Apostila topografia 2012

Prévia do material em texto

FATEC - SP 
 Faculdade de Tecnologia de São Paulo 
Departamento de Transportes e Obras de Terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOPOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução 
 
1 Astronomia de posição 7 
 1.1 O universo 7 
 1.2 O sistema solar 8 
 1.3 A Terra 8 
2 Geodésia 11 
 2.1 Histórico 11 
 2.2 Superfícies terrestres 13 
 2.3 Latitude e longitude 14 
3 Referencial 14 
 3.1 Referencial Celeste 16 
 3.2 Referencia Terrestre 16 
 3.3 Referencial Altimétrico 17 
4 Datum 18 
 4.1 Translação de sistemas 19 
5 Influência da forma da terra nas medidas 19 
 5.1 Efeito da curvatura na distância 19 
 5.2 Efeito da curvatura na altimetria 20 
 5.3 Efeito da curvatura nos ângulos 21 
 5.4 Efeito da curvatura nos azimutes 21 
 5.5 Efeito da altitude nas distâncias 22 
6 Escala 22 
 6.1 Erro de graficismo 22 
 6.2 Precisão da escala 22 
 6.3 Formatos de papel da série A 23 
 6.4 Escalas usuais 24 
7 Topografia 25 
 7.1 Divisões 25 
 7.1.1 Topometria 25 
 7.1.2 Topologia 26 
8 Áreas afins a topografia 26 
9 Definições segundo a NBR 13.133/2004 27 
 
 
10 Monumentação de vértices 32 
110 Posicionamento 32 
12 Sistemas de posicionamento por satélites 33 
 12.1 Sistema GPS 33 
 12.2 Estrutura do GPS 34 
 12.3 Métodos de posicionamento por satélite 35 
13 Rede de Referência Cadastral Municipal – RRCM 35 
14 Sistema Topográfico Local – STL 37 
15 Erros 38 
 15.1 Erros grosseiros 38 
 15.2 Erros sistemáticos 38 
 15.3 Erros acidentais 39 
 15.4 Ajustamento 39 
16 Unidades de medidas 40 
 16.1 Medidas antigas 40 
 16,2 Unidades de medidas angulares 41 
 16.3 Prefixos do Sistema Internacional 41 
17 Medidas de distâncias 41 
 17.1 Métodos de obtenção de medidas lineares 42 
 17.2 Medidas eletrônicas de distâncias 43 
18 Medidas angulares 43 
 18.1 Ângulos horizontais 43 
 18.1.1 Medida angular simples 44 
 18.1.2 Medida angular por repetição 44 
 18.1.3 Método das direções 44 
 18.2 Ângulos verticais 45 
19 Direção Norte e Sul magnética e verdadeira ou geográfica 45 
 19.1 Rumos 46 
 19.2 Azimutes 46 
 19.3 Propriedades gerais de rumos e azimutes 46 
20 Poligonais 46 
 20.1 Tipos de poligonais 47 
 20.2 Fechamento angular 47 
 20.3 Tolerância angular segundo a NBR 14645 47 
 20.4 Distribuição de erros 47 
 
 
 20.5 Cálculo dos azimutes 47 
 20.6 Cálculo das coordenadas parciais 48 
 20.7 Erro de fechamento linear 48 
 20.7.1 Erro de fechamento absoluto 49 
 20.7.2 Erro de fechamento relativo ou incerteza 49 
 20.8 Correção de coordenadas parciais 49 
 20.8.1 Método proporcional aos comprimentos dos lados 49 
 20.8.2 Método proporcional às próprias coordenadas parciais 49 
 20.9 Cálculo das coordenadas totais 50 
 20.10 Avaliação de área 50 
21 Altimetria 51 
 21.1 Nivelamento 52 
 21.2 Nivelamento trigonométrico 52 
 21.3 Nivelamento geométrico 53 
 21.4 Nivelamento barométrico 56 
22 Taqueometria 56 
23 Locação e controle dimensional da obra 57 
 23.1 Controle geral 58 
 23.2 Curva horizontal 59 
 23.2.1 Locação da curva horizontal 60 
 23.3 Curva vertical 60 
 23.3.1 Locação da curva vertical 61 
24 Controle de recalque 62 
25 Cartografia 62 
 25.1 Projeção RTM e LTM 65 
 25.2 Convergência meridiana 66 
 24.3 Coeficiente de deformação linear 66 
26 Instrumentos 67 
 26.1 Teodolito, Estação Total e Nível 67 
 26.1.1 Sistema de eixos 67 
 26.2 Condições de operação 68 
 26.2.1 Estação Total e Teodolito 68 
 26.2.2 Nível 70 
 26.3 Aceitação 71 
 26.3.1 Teodolitos 71 
 
 
 26.3.2 Níveis 71 
 26.3.3 Medidor Eletrônico de Distãncia 71 
 26.3.4 Estação Total 71 
 26.4 Recomendações 71 
27 Segurança e medicina do trabalho 72 
 27.1 Cabe ao empregador 73 
 27.2 Cabe ao empregado 74 
 27.3 Condições e meio ambiente de trabalho na indústria da construção 75 
 27.3.1 Documentos que integram o PCMAT 76 
28 Bibliografia 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
 
 
 A topografia é um meio indispensável para a realização de projetos civis, mecânicos ou 
de qualquer outra área que necessite de medidas e informações relativas a superfície terrestre ou 
a uma obra, com pouca, muita ou muitíssima precisão. 
 Com os procedimentos e técnicas topográficas o profissional implanta uma obra, controla 
sua execução, mede os volumes de serviços, cadastra detalhes naturais e artificiais, 
equipamentos, máquinas e apresenta ao final relatórios, laudos, peças gráficas e o como 
construído (as built). 
 Nesta apostila são abordados os conceitos fundamentais aplicados na topografia visando 
oferecer ao estudante, conhecimento para executar um levantamento topográfico e estabelecer o 
relacionamento técnico com profissionais e empresas de topografia. 
 Esta apostila é o resultado das contribuições, experiências e coletânea das notas de aulas 
dos professores da disciplina de topografia do Departamento de Transportes e Obras de Terra – 
TOT, da FATEC-SP e outras referências apresentadas ao final. 
 É material didático referencial para os futuros tecnólogos e não substitui a bibliografia 
indicada no Plano de Ensino, mas sim a complementa. 
 
 
Equipe de topografia: 
Prof. Me. Décio Moreira 
Profa. Me. Rosana Maria Siqueira 
Profa. Leila Meneghetti 
Instrutor Maurício Gino Menduni Grossmann 
 
1ª edição outubro 2004 
2ª edição agosto 2007 
3ª edição agosto 2008 
4ªedição janeiro 2012 
 
 
Janeiro 2012 7 
1 Astronomia de posição 
 
 Ciência antiga também denominada de Astrometria estuda o movimento das estrelas, em 
especial o sol, suas posições, suas estruturas e outros corpos celestiais. Determina as 
coordenadas geográficas de pontos de interesse e o azimute de direções (orientação). 
 É um dos mais antigos ramos da Astronomia, Hiparco (194 AC – 120 AC), quem 
compilou o primeiro catalogo de estrelas visíveis a ele e ao fazer isso inventou a escala de 
luminosidade, usada até hoje. 
 A Astrometria moderna foi fundada por James Bradley e Friedrich Bessel que apresentou 
a posição média de 3222 estrelas entre 1750 e 1762. 
 Além da função fundamental de apresentar um referencial para Astrônomos apresentarem 
suas observações, a Astrometria é também fundamental para ramos como Mecânica celestial, 
Dinâmica estelar e Astronomia galáctica. 
 Em astronomia observacional, técnicas astrométricas ajudam a identificar objetos 
estelares devido aos seus respectivos movimentos peculiares. É também instrumental para a 
observância do tempo tendo com referência o Tempo Universal Coordenado - UTC que é 
basicamente o tempo atômico sincronizado com a rotação da Terra por meio de observações 
exatas. 
 A Astrometria também está envolvida em criar os métodos para calcular as distâncias de 
objetos celestes, que são usados para estabelecer estimativas de distâncias de paralaxe para 
estrelas na Via Láctea. 
 Ciência metódica a partir do século XVI, destacada por Copérnico, Galileu, Kepler e 
Tycho Brahe. 
 Na vida cotidiana os fenômenos celestes estão relacionados com a medição do tempo; a 
orientação na terra e no mar e com as atividades agrícolas. 
 
1.1 O universo 
 
 É formado por inúmeros corpos celestes ou sistemas de corpos celestes: 
a) Nebulosas: Agrupamentos de estrelas que se apresentam como uma mancha branca; 
b) Estrelas: Astros luminosos que mantém praticamente as mesmas posições relativas na esfera 
celeste; 
c) Planetas: Astros sem luz própria, e que gravitam em torno de uma estrela, particularmente o 
Sol; 
d) Galáxia: Sistema estelar isolado no espaço cósmico, ao qual pertencem o Sol e mais de um 
bilhão de estrelas, nebulosas, poeira e gás. 
 
janeiro 2012 8 
 A distância mínima das Galáxias a Terra é de 1 milhão de ano-luz; 
 Ano-luz: distância percorrida pela luz em 1 (um) ano; 
 Velocidadeda luz: Vluz = 300.000 Km/s; 
 1 (um) ano-luz ≅ 9,45 trilhões de Km; 
 
1.2 O sistema solar 
 
 É constituído pelo Sol e um imenso grupo de corpos celestes que o rodeiam, em que se 
destacam os planetas, mas existem outros pequenos corpos tais como os planetas anões, 
asteróides, transneptunianos e cometas. 
 Tem um diâmetro menor que um milésimo do ano-luz (da ordem de 7 bilhões de Km). Os 
planetas descrevem órbitas em forma de elipses no movimento em torno do sol. A ordem de seu 
afastamento do sol é: 
Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão. 
O sistema solar apresenta 3 movimentos principais: Translação do sistema, Rotação do sistema 
(translação dos planetas) e Rotação dos planetas. 
 
