendidos dos esforços e . No âmbito da Teoria Clássica dos Lami-
nados, a avaliação da resistência deve ser feita camada a camada através do seguinte
procedimento:
› calcular as deformações ε e as curvaturas κ a partir da equação (7.22);
› obter as tensões em cada camada no referencial global xyz , σ' , usando a equação
(7.14);
› calcular as tensões em cada camada no respectivo referencial principal 123 , σ ,
recorrendo à equação (3.55);
› aplicar um critério de rotura da camada (ver capítulo 5).
No decurso deste exercício, temos que distinguir claramente duas situações: a chama-
da primeira rotura de camada (First Ply Failure) e a rotura global do laminado. De
facto, a primeira rotura de camada é frequentemente uma rotura transversal, que
ocorre a esforços bastante inferiores aos que provocam a rotura final. A título ilustra-
tivo, representa-se esquematicamente na figura 7.7 uma curva tensão média (σ0x =
x h)-deformação (ε0x) de um laminado [0/ 45/90]s [7.1]. Sob cargas crescentes, 
inicia-se a fissuração transversal das camadas a 90º, seguindo-se a formação de fendas
transversais nas camadas a 45º, e, finalmente, a rotura das fibras das camadas a 0º.
Note-se que as roturas transversais se manifestam sob a forma de "cotovelos" na curva
tensão-deformação, associados a perdas de rigidez.
Figura 7.7. Representação esquemática da curva tensão-deformação de um laminado [0/±45/90]s, 
com indicação dos pontos de início de fissuração das camadas a 90º e a ±45º [7.1]. 
MATERIAIS COMPÓSITOS
178
A previsão da primeira rotura de camada é relativamente expedita, conforme se ilustra
nos exemplos 7.5 e 7.6. Ao contrário, a previsão da rotura final, incluindo o processo
de danificação progressiva, é muito mais difícil. O primeiro problema que surge é
definir a degradação de propriedades da camada após rotura. Como base da dis-
cussão deste assunto, consideremos o caso de um laminado [0/90]s sujeito a uma
força x crescente (figura 7.8). A determinado valor de x, formam-se algumas
fendas transversais nas zonas das camadas a 90º onde a resistência é estatisticamente
menor. Nas faces das fendas, a tensão σx é obviamente nula. Porém, à medida que
nos afastamos daquelas, a tensão σx na camada aumenta graças à transferência de
carga das camadas a 0º mediante tensões de corte interlaminares τxz (este fenómeno
é semelhante ao de transferência de carga para uma fibra partida, analisado no capí-
tulo 4). Sob esforços crescentes, as tensões σx nas camadas a 90º provocam a 
formação de mais fendas, até se atingir uma densidade de fendas máxima, ou de 
saturação. A concentração de tensões interlaminares nas extremidades das fendas
transversais pode provocar a formação local de delaminagens, isto é, de descolamentos
entre as camadas a 0º e a 90º. Torna-se claro que a tensão σx média nas camadas a
90º, e consequentemente a rigidez equivalente desta, depende da densidade de
fendas, sendo por isso muito difícil de prever de forma rigorosa. Sabe-se ainda que a
fissuração transversal de uma dada camada é fortemente condicionada pela orien-
tação das camadas vizinhas [7.4-7.6]. Por exemplo, um maior número de camadas
adjacentes da mesma orientação favorece o aparecimento de fissuras transversais,
fenómeno que se julga dever à maior probabilidade de existência de defeitos, e 
portanto de locais de menor resistência. Por exemplo, sob este ponto de vista, é de
preferir o laminado [(0/90/ 45)3]s ao [03/903/( 45)3]s, de igual espessura.
Figura 7.8. Processo gradual de fissuração transversal num laminado [0/90]s sujeito a uma força Nx (Nx,2 > Nx,1).
Têm sido desenvolvidos modelos mais ou menos elaborados para prever a
degradação da rigidez da camada associada à fissuração transversal [7.7-7.18]. Estes
modelos requerem como dado de entrada a densidade de fendas, ou fazem apelo à
Mecânica da Fractura (ver capítulo 9), o que inviabiliza a sua implementação a este
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
179
nível de análise. Em alternativa, foram também propostos modelos empíricos de
degradação de propriedades, que são bastante mais simples de utilizar [7.19-7.21].
Não obstante, tais modelos podem atingir elevado nível de sofisticação, como é o caso
dos modelos aplicados por Chang et al. [7.19-7.20] a laminados com furos. De facto,
esses autores consideraram vários sub-modos de rotura de fibras e de matriz, sendo
que, no primeiro caso, todas as propriedades da camada foram degradadas, enquanto
na segunda situação apenas as propriedades mais dependentes da matriz (E2, G12 e
ν12) foram afectadas. O nível de degradação que permite o ajuste dos resultados
experimentais variou desde o anular efectivo de um determinado módulo até à
adopção de factores de degradação empíricos. Os modelos de Chang et al. [7.19-
7.20] incorporam também relações τ12-γ12 não-lineares e resistências τut2 e σu12
dependentes das camada vizinhas. Por seu turno, Tan [7.21] prop s um modelo
muito mais simples, que envolve o recurso ao critério da tensão máxima (5.13) e ao
critério de Tsai-Wu (5.7) para prever roturas de fibras e de matriz, respectivamente.
Independentemente do modo de rotura, o modelo de degradação escreve-se:
(7.30)
onde o índice d significa dano e 1, 2 e 6 são factores empíricos de degradação, de
valor compreendido entre 0 e 1. Com base num estudo experimental da resistência
de placas com furos, Tan [7.21] sugere para laminados carbono/epóxido 1 = 0.07 e
2 = 6 = 0.20.
Estas abordagens ao processo de danificação progressiva devem ser encaradas com
bastantes reservas pelas seguintes razões:
› Trata-se efectivamente de modelos algo grosseiros e que, de certa forma, são incon-
sistentes com as hipóteses subjacentes à Teoria Clássica dos Laminados. Por exemplo,
junto às fendas, é evidente que não haverá deformações membrana nem curvaturas
uniformes através da espessura. Além disso, a existência de fissuras induz por vezes
uma não-linearidade pronunciada.
› Podem-se formar delaminagens mais ou menos extensas a partir das extremidades
das fendas transversais, sobretudo perante carregamentos de flexão. As delamina-
gens são particularmente prejudiciais ao comportamento à compressão, na medida
em que promovem fenómenos de instabilidade localizada (ver capítulo 10).
› Embora a presença de fissuras transversais possa não afectar consideravelmente a
capacidade de carga "quase-estática", acaba por potenciar fenómenos de degradação
higrotérmica (ver capítulo 8) e de fadiga (ver capítulo 10).
Há portanto grande interesse em modelar correctamente os processos de danificação
MATERIAIS COMPÓSITOS
180
progressiva para que se possa tirar melhor partido das excelentes propriedades
mecânicas dos laminados compósitos.
Exemplo . . A placa laminada do exemplo 7.4 vaiestar sujeita a esforços membrana variáveis, tais que
x = y, ambos de tracção, e xy = 0.25 x. Sabe-se ainda que as resistências da camada são σut1 = 1600
MPa, σuc1 = 1600 MPa, σut2 = 50 MPa, σuc2 = 160 MPa e τu12 = 70 MPa. a) Determine os valores dos
esforços conducentes à primeira rotura de camada usando os critérios de Tsai-Wu e de Hashin-Rotem. b)
Preveja os valores dos esforços de colapso final do laminado, recorrendo ao critério de Hashin-Rotem e
admitindo que a rotura de matriz numa camada implica anular E2, G12 e 12.
Resolução. Tendo já obtido a matriz de flexibilidade do laminado no exemplo 7.4, e atendendo às
relações entre os esforços aplicados, as deformações membrana são (equação 7.22)
Calculamos agora as tensões nas camadas utilizando a equação (7.14) com as matrizes k já determi-
nadas:
onde x deve estar expresso em N/mm para se obterem tensões em MPa. Em seguida, há que determinar
as tensões no referencial 123 , aplicando a transformação (3.55), de que resultam:
Estamos finalmente em condições de aplicar os critérios de rotura. No caso do critério de Tsai-Wu, é
necessário calcular primeiro os seus parâmetros (equações 5.8 e 5.11):
Se substituirmos na equação (5.7) os valores das tensões em cada camada, obtemos os respectivos valores
de x de rotura:
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
181
Conclui-se portanto que a primeira rotura ocorre nas camadas orientadas a -45º quando x = y = 447.3
N/mm e xy = 111.8 N/mm. 
Quanto ao critério de Hashin-Rotem, no caso da rotura de fibras (equação 5.13), os esforços limite pre-
vistos são:
enquanto para a rotura da matriz (equação 5.14) temos:
Portanto é prevista uma primeira rotura de matriz na camada a -45º quando x = y = 307.9 N/mm e 
xy = 77.0 N/mm, valores bastante mais conservadores do que os obtidos do critério de Tsai-Wu.
O procedimento a seguir consiste na aplicação cíclica das seguintes etapas:
1. Aplicar o critério de Hashin-Rotem para determinar os esforços que provocam a próxima rotura de
camada e:
terminar o processo se se tratar de uma rotura de fibras;
fazer E2 = G12 = 0 e 12 = 0 para roturas de matriz, e prosseguir o cálculo;
2. Recalcular sucessivamente as matrizes e , as deformações ε0 e as tensões σ k e σk.
Neste caso, depois das primeiras roturas de matriz das camadas a -45º, seguem-se:
› roturas de matriz das camadas a 0º e a 90º para x = y = 354.3 N/mm e xy = 88.6 N/mm; 
› roturas de matriz das camadas a 45º para x = y = 516.3 N/mm e xy = 129.1 N/mm; 
› rotura de fibras das camadas a 45º para x = y = 597.3 N/mm e xy = 149.3 N/mm;
que ditam a rotura final do laminado. É interessante notar que os valores destas forças são praticamente o
dobro dos valores de primeira rotura de camada. 
Exemplo . . Resolva o exemplo 7.5 considerando agora a placa sujeita a Mx e My = 0.2Mx.
Resolução. A matriz de flexibilidade do laminado já foi obtida no exemplo 7.4. Face aos momentos
aplicados, as curvaturas são (equação 7.22) 
As tensões nas camadas são obtidas usando na equação (7.14) estas curvaturas e as matrizes k calculadas
no exemplo 7.4. Em seguida, calculam-se as tensões no referencial 123 de cada camada recorrendo à
transformação (3.55). Os resultados estão representados graficamente na figura E7.3.
MATERIAIS COMPÓSITOS
182
Figura E7.3. Distribuições das tensões σ1, σ2 e τ12 nas várias camadas (hc é a espessura da camada).
Com base no critério de Tsai-Wu, verifica-se que a primeira rotura ocorre na superfície z = z1 da camada
a 90º superior quando Mx = 194.5 N e My = 38.9 N. Por seu turno, o critério de Hashin-Rotem prevê na
mesma zona rotura de matriz para Mx = 132.0 N e My = 26.4 N.
O procedimento é análogo ao do exemplo 7.5, com o ponto 2 a consistir agora no recalcular das
matrizes e , das curvaturas κ e das tensões σ k e σk.
Assim, após a primeira rotura de matriz na camada a 90º superior, seguem-se:
› rotura de matriz da camada a 0º superior em z = z0 para Mx = 185.1 N e My = 37.0 N; 
› rotura das fibras da camada a 0º superior em z = z0 para Mx = 206.8 N e My = 41.4 N; 
que implica a rotura final do laminado.
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
183
7.3. Teorias Avançadas dos Laminados
A Teoria Clássica dos Laminados é de facto o modelo mais utilizado na análise de
laminados, devido à sua simplicidade e rigor em muitas situações. Como vimos em
7.2, uma das condições fundamentais para a aplicabilidade da Teoria Clássica dos
Laminados é que as placas sejam relativamente finas, de modo a que sejam válidas as
hipóteses cinemáticas da Teoria de Kirchhoff. Os valores limite de a h e b h (figura
7.2) dependem do tipo de compósito e da sequência de empilhamento do laminado,
mas são geralmente superiores aos dos materiais isotrópicos. Isto deve-se à menor
rigidez ao corte transversal dos laminados compósitos, que resulta dos valores relati-
vamente baixos dos módulos da camada G13 e G23. Naturalmente, face ao custo rela-
tivamente elevado dos materiais compósitos, há todo o interesse em usar laminados
finos, cuja viabilidade é muitas vezes assegurada pela elevada rigidez à flexão. No
entanto, os progressos na tecnologia dos compósitos e a generalização das suas apli-
cações têm conduzido à utilização crescente de laminados espessos. Nestas condições,
torna-se importante recorrer a teorias de laminados mais elaboradas, cujo desenvolvi-
mento tem sido objecto de vários estudos [7.22-7.36]. Estas teorias distinguem-se
principalmente pelas hipóteses admitidas no que toca à variação dos deslocamentos
com na direcção z da espessura do laminado (figura 7.2), podendo ser divididas em
três grandes grupos [7.23, 7.26, 7.27]:
› teorias de deformação globais, nas quais os deslocamentos são descritos por funções
de z aplicáveis a toda a espessura do laminado, ou seja, para -h/2 ≤ z ≤ h/2;
› teorias de deformação locais, por vezes designadas por teorias "zig-zag", em que os
deslocamentos são aproximados por funções definidas localmente em cada camada
do laminado;
› teorias de deformação globais-locais, que recorrem simultaneamente a funções
globais e a funções locais para caracterizar o campo de deslocamentos.
