NA_05 - Flexão Simples Normal

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ECA – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
Fernando de Moraes Mihalik 
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NA_05/2004 
EESSTTRRUUTTUURRAASS 
NNOOTTAASS DDEE AAUULLAA -- PPAARRTTEE 55 
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NNOOÇÇÕÕEESS BBÁÁSSIICCAASS DDEE SSEEGGUURRAANNÇÇAA 
 
(ref.: Estruturas de Concreto Solicitações Normais- P.B.Fusco - Ed. Guanabara Dois 
Construções de Concreto I - Nilo Andrade do Amaral - EPUSP 1969 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos – Apostila EPUSP, 2003 ) 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Tipos de flexão: 
- Flexão Simples: Momento fletor e força cortante. 
- Flexão Composta: Momento fletor, força cortante e força normal. 
 
Em ambos os casos, a força cortante pode ser nula; nesses casos, a flexão simples chamar-se-á 
flexão pura e a flexão composta poderá ser designada por compressão excêntrica (flexo-
compressão) se a força normal for de compressão ou tração excêntrica (flexo-tração), caso a forca 
normal seja de tração. 
 
A flexão, quer seja simples ou composta, pode ser: 
- Reta: quando o plano em que age o momento fletor corta a seção transversal da peça 
segundo um dos eixos principais de inércia; 
- Oblíqua: quando a condição a condição acima não se verifica. 
 
Dois fatores precisam ser considerados quando se aplica a teoria da flexão (da Resistência dos 
Materiais) ao concreto armado: 
- O trabalho em conjunto de dois materiais diferentes, ou seja, seção transversal não 
homogênea; 
- A pequena resistência do concreto à tração. 
 
Nessa nota de aula será examinado o caso da flexão simples reta. 
 
 
 
2. ESTÁDIOS ELÁSTICOS DO CONCRETO 
 
Como as tensões, além de certo limite, não são proporcionais às deformações, e como o concreto 
possui pequena resistência à tração, é necessário considerar diferentes fases da solicitação, a que 
correspondem trechos distintos do diagrama tensão-deformação. Assim, não se pode estabelecer 
uma forma geral de cálculo, válida para qualquer fase da solicitação. 
 
Consideram-se, conforme a grandeza das tensões, três fases de solicitação que se dominam 
Estádios Elásticos I, II e III. 
 
No diagrama tensão-deformação do material concreto pode-se para pequenas tensões, substituir 
a curva por uma reta e admitir que essa reta seja a mesma tanto para a compressão como para a 
tração (reta AOB da figura 2 - 1). Para tensões elevadas, a curvatura torna-se acentuada, não se 
podendo mais substituir a curva pela reta; isto se dá para valores da tensão que são bem mais 
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baixos na tração do que na compressão (a reta da tração OB é mais curta que a da compressão 
OA). 
 
Enquanto o concreto resiste à tração dizemos que ele está no Estádio I. Este pode ser subdividido 
em dois: Ia e Ib. 
 
Tem-se o Estádio Ia quando a tensão máxima de tração situa-se na parte reta (OB) do diagrama: 
as tensões são proporcionais às deformações. O Estádio Ib corresponde à ruptura por tração, 
com a tensão de tração igual a σts. Nas vizinhanças da ruptura o material está em estado plástico 
em parte da zona de tração. Depois que se inicia a ruptura por tração, despreza-se toda a zona 
tracionada e passa-se ao Estádio II. 
 
Portanto, no Estádio II o concreto não resiste à tração e a região comprimida do concreto está em 
um nível de solicitação onde as tensões podem ser admitidas proporcionais às deformações. 
 
Aumentando a solicitação, as tensões nas 
fibras mais afastadas da linha neutra 
deixam de ser proporcionais às 
deformações. 
 
Ao atingir-se a ruptura do concreto por 
compressão ocorre o Estádio III. Nas 
vizinhanças da ruptura o material está em 
estado plástico em grande parte da zona de 
compressão. 
 
Assim sendo, no Estádio III, o diagrama de 
tensão x deformação no concreto 
apresenta-se segundo uma configuração de 
uma parábola seguida de um retângulo, 
assim como no diagrama de cálculo 
adotado para o concreto, onde o patamar 
reto representa o trecho em estado plástico. 
 
Por isso é comum referir-se ao diagrama do 
concreto como “diagrama parábola-retângulo”. 
 