1.3 A terra 
 
 É um planeta do sistema solar, sendo o terceiro em ordem de afastamento do Sol e o 
quinto em diâmetro, faz parte da Galáxia chamada “Via-láctea” e um dos quatro planetas 
telúricos (mercúrio, vênus, terra e marte). 
 O diâmetro da “Via-láctea” é de ≅ 80.000 anos-luz. 
 O Sol encontra-se a 2/3 do raio desse disco; 
 O planeta Terra apresenta dois movimentos: 
- Rotação em torno do seu eixo; 
- Translação sobre o plano da eclítica - plano da órbita da terra (Figura 1.1 e 2.1). O plano da 
eclítica forma um ângulo com o plano do Equador de aproximadamente 23º27’ chamado 
obliquidade da eclítica (Figura 3.1). 
 Essa translação em torno do Sol tem a duração de, aproximadamente, 365 dias e 6 horas 
(cerca de 365,242197 dias médios), período chamado ano trópico. 
 Da duração desse período de revolução é que decorre o que vulgarmente chamamos de 
ano e que, tendo 365 dias médios de duração, apresenta uma diferença anual de cerca de 6 horas, 
dando origem à correção que se faz a cada quatro anos, acrescentando o dia 29 de fevereiro no 
ano bissexto. 
 
janeiro 2012 9 
 Essa contagem define o calendário utilizado na maior parte do mundo e em todos os 
países ocidentais, o calendário gregoriano, que foi promulgado pelo Papa Gregório XIII a 24 de 
Fevereiro do ano 1582 para substituir o calendário juliano. 
 O Calendário juliano foi instituído por Júlio César no ano 46 a.C., segundo as indicações 
do astrónomo alexandrino Sosígenes, tendo vigorado por 1600 anos. 
 A Data Juliana (DJ) foi inventada pelo estudioso francês José Justo Escalígero (1540-
1609). Os astrônomos têm utilizado a Data Juliana para atribuir um número único para cada dia a 
partir de 1 de janeiro de 4713 a.C. A Data Juliana zero designa as 24 horas que vão do meio-dia 
UTC – Tempo Universal Coordenado de 1 de janeiro de 4713 AC até o meio-dia UTC de 2 de 
janeiro de 4713 AC. 
 Por razões práticas e de uso público é necessário que se tenha uma escala que mantenha 
uma sincronia com a rotação ligeiramente irregular da Terra. Esta escala é o Tempo Universal 
Coordenado (UTC) que é idêntico ao Tempo Atômico Internacional (TAI), exceto que de tempos 
em tempos um segundo de salto é definido para garantir que, no decorrer de um ano, o Sol cruze 
o meridiano de Greenwich ao meio-dia com um desvio máximo de 0,9s. As datas para efetivação 
dos segundos de salto são definidas pelo Serviço Internacional de Rotação da Terra e Sistemas 
de Referência (IERS). 
 O TAI é uma escala uniforme e estável que não se mantém em sincronia com a rotação da 
Terra. É a escala de tempo calculada pelo Escritório Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), 
na França, usando informações de cerca de duzentos relógios atômicos (césio) em mais de 50 
laboratórios nacionais ao redor do mundo. 
Fonte: R. Boczko 
 
γ = Ponto equinocial ou vernal - 21/03 (outono) 
Ω = Ponto equinocial - 23/09 (primavera) 
 
Figura 1.1 Representação da eclíptica 
Eclíptica:
Trajetória anual
aparente
do Sol
Eixo de
rotação
Equado
rγγγγ
ΩΩΩΩ
PN
Ec
líp
tic
a
 
janeiro 2012 10 
 
Fonte: R. Boczko 
 
Figura 2.1 Órbita da terra em torno do sol 
 
Fonte: R. Boczko 
 
Figura 3.1 Representação da obliquidade da eclíptica 
 
 A translação da terra em torno do sol é desenvolvida com uma velocidade média de, 
aproximadamente, 30 Km/s. Quando ela está mais próxima do sol, por volta de 02 de janeiro, sua 
velocidade é maior, enquanto que por volta de 02 de julho ela está mais afastada do sol e sua 
velocidade é menor. 
A órbita mede, aproximadamente, 940 milhões de quilômetros. 
A distância média entre a terra e o sol é cerca de 150 milhões de quilômetros. 
 Em função da obliquidade da eclítica a incidência dos raios solares é diferente nos 
hemisférios, ocorrendo as estações do ano (Figura 4.1). 
 
a) Solstício: Ponto onde se registra a maior diferença entre o dia e a noite. O Sol atinge os 
trópicos. 
b) Equinócio: Ponto onde se registra a igual duração do dia e da noite (declinação nula). 
Passagem da trajetória aparente do Sol do Hemisfério Sul Celeste para o Hemisfério Norte 
Celeste. 
 
Eclíptica
Sol
23,5º 
Eixo de
rotação
Plano da Eclíptica
PeriélioAfélio
 
janeiro 2012 11 
 
 
 21/03: Equinócio de outono 
 23/09: Equinócio de primavera 
 22/06: Solstício de inverno 
 22/12: Solstício de verão 
 
 
 
 
Figura 4.1 Estações do ano 
 
2 Geodésia 
 
 A palavra geodésia é de origem grega – geodaisía - e significa particionando a terra. 
 É a ciência que estuda a forma e a grandeza da terra, os movimentos oceânicos e 
terrestres (geométrica) e mais recentemente também se preocupa em determinar os parâmetros 
definidores do campo de gravidade a partir dos estudos abrangidos pela geofísica (física). 
 
2.1 Histórico 
 
 A forma da terra e os fenômenos que nela ocorrem sempre foram de interesse do homem. 
 O estudo sobre a geometria da terra era feito através da astronomia e com grandes 
influências filosóficas e teológicas. 
 A geodésia ganha destaque durante a era grega quando Thales de Miletus (c.625 - c.545 
A.C.) definiu a terra como um disco que flutuava no oceano. 
 Anaximander de Miletus (c.611-c.545 A.C.) acreditava que a terra era cilíndrica com eixo 
orientado na direção leste-oeste, essa idéia permaneceu por séculos. 
 Anaximenes no sexto século A.C. modificou a idéia de Thales afirmando que a terra 
flutuava em um finito oceano sustentado no espaço por ar comprimido. O sol e a lua eram discos 
de fogo e giravam em torno da terra. 
 Pitágoras (c.580-c.500 A.C.) e seus discípulos foram os primeiros a acreditar que a terra 
era esférica. 
 
janeiro 2012 12 
 Os trabalhos realizados foram compilados por Philolaus que também foi o primeiro a 
propor um Universo não geocêntrico centrado em Hestia (o fogo central) com o sol e todos os 
outros corpos girando em órbitas circulares ao redor deste fogo. 
 Essa idéia foi modificada por Heracleides (c.388 - c. 315 A.C.) que propôs o movimento 
da terra e outros planetas em torno do sol e afirmou que a terra girava em torno do seu próprio 
eixo. 
 Eratóstenes (276 – 195 A.C), em Alexandria no Egito, foi o primeiro a apresentar as 
bases científicas para estabelecer a forma e tamanho da terra. Mediu um arco de meridiano entre 
as cidades de Alexandria e Siena, em um dia de solstício de verão, chegando a medida de 5000 
stadias (148,5 m) resultando em 37.422 km a medida da circunferência da terra. 
 O sistema geocêntrico foi definido por Ptolomeu (100 - 178 A.C.). 
 A esfericidade da terra foi confirmada por Aristóteles (384 - 322 A.C.) quando observou 
fenômenos que mais tarde foram confirmados através dos efeitos da gravidade. 
 As explorações realizadas no final do século XV por Colombo, Vasco da Gama e 
Magellan (volta ao mundo entre 1519 e 1522) expandiram o conhecimento geográfico e o 
aprimoramento dos mapas - cartografia. 
 O holandês Snellius (1591 - 1626) fez a primeira triangulação precisa e obteve para o 
arco de 1º a medida de 55 021 Toesas. 
 O francês Picard em 1670 fez medidas com operações geodésicas modernas utilizando 
lunetas com retículos, mediu uma triangulação entre Paris e Amiens, astronomicamente, e pela 
diferença de latitudeobteve para o arco de 1º a medida de 57 060 Toesas (Toesa = 1,980 m) e 
para o raio da terra a medida de 6 372 km. Esta medida representa a primeira melhora depois de 
Eratóstenes. 
 Quando Newton, no final do século XVII, formulou a lei sobre a atração gravitacional 
universal, estabeleceu que a terra é achatada nos pólos devido à força centrífuga causada pela 
rotação, portanto a nova forma aceita é o elipsóide. 
 Estando aceita a figura da terra como um elipsóide de revolução achatado nos pólos, o 
problema estava na definição de uma unidade de medida que fosse aceita por todos. 
 Uma Lei de 1799 relacionou a unidade metro com a Toesa do Peru, assim a questão 
passou a ser quanto à precisão do protótipo. 
 No início do século XIX, A.M. Legendre e C.F. Gauss desenvolveram a teoria de 
ajustamento pelo Método dos Mínimos quadrados. Este método possibilitou verificar diferenças 
de comprimentos obtidos geodesicamente e os obtidos astronomicamente. 
 As análises conduziram a afirmar que a terra não era um elipsóide e sim uma figura 
irregular, mais tarde denominada geóide por J.B. Listing (1872). 
 
janeiro 2012 13 
 A superfície escolhida para a representação da terra foi a que contém os oceanos. 
Comparando toda a superfície da terra as irregularidades são pequenas, assim o elipsóide de 
revolução é a figura mais bem ajustada. 
 F.R. Helmert (1884) confirma que a forma da terra é uma superfície de nível que contém 
os oceanos não perturbados e que seguem as leis da gravitação e força centrífuga produzida pelo 
movimento de rotação. A aproximação é o elipsóide de revolução, com isso a superfície geoidal 
é equipotencial. 
 O geóide é então definido como sendo uma superfície equipotencial que coincide com o 
nível médio não perturbado dos mares. 
 A partir do primeiro satélite artificial lançado pela União Soviética em 1957, o Sputinik, 
e o Vanguard pelos Estados Unidos, em 1958, a geodésia tomou novo impulso. 
 