7.3.1. TEORIAS DE DEFORMAÇÃO GLOBAIS
Nestas teorias, o campo de deslocamentos pode escrever-se genericamente na forma
(7.31)
onde u0, 0 e w0 representam os deslocamentos do plano médio do laminado e φk, ϕk
e ψk são funções das coordenadas x e y, com k = 1, 2, ..., n. A Teoria Clássica dos
MATERIAIS COMPÓSITOS
184
Laminados é, obviamente, um caso particular, pois o campo de deslocamentos
definido pela equação (7.7) obtém-se de (7.31) fazendo ψk(x,y) = 0 para k = 1 até n
e φk(x,y) = ϕk(x,y) = 0 para k = 2 até n. Além disso, as funções φ1 e ϕ1 coincidem com
as rotações θx e θy da secção (figura 7.4), que se relacionam com os deslocamentos
transversais w através das equações (7.5). Trata-se portanto de uma teoria de defor-
mação global de 1 ordem, cuja principal limitação consiste em não ter em conta as
deformações de corte transversal. Esta deficiência pode ser eliminada nas teorias de
1 ordem usando
(7.32)
em que as rotações θx e θy da secção deixam de obedecer às equações (7.5), sendo
definidas com base na condição de igualdade entre o trabalho realizado pelos
momentos flectores Mx e My e as componentes da energia de deformação correspon-
dentes, isto é,
(7.33)
Na realidade, as funções rotação podem exprimir-se por
(7.34)
onde fx(x,y) e fy(x,y) são funções dependentes do problema concreto em análise e x
e y são constantes que resultam das propriedades elásticas e do número e sequência
de empilhamento das camadas do laminado. No caso de placas de materiais isotrópicos,
as funções fx(x,y) e fy(x,y) coincidem com os esforços de corte transversal Vx(x,y) e
Vy(x,y) (figura 7.3), respectivamente, e x = y = 5Gh/6, sendo G o módulo de corte
do material [7.3]. Esta Teoria de 1 Ordem com Corte Transversal fornece geral-
mente resultados satisfatórios,sendo por isso adoptada na generalidade dos códigos
de elementos finitos. Não obstante, têm sido utilizadas com alguma frequência 
teorias de 3 ordem [7.23-7.28], isto é, com n = 3 nas equações (7.31).
Independentemente da ordem n, as teorias de deformação globais têm limitações
importantes no cálculo das tensões fora do plano da camada, ou seja de σz, τxz e τyz.
Como é evidente, qualquer modelo baseado numa teoria de placas não permite obter
resultados rigorosos para σz. Para isso são necessários modelos verdadeiramente tridi-
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
185
mensionais. Contudo, reveste-se de particular importância obter valores rigorosos das
tensões de corte τxz e τyz nas interfaces entre camadas. De facto, como veremos nos
capítulos 9 e 10, estas tensões podem provocar descoesões entre camadas, ou seja,
delaminagens. Em princípio, tendo obtido o campo de deslocamentos (7.31) e pos-
teriormente o tensor das deformações ε através de
(7.35)
as tensões na camada k do laminado podem ser calculadas da equação (3.44)
(7.36)
Como se viu em 7.2, face à continuidade das deformações, havendo diferenças nas
matrizes de rigidez k e k+1 de camadas adjacentes k e k+1 por estas possuírem
diferentes orientações, as tensões σ k e σ k+1 serão necessariamente descontínuas. Isto
pode verificar-se para as tensões no plano da camada σx, σy e τxy, mas não é aceitável
para as tensões fora do plano σz, τxz e τyz, pois viola a condição de equilíbrio de forças
entre camadas.
De modo a contornar esta limitação, as tensões τxz e τyz são calculadas à posteriori a
partir das equações de equilíbrio tridimensional nas direcções x e y [7.23, 7.24],
(7.37)
usando as tensões σx, σy e τxy previamente obtidas. Isto é, as distribuições de tensões
ao longo da espessura do laminado são dadas por
(7.38)
(7.39)
de onde resultam valores suficientemente rigorosos para muitas aplicações.
MATERIAIS COMPÓSITOS
186
7.3.2. TEORIAS DE DEFORMAÇÃO LOCAIS
As teorias de deformação locais baseiam-se em funções deslocamento definidas
camada a camada. Em geral, o campo de deslocamentos numa camada k de um lami-
nado é descrito por equações do tipo [7.23, 7.29, 7.30]
(7.40)
com hk-1 ≤ z ≤ hk (figura 7.6). Estas teorias têm a vantagem de assegurar simultanea-
mente as condições de continuidade dos deslocamentos e das tensões fora do plano,
nas interfaces. Como é evidente, quanto maior for a ordem n da teoria, melhores
serão os resultados. Todavia, aumenta também o esforço de cálculo, que é precisa-
mente a grande limitação das teorias puramente locais, pois o número de variáveis
utilizado nas equações (7.40) é proporcional ao número de camadas de um laminado.
Por isso, os modelos baseados nestas teorias têm geralmente aplicações limitadas aos
materiais sandwich, em que as "peles" e o núcleo são modeladas por 3 camadas. Neste
caso, as diferenças nas espessuras e nas propriedades das peles e do núcleo justificam
a natureza local da aproximação. Por razões de custo computacional, n ≤ 3, e
admitem-se geralmente deslocamentos transversais w independentes de z.
7.3.3. TEORIAS DE DEFORMAÇÃO GLOBAIS-LOCAIS
Estas teorias visam atingir um compromisso entre a eficiência computacional das teorias
globais e o rigor das teorias locais. Nesse sentido, o campo de deslocamento é obtido
sobrepondo funções globais e funções locais. Para evitar que o número de variáveis
se torne dependente do número de camadas do laminado, utilizam-se geralmente
apenas dois termos locais, uma vez que as variáveis correspondentes podem ser 
previamente eliminadas pelas condições de continuidade dos deslocamentos u e e
das tensões fora do plano τxz e τyz. Assim, as teorias globais-locais usam geralmente
campos de deslocamentos com a forma [7.23, 7.29, 7.31-7.36]
(7.41)
onde ξk é uma coordenada local na direcção da espessura da camada k. Relativamente
CAPÍTULO 7: ANÁLISE DOS LAMINADOS
187
aos termos locais, o mais importante parece ser o termo de ordem 1, enquanto o
menos relevante é o de ordem 0, que é bem representado pela componente global
[7.23]. Por conseguinte, nas equações (7.41) são de preferir as combinações p =1 e 
= 2 ou p = 1 e = 3, sendo que esta última tende a ser mais rigorosa no cálculo das
tensões interlaminares, dado que contempla as variações parabólicas locais de τxz e
de τyz.
Como é evidente, a utilização destas teorias na solução de problemas de interesse
prático requer a implementação prévia em programas de elementos finitos.
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MATERIAIS COMPÓSITOS
190
Capítulo 8
Efeitos Higrotérmicos 
e Viscoelásticos
8.1. Introdução
Os capítulos 3 a 7 foram dedicados à análise do comportamento puramente mecânico
dos materiais compósitos, sob perspectivas micro e macromecânica. Estes conheci-
mentos constituem efectivamente a base para o projecto de estruturas compósitas. No
entanto, é importante ter em conta a influência de outros factores no comportamento
mecânico, tais como a exposição mais ou menos prolongada a temperaturas e humi-
dades elevadas, cujos efeitos combinados se designam por higrotérmicos. De facto, as
propriedades mecânicas dos polímeros são bastante sensíveis a estes efeitos, e, como
vimos nos capítulos anteriores, certas componentes do comportamento dos compósitos
são particularmente dependentes das propriedades da matriz. Para além da
degradação de propriedades, os efeitos higrotérmicos manifestam-se também sob a
forma de expansões ou contracções, que causam tensões internas nos compósitos,
dadas as diferentes propriedades higrotérmicas das fibras e da matriz. Os efeitos
higrotérmicos constituem um tópico de investigação particularmente relevante, em
que a caracterização experimental continua a assumir o papel principal. Neste 
capítulo, são revistas as conclusões principais desses estudos e apresentados modelos
relativamente simples para ter em conta os efeitos higrotérmicos numa fase inicial 
de projecto.
Por outro lado, as matrizes poliméricas possuem um carácter acentuadamente 
viscoelástico, que, obviamente, também se reflecte nos compósitos. Nos materiais
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
191
estruturais de utilização mais comum, como os aços e as ligas de alumínio, os fenó-
menos viscoelásticos só se tornam relevantes a temperaturas relativamente elevadas,
ou seja, acima de metade da temperatura de fusão. Ao invés, os materiais poliméricos
têm um comportamento claramente viscoelástico, mesmo a temperaturas inferiores à
temperatura de transição vítrea, g (ver capítulo 1). Como é evidente, há uma ligação
entre efeitos viscoelásticos e factores higrotérmicos. A natureza viscoelástica manifesta-se
sob quatro formas principais, conforme se exemplifica na figura 8.1 para uma barra
sob carga axial. Na primeira situação, em que a barra está sujeita a uma tensão 
constante (figura 8.1a), depois da resposta elástica inicial, verifica-se um aumento
gradual da deformação da barra, fenómeno que se designa por flu ncia. Por outro
lado, se for imposta à barra uma deformação constante (figura 8.1b), dá-se uma 
relaxa o progressiva da tensão em relação ao valor inicial. Na terceira situação (figura
8.1c), a barra é sujeita a um carregamento oscilatório, e a curva tensão-deformação
forma um ciclo de histerese. A área delimitada pelo referido ciclo define a energia 
dissipada. Este fenómeno é particularmente importante nos materiais elastoméricos,
cuja função é frequentemente o amortecimento de vibrações. Finalmente, o compor-
tamento tensão-deformação dos materiais viscoelásticos é sensível à taxa de defor-
mação imposta (figura 8.1d).
a) b)
c) d)
Figura 8.1. Manifestações de comportamento viscoelástico: a) fluência; b) relaxação; c) histerese; 
d) sensibilidade à taxa de deformação. 
Este capítulo apresenta os fundamentos teóricos da viscoelasticidade dita linear, que
MATERIAIS COMPÓSITOS
192
é frequentemente utilizada no projecto de estruturas compósitas. É dada particular
atenção aos fenómenos de fluência e de relaxação, que condicionam em grande medida
a durabilidade estrutural. Todavia, são também salientadas as actuais limitações na
previsão rigorosa destes fenómenos, que fazem com que este assunto continue a ser
objecto de investigação.
8.2. Efeitos Higrotérmicos
8.2.1. DEGRADAÇÃO DE PROPRIEDADES
Sob exposição higrotérmica, as matrizes poliméricas podem ver as suas propriedades
mecânicas degradar-se substancialmente. Naturalmente, as propriedades transversais
da camada dos laminados de fibras contínuas e as propriedades dos compósitos de
fibras curtas são as mais afectadas [8.1-8.11]. Pelo contrário, exceptuando as fibras
aramídicas, as propriedades das fibras são geralmente pouco sensíveis aos factores
higrotérmicos, o mesmo sucedendo com o módulo longitudinal e com a resistência à
tracção longitudinal da camada. Todavia, a resistência à compressão longitudinal é
algo afectada [8.9, 8.10], pois a resistência e rigidez da matriz também desempenham
um papel relevante no fenómeno da microencurvadura das fibras (ver capítulo 4).
A avaliação rigorosa dos efeitos higrotérmicos exige programas experimentais que
poderão ser extensos e dispendiosos, face à anisotropia dos compósitos. Em princí-
pio, atendendo a que estes se devem essencialmente à matriz polimérica, pode ser
delineada a seguinte metodologia [8.6, 8.7]:
a) caracterização experimental dos efeitos higrotérmicos na matriz;
b) previsão das propriedades dos compósitos recorrendo aos modelos micromecânicos
apresentados nos capítulos 4 e 6.
Recorde-se porém que, como se viu nesses capítulos, o actual estado da arte na mode-
lação micromecânica faz com que esta abordagem só seja verdadeiramenterigorosa
para as propriedades elásticas.
No que toca à primeira etapa, Chamis et al. [8.6, 8.7] propuseram para descrever a
degradação higrotérmica das propriedades de rigidez ou de resistência da matriz a
equação
(8.1)
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
193
em que:
› Pm,c é a propriedade da matriz à temperatura e com concentração de água absorvi-
da c (massa de água por massa de resina seca num elemento de volume infinitesi-
mal);
› Pm,r é a propriedade da matriz à temperatura de referência r após secagem para
eliminação total de humidade;
› g,c é a temperatura de transição vítrea da matriz com concentração de água absorvi-
da c;
› g,r é a temperatura de transição vítrea da matriz após secagem.
Segundo vários estudos experimentais [8.1, 8.7, 8.8], g,c pode ser estimada por
(8.2)
com c em %.