RESUMINDO, tem-se: 
 
- Estádio Ia: 
Compressão entre O e A; tração entre O e B. 
 
- Estádio Ib: 
Compressão entre O e A; tração na ruptura. 
 
- Estádio II: 
Compressão entre O e A (em geral abaixo de 1/2 da tensão de ruptura); tração não 
considerada (suposta além da ruptura em toda a zona tracionada da seção). 
 
- Estádio III: 
Ruptura do concreto à compressão. 
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Seção Transversal Diagrama de ____________________________________________ 
 Deformações Diagramas de Tensões 
 
 
Os diagramas de tensões correspondentes aos diferentes Estádios são a seguir descritos: 
 
Estádio Ia: As tensões de tração e compressão são pequenas; portanto, é válida a hipótese 
de Navier (seções planas) e o diagrama de σ é uma reta única. 
 
Estádio Ib: As tensões de compressão variam linearmente; as de tração, além de certa 
distância da linha neutra, correspondem a pontos fora da reta OB na figura 2-1 e o 
diagrama de tensões na seção é curvo; quando na borda da seção e em certa 
faixa vizinha a ela é atingida a tensão de ruptura σts, a curvatura do diagrama das 
tensões de tração torna-se muito acentuada e, por isto, pode-se substituir o 
diagrama de tração por um retângulo. 
 
Estádio II: Quando a resistência a tração do concreto é ultrapassada nas fibras mais 
afastadas da linha neutra, somente são consideradas tensões de compressão no 
concreto, isto é passa-se a desprezar no cálculo, toda a área da seção de 
concreto correspondente à zona de tração. O diagrama das tensões de 
compressão é ainda suposto linear. 
 
Estádio III: Atingindo-se a tensão de ruptura na faixa junto à borda da zona comprimida, o 
diagrama de tensões de compressão torna-se acentuadamente curvo. De acordo 
com as hipóteses de cálculo da NB-6118, este diagrama parábola-retângulo pode 
ser substituído por um diagrama retangular equivalente. 
 
 
3. ESTUDO GERAL DO MÉTODO CLÁSSICO DE CÁLCULO 
 
Chamamos de Método Clássico de cálculo aquele adotado desde o início da história de concreto 
armado e que é baseado nas tensões admissíveis dos materiais, em contraposição ao método mais 
recente, baseado na ruptura do concreto. 
 
Para calcular pelo Método Clássico, adaptamos ao concreto armado as equações deduzidas na 
Resistência dos Materiais. 
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4. FUNDAMENTOS 
 
4.1. Definições 
 
4.1.1. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Designam-se por solicitações normais os esforços solicitantesque produzem 
tensões normais nas seções transversais das peças estruturais. As solicitações 
normais englobam o momento fletor e a força normal. 
 
De acordo com os princípios da Resistência dos Materiais, os esforços solicitantes 
são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Nas 
peças de concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes 
atuantes são calculados tomando-se, como pólo de redução dos esforços, o centro 
de gravidade da seção geométrica da peça, sem consideração da armadura. 
 
4.1.2. ESTADOS ÚLTIMOS 
De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estrutural é caracterizada, 
pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas 
armaduras. Com a ruptura do concreto, atinge-se um estado último de ruptura. 
 
Até alguns anos atrás, no cálculo das seções transversais em regime de ruptura, 
tomava-se a definição de ruptura acima indicada, não se cogitando de qualquer 
limitação do alongamento das armaduras. Isso era feito, por exemplo, pela NB-1/60 
para o cálculo no Estádio III. 
 
Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alongamento 
da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. O 
alongamento excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissuração 
exagerada, atingindo-se um estado último, sem que necessariamente tenha 
ocorrido a ruptura do concreto do banzo comprimido da peça. 
 
Por essa razão, presentemente, a verificação da segurança é feita admitindo-se que 
o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do 
concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. 
Consideram-se, portanto, estados últimos de ruptura do concreto do banzo 
comprimido ou de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada das 
peças submetidas a solicitações normais. 
 
No entanto, como o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é de difícil 
identificação experimental, convencionou-se aceitar que o concreto atinge a ruptura 
quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente 
justificados. 
 
Deste modo, os estados últimos de ruptura do concreto passam a ser substituídos 
por estados de encurtamento último do concreto. 
 
