Regra de Substituição para Integrais Indefinidas

Prévia do material em texto

368M||||MCÁLCULO
TABELAS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS 
h cf (x) dx � c h f (x) dx h [ f (x) � t(x)] dx � h f (x) dx � h t(x) dx 
h k dx � kx � C 
h xn dx � � CM (n � 
1) h dx � ln�x� � C 
h ex dx � ex � C h ax dx � � C 
hsen x dx � 
cos x � C h cos x dx � sen x � C 
h sec2x dx � tg x � C h cossec2x dx � 
cotg x � C 
h sec x tan x dx � sec x � C h cossec x cotg x dx � 
cossec x � C 
h dx � tg
1x � C h dx � sen
1x � C 
h senh x dx � cosh x � C h cosh x dx � senh x � C
Lembre-se de que, pelo do Teorema 4.9.1, a primitiva mais geral sobre um dado in-
tervalo é obtida adicionando-se uma constante a uma dada primitiva. Adotamos a con-
venção de que quando uma fórmula para uma integral indefinida geral é dada, ela é
válida somente em um intervalo. Assim, escrevemos 
h dx � 
 � C
subentendendo que isso é válido no intervalo (0, ∞) ou no intervalo (
∞, 0). Isso é ver-
dadeiro apesar do fato de que a primitiva geral da função f (x) � 1/x2, x � 0, é 
1
1
	
x2
1
	
x
1
	
x2 � 1
1
	
√
–––––
1 
 x2
ax
	
ln a
xn�1
	
n � 1
1
	
x
F(x) � s
 � C1 se x � 0 
 � C2 se x � 0 1	
x
1
	
x
EXEMPLO 1 Ache a integral indefinida geral 
h (10x4 
 2sec2x) dx 
SOLUÇÃO Usando nossa convenção e a Tabela 1, temos 
h (10x4 
 2sec2x) dx � 10 h x4 dx 
 2 h sec2x dx 
� 10 
 2 tg x � C � 2x5 
 2 tg x � C
Você pode verificar essa resposta derivando-a. 
x5
	
5
� A integral indefinida no Exemplo 1 tem
seu gráfico traçado na Figura 1 para vários 
valores de C. O valor de C é a intersecção
com o eixo y.
4
4
1,5 1,5
FIGURA 1
Cal_05:Layout 1 22.06.09 13:22 Page 368
376M||||MCÁLCULO
REGRA DE SUBSTITUIÇÃO
Por causa do Teorema Fundamental, é importante sermos capazes de encontrar primitivas.
Porém, nossas fórmulas de primitivação não mostram como calcular as integrais do tipo 
h 2x √–––––1 � x2 dx 
Para encontrar essa integral usamos a estratégia de resolução de problemas de introduzir
alguma coisa extra. Aqui o “alguma coisa extra” é uma nova variável; mudamos da va-
riável x para uma nova variável u. Suponha que façamos u igual à quantidade sob o sinal
de raiz em (1), u � 1 � x2. Então a diferencial de u é du � 2x dx . Observe que se dx na
notação de integral for interpretada como uma diferencial, então a diferencial 2x dx ocor-
rerá em (1); portanto, formalmente, sem justificar nossos cálculos, podemos escrever 
h 2x √–––––1 � x2 dx � h √–––––1 � x2 2x dx � h √––u du
� 
2
3
– u3/2 � C � 23– (x
2
� 1)3/2 � C
Mas agora podemos verificar que temos a resposta correta usando a Regra da Cadeia para
derivar a função final da Equação 2: 
[ 23– (x2 � 1)3/2 � C] � 23– � 32–(x2 � 1)1/2 � 2x � 2x √
–––––
x2 � 1
Em geral, esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser escrita
na forma h f (t(x))t
(x) dx. Observe que se F
 � f, então 
hF
(t(x))t
(x) dx � F(t(x)) � C 
pois, pela Regra da Cadeia, 
[F(t(x))] � F
(t(x))t
(x)
Se fizermos a “mudança de variável” ou “substituição” u � t(x), então da Equação 3
temos
hF
(t(x))t
(x) dx � F(t(x)) � C � F(u) � C � hF
(u) du 
ou, escrevendo F
 � f , obtemos 
h f (t(x))t
(x) dx � hf (u) du 
Assim, demonstramos a regra a seguir. 
REGRA DA SUBSTITUIÇÃO Se u � t(x) for uma função derivável cuja imagem é
um intervalo I e f for contínua em I, então 
h f (t(x))t
(x) dx � hf (u) du 
Observe que a Regra da Substituição para a integração foi demonstrada usando a
Regra da Cadeia para a derivação. Note também que se u � t(x), então du � t
(x) dx,
portanto uma forma de se recordar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em (4)
como diferenciais. 
Assim, a Regra da Substituição diz que: é permitido operar com dx e du após sinais
de integração como se fossem diferenciais. 
4
d
	