A aplicação das equações (8.1) e (8.2) exige naturalmente o conhecimento da tem-
peratura e da concentração de água no compósito. Quando se coloca um compósito
seco num ambiente com temperatura a e humidade ca (figura 8.2), este adquire
gradualmente condições estacionárias mediante processos de condução térmica e de
difusão de água. Apesar da baixa condutividade térmica dos polímeros e dos com-
pósitos de matriz polimérica, verifica-se que estes materiais atingem a temperatura
ambiente a cerca de 1 milhão de vezes mais rapidamente do que a concentração 
de humidade final, ce, dita de saturação [8.12]. Portanto, para efeitos de análise, é 
legítimo admitir que a temperatura do compósito é igual a a, e estudar depois o
processo de difusão de água.
Figura 8.2. Compósito exposto a condições ambientais Ta e ca. Representação esquemática da distribuição 
de humidade ao longo da espessura (equação 8.4).
Em geral, o estudo da difusão de água é um problema tridimensional [8.12]. Porém,
na grande maioria dos casos de interesse prático, a superfície exposta da peça nos 
MATERIAIS COMPÓSITOS
194
bordos laterais é muito menor do que a das faces superior e inferior. Logo, conside-
ramos apenas a difusão através da espessura da peça (figura 8.2), ou seja, uma 
concentração de água local c(z, t). Admitindo que a difusividade z é independente
de c, a Segunda Lei de Fick escreve-se
(8.3)
Sendo ci a concentração de água inicial uniforme, a solução de (8.3) pode ser expressa
pela série [8.11]
(8.4)
Na prática, é muito difícil medir as concentrações locais de água [8.13, 8.14], pelo
que, nos estudos experimentais mais comuns, regista-se a evolução da concentração
média de água através de pesagens da amostra após determinados tempos de
exposição às condições higrotérmicas. A massa total de água na amostra pode ser
dada por
(8.5)
onde A é a área das faces expostas. Em face de (8.4), a variação relativa de massa de
água é 
(8.6)
em que mi é a massa inicial de água na amostra e me a massa de água de saturação. A
figura 8.3 mostra a forma típica de uma curva de massa absorvida de água, onde se
nota um troço inicial linear, seguido de uma evolução mais lenta para um valor de
saturação.
Figura 8.3. Forma típica de uma curva de absorção de água de acordo com o modelo de Fick.
A aplicação da equação (8.6) a dados experimentais permite obter a difusividade z
a partir do declive inicial da curva de absorção e a massa de água de saturação me,
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
195
desde que seja de facto válida a Segunda Lei de Fick. Na realidade têm sido registados
alguns desvios nos estádios finais do processo de absorção, que se devem a relaxação
progressiva da matriz [8.15, 8.16] e/ou ao aparecimento de microfissuras resultantes
de carregamento e de processos degradação higrotérmica [8.13, 8.17]. É também
importante salientar que a difusividade é bastante sensível à temperatura, sendo nor-
malmente válida uma lei do tipo
(8.7)
onde zo é uma difusividade característica do material, Δ uma energia de activação,
também propriedade do material, R é a constante universal dos gases perfeitos (8.314
JK-1mol-1) e é a temperatura em graus K.
Exemplo .1. temperatura ambiente, um compósito de espessura h = 3 mm tem uma difusividade 
z = 1.2 10-4 mm2/h. Sabendo que o compósito possuía inicialmente cerca de 10 % da massa de água de
saturação, me, determine a massa de água absorvida em % de me ao fim de 1 mês e de um ano de exposição.
Resolução. Começamos por aplicar a equação (8.6),
Quando t = 30 dias (720 h), os cálculos mostram que basta usar os 3 primeiros termos da série para obter
g(t) = 0.221. Para t = 365 dias (8760 h), verifica-se que o primeiro termo é suficiente para determinar 
g(t) = 0.744.
Da equação (8.6) obtém-se ainda
Como no caso presente mi me = 10 %, facilmente concluímos que m(t)/me = 30 % e 77 % para t = 30 dias
e para t = 365 dias, respectivamente. É portanto evidente a lentidão dos processos de difusão de água à
temperatura ambiente. 
8.2.2. LEIS CONSTITUTIVAS COM EFEITOS HIGROTÉRMICOS
Consideremos uma camada unidireccional de um compósito de fibras contínuas sem
quaisquer constrangimentos às suas deformações. Quando a camada é sujeita a uma
variação de temperatura Δ , verifica-se que sofre deformações
MATERIAIS COMPÓSITOS
196
(8.8)
com i, j = 1, 2 e 3, e sendo αij os coeficientes de expansão térmica. No referencial
principal de ortotropia, sabe-se ainda que as variações de temperatura não geram
deformações de corte, isto é, αij = 0 se i ≠ j, pelo que basta considerar os coeficientes
de expansão térmica α1, α2 e α3. A condição de isotropia transversal impõe também
que α2 = α3. Tal como sucede com os módulos de elasticidade, a anisotropia na
expansão térmica da camada é elevada, dado que as fibras possuem coeficientes de
expansão térmica α1f substancialmente menores do que as matrizes poliméricas. No
caso das fibras de carbono, os valores de α1f são mesmo negativos, o que faz com que
α1 tenha valores próximos de zero [8.18-8.20] (tabela 8.1). Isto constitui uma pro-
priedade particularmente interessante para estruturas aeroespaciais. Os coeficientes
de expansão térmica podem ser objecto de previsão micromecânica, recorrendo a
modelos semelhantes aos do capítulo 4 [8.20]. Pela sua simplicidade, rigor e interesse
prático, há que referir a Lei de Misturas para α1, que facilmente se deduz da lei 
constitutiva termomecânica uniaxial
(8.9)
Substituídas as tensões em todos os constituintes na equação (4.4),
(8.10)
e atendendo às equações (4.2) e (4.6), obtemos
(8.11)
Em geral, a relação deformação-variação de temperatura não é exactamente linear.
Todavia, os erros da linearização são relativamente pequenos para as variações de
temperatura habituais em compósitos de matriz polimérica.
Tabela 8.1. Propriedades higrotérmicas de alguns laminados unidireccionais [8.21].
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
197
A absorção de humidade causa deformações análogas às variações de temperatura
(8.12)
sendo βij coeficientes de expansão higroscópica, que, no referencial principal de
ortotropia são βij = 0 se i ≠ j, resultando ainda da isotropia transversal que β2 = β3. A
tabela 8.1 apresenta alguns valores típicos, onde se assinala a diferença entre os valores
de β1 e de β2, face à menor absorção de humidade das fibras. Recorrendo a uma
análise micromecânica análoga à da expansão térmica, demonstra-se facilmente que
(8.13)
Geralmente, a relação linear deformação-concentração de água (8.12) é uma aproxi-
mação aceitável, embora menos rigorosa do que (8.8).
Os coeficientes de expansão térmica e higroscópica são eles próprios afectados por 
e c. Neste caso, porém, a variação é em sentido inverso à dos módulos e das resistên-
cias, tendo Chamis et al. [8.6, 8.7] proposto a equação
(8.14)
também aplicável ao rácio βm,c/βm,r. É portanto evidente que seriam necessários pro-
cedimentos iterativos relativamente complicados para se ter contade forma rigorosa
os efeitos higrotérmicos. Na prática, admitem-se valores médios para os coeficientes
de expansão térmica e higroscópica no cálculo das deformações das camadas e, con-
sequentemente, dos laminados. Outra hipótese fundamental é a de que a temperatura
e a concentração de humidade são uniformes no laminado.
Considerando a camada linear elástica, pode-se sobrepor as deformações de origem
higrotérmica com as deformações mecânicas (equações 3.51, 8.8 e 8.12),
(8.15)
que, no referencial principal e sob estado plano de tensão se escrevem
(8.16)
Num referencial genérico xyz (figura 3.7), as deformações são dadas por
MATERIAIS COMPÓSITOS
198
(8.17)
em que os vectores de expansão térmica e higroscópica se obtêm aplicando a lei de
transformação das deformações (equação 3.56). Por exemplo, no caso da expansão
térmica,
(8.18)
onde c = cosθ e s = sinθ, estando θ definido na figura 3.7. Conhecidas as deformações
da camada, as tensões determinam-se através de
(8.19)
No âmbito da Teoria Clássica dos Laminados, vimos que o campo de deformações é
dado pela equação (7.9), e portanto as tensões na camada k são
(8.20)
Recorrendo novamente à equação do esforço membrana (7.12),
(8.21)
a substituição de (8.20) permite escrever
(8.22)
onde e são as matrizes definidas pelas equações (7.18) e (7.19), respectivamente,
e onde surgem o esforço membrana de térmico,
(8.23)
e o esforço membrana higroscópico,
(8.24)
Analogamente, a substituição de (8.20) na equação dos momentos (7.13),
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
199
(8.25)
permite obter
(8.26)
onde e são as matrizes definidas pelas equações (7.19) e (7.20), respectivamente,
e onde surgem os momentos térmicos,
(8.27)
e os momentos higroscópicos,
(8.28)
Se definirmos os esforços efectivos totais
(8.29)
(8.30)
as equações base da Teoria Clássica dos Laminados são análogas às equações (7.17)
e (7.22), isto é,
(8.31)
(8.32)
Como já foi anteriormente referido, desenvolvem-se tensões internas de origem tér-
mica após o fabrico, e que se designam por tensões residuais. Logo, haverá também
geralmente esforços e momentos no laminado, que provocam deformações ε0
e curvaturas κ. Estas últimas traduzem-se em empenamentos inconvenientes que
interessa evitar. Isso consegue-se recorrendo a laminados simétricos, para os quais as
matrizes e são nulas (ver 7.2.1), anulando e κ.
As tensões residuais de origem térmica podem ter uma influência relevante na inte-
gridade estrutural, sobretudo na promoção de roturas transversais [8.22, 8.23], o que
torna importante estimar os seus valores. Para isso, considera-se uma temperatura de
referência 0, à qual não existem tensões residuais. Numa primeira aproximação, algo
conservadora, admite-se normalmente que 0 é igual à temperatura de cura, c, no
caso da matriz ser termoendurecível. Recorre-se então às equações (8.23) e (8.27)
para calcular os esforços de origem térmica. Em seguida, obtém-se o campo de defor-
MATERIAIS COMPÓSITOS
200
mações a partir das equações (8.32), o que possibilita a determinação das tensões
residuais através da equação (8.20).
Na realidade, o valor de 0 é geralmente inferior a c, na medida em que, durante
algum tempo após a cura, a temperatura do laminado se mantém suficientemente ele-
vada para que a matriz seja ainda pouco rígida e para que sejam relevantes processos
de relaxação viscoelástica e viscoplástica. No sentido de determinar 0, vários autores
[8.11, 8.24-8.27] recorreram à determinação experimental baseada na relação curvatura-
-esforços térmicos de laminados assimétricos. Os laminados [0n/90n] são particular-
mente convenientes, dado o número elevado de termos nulos nas matrizes , e ,
bem como da igualdade de propriedades elásticas nas direcções 1 e 2 das camadas.
Nestas circunstâncias, 0 pode ser obtida aquecendo os provetes e determinando a
temperatura à qual os provetes retomam a forma plana. Em alternativa, medições
experimentais da curvatura combinadas com as equações (8.31) permitem determinar
0, desde que sejam conhecidos os valores correctos das constantes elásticas e dos
coeficientes de dilatação térmica (ver exemplo 8.2). Neste caso, foram propostas 
formulações geometricamente não-lineares [8.24, 8.25], uma vez que podem veri-
ficar-se grandes deslocamentos.
Exemplo .2. Estabeleça a relação que permite calcular 0 a partir de medições da curvatura de laminados
do tipo [0n/90n], com espessura h. 
Resolução. Sem perda de generalidade, começamos por considerar um referencial xyz cujos eixos x e y
coincidem com os eixos 1 e 2 das camadas a 0º, e admitimos que vai ser medida a curvatura κx. Recorrendo
à tabela 3.5, obtemos as matrizes de rigidez das camadas a 0º e a 90º:
Recordemos que os valores de ij são dados em função das constantes elásticas pelas equações (3.54).
Independentemente do número n de camadas, a aplicação das equações (7.18) a (7.20), conduz a
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
201
onde:
Neste caso, os únicos esforços são de origem térmica, e resulta das equações (8.23) e (8.27),
com
Recorrendo agora às equações (8.29) a (8.31),
sendo ainda evidente que, face à natureza do laminado, ε0y = ε0x e κy = −κx. Podemos então obter
Finalmente, substituindo as expressões dos esforços térmicos,
e sendo Δ = amb − 0,
Exemplo .3. Uma placa laminada [0/90]2s com h = 1.1 mm é solicitada por esforços x. Algumas pro-
priedades da camada são E1 = 140 GPa, E2 = 10 GPa, ν12 = 0.28, G12 = 6 GPa, α1 = -0.3 μ/ºC, α2 = 30 μ/ºC,
σut2 = 60 MPa e τu12 = 75 MPa. Recorrendo ao critério de Hashin-Rotem, calcule o valor do esforço que
provoca a fissuração das camadas a 90º nas seguintes condições: a) ignorando tensões residuais; b)
admitindo Δ = 160 ºC.