 
4.1.3. ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade 
resistente das peças submetidas a solicitações normais, considera-se um estado 
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limite último convencional, designado por estado limite último de ruptura ou de 
deformação plástica excessiva. 
 
Este estado limite último é alcançado quando na fibra mais comprimida de concreto 
o encurtamento é igual a um valor último convencional εccu, ou quando na 
armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao 
valor último convencional εsu = 10%o. 
 
Observe-se que para ser alcançado o estado limite último, necessariamente deverá 
estar satisfeita pelo menos uma das duas condições últimas 
 
εcc, max. = εccu ou εs, max. = εsu = 10%o 
 
Deste modo, todos os diagramas de deformação apresentados a seguir 
correspondem ao estado limite último considerado. 
Observe-se que nesses diagramas já está incluída a 
hipótese de manutenção da forma plana da seção 
transversal até o estado limite último. 
 
Na Figura 4.1.3–1 a ruína ocorre por ruptura do 
concreto comprimido. Este caso corresponde à 
existência na peça de um banzo tracionado e outro 
comprimido, ocorrendo a ruptura convencional do 
concreto com uma deformação última constante e igual 
a 3,5%o, qualquer que seja o alongamento εs da 
armadura, admitindo-se: εs, max.< εsu = 10%o. 
 
 
Na Figura 4.1.3-2, a ruína também ocorre por ruptura 
do concreto comprimido. Entretanto, neste outro 
caso, em que se admite a peça totalmente 
comprimida, o encurtamento convencional último do 
concreto é 
variável. 
 
Admite-se que 
seja 2%o < εccu < 
3,5%o estando 
agora a situação 
última 
caracterizada pela passagem do diagrama de 
deformações pelo ponto C, de abscissa 2%o e 
ordenada 3/7 h, Fig. 4.1.3-2. 
 
O caso de ruína caracterizada pelo alongamento 
plástico excessivo da armadura está indicado na 
Fig. 4.1.3-3. Qualquer que seja a deformação da 
fibra extrema da borda comprimida da seção transversal, mesmo que seja εcc, max. < 
εccu = 3,5%o, o estado limite último é caracterizado pela ocorrência de deformação 
εs = 10%o. 
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O valor εsu = 10%o foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o 
alongamento do concreto tracionado, essa deformação corresponde a uma 
fissuração de 10%o, ou seja, corresponde a uma fissura de 1 mm de abertura para 
cada 10 cm de comprimento da peça. Com essa 
fissuração, é dada por esgotada a capacidade 
resistente da peça. 
 
Conforme está mostrado na Fig. 4.1.3-4, não 
ocorrerá a ruína, ou seja, não será atingido o 
estado limite último de ruptura ou de alongamento 
plástico excessivo quando forem simultaneamente 
εs < εsu e εcc, max. < εccu. Deste modo, para que um 
diagrama de deformações corresponda a uma 
situação última, ele deverá necessariamente 
passar por um dos três pontos, A ,E ou C, 
indicados nas Figs. 4.1.3-1 a 4.1.3-3. 
 
4.1.4. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO 
Com isso, as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações 
específicas ao longo da seção transversal da peça definem os seis domínios 
apresentados na Fig. 4.1.3-5. Os domínios 1 e 2 são fixados pelo ponto A, os 
domínios 3, 4 e 4a pelo ponto B e o domínio 5 pelo ponto C. Os diagramas de 
deformações referentes aos diferentes domínios variam desde a reta a, 
correspondente à tração uniforme, até a reta b, correspondente à compressão 
uniforme. 
 
 
D O M Í N I O S D E D E F O R M A Ç Ã O 
 
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4.2. Hipóteses Básicas 
 
No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas a 
solicitações normais é feito com as seguintes hipóteses básicas: 
 
4.2.1. MANUTENÇÃO DA SEÇÃO PLANA 
Nas peças de concreto estrutural submetidas a solicitações normais, é admitida a 
validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o 
estado limite último. 
 
Isso é válido desde que se tenha uma relação: 2
d
0 >l , sendo l0 a distância entre as seções de 
momento fletor nulo, e d a altura útil da seção transversal. 
 
Com esta hipótese, as deformações normais específicas são, em cada ponto, 
proporcionais distância à linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança o 
estado limite último. 
 