2.2 Superfícies terrestres 
 
 No estudo da forma e dimensão da Terra, podemos considerar três tipos de superfície ou 
modelo para sua representação conforme figura 1.2. 
a) Modelo Real ou Superfície Terrestre: Este modelo representa a Terra tal qual ela se 
apresenta na realidade, ou seja, sem as deformações que os modelos matemáticos apresentam. 
b) Modelo Geoidal: Permite que a superfície terrestre seja representada por uma superfície 
equipotencial definida pelo prolongamento do nível médio não perturbado dos mares (NMM) 
para os continentes. Este modelo, evidentemente, irá apresentar a superfície do terreno 
deformada em relação à sua forma e posição reais. 
c) Modelo Elipsoidal: A Terra é representada por uma superfície gerada a partir de um elipsóide 
de revolução, com deformações relativamente maiores que o modelo geoidal. 
Onde: 
H: altitude ortométrica 
Distância de um ponto medida ao longo da vertical entre a superfície física e a sua projeção na superfície geoidal. 
h: altura geométrica ou altitude geométrica, geodésica ou elipsóidica 
Distância de um ponto medida ao longo da normal ao elipsóide entre a superfície física e a sua projeção na superfície elipsoidal. 
N: altura geoidal 
Distância medida ao longo da normal ao elipsóide entre a superfície elipsoidal e a geoidal. No site do IBGE - geociências – SGB, é 
possível acessar o aplicativo MAPGEO e obter a ondulação geoidal para a localidade de interesse. 
Figura 1.2 Superfícies da Terra 
 
 
Geóide Elipsóide
Altura 
geométrica
h
Altitude 
Ortométrica
H Superfície Terrestre
Ondulação geoidal - N
 
 
janeiro 2012 14 
2.3 Latitude e longitude 
 
a) Equador: círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos e divide a esfera 
terrestre em hemisférios norte (setentrional) e sul (meridional). 
b) Paralelos terrestres: círculos da esfera terrestre cujos planos são paralelos ao Equador. O 
paralelo 23°27’ ao norte é chamado de Trópico de Câncer e 23°27’ ao sul Trópico de 
Capricórnio. 
c) Meridianos terrestres: círculos máximos passando pelos pólos. 
d) Latitude geográfica ou astronômica e geodésica ou elipsiódica (φφφφ ou ϕϕϕϕ) de um ponto da 
superfície terrestre é o ângulo formado pela vertical e normal, respectivamente, do lugar e o 
plano do Equador. Sua contagem é feita com origem no plano do Equador e varia de 0º a 90º, 
positivamente paro o norte (N) e negativamente para o sul (S) (Figura 2.2). 
e) Longitude geográfica e geodésica ou elipsóidica (λλλλ) de um ponto da superfície terrestre é o 
ângulo diedro formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do lugar (aquele que passa 
pelo ponto em questão). Sua contagem é feita de 0º a 180º, negativamente para oeste (W) e 
positivamente para leste (E) (Figura 2.2). 
 Fonte: R. Boczko 
Figura 2.2 Representação da latitude e longitude 
 
3 Referencial 
 
 A Terra e os corpos celestes não são estáticos. Os fenômenos dinâmicos como: marés 
oceânicas e terrestres, movimento do eixo de rotação, efeitos de carga oceânica sobre a crosta, 
movimento dos planetas e dos satélites, comportamento do sistema Terra-Lua e outros, precisam 
ser estudados qualitativamente e quantitativamente. Esses estudos e definição de referenciais são 
importantes, pois interferem nas atividades cotidianas dos seres do nosso planeta. 
 
L a titu d e ϕϕϕϕ e L o n g itu d e λλλλ
λλλλ
ϕ < 0ϕ < 0ϕ < 0ϕ < 0
ϕϕϕϕ
P N
P S
E q u ad o r
G ree n w ic h
 
janeiro 2012 15 
 O referencial conveniente para esse fim deve ser estabelecido levando-se em conta o 
conceito, a definição, a materialização e a densificação (Figura 1.3). 
a) Conceito – O referencial ideal é aquele que se encontra em repouso ou em Movimento 
Retilíneo Uniforme - MRU . O baricentro do sistema solar é um referencial ideal. 
b) Definição – Princípios que fixam origens, orientações e eventuais escalas de sistemas de 
coordenadas. A escolha de objetos fixos no espaço, chamados fiduciais, podem contribuir para o 
estabelecimento de tais princípios. 
c) Materialização – Implantar um conjunto de pontos sobre a superfície da Terra que permitam 
fazer observações nos pontos fiduciais e estabelecer um sistema de referências de caráter global 
com coordenadas de referência conhecidas. 
d) Densificação – É o estabelecimento de redes com pontos materializados com espaçamento 
menor, poucas dezenas de quilômetros, de interesse continental, nacional ou regional. Exemplo: 
SIRGAS 2000 - Sistema de Referência Geocêntrico das Américas, RBMC – Rede Brasileira de 
Monitoramento Contínuo. 
 Três associações internacionais estudam a definição e materialização de referenciais: 
1) Associação Internacional de Geodésia – IAG 
2) União Astronômica Internacional – IAU 
3) União Geodésica e Geofísica Internacional – IUGG 
Fonte: R. Boczko 
Figura 1.3 Origens dos sistemas de referências 
 
 Antes da era espacial não havia homogeneidade nas referências e era difícil a interação 
entre referenciais. 
 As coordenadas geográficas podem ser obtidas por observações astronômicas. As 
coordenadas geodésicas adotam parâmetros de elipsóide diferentes em função do DATUM, por 
exemplo, Córrego Alegre adota o elipsóide de Hayford e SAD69 adota o elipsoide da Associação 
Geodésica Internacional. 
 Até hoje se busca a integração dos sistemas e a era espacial possibilita essa vinculação. 
Inicialmente se determinava a posição através de fotografias do céu, depois, a partir de sinais 
Topocêntrico
GeocêntricoHeliocêntrico
Baricêntrico
Sol
Terra
TopocêntricoTopocêntrico
GeocêntricoGeocêntricoHeliocêntricoHeliocêntrico
BaricêntricoBaricêntrico
Sol
Terra
 
janeiro 2012 16 
emitidos por satélites determinando a variação de frequência em função do tempo, o chamado 
efeito Doppler, em seguida medidas feitas a partir de sistemas Laser sobre satélites artificiais ou 
naturais (Lua), finalmente buscou-se medidas extragalácticas, VLBI, e observações de satélites 
como o sistema NAVSTAR/GPS. 
 As informaçõesdos satélites do sistema GPS são referenciadas ao chamado WGS84 
(Word Geodesic System 1984) com parâmetros do elipsóide definido e aceito 
internacionalmente. 
 
3.1 Referencial Celeste – RC 
 
 Em 1991 a IAU adotou para referencial celeste objetos extragalácticos – QUASAR 
(Quasi-stellar Radio Source) estabelecendo eixos fixos em relação a esses objetos fiduciais com 
origem no baricentro do sistema solar. 
 Utilizando-se a técnica geométrica VLBI – Very Long Basiline Interferometry, são feitas 
observações com um par de antenas que registram sinais de rádio emitidos pelos Quasars 
possibilitando a medida de direções no espaço com muita precisão. 
As informações fazem parte do International Celestial Reference System – ICRS e 
International Celestial Reference Frame - ICRF, realizados pelo International Earth Rotation 
Service – IERS. 
 
3.2 Referencial Terrestre – RT 
 
 É um referencial geocêntrico que acompanha a Terra no movimento de rotação e de 
translação com origem no seu centro de massa incluindo os oceanos e a atmosfera. (Figura 2.3). 
 O IRP – International Reference Pole e o IRM – International Reference Meridian são 
consistentes com as correspondentes direções no sistema terrestre definido pelo BIH – Bureau 
International de L’Heure. 
 
Figura 2.3 Referencial terrestre 
 IRP 
Y 
X 
EQUADOR 
IRM
O 
λ 
 
janeiro 2012 17 
 
 A vinculação entre os sistemas celestes e terrestres é feita através dos parâmetros de 
orientação EOP – Earth Orientation Parameters. Estes parâmetros descrevem a orientação de um 
dado referencial terrestre, em função do tempo, em relação a um dado referencial celeste. 
 
3.3 Referencial altimétrico 
 
 No caso específico da altimetria a forma atribuída a Terra é a do geóide. Superfície 
geoidal entendida como sendo a superfície equipotencial que coincide com o nível médio não 
perturbado dos mares. 
 As atividades humanas em geral são desenvolvidas, basicamente, na superfície terrestre, 
portanto para se conhecer a medida do desnível entre os pontos de interesse são realizados 
levantamentos topográficos que determinam a altitude ortométrica que é a distância entre a 
superfície física da Terra e a superfície geoidal, medida sobre a vertical. 
 Este é um conceito físico e o estudo da forma do geóide e sua determinação pode ser feita 
obtendo-se o campo de gravidade que modela a distribuição de massa e o efeito rotacional da 
Terra. 
 Outra forma de se obter o desnível é estudar as irregularidades da superfície geoidal 
relativamente a um modelo teórico, o elipsóide de revolução. A distância entre o elipsóide e o 
geóide é definido por altura geoidal (N) e é medido sobre a normal. 
 As alturas geoidais podem ser obtidas com observações de satélites artificiais, por 
exemplo o GPS e nivelamento geométrico associado à gravimetria. 
 Com o GPS determina-se a altura geométrica que é a distância entre a superfície física da 
Terra e o elipsóide de revolução adotado medido sobre a normal. 
 
 O Brasil e demais países da América do Sul adotam a altitude derivada dos desníveis, 
corrigidos somente do não paralelismo das superfícies, com isso o sistema não é consistente para 
distâncias maiores que 10 km, dificultando a execução de obras de abrangência regional e 
nacional. 
 Para distâncias até 10 km o nivelamento geométrico (procedimento para se determinar as 
diferenças de nível) atende as necessidades da engenharia. Para distâncias maiores o nivelamento 
precisa estar associado à gravimetria, pois as superfícies equipotenciais não são paralelas. 
 Uma alternativa para o problema é adotar um outro sistema de altitudes que seja 
consistente, por exemplo o sistema de altitudes normais, que consiste em fazer o nivelamento 
geométrico e medidas gravimétricas sobre as Referências de Níveis - RRNN, calculando-se os 
 
janeiro 2012 18 
números geopotenciais e a partir desses números a altitude é calculada com o valor médio da 
gravidade. 
 Para as obras de engenharia que envolve grandes distâncias esse procedimento resolve o 
problema da altimetria, bem como o fechamento dos nivelamentos. 
 
4 Datum 
 
É um sistema de referência vertical ou horizontal utilizado para o cômputo ou correlação 
dos resultados de um levantamento. 
 Para os trabalhos de topografia considerando uma área de abrangência de 50 km de raio 
pode ser adotado o Sistema Topográfico Local, que é a representação, em planta, das posições 
dos pontos do levantamento topográfico em relação a uma origem de coordenadas geodésicas 
conhecidas e altitude média da região, para que as distâncias no terreno sejam projetadas em 
verdadeira grandeza no plano horizonte local. Nessa área é lícito desprezar os efeitos da 
curvatura da Terra. 
 O datum vertical é uma superfície de nível utilizada no referenciamento das altitudes 
tomadas sobre a superfície terrestre. 
 O datum horizontal é utilizado no referenciamento das posições tomadas sobre a 
superfície terrestre. É definido pelas coordenadas geográficas de um ponto inicial, pela direção 
da linha entre este ponto inicial e um segundo ponto especificado, e pelos parâmetros que 
definem o elipsóide utilizado para representação da superfície terrestre (Quadro 1.4) 
 
 
Denominação 
usual 
SIRGAS 2000 WGS-84 SAD-69 
Córrego 
Alegre 
Elipsóide GRS 80 GRS 80 GRS - 67 
Internacional 
Hayford 
a 6.378.137,00 6.378.137,00 6.378.160,00 6.378.388,00 
b 6.356.752,31 6.356.752,31 6.356.774,72 6.356.911,95 
1/f 298,2572235630 298,2572235630 298,25 297,00 
 
Quadro 1.4 Exemplos de data 
 
 
 
 
 
janeiro 2012 19 
d 
d
4.1 Translação de sistemas 
 
 Em muitos casos os estudos ou projetos são realizados tendo como base cartas com 
diferentes data, portanto as correções devem ser feitas para que haja comunicação de dados e 
informações. A mudança de datum é feita aplicando-se os valores de translação. Abaixo, na 
figura 1.4, SAD 69 para SIRGAS2000 
Figura 1.4 Diferenças entre data diferentes. 
 