Resolução. Tratando-se de um laminado simétrico, consideramos apenas esforços e deformações
MATERIAIS COMPÓSITOS
202
membrana. Podemos usar as fórmulas do exemplo anterior para as matrizes e para os elementos da
matriz , tal que:
Analisando agora o caso a), resulta da equação (7.23),
sendo que, na camada a 90º, ε1 = ε0y, ε2 = ε0x, e portanto as tensões são
Dada a ausência de tensões de corte, o critério de Hashin-Rotem (5.14) é igual ao critério da tensão máxi-
ma (5.1), pelo que
Quanto aos esforços térmicos, a aplicação da equação (8.23),
permite obter
dando origem a deformações
As tensões residuais na camada a 90º são então
Trata-se de valores baixos, mesmo considerando a variação de temperatura relativamente elevada, que cor-
responderia a uma temperatura de cura de cerca de 180 ºC. O valor limite do esforço obtém-se de
que é 91 % do valor calculado sem tensões residuais.
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
203
8.3. Viscoelasticidade Linear
8.3.1. PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DE BOLTZMANN
Um dado material tem um comportamento viscoelástico linear quando obedece a
relações tensão-deformação lineares, nas quais os factores de proporcionalidade
dependem do tempo [8.28-8.30]. As leis constitutivas de viscoelasticidade linear
podem ser expressas de forma geral através do Princípio da Sobreposição de
Boltzmann. Consideramos para já o caso de uma barra solicitada por uma tensão uni-
axial variável no tempo. Esta solicitação pode ser sempre aproximada por uma série
de incrementos Δσi aplicados nos tempos t'i (figura 8.4). A deformação resultante em
t > t'n é dada por
(8.33)
onde S(t) se designa por flexibilidade de fluência.
Figura 8.4. Solicitação por incrementos de tensão de um material viscoelástico e deformação resultante.
Fazendo o número de incrementos de tensão tender para infinito, obtém-se o integral
de Sobreposição de Boltzmann [8.28-8.30]
(8.34)
onde S(t − t') = 0 se t < t'. Esta expressão é generalizável a estados de tensão triaxiais,
(8.35)
com j = 1, 2, , 6.
MATERIAIS COMPÓSITOS204
De modo análogo, perante uma solicitação em deformação uniaxial, a resposta em
tensão pode escrever-se
(8.36)
onde C(t) se designa por módulo de relaxação, sendo tal que C(t − t') = 0 se t < t'. Em
solicitações triaxiais,
(8.37)
As matrizes de flexibilidade de fluência (t) e de rigidez de relaxação (t) são 
propriedades do material análogas às matrizes e , definidas no capítulo 3 para
comportamento linear elástico "quase-estático". No entanto, deve-se salientar que,
em geral, não se aplica a equação (3.8), isto é,
(8.38)
Na realidade, o domínio viscoelástico linear nos polímeros está limitado a tensões 
relativamente baixas, como aliás sucede com o comportamento tensão-deformação
quase-estático. Há portanto grande interesse na descrição geral do comportamento
viscoelástico, no sentido de um melhor aproveitamento das características dos mate-
riais. Foram já propostos vários modelos de viscoelasticidade não-linear [8.31-8.35],
de complexidade considerável, mas os estudos experimentais ainda não apontam
claramente para uma abordagem de referência.
8.3.2. MODELOS DE COMPORTAMENTO VISCOELÁSTICO
Um material viscoelástico possui características intermédias entre as dos sólidos elás-
ticos ideais e as dos fluidos Newtonianos ideais. Recorde-se que os sólidos elásticos
ideais armazenam toda a energia de deformação que lhes é fornecida, enquanto os
fluidos Newtonianos ideais, à excepção dos estados de tensão hidrostáticos, dissipam
toda a energia transmitida. É portanto possível construir modelos uniaxiais de com-
portamento viscoelástico combinando os modelos físicos básicos dos sólidos elásticos
e dos fluidos Newtonianos, que são as molas e os amortecedores, respectivamente.
A figura 8.5a mostra o modelo de Maxwell, que é um dos mais simples. Tratando-se de
uma associação em série, a deformação total ε é igual à soma das deformações da mola, εm,
e do amortecedor, εa. Se k for a constante de rigidez da mola e μ a viscosidade do fluído,
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
205
(8.39)
(a) (b) (c)
Figura 8.5. Modelo de Maxwell (a) com as correspondentes curvas de fluência (b) e relaxação (c).
O comportamento em fluência obtém-se admitindo que actua uma tensão σ = σ0
constante e integrando (8.39), de onde resulta
(8.40)
em que a constante de integração é determinada a partir da condição inicial, 
C1 = ε(0) = σ0/k. A flexibilidade de fluência prevista,
(8.41)
cresce linearmente com o tempo (figura 8.5b). Na realidade, verifica-se que S(t)
decresce ao longo do tempo, conforme sugere a representação da figura 8.1a, pelo
que o Modelo de Maxwell não descreve correctamente o comportamento à fluência.
Relativamente à relaxação, sob deformação ε = ε0 constante, resulta da integração da
equação (8.39)
(8.42)
onde a condição inicial σ(0) = σ0 permite obter C2, e, em seguida, o módulo de rela-
xação (figura 8.5c)
(8.43)
que está geralmente em concordância com o tipo de comportamento observado
experimentalmente.
Outro modelo muito simples é o de Voigt-Kelvin, em que mola e amortecedor estão
associados em paralelo (figura 8.6a). A tensão total é igual à soma das tensões nos
MATERIAIS COMPÓSITOS
206
dois elementos, ou seja,
(8.44)
(a) (b) (c)
Figura 8.6. Modelo de Voigt-Kelvin (a) com as correspondentes curvas de fluência (b) e relaxação (c).
Através de uma análise idêntica à do modelo de Maxwell, demonstra-se facilmente
que este modelo prevê
(8.45)
(8.46)
para fluência e relaxação, respectivamente (figuras 8.6b e 8.6c). A curva de fluência
está em boa concordância com as observações experimentais, exceptuando a falta de
uma resposta elástica inicial. Por outro lado, o modelo de Voigt-Kelvin não prevê a
ocorrência de relaxação, o que é claramente irrealista.
O modelo de Zener incorpora um modelo de Maxwell em paralelo com uma mola
(figura 8.7a), e o seu comportamento é regido pela equação diferencial
(8.47)
As curvas de fluência e de relaxação previstas são
(8.48)
(8.49)
respectivamente (figuras 8.7b e 8.7c), com
(8.50)
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
207
(a)
(b) (c)
Figura 8.7. Modelo de Zener (a) com as correspondentes curvas de fluência (b) e relaxação (c).
Embora a forma das curvas prevista seja semelhante às medições experimentais, o
modelo de Zener não permite em geral um ajuste quantitativamente rigoroso ao com-
portamento dos polímeros, na medida em que as constantes de tempo ρ1 e λ1 são
insuficientes. Estes materiais apresentam um espectro contínuo de constantes de
tempo ρi e λi, devido à complexidade microestrutural (por exemplo, a distribuição de
peso molecular). Para se conseguir uma boa aproximação ao comportamento real,
são necessários modelos com várias molas e amortecedores, como é o caso dos 
modelos ditos de Zener melhorados (figura 8.8). Com base na análise dos modelos
em série e em paralelo, as curvas de fluência e de relaxação podem agora escrever-se
(8.51)
(8.52)
respectivamente, onde ρi = μi/ki e λi = μi/ki. Estas expressões podem ser generalizadas
a solicitações triaxiais
(8.53)
(8.54)
Como é evidente, a modelação rigorosa do comportamento viscoelástico exige um
elevado esforço experimental, devido aos muitos parâmetros necessários, e porque
estes são muito sensíveis à temperatura. Há que referir que, em alternativa às
equações (8.53) e (8.54), alguns autores recorrem a leis empíricas mais simples
MATERIAIS COMPÓSITOS
208
[8.33-8.35]. Em qualquer caso, Sij(t) e Cij(t) obedecem às mesmas leis de transfor-
mação perante rotação de referencial do que as propriedades elásticas correspon-
dentes, possuindo também as mesmas simetrias.
(a)
(b)
Figura 8.8. Modelos de Zener melhorados: a) em série; b) em paralelo.
8.3.3. ANÁLISE QUASE-ELÁSTICA
Consideremos uma solicitação triaxial de fluência em que as tensões impostas se
mantêm constantes ao longo do tempo. Em princípio, é necessário ter em conta os
tempos que as componentes do tensor das tensões demoram a atingir os valores esta-
cionários, escrevendo
(8.55)
onde j = 1, 2,..., 6 e (t) é a função Heaviside, representada na figura 8.9. No entanto,
demonstra-se [8.28] que a substituição de (8.55) na equação (8.35) permite obter
(8.56)
relação que é idêntica à Lei de Hooke generalizada.
De modo análogo, perante solicitações triaxiais de relaxação com deformações impostas
(8.57)
a tensão resultante é dada por
(8.58)
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
209
Figura 8.9. Representação da função Heaviside, na qual ξ → 0
Se as solicitações forem aproximadamente constantes ao longo do tempo, é possível
fazer uma análise dita quase-elástica, baseada nas equações (8.56) ou (8.58). Noutras
situações, há que utilizar a metodologia a seguir exposta.
8.3.4. SOLICITAÇÕES SINUSOIDAIS E NOTAÇÃO COMPLEXA
As solicitações sinusoidais constituem um caso particular de grande interesse, na
medida em que estabelecem um quadro para a determinação do comportamento 
viscoelástico em situações gerais de carregamento. Por conveniência de exposição,
consideramos para já uma solicitação em deformação uniaxial sinusoidal
(8.59)
A resposta em tensão pode ser obtida do integral de Boltzmann (8.36), no qual fazemos
a mudança de variável s = t - τ,
(8.60)
Esta equação mostra claramente que a resposta em tensão tem uma componente "em
oposição de fase" à deformação imposta (equação 8.59) e outra componente "em fase"
com aquela, traduzindo o facto já referido de os materiais viscoelásticos possuírem um
comportamento intermédio entre os fluidos Newtonianos ideais e os sólidos ideais.
Tratando-se de solicitações sinusoidais, a notação complexa é particularmente conve-
niente. Uma solicitação em deformação pode escrever-se
(8.61)
sendo a resposta em tensão
MATERIAIS COMPÓSITOS
210
(8.62)
Define-se entãoo módulo complexo de relaxação
(8.63)
que tem duas componentes,
(8.64)
C (ω) é a componente real, elástica, também designada por componente de
armazenamento, e C (ω) é componente imaginária, de dissipação de energia. Outra
grandeza viscoelástica importante é o chamado factor de perda
(8.65)
O módulo complexo de relaxação pode ser determinado experimentalmente para um
vasto conjunto de frequências ω através de técnicas de análise dinâmica, DMA ( ynamic
Mechanical Analysis) ou, atendendo a que é função da temperatura, usando a DMTA
( ynamic Mechanical hermal Analysis). O campo de frequências típico é de 0.01 a 100
Hz, pois as medições a frequências inferiores a 0.01 Hz são geralmente excessiva-
mente morosas, enquanto acima de 100 Hz há o risco de ressonância, conforme o
tipo de ensaio e as dimensões do provete [8.36]. Os equipamentos oferecem actualmente
um conjunto de dispositivos que permitem medir as características viscoelásticas em
tracção, flexão e torção.
Tendo medido o módulo complexo de relaxação, é possível prever a resposta em tensão
a qualquer tipo de solicitação em deformação, pois, recorrendo à análise de Fourier,
é sempre possível escrever
(8.66)
e substituindo no integral de Boltzmann (8.36),
(8.67)
onde se recorreu novamente à variável s = t - τ, e se considerou como limite inferior
do integral -∞ por mera conveniência formal, pois C(s) = 0 para s < 0. De facto,
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
211
(8.68)
é a transformada de Fourier do módulo complexo de relação.
É possível aplicar esta metodologia a solicitações em tensão, considerando uma flexibi-
lidade complexa de fluência, S (ω), que, uma vez determinada experimentalmente,
permite obter a resposta em deformação a uma qualquer solicitação em tensão
(8.69)
recorrendo ao integral de Boltzmann (8.34),
(8.70)
onde surge a transformada de Fourier da flexibilidade de fluência
(8.71)
Em ambos os casos, as equações são generalizáveis a solicitações triaxiais, sendo evi-
dente que a implementação destas metodologias é bastante exigente do ponto de vista
de cálculo. Na prática, recorre-se a programas comerciais para realizar a análise e
transformadas de Fourier.
Exemplo .4. Admitindo que o comportamento em relaxação de um material pode ser aproximadamente
descrito pelo modelo de Maxwell, determine as componentes real e imaginária do módulo de relaxação
que se obteriam da DMA. Neste caso, não é necessário recorrer à transformada de Fourier.
Resolução. Vamos utilizar o integral de Boltzmann para relaxação (8.36), substituindo neste a equação
(8.43) do módulo de relaxação do modelo de Maxwell, e a deformação sinusoidal imposta
de que resulta
O recurso a uma tabela de integrais mostra que
MATERIAIS COMPÓSITOS
212
e portanto a resposta em tensão é dada por
Comparando as componentes em fase e em oposição de fase com solicitação, conclui-se que
8.3.5. PRINCÍPIO DE EQUIVALÊNCIA TEMPO-TEMPERATURA
As peças compósitas devem ser projectadas de maneira que os processos de relaxação
ou de fluência sejam lentos (vários anos), ainda que possam não ser desprezáveis.