 
4.2.2. SOLIDARIEDADE DOS MATERIAIS 
Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que as 
envolve. 
 
Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra da armadura é igual à 
deformação específica do concreto que lhe é adjacente. 
 
 
4.2.3. ENCURTAMENTOS ÚLTIMOS DO CONCRETO 
Qualquer que seja a sua resistência, no estado limite último o encurtamento 
específico de ruptura do concreto vale: 3,5 ‰ na flexão pura 
2,0 ‰ na compressão axial 
variando na compressão excêntrica conforme indicado na Fig. 4.1.3-2. 
 
 
4.2.4. ALONGAMENTOS ÚLTIMOS DAS ARMADURAS 
Nas peças de concreto armado, o alongamento específico último da armadura 
tracionada é tomado com o valor convencional de 10‰ . Nas peças de concreto 
protendido, o alongamento específico máximo é limitado ao valor de 10‰, contados 
a partir do estado deneutralização da seção transversal. O estado de neutralização 
é obtido anulando-se, em toda a seção transversal, as tensões no concreto 
decorrentes da aplicação isolada dos esforços de protensão. 
 
 
4.2.5. DIAGRAMA DE ARMADURAS PARÁBOLA-RETÂNGULO 
Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção 
transversal das peças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição 
de acordo com o diagrama parábola-retângulo indicado na figura seguinte: 
 
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O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2o grau, com 
vértice na fibra correspondente à deformação de compressão de 2‰, prolongada 
por um segmento reto limitado na fibra correspondente à deformação de 
compressão de 3,5‰. A ordenada máxima do diagrama corresponde a uma tensão igual 
a: 
 
 
 
 
 
4.2.6. DIAGRAMA RETANGULAR DE TENSÕES 
De modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuição 
retangular simplificada indicada na Fig. 1.2.6-1 .É importante saber-se que os 
resultados obtidos com este diagrama simplificado são praticamente iguais aos 
resultados obtidos com o diagrama parábola-retângulo. As possíveis divergências 
de resultados ocorrem apenas no domínio 5. 
 
 
 
No trecho de altura 0,2x, a partir da linha neutra, são desprezadas as tensões de 
compressão. No trecho restante de altura 0,8x, admite-se distribuição uniforme de 
tensões. 
 
Nas zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras 
mais comprimidas, admite-se uma tensão constante e igual a 0,85 fcd. 
 
cd
c
ck 0,85ff0,85 =γ 
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Nas zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais 
comprimidas, admite-se uma tensão constante igual a 0,80 fcd. Este caso ocorre, 
por exemplo, nas.seções circulares, nas seções triangulares ou trapezoidais com 
vértice do lado mais comprimido e nas seções retangulares submetidas à flexão 
oblíqua. 
 
 
 
5. NOÇÕES BÁSICAS SOBRE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO 
 
5.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS (ELU) 
 
 
 
5.2. ESTADOS ÚLTIMOS DE SERVIÇO (ELS) 
 
 
 
 
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5.3. AÇÕES 
 
Valores Característicos: Fk 
Valores de Cálculo: Fd = γf Fk , onde γf é denominado “coeficiente de ponderação das ações” 
 
Valor usual do coeficiente γf no estado limite último (ELU): 
 γf = 1,4 
 
(para combinações de ações normais - cargas permanentes e variáveis) 
 
(para outros casos de carregamentos e ações, ver NBR-6118 – item 11.7.1) 
 
Valores do coeficiente γf no estado limite de serviço (ELS): ver NBR-6118 – item 11.7.1) 
 
 
5.4. RESISTÊNCIAS 
 
Valores Característicos: fk 
Valores de Cálculo: fd = fk / γm , onde γm é denominado “coeficiente de ponderação das resistências” 
 
Valores usuais dos coeficientes γm no Estado Limite Último (ELU): 
 
Concreto: Valores de γc para combinações de ações: 
 
Normal γc = 1,4 (maioria dos casos) 
Especiais ou de Construção γc = 1,2 
Excepcionais γc = 1,2 
 
 
Aço: Valores de γs para combinações de ações: 
 
Normal γs = 1,15 (maioria dos casos) 
Especiais ou de Construção γs = 1,15 
Excepcionais γs = 1,0 
 
 
Valores do coeficiente γm no Estado Limite de Serviço (ELS): 
 
Concreto: γc = 1,0 
Aço: γs = 1,0