5 Influências da forma da Terra nas medidas 
 
 Considerar a superfície da Terra plana é uma simplificação válida, dentro de certos 
limites. Na topografia considera-se essa hipótese, sempre que possível, assim defini-se o campo 
da topográfico como sendo o limite convencional de 50 km (de raio), em que o efeito da 
curvatura da Terra provoca diferenças nas medidas dentro de valores aceitáveis. Dentro desta 
região considera-se a superfície da Terra referida a um plano horizontal: o plano topográfico. 
 
5.1 Efeito da curvatura na distância 
 
 Onde: 
 R = Raio da Terra 
d = distância medida sobre a Terra 
d’ = projeção de d no plano topográfico local 
Rdoucentralângulo
R
d ×α===α 
α×=∴=α tgR'd
R
'd
tg 
( )RtgRdd'dd ×α−α×=∆⇒−=∆ 
 
α 
SAD-69 vs. WGS-84
X (SAD)
Z (SAD)
Y (WGS)
X (WGS)
Z (WGS)
SAD-69 --> WGS-84 (IBGE):
TX= -66,87 m
TY= 4,37 m
TZ= -38,52 m
Y (SAD)
 
SAD 69 - SIRGAS 2000 
∆X = − 67,35 m 
∆Y = + 3,88 m 
∆Z = - 38,22 m 
 
janeiro 2012 20 
Como α é muito pequeno, tg α pode ser desenvolvida em série, ou seja: 
............
315
17
15
2
3
tg
753
+
α×
+
α×
+α+α=α 
fazendo as substituições e considerando somente o 1º e o 2º termo da série, temos: 
( )
3
Rd
3
RdtgRd
33 α×=∆⇒





α−α+α×=∆⇒α−α×=∆ 
Como 
3
3
3
R
d
R
d =α⇒=α 
 
O erro absoluto será: 
3
33
3
R3
d
Rd
3
R
d
Rd
×
×=∆⇒×=∆ 
2
3
R3
d
d
××××
====∆∆∆∆ 
 
O erro relativo será: 
 
d
1
R3
d
d
d
d
R3
d
d
d
2
32
3
×=∆⇒=∆ 
2
2
R3
d
d
d ====
∆∆∆∆
 
 
Exercício: Calcular a diferença absoluta e relativa para as distâncias: 
d = 1 km d = 10 km d = 25 km d = 35 km d = 50 km 
 
 
5.2 Efeito da curvatura na altimetria (diferença de cotas) 
 
 Onde: 
 R, d e d’ têm o mesmo significado do modelo anterior; 
 ∆h = diferença de nível entre B (mesma cota de A) e B’, 
projeção de B no plano topográfico. 
 Uma visada horizontal em A determinaria que o ponto de 
mesma cota nomodelo da Terra plana é B’ enquanto que a Terra 
esférica determina o ponto B. 
 
 
α 
d’ 
d 
 
janeiro 2012 21 
 A diferença ∆h pode ser calculada : 
 
hR
R
cos
∆+
=α ou, transformando: 




 −
α
×=∆ 1
cos
1
Rh 
Desenvolvendo em série tem-se: ........
2
1
cos
1 2 −α+=
α
 
Substituindo na expressão anterior e lembrando que 
R
d=α 












×=∆⇒




α×=∆⇒





 −α+
×=∆⇒





−




 α+×=∆
2
R
d
Rh
2
Rh
2
22
Rh1
2
1Rh
2
2
222
 
 
2
2
R2
d
Rh ×=∆ ∴ 
R2
d
h
2
====∆∆∆∆ 
 
Exercício: Calcular a diferença de nível para as distâncias: 
d = 1 km d = 10 km 100 m d = 500 m 
 
5.3 Efeito da curvatura nos ângulos 
 
 Em um triângulo esférico a soma dos três ângulos internos vale A + B + C = 180º + ε, 
sendo “ε” o excesso esférico, que se calcula pela fórmula: 
 
2R
S====εεεε onde: S – área do triangulo plano R – raio da Terra (~ 6.371 Km) 
 
 Exercício: Para uma figura de 3 vértices e área de 10 km2, qual o excesso esférico? 
 
5.4 Efeito da curvatura nos azimutes 
 
 Na Terra plana, a direção Norte em diversos pontos é sempre paralela, enquanto que na 
Terra esférica, a direção Norte converge para o pólo. 
 O ângulo γ (convergência de meridianos) pode ser calculado pela fórmula: 
 ϕ=γ sen
R
d
 (em radianos) 
onde: ϕ é a latitude do lugar e d é a distância 
 
 
 
janeiro 2012 22 
5.5 Efeito da altitude na distância 
 
 Os itens anteriores consideraram os diferentes efeitos da curvatura da Terra, isto é, as 
simplificações e erros cometidos ao considerar a Terra como plana e não esférica. 
 Trata-se agora de considerar a influência do relevo, isto é, da medição de distância em 
diferentes altitudes inclusive aquelas obtidas a partir de uma carta e que precisa ser implantada 
na superfície terrestrre (locação). 
 
 
 
HR
d
R
d0
+
==α 
 
 
HR
dR
d0 +
×
= 
 
 
( )
R
HRd
d 0
+×
= 
 
 
 
Exercício: Dada uma distância d = 8 km, medida na altitude de 1500 m, reduzí-la para o geóide. 
 
6 Escala 
 
 É a relação constante entre o valor de uma medida no desenho (d) e sua correspondente 
no terreno (D). Podem ser numéricas ou gráficas. 
 
 M = 1 natural 
 E = d / D = cte. Módulo da escala M = D / d M < 1 ampliação 
 M > 1 redução 
 
6.1 Erro de graficismo (eg) 
 
Erro máximo admissível na elaboração de desenho topográfico para lançamento de pontos e 
traçados de linhas, com valor de 0,2 mm, que equivale a duas vezes a acuidade visual. 
 
6.2 Precisão da escala (p) 
 
É o valor que corresponde ao erro de graficismo projetado no terreno. 
 
p = eg . M 
d 
do 
α 
R 
H 
 
janeiro 2012 23 
 
6.3 Formatos de papel da série A (NB-8) 
 
O formato básico do papel, designado por A0 (A zero), é o do retângulo de lados 
medindo 841 mm e 1189 mm, tendo a área de 1 m2. Do formato básico derivam os demais 
formatos. 
 
Formato 
série A 
Linha de corte 
mm 
Margem “m” 
mm 
Folha não recortada 
mm 
4 A0 1 682 x 2 378 20 1 720 x 2 420 
2 A0 1 189 x 1 682 15 1 230 x 1 720 
A0 841 x 1 189 10 880 x 1 230 
A1 594 x 841 10 625 x 880 
A2 420 x 594 10 (7) 450 x 625 
A3 297 x 420 10 (7) 330 x 450 
A4 210 x 297 5 (7) 240 x 330 
A5 148 x 210 5 165 x 240 
A6 105 x 148 5 120 x 165 
 
 
Exercício 1 – Determinar a escala para desenhar o perímetro abaixo em uma folha formato A4. 
 
PONTOS 
COORDENADAS 
X (m) Y (m) 
A 158 74 
B 76 43 
C 64 22 
D 32 53 
E 48 70 
F 102 82 
 
 
Posição do papel: XM (máximo) – Xm (mínimo) < YM - Ym posição vertical 
 XM - Xm > YM - Ym posição horizontal 
 
Considerando “a” a medida útil do papel no sentido das abscissas (X) e “b” no sentido das 
ordenadas (Y), determinar a escala provável para abscissas = Epx e a escala provável para 
ordenadas = Epy. Para adoção da escala toma-se a de menor valor ou a que tiver o maior 
módulo fazendo a devida aproximação para valores da classificação normal. 
 
Exercício 2 - Conhecida à escala 1:250 determinar as dimensões do papel (série A). 
Utilizar os dados do exercício 1. 
 
 
 
janeiro 2012 24 
6.4 Escalas usuais 
 
 A cartografia sistemática engloba as cartas nas escalas de 1:1.000.000 (milionésimo) até 
1:25.000 com grau de detalhamento compatível com as respectivas escalas de representação. 
 As informações principais contidas nas cartas nas escalas de 1:1.000.000 e 1:500.000 são: 
Localidades, limites, ferrovias, rodovias, portos e aeroportos, hidrografia, curvas de nível com 
equidistância de 100m. Destinam-se a fornecer ao planejador uma visão geral dos principais 
elementos do meio físico e fatores antrópicos. 
 Nas cartas 1:250.000 incluem-se as coordenadas geodésicas, as projeções UTM e alguns 
elementos das áreas urbanizadas. São utilizadas em planejamento territorial e ambiental, por 
exemplo, o Atlas das regiões administrativas do estado de São Paulo, com informações de 
divisão territorial, hidrologia, geologia, demografia, agropecuária, indústria, educação, saúde, 
dentre outras. 
 As escalas 1:100.000, 1:50.000 e 1:25.000 têm as mesmas informações da carta 
1:250.000, com maior detalhamento de caminhos, edificações, igrejas, sedes de fazenda, 
culturas, linhas de transmissão, indicação de vértices e RRNN. As curvas de nível são 
representadas com equidistância de 40m, 20m e 10m, respectivamente. Sua utilização nos 
projetos de engenharia oferece elementos para estudos de viabilidade técnica e econômica em 
obras viárias, usinas hidrelétricas, telefonia, eletrificação rural, dentro outros. 
 A escala 1:10.000 se situa no campo das cartas cadastrais e na área urbana é adequada 
para estudos de Planos Diretores. Contém informações tais como: de relevo, curva de nível de 
5m em 5m, sistema viário, limites de glebas e hidrografia. É utilizada para cadastro, 
planejamento de produção agrícola, controle de enchentes, proteção ambiental, uso do solo, 
estudo de impactos ambientais (EIA), relatório de impacto ao meio ambiente (RIMA) e relatório 
ambiental preliminar (RPA). 
 A escala 1:5.000 é a carta adequada para gerenciamento do geoprocessamento na gestão 
de propriedades, controle de produção, controle de pragas, caminhos e na gestão rural. No 
âmbito do município é usada como planta de referência cadastral, valores genéricos para 
lançamento de IPTU, equipamentos sociais, sinalização dentre outras. As curvas de nível têm 
equidistância de 2,5m. 
 A escala 1:2.000, com curvas de nível de metro em metro, as plantas são utilizadas para 
projetos de abastecimento de águas, desapropriações, alargamento de vias, cadastro imobiliário, 
estudos em geral na área municipal. 
 O mapeamento na escala 1:1.000 é a escala ideal para projetos de engenharia, 
urbanização de glebas, planta cadastral municipal da área urbana. O detalhamento dessa planta é 
 