Nestas circunstâncias, os ensaios de caracterização que permitiriam obter S(t) e/ou
C(t) deveriam também ser lentos, o que é evidentemente inaceitável. É portanto fun-
damental recorrer a ensaios de curta duração cujos resultados sejam extrapoláveis
para as condições de funcionamento. É aqui que desempenha um papel importante
o chamado Princípio de Equivalência tempo-temperatura [8.29], segundo o qual é
possível reduzir o tempo t dos ensaios aumentando a temperatura a que estes são
realizados. Este princípio assenta na hipótese de que os materiais viscoelásticos têm
um comportamento reologicamente simples, isto é, que todas as propriedades 
viscoelásticas têm a mesma dependência da temperatura. Assim, se P designar uma
qualquer propriedade viscoelástica, o Princípio de Equivalência tempo-temperatura
pode ser traduzido pela equação
(8.72)
em que r é uma temperatura de referência e
(8.73)
representa um tempo reduzido, onde intervém o factor de translação a . No domínio
da frequência, a equação deste Princípio é 
(8.74)
com ωr = ωa .
A aplicação do Princípio de Equivalência tempo-temperatura requer a escolha de uma
temperatura de referência, r, bem como a obtenção das curvas de comportamento a
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
213
várias temperaturas i. Em seguida, constrói-se a chamada curva mestra a r, deslo-
cando na escala de tempo as curvas medidas dos respectivos factores a ( ). Este 
procedimento é ilustrado nas figuras 8.10 e 8.11 para o módulo de relaxação e para
a flexibilidade de fluência, respectivamente. A curva mestra serve posteriormente de
base à previsão do comportamento em relaxação noutras condições.
A determinação experimental do factor a ( ) é essencial para a aplicação do
Princípio de Equivalência tempo-temperatura. Para temperaturas acima da transição
vítrea g, este factor é dado pela equação de Williams-Landel-Ferry (WLF) [8.29]
(8.75)
onde c1 e c2 são constantes empíricas. Verificou-se ainda que, para r ≈ g + 50 ºC,
os valores c1 = 8.86 e c2 = 101.6 são válidos para um vasto conjunto de polímeros
amorfos. A temperaturas inferiores a g, verifica-se geralmente uma lei do tipo
Arrhenius [8.31],
(8.76)
em que R é a constante universal dos gases perfeitos (8.314 JK-1mol-1) e Δ é uma
energia de activação. Alguns autores [8.34, 8.37, 8.38] constataram que a equação
(8.79) se pode usar para resinas epóxidas e seus compósitos unidireccionais abaixo e
acima de g, desde que se adoptem dois valores distintos de Δ .
Figura 8.10. Construção de uma curva mestra de relaxação.
MATERIAIS COMPÓSITOS
214
Figura 8.11. Construção de uma curva mestra de fluência.
No caso de um material estar sujeito a temperaturas variáveis ao longo do tempo, a
resposta viscoelástica pode ser determinada modificando os integrais de Boltzmann:
(8.77)
(8.78)
sendo
(8.79)
É de referir que foram também propostos outros princípios de equivalência [8.30,
8.38-8.40], caso do Princípio de Equivalência tempo-humidade
(8.80)
com
(8.81)
assim como um Princípio de Equivalência tempo-temperatura-humidade
(8.82)
em que
(8.83)
Neste último caso, foi avançada a hipótese da independência dos efeitos da tempe-
ratura e da humidade, ou seja,
(8.84)
CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
215
Estes princípios não estão tão bem estudados como o Princípio de Equivalência
tempo-temperatura, que tem sido aplicado com sucesso a muitos materiais poliméricos
quando os tempos envolvidos são relativamente curtos (da ordem dos meses).
Todavia, este Princípio falha quando é aplicado a escalas de tempo da ordem da vida
útil das peças, sobrestimando S(t) e subestimando C(t). Isto deve-se ao fenómeno de
envelhecimento físico [8.41-8.43], que está associado a movimentos moleculares
muito lentos que conduzem à redução gradual do volume livre e a um aumento da
rigidez. Por conseguinte, a aplicação dos princípios de equivalência a processos longos
deve ser encarada com bastantes reservas.
Exemplo . . Admitindo que o comportamento do material em relaxação pode ser descrito pelo modelo
de Zener, verifique que, no âmbito do Princípio de Sobreposição tempo-temperatura, os parâmetros 
viscoelásticos têm a mesma dependência da temperatura.
Resolução. Se aplicarmos a equação (8.73) ao tempo de relaxação λ1 da equação (8.49),
então
isto é,
com tr = t a , que é precisamente a equação (8.72) do Princípio de Sobreposição tempo-temperatura para
P = C.
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CAPÍTULO 8: EFEITOS HIGROTÉRMICOS E VISCOELÁSTICOS
219
Capítulo 9
Mecânica da Fractura 
9.1. Introdução
A Mecânica da Fractura é uma área do conhecimento interdisciplinar que visa carac-
terizar o comportamento dos materiais à fractura e, com base nessa caracterização,
avaliar a integridade das estruturas. Inicialmente, a sua aplicação restringiu-se ao
estudo de fracturade construções aeroespaciais realizadas em ligas metálicas de alta
resistência, dando origem à Mecânica da Fractura Linear El stica. Posteriormente,
desenvolveu-se a aplicação a construções soldadas de aço, originando a Mecânica da
Fractura Elasto-Pl stica. Mais recentemente, com a generalização do uso de materiais
compósitos tem vindo a aumentar o interesse da aplicabilidade da Mecânica da
Fractura nestes materiais.
Nas teorias de resistência e critérios de rotura analisados nos capítulos anteriores,
considera-se que o material está isento de defeitos. Em contrapartida, na Mecânica
da Fractura assume-se que a estrutura não é necessariamente um meio contínuo,
podendo conter defeitos causados pelo próprio processo de fabrico ou por um qualquer
acidente durante o seu funcionamento. O objectivo é saber se os defeitos existentes
serão susceptíveis de causar a rotura catastrófica, ou se, durante o período de vida da
estrutura as suas dimensões se mantêm inferiores às críticas, embora se possam
propagar de uma forma estável.
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
221
9.2. Fundamentos de Mecânica de Fractura
9.2.1. TEORIA DE GRIFFITH [9.1]
A nível atómico, a resistência de um material à tracção pode ser obtida a partir das
forças interatómicas (ver figura 9.1), cuja lei tensão-separação pode ser aproximada
por uma função seno (ver figura 9.2),
(9.1)
em que x representa a variação da distância entre os átomos que se encontram a uma
distância de equilíbrio interatómico inicial b (ver figura 9.1), e σc é a resistência à
tracção.
Figura 9.1. Modelo atómico para a resistência à tracção.
Admitindo que a área circunscrita à curva sinusoidal corresponde à energia necessária
para a total separação dos átomos, pode-se calcular o parâmetro λ fazendo,
(9.2)
em que γs representa a energia necessária à criação de uma unidade de superfície no
sólido, e é uma propriedade do material. O factor 2 explica-se pelo facto da propa-
gação de uma fissura implicar a criação de duas novas superfícies. Substituindo a
equação (9.1) em (9.2) obtém-se
(9.3)
MATERIAIS COMPÓSITOS
222
1 Recorda-se que
Figura 9.2. Curvas real e aproximada da relação tensão-separação do modelo interatómico.
Admitindo valores muito pequenos para x1 pode-se rescrever (9.1),
(9.4)
e, por outro lado, também se pode considerar que
(9.5)
sendo
(9.6)
Igualando as equações (9.4) e (9.5) e fazendo intervir (9.3) e (9.6), obtém-se
(9.7)
que se verifica exceder largamente os valores experimentais da resistência à tracção
dos materiais. Por outro lado, Griffith constatou, após uma série de ensaios experi-
mentais em fibras de vidro com diferentes diâmetros, que a tensão de rotura aumen-
tava à medida que diminuía o diâmetro. Na curva tensão de rotura versus diâmetro
de fibra, verificou-se que os valores de resistência à tracção mais próximos dos da
equação (9.7) surgiam para diâmetros extremamente pequenos. Contudo, para
diâmetros superiores, obtinham-se valores de resistência similares aos obtidos nos
ensaios de tracção de provetes normalizados. Estas observações levaram Griffith à
conclusão de que as dimensões superiores das fibras se traduziam numa maior 
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
223
presença de defeitos e de maior tamanho. Concluiu então, que todos os corpos contêm
uma distribuição de defeitos e que a fractura ocorrerá a partir do mais crítico.
Figura 9.3. Fissura interna a toda a espessura do sólido.
Para demonstrar esta hipótese, Griffith recorreu a um balanço energético que, para
um material elástico e frágil, como é o caso do vidro, se pode escrever
(9.8)
em que W representa o trabalho realizado pelas forças exteriores, U a energia de
deformação interna do sólido e dA é a variação de superfície da fissura (dA=4 da no
exemplo da figura 9.3). A equação (9.8) traduz uma igualdade entre a variação da
energia potencial (W-U) devido a um incremento de propagação de fissura e a
resistência a essa propagação. Note-se que esta equação é similar à do eorema dos
rabalhos Virtuais da eoria das Estruturas. Na realidade, na ausência de propagação
de fissura, γs é nulo, o que significa que o trabalho realizado pelas forças exteriores é
igual à variação da energia interna de deformação, que é o enunciado do referido teo-
rema. A abertura da fissura no caso da figura 9.3, que representa uma placa fina de
dimensões w e L muito superiores ao tamanho da fissura, submetida a uma tensão σR
normal à fissura, pode ser dada pela solução de Westergaard [9.2], que, para estado
plano de tensão, adquire a seguinte forma
(9.9)
estando (x) representada na figura 9.3. Para uma fissura de comprimento 2a e aber-
tura 2 (x), a variação de energia potencial durante um incremento de propagação,
MATERIAIS COMPÓSITOS
224
pode-se calcular como sendo [9.3]
(9.10)
Regressando à equação (9.8), obtemos
(9.11)
que representa o valor crítico de tensão para um dado valor de a.
Comparando as equações (9.7) e (9.11) obtém-se uma relação aproximada de ,
o que mostra que os valores teóricos da resistência só seriam atingidos, caso o tamanho
da fissura a, se aproximasse da distância interatómica b. Defeitos de tão pequena
dimensão só poderiam ocorrer para diâmetros de fibra extremamente reduzidos, o
que justifica o aparente efeito de tamanho detectado por Griffith.
Sempre que uma fissura se propaga formam-se duas novas superfícies. A energia de
superfície por unidade de largura devido à propagação da fissura de uma quantidade
da, será assim 2γs da. A equação (9.8) também se pode escrever
(9.12)
Este parâmetro G (em homenagem a Griffith) designa-se por axa de Liberta o de
Energia de eforma o. Caso haja propagação
(9.13)
e está-se em presença da axa Cr tica de Liberta o de Energia que é uma propriedade
do material e que se costuma designar por Gc.
9.2.2. EXTENSÃO DA TEORIA DE GRIFFITH
A eoria de Griffith foi desenvolvida para materiais idealmente frágeis. Na realidade,
mesmo nos ditos frágeis, existem sempre mecanismos de dissipação de energia asso-
ciados a deformação inelástica na extremidade da fissura. É o caso da plastificação
nos metais e dos fenómenos de viscoelasticidade nos polímeros. A zona na extremi-
dade da fissura onde estes processos ocorrem, denomina-se por zona de processo, que
deverá ser substancialmente menor do que a para que a Mecânica da Fractura Linear
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
225
Elástica seja aplicável. Nos materiais compósitos, os mecanismos de dissipação de
energia na zona de processo incluem roturas de fibras e de matriz, plastificação local
da matriz, descoesão interfacial fibra/matriz, arrancamento de fibras e ponte de fibras,
como se verá em detalhe mais adiante. Em todos os casos, estes mecanismos de 
dissipação podem ser englobados numa energia por unidade de superfície da fissura,
γf, que é várias ordens de grandeza superior à energia de superfície γs. Por conseguinte,
a taxa de libertação de energia é
(9.14)
A partir de (9.12) e (9.14), pode-se escrever
(9.15)
e, para uma placa de espessura constante ,
(9.16)
que traduz o facto de a energia de fractura, ou axa de Liberta o de Energia de
eforma o, ser igual à variação da energia potencial devido a um incremento de
propagação de fissura. Como já foi referido, na ausência de propagação da fissura o
trabalho das forças exteriores é igual ao aumento da energia interna de deformação.
Num sólido elástico ideal, não há dissipação de energia, e toda a energia de defor-
mação é recuperada após a remoção das solicitações exteriores. No entanto, quando
há propagação da fissura, parte da energia interna de deformação liberta-se, o que
justifica a denominação de taxa de libertação de energia de deformação para G. A
propagação ocorrerá quando for atingida a axa Cr tica de Liberta o de Energia Gc,
que é uma propriedade do material.
9.2.3. FACTOR INTENSIDADEDE TENSÃO E TENACIDADE À FRACTURA
A equação (9.11) pode-se escrever da seguinte forma
(9.17)
sendo σR a tensão remota aplicada (ver figura 9.3). Verifica-se que o primeiro membro
da equação depende da solicitação e do tamanho da fenda, ao passo que o segundo
membro depende unicamente das propriedades do material. Define-se então o Factor
Intensidade de ens o como sendo
MATERIAIS COMPÓSITOS
226
(9.18)
Saliente-se o carácter localizado deste parâmetro que funciona como um factor de escala
definidor da alteração do estado de tensão na vizinhança da extremidade da fissura.
