Tarefa 02 - Caracterização de partículas sólidas - Gabriel Nagafugi

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização de partículas sólidas – Tarefa 02 
 
 
IM352 - Engenharia da Fluidização 
Professor Dr. Waldir A. Bizzo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: Gabriel Nagafugi de Souza Costa Matrícula: 233845 
Outubro, 2020 
 
Considere um leito com areia que apresenta as seguintes propriedades: 
• Diâmetro = 400 µm; 
• Massa específica aparente = 2700 kg/m³; 
• Esfericidade = 0,85; 
• Gás fluidizante: Ar em T = 800ºC. 
 
1. Como se classifica este leito no diagrama de Geldart? 
Resposta: 
De acordo com Geldart (1973), as partículas sólidas que compõe um leito fluidizado podem 
ser classificadas em quatro grupos distintos, sendo os grupos A, B, C e D. Esta classificação 
pode ser determinada com base no diagrama de Geldart: 
 
Para utilizar este diagrama, é necessário conhecer as densidades da partícula (𝜌𝑠 𝑜𝑢 𝜌𝑝) e do 
meio fluidizante (𝜌𝑔 𝑜𝑢 𝜌𝑓), além do diâmetro médio da partícula (�̅�𝑝). Para o caso do 
enunciado, sabemos que: 
Diâmetro da partícula 𝑑𝑝 = 400 𝜇𝑚 
Massa especifica aparente 𝜌𝑝 = 2700 𝑘𝑔/𝑚³ 
Esfericidade 𝜓 = 0,85 
 
Sabemos que o ar (gás fluidizante) entra no leito a 800ºC . Sendo assim, sua massa específica 
é de aproximadamente 𝜌𝑓 = 0,325132 𝑘𝑔/𝑚³ (tabelas termodinâmicas). Deste modo, 
𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 = 2700
𝑘𝑔
𝑚3
− 0,325132
𝑘𝑔
𝑚3
= 2699,675 
𝑘𝑔
𝑚3
1000𝑔
1𝑘𝑔
1𝑚3
1000000𝑐𝑚3
= 2,6996 
𝑔
𝑐𝑚³
. 
 
Considerando que o diâmetro médio das partículas é �̅�𝑝 = 400 𝜇𝑚, podemos utilizar o 
diagrama de Geldart para classificar o leito descrito, 
 
 
 
2. Com base em correlações disponíveis na literatura, calcule 𝑈𝑚𝑓 e 𝑈𝑡. 
Resposta: 
A velocidade terminal de uma partícula, 𝑈𝑡, é definida como a velocidade constante que a 
partícula atinge, durante o escoamento de um fluido. Está velocidade é resultado do equilíbrio 
entre as forças de empuxo, gravitacional e arraste, que é consequência da ausência da força 
de aceleração. 
Diversas correlações para o cálculo da velocidade terminal estão disponíveis na literatura. 
Elas se diferenciam pela geometria da partícula (partículas esféricas ou não esféricas, 
partículas finas ou grosseiras), pelo material que constitui a partícula, pelas condições de 
trabalho de temperatura, pressão e pelo percentual de erro associado. 
Considerando o tipo de partícula e os dados apresentados nesta tarefa, optou-se por 
determinar a velocidade terminal através de correlações desenvolvidas e validadas no 
trabalho de Haider e Levenspiel (1989). Em seu trabalho, eles apresentaram equações que 
relacionam números adimensionais e propriedades da partícula e do fluido, viabilizando o 
cálculo direto da velocidade terminal e evitando o processo iterativo. As equações 
adimensionais de Haider e Levenspiel (1989) são, 
𝑑𝑝
∗ = (
3
4
𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2)
1/3
= 𝐴𝑟1/3 = 𝑑𝑝 [
𝜌𝑓(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔
𝜇2
]
1/3
 (I) 
𝑈𝑡
∗ = (
𝑅𝑒𝑝
𝐴𝑟1/3
) = (
4𝑅𝑒𝑝
3𝐶𝐷
)
1/3
= 𝑈𝑡 [
𝜌𝑓
2
(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔𝜇
]
1/3
 (II) 
𝑈𝑡
∗ = [
18
(𝑑𝑝∗ )2
+
2,335 − 1,744𝜓
(𝑑𝑝∗ )0,5
]
−1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0,5 < 𝜓 < 1 (III) 
 
Do enunciado do exercício sabemos que, 
𝑑𝑝 = 400 𝜇𝑚 = 0,0004 𝑚 
𝜌𝑝 = 2700 𝑘𝑔/𝑚³ 
 
Para o ar a 800ºC (tabelas termodinâmicas), 
𝜌𝑓 = 0,325132 𝑘𝑔/𝑚³ 
𝜇 = 442,35𝑥10−7 𝑁. 𝑠/𝑚² 
Considerando que g = 9,81 m/s² e substituindo os dados em (I), 
𝑑𝑝
∗ = 𝑑𝑝 [
𝜌𝑓(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔
𝜇2
]
1/3
= 0,0004 [
0,325132(2700 − 0,325132)9,81
(442,35𝑥10−7)2
]
1/3
 