janeiro 2012 25 
fruto das necessidades dos usuários, tais como: pavimentação, postes, circulação veicular, 
telefonia, abastecimento de água, edificações, vegetação. 
 A escala 1:500 escala adequada para projetos de engenharia onde haja grande densidade 
de informações, por exemplo reurbanização de favelas. 
 As escalas maiores 1:20, 1:50, 1:100, 1:200 são utilizadas para o detalhamento de 
projetos executivos que também são elaborados utilizando as plantas nas escalas 1:2.000 até 
1:500. 
 As escalas 1:250.000 até 1:10.000 são utilizadas para os objetivos da fase de projeto 
preliminar, tais como: dados sócio-econômicos, geológicos, hidrológicos, estimativa de custo, 
estudo de circulação e volumes de tráfego. 
 As escalas 1:10.000 até 1:1.000 são utilizadas para os objetivos da fase de projeto básico 
tais como: projeto geométrico, terraplenagem, obras de arte, sinalização, documentação para 
licitação, plano de execução e orçamento da obra, dentre outras. 
 
7 Topografia 
 
 A palavra “Topografia”deriva das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphein” 
(descrever), o que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar. 
 É a ciência aplicada a descrição minuciosa de parte da superfície terrestre com o objetivo 
de representar sua configuração sobre uma superfície plana, com todos os acidentes (detalhes) 
físicos, naturais e artificiais, usando métodos, procedimentos, instrumentos, escalas e convenções 
adequadas. 
 
7.1 Divisões 
 
7.1.1 Topometria - estudo dos métodos e processos para se obter medidas angulares e lineares. 
Os principais instrumentos utilizados são: goniômetro (teodolito), diastímetro (trena), fita de 
ínvar e medidor eletrônico de distância – MED, este acoplado ao teodolito constitui a Estação 
Total. Divisões: 
 
- Planimetria: estuda os métodos e processos de mediadas de ângulo e distâncias no 
plano horizontal; 
 
- Altimetria: estuda os métodos e processos de mediadas de ângulo e distâncias no plano 
vertical. 
 
 
janeiro 2012 26 
7.1.2 Topologia - Alguns autores definem como sendo a parte da topografia que estuda as 
formas exteriores da superfície terrestre e as leis que regem seu modelado. 
 
8 Áreas afins a topografia 
 
 No desenvolvimento de suas atividades a topografia utiliza, direta ou indiretamente, os 
conceitos de áreas afins, tais como: 
a) Geografia: Ciência que estuda a Terra na sua forma, acidentes físicos, clima, produções, 
população, divisões políticas, etc. 
b) Agrimensura: Arte de medir os campos. Ocupa-se da divisão e demarcação de Terras. O 
termo agrimensura é utilizado de forma genérica assim como a topografia. 
c) Fotogrametria: Ciência e tecnologia de obter informações confiáveis através de processos de 
registro, interpretação e mensuração de imagens. 
Seu campo de aplicação é na elaboração de mapas em colaboração com outras ciências como a 
geodésia e a cartografia. Neste campo as imagens fotográficas são utilizadas para o 
posicionamento de pontos da superfície terrestre, ou mesmo de outros astros, e para mapear 
temas do objeto fotografado, tais como: rede de drenagem, florestas, culturas, rede viária, feições 
geológicas, tipos de solo, etc. 
d) Sensoriamento Remoto: É a utilização conjunta de modernos sensores, equipamentos para 
processamento de dados, equipamentos de transmissão de dados, aeronaves, espaçonaves, com o 
objetivo de estudar o ambiente terrestre através do registro e da análise das interações entre a 
radiação eletromagnética e as substâncias componentes do planeta Terra. 
e) Geoprocessamento: Conjunto de tecnologias de coleta, tratamento, manipulação e 
apresentação de informações espaciais. São vários os tipos de sistemas ou módulos de funções 
em Geoprocessamento: sistema de digitalização, sistema de conversão de dados, sistema de 
modelagem digital de terreno, sistema de processamento de imagens, entre outros. 
f) Sistemas de Informação Geográfica – SIG: São sistemas voltados primordialmente à gestão 
de informação e não à realização de tarefas como os demais sistemas. Podem ser entendidos, 
como um conjunto de programas, equipamentos, metodologias, dados e pessoas (usuários), 
perfeitamente integrados, de forma a tornar possível a coleta, o armazenamento, o processamento 
e a análise de dados georreferenciados, bem como a produção de informação derivada de sua 
aplicação. 
 
 
 
janeiro 2012 27 
9 Definições segundo a NBR 13.133/1994 
 
9.1 Apoio geodésico altimétrico: Conjunto de referências de nível, materializadas no terreno e 
que proporcionam o controle altimétrico dos levantamentos topográficos e o seu referenciamento 
ao datum altimétrico do país. DATUM ALTIMÉTRICO - IMBITUBA - SC. 
 
9.2 Apoio geodésico planimétrico: Conjunto de pontos, materializados no terreno que 
proporcionam aos levantamentos topográficos o controle de posição em relação à superfície 
terrestre determinada pelas fronteiras do país referenciando-os ao datum planimétrico do país. 
DATUM PLANIMÉTRICO – SIRGAS 2000. 
 
9.3 Apoio topográfico altimétrico: Conjunto de pontos, materializados no terreno, com suas 
alturas referidas a uma superfície de nível arbitrária (cotas) ou ao nível médio do mar 
(altitudes), servindo de suporte altimétrico ao levantamento topográfico. 
 
9.4 Apoio topográfico planimétrico: Conjunto de pontos, materializados no terreno, com 
coordenadas cartesianas (X e Y) obtidas a partir de uma origem no plano topográfico, que tem 
por finalidade servir de base planimétrica ao levantamento topográfico. Esses pontos formam 
uma figura complexa de lados orientados, podendo ser hierarquizados em ordens, onde os de 
ordem superior podem estar espaçados de 10 km e os de ordem inferior de até 500 m, ou menos, 
conforme a extensão da área a ser levantada e o fim a que se destinam. 
 
9.5 Alinhamento de via (ou alinhamento predial): Linha divisória que separa o lote de terreno 
do logradouro público; 
 
9.6 Carta ou Mapa: Representação gráfica sobre uma superfície plana, dos detalhes físicos, 
naturais e artificiais, de parte ou de toda a superfície terrestre, mediante símbolos ou convenções 
e meios de orientação indicados, que permitem a avaliação das distâncias, a orientação das 
direções e a localização geográfica de pontos, áreas e detalhes, podendo ser subdividida em 
folhas, de forma sistemática, obedecido um plano nacional ou internacional. Esta representação 
em escalas médias e pequenas leva em consideração a curvatura da Terra, dentro da mais 
rigorosa localização possível relacionada a um sistema de referência de coordenadas. A carta 
também pode constituir-se numa representação sucinta de detalhes terrestres, destacando, 
omitindo ou generalizando certos detalhes para satisfazer requisitos específicos. A classe de 
informações, que uma carta, ou mapa, se propõe a fornecer, é indicada, frequentemente, sob 
 
janeiro 2012 28 
forma adjetiva, para diferenciação de outros tipos, como, por exemplo, mapa de comunicação, 
mapa geológico, carta aeronáutica. 
NOTA: Os ingleses e americanos dão preferência ao termo mapa, enquanto os franceses e 
demais países de origem latina ao termo carta. 
 
9.7 Croqui: Esboço gráfico sem escala, em breves traços, que facilita a identificação de 
detalhes. 
 
9.8 Desenho topográfico final (ou desenho final): peça gráfica ou digital, quadriculada 
previamente, em formato definido em Normas Brasileiras, com área útil adequada à 
representação de todos os elementos do levantamento topográfico, comportando, ainda, moldura 
e identificadores segundo modelo definido pela destinação do levantamento. 
 
9.9 Exatidão: Grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, que sendo 
desconhecido, o valor mais provável é considerado como a média aritmética destas observações. 
 
9.10 Levantamento de detalhes: Conjunto de operações topográficas clássicas (poligonais, 
irradiações, interseções, ou por ordenadas sobre uma linha-base), destinado à determinação das 
posições planimétrica e/ou altimétrica dos pontos, que vão permitir a representação do terreno a 
ser levantado topograficamente a partir do apoio topográfico. Estas operações podem conduzir, 
simultaneamente, à obtenção da planimetria e da altimetria, ou então, separadamente, se 
condições especiais do terreno ou exigências do levantamento obrigar à separação. 
 
9.11 Levantamento topográfico: Conjunto de métodos e processos que, através de medições de 
ângulos horizontais e verticais, distâncias horizontais, verticais e inclinadas com instrumental 
adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no 
terreno, determinando suas coordenadas topográficas, e aos mesmos relaciona os pontos de 
detalhes visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e a sua 
representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com equidistância também pré-
determinada e/ou pontos cotados. 
 
9.11.1 Levantamento topográfico expedito:Leva em conta o conhecimento sumário do terreno 
sem prevalecer os critérios de exatidão. 
 
 
janeiro 2012 29 
9.11.2 Levantamento topográfico planimétrico: Objetiva o levantamento dos limites e 
confrontações de uma propriedade, pela determinação do seu perímetro, incluindo quando 
houver, o alinhamento da via ou logradouro com o qual faça frente, bem como, de sua orientação 
e de sua amarração a pontos materializados no terreno de uma Rede de Referencia Cadastral, ou, 
no caso de sua inexistência, a pontos notáveis e estáveis nas suas imediações. 
 
9.11.3 Levantamento topográfico planimétrico cadastral : É o levantamento planimétrico 
acrescido da determinação planimétrica da posição de determinados detalhes aflorados (visíveis 
ao nível e acima do solo) do terreno e de interesse à sua finalidade, tais como: limites de 
vegetação ou de culturas, cercas internas, edificações, benfeitorias, posteamentos, barrancos, 
árvores isoladas, valas, drenagem natural e artificial, etc; devendo estes elementos ser 
discriminados e relacionados nos editais de licitação, propostas e instrumentos legais entre as 
partes interessadas para a execução. 
 