Quando a tensão atinge o seu valor crítico, σc, obtemos no primeiro membro da
equação (9.17) a Tenacidade à Fractura
(9.19)
que é uma propriedade do material. Caso a tenacidade e a tensão aplicada sejam conhe-
cidas, a equação (9.18) pode ser usada para a obtenção do comprimento crítico da
fissura, ac, a partir do qual se dá um crescimento catastrófico da mesma. As
inspecções à estrutura devem ser executadas no sentido de se verificar se existem
defeitos cujo tamanho se aproxime de ac. Alternativamente, se ac for conhecida,
podemos determinar a tensão crítica que origina o colapso da estrutura. Neste caso,
as solicitações devem ser especificadas no sentido de não se atingir esse valor. As
equações (9.18) e (9.19) são válidas para a solicitação e geometria da figura 9.3. No
caso geral, o segundo membro vem multiplicado por um factor adimensional que
é função da geometria e distribuição de carga,
(9.20)
A referência [9.4] apresenta o valor de para inúmeros casos de interesse prático.
Um dos ensaios experimentais mais usados na determinação da tenacidade é o do
provete CTS ("Compact ension Specimen"). A figura 9.4 representa esquematica-
mente o provete, que, para garantir a existência de um estado plano de deformação,
requer que a sua largura e comprimento de fissura a obedeçam à relação
(9.21)
onde σced representa a tensão de cedência do material. O provete deve ser previa-
mente submetido a uma solicitação de fadiga para provocar o aparecimento de uma
fissura inicial a partir do entalhe maquinado. O valor da carga máxima nesta 
solicitação deve estar condicionado, de modo a que a zona plástica na extremidade
da fissura durante a propagação, seja de dimensões reduzidas. A determinação da
tenacidade faz-se a partir da curva força-deslocamento. A propagação da fissura está
relacionada com um desvio da curva relativamente à linearidade, que pode ou não
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
227
coincidir com a força máxima.
Figura 9.4. Provete CTS para a determinação da tenacidade.
Exemplo .1. Um laminado quase-isotrópico de tenacidade Ic=30MPa.m1/2 e resistência à tracção de
500 MPa é usado no fabrico de uma placa com uma fenda central de 6 mm (ver figura 9.3). Perante uma
solicitação uniaxial σR, determine o valor crítico da tensão que origina a propagação instável da fenda.
Compare este valor com a resistência do material, que não contabiliza a presença de fendas.
Resolução. Da equação (9.19) podemos obter o valor da tensão correspondente à propagação instável da
fenda
Comparando este valor com os 500 MPa da resistência à tracção constata-se que a presença da fenda reduz
em cerca de 40% a tensão admissível relativamente à placa sem defeito.
9.2.4. RELAÇÃO ENTRE G E K
Foram já introduzidos os dois parâmetros que descrevem o comportamento de fissuras
num sólido: a taxa de libertação de energia e o factor intensidade de tensão. O primeiro
quantifica a variação de energia potencial relacionada com a propagação da fissura e o
segundo caracteriza o estado de tensão na vizinhança da fissura. Para uma fissura a toda
a espessura num sólido de dimensões infinitas (ver figura 9.3) obteve-se para G e os
resultados das equações (9.13) e (9.18), respectivamente. Substituindo as equações
(9.18) e (9.13) em (9.17) obtém-se para estado plano de tensão,
(9.22)
Esta relação também é válida para Gc e c. Uma vez que as equações (9.13) e (9.18)
foram obtidas para um caso particular (fissura a toda a largura num sólido de dimen-
sões infinitas), é necessário provar que (9.22) é válida em todas as situações. Irwin [9.5],
MATERIAIS COMPÓSITOS
228
recorreu a uma análise de fecho irtual de fenda para o demonstrar. Para tal, é necessário
conhecer o estado de tensão localizado na vizinhança da fissura (ver figura 9.5) e 
ao longo do eixo desta. Sabe-se que, para 0 ≤ x ≤ a, σy(x) será nulo, e que apresentará
valores elevados na vizinhança das extremidades da fissura, devido à singularidade por
ela criada. Para valores de x muito superiores a a, a tensão σy(x) tenderá para a tensão
remota aplicada σR. Uma função que satisfaz estes requisitos é
(9.23)
Figura 9.5. Modelo de Irwin.
Interessa-nos relacionar σy(x) com . Para isso consideremos ξ = x - a, o que permite
escrever (9.23) como
(9.24)
Uma vez que estamos particularmente interessados em estudar a distribuição de ten-
sões na vizinhança da extremidade da fissura, ou seja para ξ << a, podemos admitir que
ξ + a ≅ a e ξ2 + 2aξ ≅ 2aξ, o que, fazendo intervir a equação (9.18), origina
(9.25)
Interessa também calcular a abertura da fissura (x) em função de . Substituindo
(9.25) em (9.23) e esta em (9.9) e, assumindo que (x a)/x ≅ 2 obtém-se
(9.26)
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
229
Irwin considerou que a fissura se tinha propagado de uma quantidade Δa e calculou
a energia necessária ao fecho da mesma para o seu comprimento anterior. Assumindo
proporcionalidade entre as tensões e os deslocamentos e que a fenda se propaga 
de uma forma auto-semelhante ( (x) = (x-Δa) para a ≤ x ≤ a+Δa) tem-se que (ver 
figura 9.5),
(9.27)
sendo que o factor 2 no numerador representa o número de faces da fissura.
Recorrendo a uma substituição do tipo x - a = Δasen2θ a resolução do integral de (9.27)
origina a relação transcrita em (9.22). Saliente-se que, de uma forma similar se pode
obter a relação para estado plano de deformação
(9.28)
9.2.5. MODOS DE SOLICITAÇÃO
Como ilustrado na figura 9.6, uma fissura pode-se propagar de três modos diferentes.
O Modo I representa o modo de abertura, e os Modos II e III são modos de corte. No
Modo II as superfícies da fenda têm movimento relativo perpendicular à frente de
fenda, enquanto no Modo III esse movimento é paralelo à frente de fenda. Note-se que
a equação (9.18) é válida para os três modos ou seja,
(9.29)
sendo σy,R, τyx,R e τyz,R as tensões remotas aplicadas.
Figura 9.6. Modos de propagação.
MATERIAIS COMPÓSITOS
230
O objectivo é, a partir do conhecimento dos factores intensidade de tensão para os
três modos, obtidos previamente por métodos analíticos ou numéricos, e das respec-
tivas tenacidades, obtidas experimentalmente, determinar a carga de fractura ou o
tamanho de fissura admissível em serviço.
Figura 9.7. Representação sucinta do estado de tensão na vizinhança da extremidade da fissura.
A distribuição de tensões em função de r e θ (ver figura 9.7) na zona próxima da
extremidade da fissura pode ser determinada a partir das equações de Westergaard
[9.2] que, recorrendo a uma função tensão complexa obteve para um material
homogéneo e isotrópico, os resultados que se apresentam a seguir.
Modo I
(9.30)
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
231
Modo II
(9.31)
Modo III
(9.32)
sendo ν o coeficiente de Poisson.
Recorrendo à lei de Hooke e às relações entre deformações e deslocamentos podem-se
obter os deslocamentos para cada um dos três modos, que são dados pelas seguintes
expressões.
Modo I
(9.33)
Modo II
(9.34)
MATERIAIS COMPÓSITOS
232
Modo III
(9.35)
sendo μ o módulo de corte (normalmente designado por G; a alteração justifica-se para
evitar confusão com a taxa de libertação de energia de deformação), e k = 3 - 4ν em
estado plano de deformação ou k = (3-ν) / (1+ν) em estado plano de tensão.Os factores intensidade de tensão segundo os três modos de deformação ( I, II e III),
definem a amplitude da singularidade do estado de tensão na vizinhança da extremi-
dade da fissura, ou seja, as tensões nessa zona aumentam proporcionalmente ao factor
intensidade de tensão. No entanto, eles não dependem de r e θ, o que significa que
definem a intensidade dos campos de tensões mas não a sua distribuição. Caso sejam
conhecidos, é possível a determinação das componentes das tensões, deformações e
deslocamentos em função de r e θ.
As equações (9.30) a (9.32) permitem a obtenção das tensões na vizinhança da extre-
midade da fissura no caso de solicitações segundo cada um dos modos especificados.
Num caso mais geral a solicitação poderá envolver mais do que um dos modos referi-
dos, como é o caso da figura 9.8. Nesta situação deve-se começar por determinar as
componentes normal e paralela à fissura da tensão remota aplicada σR,
(9.36)
o que origina,
(9.37)
A distribuição de tensões obtém-se a partir da soma das tensões devidas a cada um
dos modos (ver equações (9.30) e (9.31)), ou seja,
(9.38)
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
233
Figura 9.8. Placa de compósito com fissura inclinada relativamente à solicitação e segundo a direcção das fibras.
9.2.6. TEORIA DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
A teoria inerente à obtenção dos factores intensidade de tensão baseia-se no pressuposto
de que a propagação da fissura se faz de forma auto-semelhante, ou seja, a fissura
propaga-se mantendo a sua forma e orientação. Todavia, verifica-se experimentalmente
que as fissuras inclinadas relativamente à solicitação nem sempre se mantêm no seu
plano original, o que torna a teoria clássica inadequada. Para resolver este problema Sih
[9.6], desenvolveu a eoria da ensidade de Energia de eforma o que permite a análise
de problemas de Modo Misto sem a restrição de propagação auto-semelhante. O con-
ceito básico desta teoria relaciona-se com a consideração de uma região ( ona
Central) à volta da extremidade da fissura (ver figura 9.9). O tamanho desta região
(raio r0) é uma característica do material e representa a distância limite dentro da
qual, se consideram as características microestruturais do material. Fora desta região
a solução da análise contínua permanece válida.
A energia de deformação armazenada num elemento de volume dV = dxdydz (ver
figura 9.9) de um material elástico submetido a um estado plano de tensão (σz = 0),
ou de deformação (σz = (σx σy) ), na vizinhança da extremidade de uma fissura
escreve-se (ver equação 3.10),
(9.39)
Para um material isotrópico, obtém-se a função densidade de energia de deformação
por substituição das equações (9.30) a (9.32) em (9.39),
(9.40)
MATERIAIS COMPÓSITOS
234
sendo que
(9.41)
onde k = 3-4ν em estado plano de deformação ou k = (3-ν)/(1+ν) em estado plano de
tensão. O termo
(9.42)
é o Factor ensidade de Energia de eforma o. Representa a amplitude da intensidade
da energia de deformação na vizinhança da extremidade da fissura e é uma função de
θ. Para melhor compreensão, Sd também pode ser visto como uma resistência à
propagação da fissura, ou seja, esta tende a propagar-se na direcção de menor
resistência correspondente a um mínimo de Sd. Quando Sd atinge um valor crítico
(Sdc), que não depende da geometria da fissura nem da solicitação, sendo portanto
um parâmetro intrínseco ao material, dá-se a propagação.
Figura 9.9. Modelo da Teoria da Densidade de Energia de Deformação.
Em resumo, o critério de propagação de Sih baseia-se em duas hipóteses fundamentais:
1. A iniciação da fissura ocorre na direcção para a qual o valor de Sd é mínimo, ou
seja,
(9.43)
2. O crescimento da fissura ocorre quando o valor de Sd atinge um valor crítico Sdc
que é uma propriedade do material.
(9.44)
Um aspecto interessante é a determinação da relação existente entre Sdc e Ic. Para
isso regressemos ao problema da figura 9.3 (Modo I puro). Assim, se se substituir
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
235
(9.18) e (9.41) em (9.42) tem-se,
(9.45)
Diferenciando (9.45) relativamente a θ e igualando a zero, obtêm-se duas soluções 
(θ = 0 e cosθ = (k-1)/2). No entanto, só a primeira (θ0= 0) origina d2Sd/dθ2 > 0 e,
consequentemente, um mínimo para Sd,
(9.46)
A tensão aplicada que originará o início do crescimento da fissura é dada por,
(9.47)
de onde se conclui que, para fissuras em propagação auto-semelhante, se pode escrever
(ver equações (9.19) e (9.46)),
(9.48)
o que permite estabelecer uma relação entre estas duas propriedades do material. Por
outro lado, como se vê na equação (9.42), Sd depende dos factores intensidade de ten-
são, o que reforça a relação entre as duas teorias. Todavia, o conceito de densidade de
energia de deformação apresenta a vantagem adicional de englobar a determinação da
direcção da iniciação e a condição de propagação. Neste método, não é necessário
assumir a direcção de propagação como acontece no método clássico, não requer a 
presença de uma fissura inicial e remove as dificuldades sentidas nos problemas de
Modo Misto.
9.3. Aplicação da Mecânica da Fractura aos Compósitos
A rotura dos materiais compósitos pode-se dividir em duas formas distintas: intra-
laminar e interlaminar. No primeiro caso, trata-se da rotura das camadas do compósito,
que pode acontecer sob a forma de rotura da matriz, rotura das fibras e descoesão
fibra/matriz. A fractura interlaminar designa-se habitualmente por delaminagem, e
normalmente ocorre entre camadas diferentemente orientadas. Vamos, de seguida,
apresentar os métodos mais usados na abordagem destes dois tipos de rotura.