⇒ 𝑑𝑝
∗ = 6,5548 
Como valor de 𝑑𝑝
∗ e sabendo que a esfericidade é 0,85, podemos utilizar a equação (III): 
𝑈𝑡
∗ = [
18
(𝑑𝑝
∗ )2
+
2,335 − 1,744𝜓
(𝑑𝑝
∗ )0,5
]
−1
= [
18
(6,5548)2
+
2,335 − 1,744𝑥0,85
(6,5548)0,5
]
−1
 
⇒ 𝑈𝑡
∗ = 1,32986 
Finalmente, com 𝑈𝑡
∗ calculada, podemos utilizar a equação (II) para determinar 𝑈𝑡, 
𝑈𝑡
∗ = 𝑈𝑡 [
𝜌𝑓
2
(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔𝜇
]
1/3
 
⇒ 1,32986 = 𝑈𝑡 [
0,3251322
(2700 − 0,325132)9,81𝑥442,35𝑥10−7
]
1/3
 
⇒ 𝑈𝑡 = 2,9649 m/s 
Deste modo, a velocidade terminal é 𝑈𝑡 = 2,9649 m/s. 
 
A velocidade de mínima fluidização pode ser calculada por, 
𝑈𝑚𝑓 =
𝑅𝑒𝑚𝑓𝜇
𝜌𝑓𝑑𝑝
 
Para determinar 𝑅𝑒𝑚𝑓, devemos selecionar correlações apropriadas disponíveis na literatura. 
Segundo Yang (2003), 
𝑅𝑒𝑚𝑓 = √𝐶1
2 + 𝐶2𝐴𝑟 − 𝐶1 (IV) 
Nesta expressão, os coeficientes 𝐶1 e 𝐶2 podem ser determinados de acordo com as partículas 
estudadas e as condições de teste aplicadas (temperatura e pressão). Diversos atores 
encontraram diferentes valores para os coeficientes. Em todo caso, o número de Arquimedes 
precisa ser determinado com base nas propriedades do enunciado. Da definição de número 
de Arquimedes, 
𝐴𝑟 =
𝑑𝑝
3𝜌𝑓(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)𝑔
𝜇2
=
(0,00043)(0,325132)(2700 − 0,325132)(9,81)
(442,35𝑥10−7)2
⇒ 𝐴𝑟 = 281,63 
Com o número de Arquimedes calculado e os coeficientes 𝐶1 e 𝐶2 (tabela abaixo), podemos 
determinar 𝑅𝑒𝑚𝑓 através da equação (IV). Selecionado os coeficientes de Wen e Yu (1966), 
teremos, 
𝑅𝑒𝑚𝑓 = √𝐶1
2 + 𝐶2𝐴𝑟 − 𝐶1 = √33,72 + 0,0408𝑥281,63 − 33,7 ⇒ 𝑅𝑒𝑚𝑓 = 0,17 
Por fim, com os valor de 𝑅𝑒𝑚𝑓 calculado, a velocidade de mínima fluidização pode ser 
obtida, 
𝑈𝑚𝑓 =
𝑅𝑒𝑚𝑓𝜇
𝜌𝑓𝑑𝑝
=
0,170053𝑥442,35𝑥10−7
0,325132𝑥0,0004
⇒ 𝑈𝑚𝑓 = 0,057𝑚/𝑠 
 
Para questão de comparação, os valores de velocidades de mínima fluidização foram 
calculados com base em coeficientes de outros autores e estão apresentados abaixo, 
 
 
 
 Autor ano 𝐶1 𝐶2 𝑅𝑒𝑚𝑓 𝑈𝑚𝑓(𝑚/𝑠) 
Wen and Yu 1966 33,7 0,0408 0,1700 0,05786 
Richardson 1971 25,7 0,0365 0,1992 0,0677 
Saxena and Vogel 1977 25,3 0,0571 0,3158 0,10746 
Babu et al 1978 25,25 0,0651 0,3604 0,12265 
Grace 1982 27,2 0,0408 0,2104 0,07159 
Chitester et al 1984 28,7 0,0494 0,2413 0,0821 
 
 
 