9.11.4 Levantamento topográfico planialtimétrico: É o levantamento topográfico planimétrico 
acrescido da determinação altimétrica do relevo do terreno e da drenagem natural. 
 
9.11.5 Levantamento topográfico planialtimétrico Cadastral: É o levantamento topográfico 
planialtimétrico acrescido de elementos planimétricos inerentes ao levantamento planimétrico 
cadastral que devem ser discriminados e relacionados nos editais de licitação propostas e 
instrumentos legais entre as partes interessadas, para a execução. 
 
9.11.6 Levantamento topográfico altimétrico (ou Nivelamento): Levantamento que objetiva, 
exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma superfície de referência, dos pontos 
de apoio e/ou dos pontos de detalhes, pressupondo-se o conhecimento de suas posições 
planimétricas, visando à representação altimétrica da superfície levantada. 
 
9.12 Planta: Representação gráfica de uma parte limitada da superfície terrestre, sobre um plano 
horizontal local, em escalas maiores que 1:10.000, para fins específicos, na qual não se considera 
a curvatura da Terra. 
 
9.13 Poligonal auxiliar: Poligonal que, baseada nos pontos de apoio topográfico planimétrico, 
tem seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal forma, que seja possível 
coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou por ordenadas sobre uma linha-
 
janeiro 2012 30 
base, os pontos de detalhe julgados importantes, que devem ser estabelecidos pela escala ou 
nível de detalhamento do levantamento. 
 
9.14 Poligonal principal (ou poligonal básica): Poligonal que determina os pontos do apoio 
topográfico de primeira ordem. 
 
9.15 Poligonal secundária: Aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, determina 
os pontos do apoio topográfico de segunda ordem. 
 
9.16 Ponto: Posição de destaque na superfície a ser levantada topograficamente. 
 
9.17 Pontos cotados: Pontos que, nas suas representações gráficas, se apresentam 
acompanhados de sua altura. 
 
9.18 Pontos de apoio: Pontos, convenientemente distribuídos, que amarram ao terreno o 
levantamento topográfico e, por isso, devem ser materializados por estacas, piquetes, marcos de 
concreto, pinos de metal, tinta, dependendo da sua importância e permanência. 
 
9.19 Pontos de detalhe: Pontos importantes dos acidentes naturais e/ou artificiais, definidores 
da forma do detalhe e/ou do relevo, indispensáveis à sua representação gráfica. 
 
9.20 Pontos de segurança (ps): Pontos materializados para controle do nivelamento. 
 
9.21 Precisão: Valores que expressam o grau de aderência das observações entre si. 
 
9.22 Sistema geodésico brasileiro (SGB): A definição, implantação, e manutenção do Sistema 
Geodésico Brasileiro (SGB) é de responsabilidade do IBGE, assim como o estabelecimento das 
especificações e normas gerais para levantamentos geodésicos, segundo o disposto no Cap. VIII 
do Decreto–Lei n.° 243, de 28 de fevereiro de 1967. 
Para o desenvolvimento das atividades geodésicas, é necessário o estabelecimento de um sistema 
geodésico que sirva de referência ao posicionamento no território nacional. A materialização 
deste sistema de referência, através de estações geodésicas distribuídas adequadamente pelo país, 
constitui-se na infraestrutura de referência a partir da qual os novos posicionamentos são 
efetuados. 
 
janeiro 2012 31 
A definição do sistema geodésico de referência acompanha, em cada fase da história, o estado da 
arte dos métodos e técnicas então disponíveis. Com o advento dos sistemas globais de navegação 
por satélites (GNSS – Global Navigation Satellite Systems), tornou-se mandatória a adoção de 
um novo sistema de referência, geocêntrico, compatível com a precisão dos métodos de 
posicionamento correspondentes e também com os sistemas adotados no restante do globo 
terrestre. Com esta finalidade, o novo sistema de referência geodésico para o SGB e para o 
Sistema Cartográfico Nacional (SCN) é o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas 
(SIRGAS), em sua realização do ano de 2000 (SIRGAS2000). Para o SGB, o SIRGAS2000 pode 
ser utilizado em concomitância com o sistema SAD 69. Para o Sistema Cartográfico Nacional 
(SCN), o SIRGAS2000 também pode ser utilizado em concomitância com os sistemas SAD 69 e 
Córrego Alegre, conforme os parâmetros definidos na Resolução IBGE - R.PR- 1/2005, de 
25/2/05. 
A coexistência entre estes sistemas teve por finalidade oferecer à sociedade um período de 
transição antes da adoção do SIRGAS2000 em caráter exclusivo 
Caracterização do SIRGAS2000: 
• Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre Internacional - 
ITRS (International Terrestrial Reference System) 
 
• Figura geométrica para a Terra: 
Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic Reference System 
1980 – GRS80) 
Semi-eixo maior a = 6.378.137 m 
Achatamento f = 1/298,257222101 
 
• Origem: Centro de massa da Terra 
 
• Orientação: 
Pólos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com as direções definidas 
pelo BIH (Bureau International de l´Heure), em 1984,0. 
 
• Estações de Referência: 
São 21 estações da rede continental SIRGAS2000, estabelecidas no Brasil e 
constituem a estrutura de referência a partir da qual o sistema SIRGAS2000 é 
materializado em território nacional e também a estação SMAR (Santa Maria – RS), 
pertencente à Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo do Sistema GPS (RBMC), 
 
janeiro 2012 32 
cujas coordenadas foram determinadas pelo IBGE posteriormente à campanha GPS 
SIRGAS2000. 
 
• Época de Referência das coordenadas: 2000,4 
 
• Materialização: 
Estabelecida por intermédio de todas as estações que compõem a Rede Geodésica 
Brasileira, implantadas a partir das estações de referência. 
 
10 Monumentação de vértices 
 
 As estações poligonais e pontos de Referência de Nível – RN devem ser implantados em 
locais seguros, monumentados por marcos de concreto, granito, ferro ou material sintético, com 
as respectivas monografias descritivas do acesso oferecendo condições para posterior 
localização. Quando possível, placa em bronze, alumínio ou latão deve ser afixada no topo do 
marco contendo a identificação do mesmo, bem como a materialização do ponto. 
 Convém destacar que os marcos devem ser preservados para atender seus objetivos, 
portanto sua construção ou implantação deve garantir estabilidade, perenidade e segurança. 
 Para controles rigorosos de deslocamentos e recalques deve ser materializado um bench-
mark que é uma referência de nível construída com um tubo (camisa), cravado até terreno 
resistente e um tubo ou haste metálica interno, ancorado com calda de cimento e na parte 
superior recebe uma chapa que servirá como referência denível. Uma camada de graxa no tubo 
interno serve para lubrificação e conservação. 
 
11 Posicionamento 
 
 A situação espacial de um ponto ou localidade é definida em relação a um ou vários 
pontos de referência fora dele. 
 A latitude e a longitude geodésicas definem a projeção de um ponto (P), da superfície da 
Terra, na superfície modelo, o elipsóide de revolução. 
 A altitude ortométrica é a distância de um ponto (P) da superfície da Terra até a 
superfície equipotencial denominada geóide. A reta assim definida é perpendicular ao geóide 
e define um escalar. 
 A altitude de natureza física não constitui com a latitude e a longitude geodésica um terno 
capaz de fixar a posição do ponto no espaço. A rede horizontal esta relacionada ao elipsóide e a 
vertical ao geóide. 
 
janeiro 2012 33 
 Com o desenvolvimento da geodésia celeste podemos determinar as coordenadas 
retilíneas (x,y,z) referidas as coordenadas cartesianas geocêntricas (X,Y,Z) e estas podem ser 
transformadas em coordenadas curvilíneas )h,,( λϕ sendo (h) a altura geométrica que é a 
distância do elipsóide adotado até a superfície física. A reta assim definida é normal ao elipsóide. 
 Desta forma temos a condição de posicionar o ponto (P), pois o terno escalar está 
relacionado ao elipsóide. 
 
12 Sistemas de posicionamento por satélite 
 
Existem vários sistemas de posicionamento sendo o GPS, americano, (Global Navigation 
Satellite System) o principal. Outros sistemas são: SLR (Satellite Laser Range); DORIS (Doppler 
Orbitography and Radiolocation Integrated by Satellite); GLONASS, russo, (Global’naya 
Navigatsionnaya Sputnikova System) e Galileo, sistema global de navegação por satélite 
proposto pela Agência Espacial Européia, composta por 14 nações e programado para entrar em 
operação em 2010. Esse sistema contará com 30 satélites, dos quais 3 são reserva. Os primeiros 
sinais foram transmitidos em 12.01.2006, pelo satélite GIOVE – A. 
O financiamento do sistema Galileo deverá ser garantido pelo orçamento da União 
Européia, por intermédio da ESA (European Space Agency), da rede de transporte européia 
(Trans-European Networks), de fundos adicionais resultantes do envolvimento de outras 
agências ou instituições da União Européia, de cooperação internacional com outras nações, tais 
como: Rússia, Canadá e Japão. Está prevista uma parceria público-privada para obter 
financiamento complementar (Monico, 2000). 
 Apesar do alto desempenho e grande aceitação do sistema GPS ele não é recomendado 
para atividades que exigem, em tempo real, alto grau de confiabilidade, acurácia, integridade e 
disponibilidade, como por exemplo, na aviação nos casos de aproximação e pousos precisos de 
aeronaves (Monico, 2000). 
Mesmo a integração GPS – GLONASS não atende aos requisitos de acurácia necessários 
para a aviação. Para atender essas exigências discute-se o conceito GNSS (Global Navigation 
Satellite System) onde se inclui a proposta do Galileo. 
 
12.1 Sistema GPS 
 
Sistema de radionavegação desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos Estados 
Unidos da América – DoD. 
 
janeiro 2012 34 
Em 27.04.1995 foi declarado operacional com 24 satélites em órbita: satélites PRN12 do 
Bloco I e os demais do Bloco II. 
A constelação (junho 2000) em operação conta com 27 satélites dos Blocos II, IIA, II-A e 
IIR. 
A geração de satélites que substituirão os do Bloco IIR será denominada IIF e contará 
com 33 satélites. 
Está prevista a inclusão de um segundo sinal, para uso civil, na portadora L2, além da 
introdução da portadora L5. 
O GPS oferece dois serviços: SPS (Standard Positioning Service), disponível a todos os 
usuários sem cobrança de taxas e o PPS (Precise Positioning Service), disponível para uso 
militar e usuários autorizados. 
A acurácia do sistema é limitada por conveniência do DoD e para tal é adotado: 
- o AS (Anti-Spoofing), que é um processo de criptografia do código P visando protegê-lo de 
imitações; 
- o SA (Selective Availability), que é a manipulação das mensagens de navegação e da frequência 
dos relógios dos satélites, não permitindo obter a acurácia possível pelo GPS. Em 02.05.2000, às 
0h TU, o governo americano aboliu essa limitação melhorando o nível de acurácia em torno de 
10 vezes. 
 