MATERIAIS COMPÓSITOS
236
9.3.1. FRACTURA INTRALAMINAR
Os fundamentos da Mecânica da Fractura apresentados foram desenvolvidos para
materiais isotrópicos e homogéneos. Os compósitos de fibras curtas podem ser 
considerados isotrópicos numa escala macroscópica, pelo que as suas leis de compor-
tamento são análogas às dos materiais homogéneos. Os compósitos de fibras contínuas
apresentam um comportamento mecânico que, a nível macroscópico, pode ser 
considerado como o de um meio homogéneo e anisotrópico. Tal como nos materiais
homogéneos, vamos recorrer ao factor intensidade de tensão, à taxa de libertação de
energia e à teoria da densidade de energia de deformação como técnicas de abor-
dagem do problema da fractura em materiais compósitos.
9.3.1.1. Factor Intensidade de Tensão e Taxa de Libertação de Energia
Para os compósitos de fibras contínuas unidireccionais, considerados homogéneos e
anisotrópicos, o desenvolvimento das equações (9.38) para a situação retratada na
figura 9.8 permite escrever [9.7]
(9.49)
sendo
(9.50)
em que S1 e S2 são as raízes complexas da equação característica
(9.51)
que é obtida quando as equações de equilíbrio de tensões e compatibilidade de defor-
mação são representadas em termos da função de tensão de Airy [9.8]. Os parâmetros
bij (i, j = 1, 2, 6) são iguais aos coeficientes de flexibilidade, Sij (ver equação (3.51))
para estado plano de tensão e bij = Sij - Si3Sj3/S33 para estado plano de deformação.
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
237
As raízes complexas podem-se escrever como,
(9.52)
sendo α1, α2, β1 e β2 funções das constantes elásticas do material e da orientação da
fissura relativamente aos planos principais de simetria elástica. Considerações
energéticas mostram que estas raízes são ambas complexas ou ambas puramente
imaginárias, não podendo ser reais. Assim, as quatro raízes separam-se em duas séries
de diferentes complexos conjugados. As raízes S1 e S2 correspondem às que apresentam
partes imaginárias positivas. Constata-se que, ao contrário do que sucedia nos mate-
riais isotrópicos, onde o valor das tensões para um dado ponto (r, θ) dependia exclu-
sivamente dos factores intensidade de tensão (ver equações (9.30) a (9.32)), nosmateriais anisotrópicos existe também uma dependência relativamente a S1 e S2.
Note-se que as tensões resultantes de solicitações normais ou de corte podem ser 
separadas em componentes normal e tangencial, como sucedia nos materiais isotrópicos.
Todavia, no caso de uma fissura inclinada relativamente à solicitação (figura 9.8),
existe uma interacção entre as componentes normal e tangencial da deformação.
Logo, a solicitação normal produz deslocamentos de Modo I e de Modo II, o mesmo
sucedendo com a solicitação tangencial. As relações entre e G (ver equação (9.22))
deixam de ser válidas e, tendo em conta o significado do factor intensidade de 
tensão, torna-se questionável o seu uso. Contudo, quando a fissura está orientada
segundo uma das direcções principais de simetria do material, a referida interacção
deixa de existir. Nesse caso, uma solicitação normal origina exclusivamente desloca-
mentos em Modo I, e uma solicitação tangencial em Modo II. As raízes S1 e S2
adquirem então uma das três formas seguintes,
(9.53)
As equações (9.29) são neste caso, válidas e o problema resolve-se de uma forma similar
ao dos materiais isotrópicos.
Um procedimento análogo ao descrito no capítulo 9.2.4 para materiais isotrópicos,
permite a obtenção das relações entre G e para os três modos. Considerando o
material ortotrópico e com a fissura a propagar-se num plano de simetria material,
tem-se que [9.9],
MATERIAIS COMPÓSITOS
238
(9.54)
Vários autores [9.10, 9.11] estudaram a aplicabilidade do conceito de tenacidade 
à fractura no comportamento dos compósitos unidireccionais. De um modo geral, 
constataram que a tenacidade à fractura é uma constante do material [9.12], depen-
dendo no entanto da orientação das fibras. Relativamente aos compósitos de fibras
curtas, os trabalhos realizados [9.13, 9.14], apontam também para que a tenacidade
seja uma propriedade constante do material. Todavia, a propagação de fissura admitida
na análise de Griffith não ocorre nos compósitos. Devido à heterogeneidade destes
materiais, Gaggar [9.15] prop s um conceito alternativo denominado por zona de
dano na vizinhança da extremidade da fenda. Na realidade, o processo de fractura nos
compósitos não se baseia na simples propagação de uma fissura preexistente. Antes
progride pela formação e propagação de uma zona de dano na vizinhança da extre-
midade da fissura causada por um elevado número de microfissuras devido ao
descoesão fibra/matriz, rotura de matriz e rotura de fibras. Para que a Mecânica da
Fractura Linear Elástica seja aplicável num compósito, o tamanho da fissura deve ser
muito superior ao da zona de dano.
9.3.1.2. Processo de rotura micromecânica em compósitos
A análise macroscópica que utilizámos até aqui ignora a natureza heterogénea dos
compósitos e o modo como ela afecta a propagação do dano. De facto, relativamente
aos materiais isotrópicos e homogéneos, apenas se recalcularam as equações dos 
factores intensidade de tensão considerando comportamento anisotrópico do material.
As tenacidades são geralmente consideradas propriedades do material que podem ser
medidas experimentalmente. Existe no entanto, uma abordagem alternativa que 
consiste numa análise semi-empírica dos detalhes microestruturais na vizinhança da
extremidade da fissura num compósito unidireccional. Nos compósitos, os principais
mecanismos de dano (ver figura 9.10) incluem plastificação e rotura de fibras 
e matriz, descoesão interfacial fibra/matriz, atrito fibra/matriz após a descoesão 
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
239
interfacial, redistribuição de tensões, arrancamento de fibra (fibre pull-out) e ponte de
fibras (fibre bridging). Todos eles contribuem para a energia total dissipada no processo
de fractura. Como se pode observar na figura 9.10, existem algumas fibras intactas na
zona fissurada. A alguma distância da extremidade da fissura poderá haver fibras frac-
turadas, embora não necessariamente no plano da fissura. Isto gera o fenómeno do
arrancamento de fibras, que se dá com consumo de energia devido ao atrito
fibra/matriz. Por outro lado, as tensões na vizinhança da extremidade da fissura
podem originar a descoesão interfacial fibra/matriz antes da sua rotura. Durante este
processo existe movimento relativo entre os dois componentes (fibra e matriz) que é
responsável por alguma dissipação de energia por atrito. Após a rotura a fibra relaxa,
o que origina uma redistribuição da energia de deformação da fibra para a matriz. O
relaxamento local da zona fracturada da fibra implica a retoma do seu diâmetro inicial,
e, consequentemente, atrito adicional durante a sua extracção da matriz. É ainda pos-
sível que algumas fibras continuem intactas durante a propagação da fissura,
traduzindo-se no processo conhecido por ponte de fibras e que contribui para a
tenacidade do material. A tabela 9.1 [9.16] apresenta algumas equações do trabalho
por unidade de área transversal às fibras dissipado nos mecanismos de dano mais
importantes.
Tabela 9.1. Trabalho dissipado nos mecanismos de dano nos materiais compósitos.
ld − comprimento de descoesão
Vf − Fracção volúmica de fibras
Ef − Módulo de elasticidade da fibra
σuf , σum − Resistência à tracção da fibra e
matriz respectivamente
τui − Resistência ao corte da interface
τm − Resistência ao corte da matriz
Δεfm − Diferença de deformação entre a fibra
e a matriz
df − Diâmetro da fibra
Vm − Energia absorvida na rotura da matriz
MATERIAIS COMPÓSITOS
240
Em geral, estes processos ocorrem simultaneamente, sendo que a quantidade de
energia consumida depende do tipo e velocidade de solicitação, tamanho da fissura e
sua orientação, geometria e temperatura. Dependendo do material, por vezes um dos
processos predomina face aos restantes ou nem todos ocorrem. Conclui-se assim, que
o valor da tenacidade não pode ser obtido pela simples adição de efeitos relativos a
cada um dos mecanismos de dano envolvidos. Para tentar ultrapassar esta dificul-
dade, Kanninen [9.9] desenvolveu um modelo híbrido que associa análises micro e
macromecânica. Um compósito contendo um defeito é dividido em duas zonas: local
e global. A primeira, também conhecida como Região Heterogénea Local (RHL),
está localizada na vizinhança do defeito e é tratada a nível microscópico considerando
o material como heterogéneo. A segunda é exterior à RHL e considera o material
como homogéneo e ortotrópico. Na RHL consideram-se três componentes: a fibra, a
resina e a interface fibra/resina. É necessário conhecer as relações constitutivas para
cada uma delas, bem como as respectivas taxas críticas de libertação de energia.
Foram simulados vários tamanhos de fissura com diferentes orientações em compósitos
unidireccionais, admitindo um comportamento elástico e frágil dos constituintes. Os
autores conseguiram modelar com sucesso, comparando com resultados experimen-
tais, a ocorrência dos diferentes mecanismos de dano durante o aumento gradual da
carga e antes da rotura catastrófica, em provetes com entalhe, unidireccionais de 
carbono-epóxido.
Na referência [9.16], é feita uma revisão das teorias micromecânicas de fractura mais
importantes que, na generalidade, se baseiam na discussão dos mecanismos de dano
predominantes para um determinado compósito.
Figura 9.10. Representação esquemática dos mecanismos de rotura micromecânica.
9.3.1.3. Teoria da Densidade de Energia de Deformação aplicada aos compósitos
A aplicação deste método aos compósitos faz-se de uma forma similar à dos materiais
isotrópicos, já descrita. Assim, admitindo que o material é homogéneo e anisotrópico,
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
241
(ver figura 9.8), substituem-se as equações (9.49) em (9.39) transformando o refe-
rencial (x, y, z) em (1, 2, 3), o que origina
(9.55)
sendo I e II dados pelas equações (9.37), e αij (i, j = 1, 2) funções das constantes
elásticas e do ângulo θ através de Ψ1 e Ψ2 (ver equações(9.49) e (9.50)), que são
dadas por
(9.56)
onde
(9.57)
Diferenciando a equação (9.55) relativamente a θ e igualando a zero obtêm-se os 
valores de θ0 correspondentes a Sd mínimo em função de β. Assim, para cada valor de
inclinação de fissura β, pode-se determinar a direcção de propagação da fissura θ0 e,
por substituição de θ0 em (9.55) o valor mínimo de Sd que, quando comparado com
o respectivo valor crítico Sdc, permite aquilatar da possível existência ou não, de
propagação.
Exemplo .2. Considere uma placa infinita com uma fenda de comprimento 2a submetida a tensões de
corte paralelas à fenda. Admitindo que se trata de um compósito de fibras curtas, obtenha a equação que
permite prever a direcção de propagação.
Resolução. Como se trata de um compósito de fibras curtas podemos admitir que estamos em presença
de um material isotrópico e escrever
MATERIAIS COMPÓSITOS
242
Recorrendo à teoria da densidade de energia de deformação e às equações (9.42) e (9.41) pode-se escrever
Derivando a equação anterior em relação a θ e igualando a zero tem-se,
Dois aspectos merecem realce:
› o ângulo de propagação previsto depende do coeficiente de Poisson, ou seja de uma propriedade do
material;
› a teoria da densidade de energia de deformação prevê que a propagação se dê numa direcção que não
é colinear com a fenda inicial.
9.3.2. FRACTURA INTERLAMINAR
A grande dificuldade da aplicação da Mecânica da Fractura Linear El stica aos materiais
compósitos está relacionada com a sua heterogeneidade que, em muitas situações,
impede a propagação de fissuras de uma forma auto-semelhante. Todavia, a dela-
minagem que consiste num descolamento entre duas camadas contíguas, representa
um tipo de dano em que a propagação está confinada a um plano. Estão portanto
cumpridos os requisitos da teoria clássica, o que faz com que a fractura interlaminar seja
considerado um domínio de aplicação natural da Mecânica da Fractura. De seguida,
apresentam-se os principais métodos usados na determinação das taxas críticas de 
libertação de energia em Modo I, II e Modo Misto.
9.3.2.1. Obtenção da taxa crítica de libertação de energia em modo I
A figura 9.11 representa esquematicamente o ensaio " ouble Cantile er eam" (DCB)
usado para a caracterização dos materiais em Modo I. É introduzida uma pré-fenda de
comprimento a0 a meio da espessura do provete de largura , que se propaga sob a
acção das forças P. Sem perda de generalidade, vamos recorrer ao ensaio DCB para
obter a taxa crítica de libertação de energia em função das grandezas medidas directa-
mente nos ensaios.
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
243
Durante a propagação da fenda em regime linear elástico a energia de deformação
interna U é dada por [9.3],
(9.58)
Figura 9.11. Representação esquemática do ensaio DCB.