3. Calcule a porosidade na condição de mínima fluidização. 
Resposta: 
A porosidade do leito na condição de mínima fluidização pode ser obtida através relação 
entre a queda de pressão na condição de mínima fluidização e a equação de Ergun. Podemos 
definir a queda de pressão no leito, na condição de mínima fluidização por, 
Δ𝑃
𝐿𝑚𝑓
= (1 − 𝜀𝑚𝑓)(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔 
 A equação de Ergun, na condição de leito fixo pode ser dada por, 
Δ𝑃
𝐿𝑚
=
150(1 − 𝜀𝑚)
2
𝜀𝑚
3
𝜇𝑈𝑜
(𝜓𝑑𝑝)2
+
1,75(1 − 𝜀𝑚)
𝜀𝑚
3 [
𝑈𝑜
2𝜌𝑓
𝜓𝑑𝑝
] 
Quando 𝑈𝑜 = 𝑈𝑚𝑓. Podemos igualar as duas expressões para obter, 
1,75
𝜀𝑚𝑓
3 𝜓
[
𝑑𝑝𝑈𝑚𝑓𝜌𝑓
𝜇
]
2
+
150(1 − 𝜀𝑚𝑓)
𝜀𝑚𝑓
3 𝜓2
(
𝑑𝑝𝑈𝑚𝑓𝜌𝑓
𝜇
) =
𝑑𝑝
3𝜌𝑓(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔
𝜇2
 
Rearranjando matematicamente essa expressão, e resolvendo para 𝜀𝑚𝑓 e substituindo valores 
de propriedades do enunciado e valores calculados anteriormente, obtemos uma polinômio 
de terceiro grau, 
281,63𝜀𝑚𝑓
3 + 35,29𝜀𝑚𝑓 − 35,35 = 0 
A solução desse polinômio é formada por 3 raízes distintas, sendo elas, 
𝜀𝑚𝑓,1 = 0,4171608 
𝜀𝑚𝑓,2 = −0,208580 + 0,505047𝑖 
𝜀𝑚𝑓,3 = −0,208580 − 0,505047𝑖 
 
Para este caso, apenas valores positivos e reais podem representar a porosidade do leito na 
condição de mínima fluidização, ou seja, 
𝜀𝑚𝑓 = 0,4171608 
 
 
4. Calcule a expansão do leito (altura do leito na condição de mínima fluidização em relação 
ao leito não-expandido). 
Resposta: 
A altura do leito na condição de mínima fluidização pode ser obtida através da consideração 
de velocidade de mínima fluidização na equação de Ergun, ou seja, 
Δ𝑃
𝐿𝑚𝑓
= (1 − 𝜀𝑚𝑓)(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔 (1) 
A altura do leito na condição de leito não-expandido (leito fixo) está relacionada na equação 
de Ergun para leito fixo, 
Δ𝑃
𝐿𝑚
=
150(1 − 𝜀𝑚)
2
𝜀𝑚
3
𝜇𝑈𝑜
(𝜓𝑑𝑝)2
+
1,75(1 − 𝜀𝑚)
𝜀𝑚
3 [
𝑈𝑜
2𝜌𝑓
𝜓𝑑𝑝
] (2) 
Para obtermos a altura do leito na condição de mínima fluidização em relação ao leito não 
expandido, basta dividirmos a equação (2) pela equação (1) para obter, 
Δ𝑃
𝐿𝑚
Δ𝑃
𝐿𝑚𝑓
=
150(1 − 𝜀𝑚)
2
𝜀𝑚3
𝜇𝑈𝑜
(𝜓𝑑𝑝)2
+
1,75(1 − 𝜀𝑚)
𝜀𝑚
3 [
𝑈𝑜
2𝜌𝑓
𝜓𝑑𝑝
]
(1 − 𝜀𝑚𝑓)(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔
 
Simplificando e rearranjando os termos em comum, teremos 
𝐿𝑚𝑓
𝐿𝑚
=
1
((1 − 𝜀𝑚𝑓)(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔)
(
150(1 − 𝜀𝑚)
2
𝜀𝑚
3
𝜇𝑈𝑜
(𝜓𝑑𝑝)2
+
1,75(1 − 𝜀𝑚)
𝜀𝑚
3 [
𝑈𝑜
2𝜌𝑓
𝜓𝑑𝑝
]) 
 
Considerando os dados disponíveis até então, 
𝑑𝑝 = 0,0004 𝑚 𝜓 = 0,85 
𝜌𝑝 = 2700 𝑘𝑔/𝑚³ 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠² 
𝜌𝑓 = 0,325132 𝑘𝑔/𝑚³ 𝜀𝑚𝑓 = 0,4171608 
𝜇 = 442,35𝑥10−7 
Para resolver a expressão obtida, necessitamos da porosidade do leito fixo, 𝜀𝑚 (função da 
densidade “bulk” do leito) e da velocidade superficial do fluido 𝑈𝑜. Com essa informações, 
podemos obter a altura do leito na condição de mínima fluidização em relação a altura do 
leito não fluidizado (fixo).