12.2 Estrutura do GPS 
 
O segmento espacial consiste de 27 satélites distribuídos em seis planos orbitais 
igualmente espaçados, com quatro satélites em cada plano, numa altitude de 20.200km, 
aproximadamente, inclinação de 55º em relação ao plano do equador e período orbital de 12 
horas siderais. 
A posição dos satélites se repete a cada dia, 4 minutos antes que a do dia anterior. Essa 
configuração garante que, no mínimo, 4 satélites sejam visíveis em qualquer lugar da superfície 
da Terra a qualquer hora. 
O segmento de controle do GPS conta com 5 estações de controle pertencentes a AAF 
(American Air Force): Ascencion Island, Diego Garcia, Kwajalein, Hawaii e Colorado Springs, 
sendo que as três primeiras possuem antenas para transmitir os dados para os satélites. O 
controle central está localizado no Colorado em Colorado Springs - MCS - Master Control 
Station. 
 O segmento de usuários é constituído pelos receptores GPS destinados a navegação, 
geodésia ou outra atividade que o usuário possa criar. 
 
janeiro 2012 35 
Atualmente é praticamente indispensável o uso do sistema GPS, pela qualidade de 
resultados e desempenho no desenvolvimento dos diversos serviços. 
Os receptores possuem uma antena com pré-amplificador, seção de RF (radiofrequência) 
para identificação e processamento do sinal, microprocessador para controle do receptor, 
amostragem e processamento dos dados, oscilador, interface para o usuário, painel de exibição e 
comandos, provisão de energia e memória para armazenar os dados. 
 Os receptores são classificados segundo os usuários: civil e militar; segundo a aplicação: 
navegação, geodésico, para SIG e de aquisição de tempo; segundo os dados: código C/A, código 
C/A e portadora L1, código C/A e portadora L1 e L2, código C/A e P e portadoras L1 e L2, 
portadora L1 e portadora L1 e L2. 
 
12.3 Métodos de posicionamento por satélite 
 
Existem diversos métodos de utilização do sistema GPS, todos têm por princípio a 
medida da distância entre o satélite e o receptor. 
- Método estático: absoluto ou diferencial (relativo). 
- Método cinemático: absoluto, DGPS (Diferencial) e RTK (Diferencial). 
Obs.: O método diferencial pressupõe um ponto conhecido como base (referência). 
 
13 Rede de Referência Cadastral Municipal - RRCM 
 
 Segundo a NBR 14.166, é uma rede de apoio básico de âmbito municipal para todos os 
serviços de projetos, cadastros ou implantação e gerenciamento de obras, sendo constituída por 
pontos de coordenadas planimétricas, materializados no terreno, referenciados a uma única 
origem e a um mesmo sistema de representação cartográfica, permitindo a amarração e 
consequente incorporação de todos os trabalhos de topografia e cartografia na construção e 
manutenção da Planta Cadastral Municipal e Planta Geral do Município, sendo esta rede 
amarrada ao Sistema Geodésico Brasileiro – SGB ficando garantida a posição dos pontos de 
representação e a correlação entre os vários sistemas de projeção ou representação. 
 A estruturação e a implantação da rede levam em conta as atividades abaixo relacionadas 
(NBR 14.166, 1998). 
 
1 – estabelecer a área de abrangência do Sistema Topográfico Local - STL sobre a carta do 
IBGE, em escala 1:50.000 ou 1:100.000; 
2 – fixar o ponto central da área, cujas coordenadas geodésicas serão utilizadas nas 
transformações entre sistemas de coordenadas. Este ponto deve ser escolhido dentro da 
 
janeiro 2012 36 
área urbanizada, fazendo-se, dessa forma, com que as áreas de deformação, 
praticamente nulas, coincidam com as áreas de maior valor de terreno; 
3 – definir a altitude média a ser adotada para o sistema topográfico local; 
4 – identificaro fuso, meridiano central e meridianos limites, no sistema de projeção 
Universal Transversa de Mercator - UTM, oficialmente adotado para a cartografia 
nacional; 
5 – eleger um vértice do SGB, nas proximidades, para servir de amarração do STL; 
6 – inventariar vértices existentes, na área de abrangência da rede, averiguando suas 
características: localização, estabilidade, segurança, acessibilidade, intervisibilidade etc. 
e a que datum estão associados (Córrego Alegre, SAD-69, WGS84), visando sua 
incorporação à rede de referência cadastral. 
 
13.1 Classificação da rede 
 
Os elementos da rede são classificados em: 
 
- marcos geodésicos de precisão; 
- marcos geodésicos de apoio imediato; 
- marcos referenciadores de divisas estaduais e municipais; 
- referências de nível de precisão; 
- referência de nível de apoio imediato; 
- referência de nível topográfica; 
- pontos topográficos; 
- pontos de referência de segmentos de logradouros; 
- pontos de esquina; 
- pontos de referência de quadras; 
- pontos de referência para estrutura fundiária; 
- pontos de referência de glebas. 
 Os marcos geodésicos de apoio imediato devem necessariamente apoiar-se em marcos 
geodésicos do IBGE, próximos à área. 
 Não havendo estes vértices, deve-se transportar coordenadas dos vértices mais próximos, 
com a exatidão constante no quadro I – Sistema Geodésico Brasileiro, Classificação dos 
Levantamentos Geodésicos, do documento: Especificações e Normas Gerais para Levantamentos 
Geodésicos do IBGE. 
 
janeiro 2012 37 
 Nas áreas urbanizadas a densidade aproximada de marcos geodésicos de apoio imediato é 
de um para cada 3 km² e na área rural de um para cada 16 km² a 50 km², dependendo da 
densidade demográfica de interferências e do uso e ocupação do solo. 
 A materialização dos marcos geodésicos de apoio imediato deve ser feita em pontos altos 
do terreno e nos altos dos edifícios de grande porte e ainda, se possível, em propriedades 
públicas, seguindo as orientações e os modelos constantes da NBR 13.133. 
 Os elementos da Rede de Referência Cadastral podem ter suas coordenadas plano-
retangulares determinadas nos Sistemas Transverso de Mercator (UTM – RTM – LTM) como no 
Sistema Topográfico Local. Neste caso a origem do STL é também a origem do seu sistema de 
coordenadas plano-retangulares (X e Y). 
 
14 Sistema Topográfico Local – STL 
 
 É um sistema de representação, em planta, das posições relativas de pontos de um 
levantamento topográfico com origem em um ponto de coordenadas geodésicas conhecidas. 
Todos os ângulos e distâncias de sua determinação são representados, conforme figura 
1.14, em verdadeira grandeza, sobre o plano tangente à superfície de referência (elipsóide de 
referência) do sistema geodésico adotado, na origem do sistema, no pressuposto de que haja, na 
área de abrangência do sistema, a coincidência da superfície de referência com a do plano 
tangente, sem que os erros, decorrentes da abstração da curvatura terrestre ultrapassem os erros 
inerentes às operações topográficas de determinação dos pontos do levantamento. 
Plano Topográfico Local
Vertical 
Geocêntrica
Superfície Física da Terra
Superfície do nível 
médio do terreno
Plano do Horizonte Local,
Plano Tangente ou
Plano Topográfico
Plano da Esfera de 
adaptação de Gauss
Superfície de nível referência
Centro da Esfera 
de adaptação de 
Gauss 
(figura geométrica 
da terra)
A'' B''
A
B
a
b
A'
B'
C
O'
Ht
O
Ht = Altitude média do terreno
ab - distância média do terreno
ab > A'B'
A''B'' = ab
AB = ab = A''B'' 
 
 
Figura 1.14 Sistema topográfico local 
 
 
janeiro 2012 38 
15 Erros 
 
Conceitualmente medida é a comparação de uma grandeza com uma unidade de mesma 
natureza resultando um número. A diferença entre a medida executada e a considerada 
verdadeira é o erro da medida. 
Os erros decorrem de falhas humanas, imperfeições do equipamento e influências ambientais. 
 
15.1 Erros Grosseiros 
 
 Provocados por imperícia, descuido, falha instrumental. 
 A qualificação e treinamento ajudam a evitar tais erros. 
 
15.2 Erros Sistemáticos 
 
 Aqueles que podem ser corrigidos. Causas conhecidas, tais como: Alinhamento. 
 Temperatura. Tensão. Pressão. Erros instrumentais. 
 
Exemplos: 
 a) Catenária: 
2
T
P
24





 ××=∆ lll onde: 
=l comprimento da trena 
P = massa da trena por metro 
T = força aplicada (10 a 15 Kg) – tensão – trenas de 20m e 50m respectivamente. 
 
 b) Temperatura: ( )0ttc −×=∆ ll onde: 
=l comprimento da trena 
c = coeficiente de dilatação – aço comum 1,2 . 10-5 ºC-1 
t = temperatura de medição 
t0 = temperatura de aferição 
 
 c) Tensão: 
( )
ES
TT 0
×
−=∆ ll onde: 
=l comprimento da trena 
S = seção transversal da trena 
E = módulo de elasticidade – aço comum 2.100.000 kg/cm2 
T = tensão de medição 
T0 = tensão se aferição 
 
janeiro 2012 39 
 
15.3 Erros Acidentais 
 
 Aqueles que são distribuídos, resultantes de causas desconhecidas ou incontroláveis, de 
ocorrência probabilística. As medidas tendem a agrupar-se em torno da média, a probabilidade 
de ocorrência é máxima nas proximidades da média e a curva de probabilidade (curva de Gauss) 
é continua. 
 a) Média: 
n
x
M i
∑= onde: ix = observações n = número de observações 
 b) Resíduo : Mxr ii −= 
 c) Erro médio quadrático (desvio padrão): 
1n
r
e
2
i
q −
∑= 
 
 Uma medida tem a probabilidade de estar no intervalo M ± k . eq , onde os valores de (k) 
assumem os valores: 1 para probabilidade de 67,0%, 1,5 para 90,0%, 2,0 para 95%, 2,5 para 
99,0%, 3,0 para 99,8% e 3,5 para 99,9%. Podemos fazer uma triagem eliminando as medições 
com valores superiores ao erro admissível. Após a triagem recalcula-se a média. 
 
 d) Erro admissível: qad e5,2e ×= 
 e) Erro da média: 
n
e
e qm = 
 O valor mais provável de uma grandeza é expresso: x = M ± em 
 
 Para as Estações Totais (ET) que permitem medir com o uso de ondas eletromagnéticas 
(infra-vermelho, laser, luz visível), a precisão é expressa na forma +/- (a + b), onde (a) é a 
constante aditiva expressa e mm e (b) é o fator escala expresso em partes por milhão da 
distância, sendo o erro dependente da distância (d). 
 