Define-se a flexibilidade C como sendo
(9.59)
em que δ representa o deslocamento do ponto de aplicação da força P. Substituindo
(9.59) em (9.58) tem-se que
(9.60)
Derivando relativamente ao comprimento de fenda a obtém-se,
(9.61)
Em relação ao trabalho realizado pelas forças exteriores, duas situações se podem
colocar:
1. A existência de propagação de fenda com os montantes da máquina de ensaios
fixos (δ = 0). Neste caso,
(9.62)
ou seja,
(9.63)
A partir da equação (9.59),
(9.64)
o que, tendo em conta (9.63), permite obter
(9.65)
MATERIAIS COMPÓSITOS
244
Substituindo (9.65) em (9.61), e esta e (9.62) em (9.16) tem-se finalmente
(9.66)
2. A existência de um acréscimo de comprimento de fissura δa sob carga constante.
Neste caso tem-se que,
(9.67)
e
(9.68)
que, recorrendo a (9.64) se pode escrever,
(9.69)
Substituindo (9.69) e (9.61) em (9.16) obtém-se o mesmo resultado de (9.66), o que
permite concluir que a taxa de libertação de energia é independente do tipo de soli-
citação. Saliente-se que, quando aplicada ao ensaio DCB, a equação genérica (9.66)
permite a obtenção de uma expressão simples para GI, recorrendo a uma análise de
Mecânica dos Materiais. Assim, considerando que cada um dos braços do provete é
uma viga encastrada com comprimento igual ao comprimento da fenda (ver figura
9.11), obtém-se, recorrendo à equação da elástica (d2y/dx2 = Mf/(EI)),
(9.70)
sendo E o módulo axial e I = bh3/12 o momento estático de segunda ordem da secção
da viga. A flexibilidade é então
(9.71)
e, após derivação
(9.72)
o que, tendo em conta a equação (9.66) origina
(9.73)
Fazendo intervir a equação (9.71) tem-se finalmente
(9.74)
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
245
Para valores de P que promovam a propagação da fenda obtém-se a axa Cr tica de
Liberta o de Energia (GIc). Todavia, verifica-se que este modelo restringe demasiado
o movimento das vigas não contabilizando a rotação existente na extremidade da
fenda. Para incluir este efeito, Kanninen [9.17] usou um modelo de uma viga sobre
uma fundação elástica (Modelo de Viga Corrigido) e obteve
(9.75)
sendo Δ um factor de correcção do comprimento de fenda, que se determina a partir
da regressão linear de (C)1/3 versus a conforme se ilustra na figura 9.12.
Figura 9.12. Determinação da correcção Δ na equação (9.75).
Caso se justifique, pode-se ainda usar um factor de correcção (F) para grandes deslo-
camentos e um factor ( ) que contabilize a presença de blocos que são normalmente
colados ao provete para transmissão de carga (figura 9.13) [9.18]. Neste caso, a
equação (9.75) escreve-se,
(9.76)
com
(9.77)
e onde l1 e l2 são dados na figura 9.13. Nestas condições, Δ deve ser obtida da regressão
linear da relação (C )1/3 versus a.
MATERIAIS COMPÓSITOS
246
Figura 9.13. Dimensões usadas nos factores de correcção no ensaio DCB.
Exemplo .3. Mostre que num ensaio DCB em que a largura do provete seja variável (ver figura 9.14), a
expressão que permite a obtenção da taxa de libertação de energia não depende de a.
Figura 9.14. Provete DCB de largura variável.
Resolução. A largura do provete em qualquer ponto pode ser dada por,
Usando a equação da elástica podemos escrever,
que, após dupla integração, permite a obtenção do deslocamento na extremidade da viga (ver equação
(9.70)),
A derivada da flexibilidade relativamente a a é então
Recorrendo à equação (9.66) tem-se
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
247
o que mostra que neste tipo de ensaio, GI não depende de a. Assim, sempre que haja propagação pode-se
determinar GIc a partir do registo do valor da solicitação.
9.3.2.2. Obtenção da taxa crítica de libertação de energia em modo II
A taxa crítica de libertação de energia em modo II (GIIc) pode ser obtida recorrendo
ao ensaio "End otched Flexure" (ENF), cuja representação esquemática se pode ver
na figura 9.15. A fenda está localizada a meio da espessura do provete (eixo neutro),
o que significa que a propagação da delaminagem é controlada pelas tensões de corte,
traduzindo assim um efeito de modo II. Assume-se a hipótese de que a secção dela-
minada do provete actua como duas vigas independentes, cada uma delas suportando
metade da carga aplicada (ver figura 9.16). Como consequência, o momento estático
de segunda ordem da secção de cada uma das vigas é 1/8 do do provete. Desprezando
a energia de deformação ao corte, a energia de deformação em flexão escreve-se [9.3],
(9.78)
Figura 9.15. Representação esquemática do ensaio ENF.
Figura 9.16. Diagrama de corpo livre do ensaio ENF.
No caso da figura 9.16 tem-se que,
(9.79)
Aplicando o teorema de Castigliano que estabelece que o deslocamento δi do ponto
de aplicação da força Pi, projectado sobre a direcção da força, é igual à derivada parcial
da energia de deformação U, escreve-se
MATERIAIS COMPÓSITOS
248
(9.80)
o que permite a imediata obtenção da flexibilidade C (equação (9.59)). Recorrendo
à equação (9.66) obtém-se finalmente,
(9.81)
Este resultado é válido paraa ≤ L. Para a > L uma análise similar à descrita origina,
(9.82)
9.3.2.3. Modo Misto
Os dois ensaios descritos (DCB e ENF) são utilizados para a obtenção das 
propriedades em Modo I e Modo II, respectivamente. Todavia, a generalidade das
aplicações práticas caracterizam-se por solicitações onde estes dois modos coexistem,
originando situações de Modo Misto. Torna-se assim fundamental caracterizar o
comportamento de compósitos em tais situações, sobretudo nas que envolvem
Modos I e II. O ensaio mais utilizado para este fim é o "Mixed-Mode ending" (MMB)
desenvolvido por Reeder e Crews [9.18], e cuja ideia base é a combinação das soli-
citações presentes nos ensaios DCB e ENF (ver figura 9.17). A figura 9.18 evidencia
os diagramas de corpo livre do sistema. Assim, a análise do equilíbrio do braço de car-
regamento (corpo 1) origina a determinação das solicitações no provete em modo
misto. Por sua vez estas são separadas em componentes de Modo I e Modo II, que
quando comparadas com as figuras 9.11 e 9.17 facilmente permitem obter o valor das
solicitações para cada um dos modos,
(9.83)
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
249
Figura 9.17. Representação esquemática do ensaio MMB.
Figura 9.18. Diagrama de corpo livre do ensaio MMB.
Substituindo PI e PII nas equações (9.74) e (9.81), obtemos os respectivos valores de
GI e GII. O rácio entre os dois modos depende da geometria do provete e do braço
de carregamento e não depende de a, sendo dado por
(9.84)
Isto permite a obtenção de diferentes combinações de solicitação, bastando para tal
variar a posição do ponto de carregamento (parâmetro c). Devido à interacção de
modos é necessário o uso de um critério de rotura específico. O mais comum é o critério
energético linear de interacção entre as taxas de libertação de energia, que se escreve
(9.85)
sendo GIc e GIIc as respectivas taxas críticas de libertação de energia do material, pre-
viamente determinadas.
MATERIAIS COMPÓSITOS
250
Exemplo .4. Um laminado compósito unidireccional foi submetido a um ensaio MMB. Sabendo que 
GIIc ≅ 2GIc, e que a relação α entre GI e GII é também conhecida, obtenha a relação β existente entre as
forças previstas para a propagação usando o critério linear (equação (9.85)) e o critério energético quadrático
(GI/GIc)2 + (GII/GIIc)2 = 1.
Resolução. O critério linear pode-se escrever
Substituindo GII pela equação (9.81) obtém-se
Quanto ao critério quadrático,
Após a substituição de GII obtém-se
e a relação β vem,
O estudo da função revela que para valores de α entre 0 e 1 o valor de β é sempre inferior à unidade apre-
sentando um mínimo para α = 0.5 (ver figura 9.19). Isto significa que o critério linear prevê valores para a
solicitação de propagação inferiores ao critério quadrático, sendo portanto mais conservativo.
Figura 9.19. Evolução da função β = PL/PQ em função de α = GI/ GII.
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
251
9.4. Métodos Numéricos Aplicados à Fractura Interlaminar 
Os problemas de Mecânica da Fractura em materiais compósitos susceptíveis de 
resolução por via analítica são limitados devido à complexidade envolvida. A alterna-
tiva são os métodos numéricos, nomeadamente os elementos finitos que, pela sua 
versatilidade, rapidamente se tornaram imprescindíveis na análise de problemas mais
complexos.
O conceito fundamental do método dos elementos finitos, é que, qualquer variável de
campo contínua, como é o caso dos deslocamentos na análise estrutural, pode ser
aproximada por um modelo discreto composto por uma série de variáveis de campo
contínuas definidas sobre um número finito de subdomínios, conhecidos por elementos.
Estes elementos estão interligados em pontos específicos designados por n s ou pontos
nodais. Uma vez que a variação da variável de campo não é conhecida, são necessárias
algumas funções aproximação para descrever esta variação. Estas funções aproxi-
mação, também conhecidas como fun es interpola o, são definidas a partir dos 
valores da variável de campo nos nós. Uma vez escritas as equações de campo para a
estrutura completa, as incógnitas são os valores nodais da variável de campo. A 
resolução destas equações, que geralmente apresentam a forma de matrizes em
banda, permite a obtenção dos valores nodais da variável de campo através da
acoplagem dos elementos. Existem vários tipos de elementos finitos para a resolução
de problemas bidimensionais ou tridimensionais. Para mais detalhes o leitor deve
recorrer à referência [9.19].
Neste capítulo vamos apresentar os dois métodos mais usados para modelar a frac-
tura interlaminar de compósitos; o M todo do Fecho Virtual de Fenda e os Elementos
Finitos de Interface.
9.4.1. MÉTODO DO FECHO VIRTUAL DE FENDA
Este método é vulgarmente conhecido como VCCT (do inglês "Virtual Crack Closure
echni ue") e foi inicialmente desenvolvido por Rybicki e Kanninen [9.20]. Baseia-se
na hipótese de Irwin já referida no capítulo 9.2.4, segundo a qual, quando uma fenda
se propaga, a energia de deformação libertada no processo é igual ao trabalho
necessário ao fecho da fenda para o seu comprimento anterior à propagação.
Consideremos o problema plano retratado na figura 9.20, em que a fenda se
propagou do nó l para o nó i. Existem duas formas de aplicação do método. A
primeira consiste em realizar duas etapas: começa-se por considerar o nó l fechado e
MATERIAIS COMPÓSITOS
252
determinam-se as forças que lá se geram por aplicação da solicitação exterior; de
seguida abre-se este mesmo nó (originando os nós l1 e l2) e, com a aplicação da
mesma solicitação exterior, determinam-se os deslocamentos relativos no mesmo nó
nas respectivas direcções. A segunda forma pretende, através de uma aproximação,
eliminar uma das etapas referidas na hipótese anterior. Assim, usando uma malha
minimamente refinada considera-se que, através de um só carregamento se podem
obter as forças no nó i e multiplicá-las pelos deslocamentos relativos no nó l (dife-
rença de deslocamentos entre l2 e l1 na figura 9.20), para se obter a energia necessária
para fechar a fenda de Δa,
(9.86)
sendo i, i as forças no nó i que se encontra fechado e Δul, Δ l a diferença de deslo-
camentos no nó l. As respectivas taxas de libertação de energia escrevem-se
(9.87)
onde ΔA representa a superfície da fenda gerada pela propagação e a dimensão
segundo z.
Figura 9.20. Método do Fecho Virtual de Fenda.
Usando, por exemplo, o critério linear energético da equação (9.85), admite-se a
existência de propagação quando os valores de GI e GII obtidos em (9.87) satisfizerem
o critério. O método é facilmente aplicável a problemas tridimensionais onde o Modo
III pode ser obtido de uma forma similar à descrita para os outros dois modos.
CAPÍTULO 9: MECÂNICA DA FRACTURA
253
Todavia, implica a existência prévia de uma fenda e o conhecimento da sua direcção
de propagação. A referência [9.21] faz uma revisão exaustiva do uso deste método em
diferentes aplicações estruturais.
9.4.2. ELEMENTOS FINITOS DE INTERFACE
Os elementos finitos de interface constituem actualmente um dos métodos mais 
eficazes no estudo do problema da iniciação e propagação de delaminagens entre
camadas nos materiais compósitos [9.22-9.25]. Estes elementos finitos caracterizam-se
por possuir espessura nula e promover a ligação entre dois elementos sólidos, repre-
sentativos de camadas contíguas susceptíveis de delaminar. A figura 9.21 apresenta
um esquema de um elemento finito de interface para problemas tridimensionais
[9.22]. As duas superfícies (inferior e superior) encontram-se artificialmente separadas
para melhor visualização. Assim, os respectivos pontos homólogos (por exemplo 14 e
5) encontram-se inicialmente fechados, podendo abrir caso seja satisfeito um critério
de rotura previamente estabelecido, promovendo desta forma a propagação de dano.
A formulação baseia-se no cálculo das tensões