15.4 Ajustamento 
 
 As observações realizadas pelo homem se caracterizam pela inevitável presença dos erros 
de medida. Erros que decorrem não apenas de falhas humanas, mas também da imperfeição do 
equipamento e da influência das condições ambientais nas quais se processa a mensuração. Esse 
fato leva a se fazer uma multiplicação das observações e que na verdade cria um outro problema, 
 
janeiro 2012 40 
ou seja, dentre várias medidas como extrair um resultado que seja único e que possa representar 
com maior confiança a grandeza medida. 
 Esse problema bem como a estimativa da precisão da solução adotada é tratado pelo 
ajustamento de observações. O ajustamento conduzirá a uma solução única tornando as 
observações coerentes com um modelo matemático. 
 O método dos mínimos quadrados indicado por Gauss e Legendre é a opção dos 
geodesistas para o problema, ou seja: aceitar como melhor estimativa de uma medida (X) o valor 
que torna mínima a soma dos quadrados dos resíduos (ri). 
mínimor
n
1i
2
i =∑
=
 
Onde: (ri) é o resíduo e (n) é o número de observações 
 
16 Unidades de medidas 
 
 O Decreto nº 4257, de 1939, que regulamentou o decreto-lei 592, de 1938, estabelece 
parâmetros para a Legislação Metrológica Brasileira e ratifica o uso do sistema métrico decimal. 
 A 10ª Conferência Geral de Pesos e Medidas – CGPM, em 1954, adotou como unidades 
fundamentais de base o comprimento: metro – “m”, a massa: quilograma – “kg”, o tempo: 
segundo – “s”, a corrente elétrica: ampére – “A” e a temperatura termodinâmica: Kelvin – “K”. 
Unidades do Sistema Internacional (SI). 
 Em 1961, no Brasil, foi criado o Instituto Nacional de Pesos e Medidas – INPM, para 
consolidara metrologia legal. 
 A 13ª CGPM, em 1967, adotou como definição do segundo a duração de 9 192 631 770 
períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de césio 133. 
 A 17ª CGPM, em 1983 adotou como definição do metro o comprimento do trajeto 
percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo. 
 
16.1 Medidas antigas 
 
Jarda (inglesa) = 0,91 432 m Légua linear = 6 600,000 m Acre = 4 046,6789 m2 
Milha náutica = 1 851,830 m Milha geográfica = 7 420 m Alqueire Mineiro = 48 400,000 m2 
Vara linear = 1,100 m Passo = 1,650 m Alqueire Nordestino = 27 225,000 m2 
Braça = 2,200 m Corda = 33,000 m Alqueire Paulista = 24 200,000 m2 
Toesa = 1,980 m Palmo = 0,220 m Légua de sesmaria = 43 560 000,000 m2 
Légua de sesmaria = 6 600 m Légua métrica = 6 000 m Litro = 605,000 m2 
Légua marítima = 5 555,550 m Polegada (inglesa) = 0,0 254 m Tarefa paulista = 756,000 m2 
Pé (inglês) = 0,30 479 m Milha terrestre = 1 609,344 m Vara quadrada = 1,210 m2 
 
janeiro 2012 41 
 
16.2 Unidade de medidas angulares 
 
Os ângulos são medidos em radianos, graus sexagesimais ou grados centesimais. 
O radiano é a unidade de medida que corresponde ao ângulo central subtendido por um 
arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raio desta mesma circunferência. A 
circunferência mede 2π radianos. 
O grau é uma unidade de medida de um ângulo ou arco e equivale a 1/360 da 
circunferência. As subunidades são o minuto e o segundo. 
O grado é uma unidade de medida que corresponde ao ângulo central de uma 
circunferência de círculo que subtende um arco de 1/400. As subunidades são o minuto e o 
segundo de grado. 
 
16.3 Prefixos do Sistema Internacional 
 
exa - E = 1018 peta - P = 1015 tera - T = 1012 giga - G = 109 mega - M = 106 quilo - k = 103 
hecto - h = 102 deca - da = 10 
 
 km hm dam unidade dm cm mm 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
 
deci - d = 10-1 centi - c = 10-2 mili - m = 10-3 micro - µ = 10-6 nano - n = 10-9 pico - p = 10-12 
femto - f = 10-15 atto - a = 10-18 
Angstron =
0
A 10-10 
 
17 Medidas de distâncias 
 
Vários métodos podem ser usados para a determinação de medidas de distâncias e cada um 
deles utiliza um instrumento adequado, por exemplo: trena, estação total, GPS, teodolito, mira, 
hodômetro e até mesmo o passo. 
A escolha do método está diretamente vinculada a finalidade do trabalho e fundamentalmente 
com a responsabilidade e ética do profissional. 
A trena, instrumento indispensável pode ser flexível: de ínvar, de aço, de fibra, de tecido, ou 
rígida: metro de pedreiro, régua, hodômetros. 
 
janeiro 2012 42 
B 
d 
CA 
β 
As estações totais também são usadas para obtenção de distâncias, apresentando resultados 
melhores e proporcionando rapidez na realização das medidas. 
Os receptores para observações de satélites também oferecem rapidez, qualidade e acurácia na 
obtenção de medidas de distâncias, porém sua utilização deve ser criteriosa, assim como o 
método de obtenção dos dados deve ser adequado a finalidade do trabalho. 
Em topografia as medidas de comprimento são obtidas por métodos distintos, porém a 
apresentação final do levantamento topográfico tem as medidas projetadas no plano horizontal 
ou vertical. 
 
17.1 Métodos para obtenção de medidas lineares 
 
 Para calcular a distância (d) mede-se o ângulo (β), com teodolito ou Estação Total (ET), e 
a distância AB com trena ou ET. 
 
 
 
β
β
tg
AB
d
d
AB
tg =∴= 
 
 
 
 
 ABBC)AC(d 22 −= 
 
 
 
 
 
β⋅⋅⋅−+= cosba2bad 222 
 
 
 
d 
CA
β 
B 
A 
d 
b a
B 
C 
β 
 
janeiro 2012 43 
17.2 Medida eletrônica de distância - MED 
 
Medir com trena sempre foi um desafio para os profissionais, dadas as dificuldades de 
operação nos locais de trabalho. 
A tecnologia encontrou a solução na eletrônica fabricando instrumentos eletro-óptico-
mecânico que emitem uma onda eletromagnética tais como: luz visível, infravermelho, laser, 
microondas, que ao ser refletida retorna ao emissor sendo possível obter a medida percorrida, ou 
seja, a distância entre os pontos onde está o emissor (MED) e o prisma refletor. A evolução dos 
instrumentos tornou possível acoplar o MED ao teodolito criando a Estação Total - ET. 
 A ET permite avaliar a distância horizontal, inclinada ou a diferença de nível entre 
o instrumento (ET) e o prisma. 
 
18 Medidas angulares 
 
 As medidas angulares horizontais e verticais são feitas, principalmente, com teodolito ou 
estação total. A operação de medida consiste em estacionar o instrumento num ponto 
materializado no terreno, em seguida orienta-se o instrumento na direção escolhida para origem, 
quando ângulos horizontais, e inicia-se a colimação nos pontos de interesse para obtenção das 
medidas angulares. 
 Os ângulos verticais são obtidos com os mesmos instrumentos e têm a origem angular 
definida quando de sua construção, ou seja: Zenital (na vertical para cima, Nadiral 4 (na vertical 
para baixo) ou inclinação ( na horizontal). 
 
18.1 Ângulos horizontais 
 
Figura geométrica plana definida por duas semi-retas de mesma origem. Os ângulos 
horizontais podem ter origem no Norte Magnético, Norte Verdadeiro ou numa direção 
materializada no terreno, neste caso podem ser à ré ou a vante. 
 Devem ser realizadas as leituras angulares nas duas posições da luneta, direta e invertida. 
Esse procedimento de leitura angular é denominado de leitura conjugada. Sua aplicação 
possibilita verificar os possíveis erros instrumentais e grosseiros. 
 Em função da precisão da medida angular e finalidade do levantamento ou locação 
topográfica adota-se o método de medida simples, repetição ou das direções. 
 
 
 
janeiro 2012 44 
18.1.1 Medida angular Simples 
 
Consiste na medida conjugada do ângulo. A medida final será a média dos valores 
obtidos. 
 
18.1.2 Medida angular por repetição 
 
Consiste na repetição de (n) vezes a medida conjugada do ângulo, ou seja: com o 
instrumento estacionado num determinado ponto faz-se a leitura L1, na direção origem e em 
seguida a leitura L2, no ponto de interesse, assim determina-se o ângulo entre as duas direções. 
Em seguida colima-se na direção origem, porém com o valor angular L2, novamente 
colima-se no ponto de interesse, assim determinando o ângulo entre as duas direções, porém com 
medida 2 vezes maior. Repete-se a operação até completar as (n) repetições desejadas. A medida 
angular final será a média dos valores obtidos. 
 
18.1.3 Método das direções 
 
Consiste nas medições angulares horizontais com visadas das direções determinantes nas 
duas posições de medição permitidas pelo instrumento (direta e inversa), a partir de uma direção 
tomada como origem, que ocupa diferentes posições de seu limbo horizontal. Uma série de 
leituras conjugadas consiste na observação sucessiva das direções, a partir da direção-origem, 
fazendo-se o giro de ida, na posição direta da luneta, e de volta, na posição inversa, ou vice-
versa, terminando na última direção e iniciando-se, ai, a volta sem fechar o giro. 
O intervalo, medido no limbo horizontal do instrumento, entre as posições da direção-
origem neste limbo, chama-se intervalo de reiteração. Assim, para observação de “n” séries de 
leituras conjugadas pelo método das direções, o intervalo de reiteração deve ser 180°/n. 
Como exemplo: três séries de leituras conjugadas, o intervalo de reiteração deve ser 
180°/3 = 60°, e a direção-origem deve ocupar, no limbo horizontal do instrumento, posições nas 
proximidades de 0°, 60° e 120° na posição direta de luneta e 180º, 240º e 300º na posição 
invertida. Os valores dos ângulos medidos são as médias aritméticas dos seus valores obtidos nas 
diversas séries.