dx
3
d
	
dx
2
1
5.5
� Diferenciais foram definidas na Seção 3.10.
Se u � f (x), então
du � f 
(x) dx
Cal_05:Layout 1 22.06.09 13:23 Page 376
INTEGRAISM||||M377
EXEMPLO 1 Encontre h x3 cos(x4 � 2) dx. 
SOLUÇÃO Fazemos a substituição u � x4 � 2 porque sua diferencial é du � 4x3 dx, que, à parte
do fator constante 4, ocorre na integral. Assim, usando x3 dx � du/4 e a Regra da Substi-
tuição, temos 
h x3 cos(x4 � 2) dx � h cos u � 14– du � 14– h cos u du 
�
1
4
– sen u � C 
�
1
4
– sen(x4 � 2) � C 
Observe que no estágio final retornamos para a variável original x. 
A ideia por trás da Regra da Substituição é substituir uma integral relativamente com-
plicada por uma mais simples. Isso é obtido mudando-se da variável original x para uma
nova variável u, que é uma função de x. Dessa forma, no Exemplo 1 substituímos a inte-
gral h x3 cos(x4 � 2) dx pela mais simples 14– h cos u du. 
O desafio principal no uso da Regra da Substituição é descobrir uma substituição apro-
priada. Você deve tentar escolher u como uma função no integrando cuja diferencial tam-
bém ocorra (exceto por um fator constante). Foi isso que aconteceu no Exemplo 1. Se isso
não for possível, tente escolher u como alguma parte complicada do integrando. Achar a
substituição correta tem algo de artístico. É normal errar na escolha da substituição; se
sua primeira tentativa não funcionar, tente outra substituição. 
EXEMPLO 2 Calcule h √––––2x � 1–– dx. 
SOLUÇÃO 1 Seja u � 2x � 1. Então du � 2 dx, logo dx � du/2. Nesse caso, a Regra da Subs-
tituição dá 
h √––––2x � 1–– dx � h √––u � 12– h u1/2 du
� � � C � 13– u
3/2 
� C
� 
1
3
– (2x � 1)
3/2
� C
SOLUÇÃO 2 Outra substituição possível é u � √
––––
2x � 1
––
. Então 
du � ,MM portantoMM dx � √
––––
2x � 1
––
du � u du 
(Ou observe que u2 � 2x � 1, logo 2u du � 2 dx.) Assim 
h √––––2x � 1–– dx � h u � u du � h u2 du
� � C � 13– (2x � 1)
3/2
� C 
EXEMPLO 3 Encontre h dx. 
SOLUÇÃO Seja u � 1 
 4x2. Então du � 
8x dx, portanto x dx � 18– du e
x
	
√
–––––
1 
 4x2
––
u3
	
3
dx
	
√
––––
2x � 1
––
u3/2
	
3/2
1
	
2
du
	
2
� Verifique a resposta por derivação.
Cal_05:Layout 1 22.06.09 13:23 Page 377
378M||||MCÁLCULO
h dx � 
 18– h du � 
 18– h u
1/2 du
� 
1
8
– (2√––u ) � C � 
 4
1–√
–––––
1 
 4x2
––
� C 
A resposta do Exemplo 3 pode ser verificada por derivação, mas em vez disso vamos
verificá-la graficamente. Na Figura 1 usamos um computador para fazer o gráfico do in-
tegrando f (x) � x/√
–––––
1 
 4x2
––
e de sua integral indefinida t(x) � 
 4
1–√
–––––
1 
 4x2
––
(escolhemos
o caso C � 0). Observe que t(x) decresce quando f (x) é negativa, cresce quando ƒ(x) é po-
sitiva e tem seu valor mínimo quando f (x) � 0. Portanto, parece razoável, da evidência
gráfica, que t seja uma primitiva de f. 
EXEMPLO 4 Calcule h e5x dx. 
SOLUÇÃO Se fizermos u � 5x, então du � 5 dx, portanto dx � 15– du. Dessa forma, 
h e5x dx � 15– h eu du � 15– eu � C � 15– e5x � C 
EXEMPLO 5 Encontre h √–––––1 � x2 x5 dx. 
SOLUÇÃO Uma substituição apropriada fica mais evidente se fatorarmos x5 como x4 � x. Seja 
u � 1 � x2. Então du � 2x dx , consequentemente x dx � du/2. Também temos x2 � u 
 1,
portanto x4 � (u 
 1)2: 
h √–––––1 � x2 x5 dx � h √–––––1 � x2 x4 � x dx 
� h √––u (u 
 1)2 � 12– h √––u (u2 
 2u � 1) du 
�
1
2
– h (u5/2 
 2u3/2 � u1/2) du
�
1
2
– ( 27– u
7/2 
 2 � 25– u
5/2 
� 
2
3
– u3/2) � C
� 
1
7
– (1 � x2)7/2 
 25– (1 � x
2)5/2 � 13– (1 � x
2)3/2 � C
EXEMPLO 6 Calcule h tg x dx. 
SOLUÇÃO Vamos escrever primeiro a tangente em termos de seno e cosseno: 
h tg x dx � h dx
Isso sugere que devemos substituir u � cos x, visto que du � 
sen x dx e, portanto, 
sen x dx � 
 du: 
h tg x dx � h dx � 
h
� 
ln �u�� C � 
ln �cos x�� C 
Uma vez que 
ln �cos x� � ln (�cos x�
1) � ln(1/�cos x�) � ln �sec x�, o resultado do
Exemplo 6 também pode ser escrito como 
h tg x dx � ln �sec x�� C 5
du
	
u
sen x
	
cos x
sen x
	
cos x
du
	
2
1
	
√
––
u 
x
	
√
–––––
1 
 4x2
––
f (x) � 
x
1 
 4x2
t(x) � i f (x) dx � 1 
 4x2
Cal_05:Layout 1 22.06.09 13:23 Page 378
INTEGRAISM||||M379
INTEGRAIS DEFINIDAS 
Existem dois métodos para se calcular uma integral definida por substituição. Um deles
consiste em se calcular primeiro a integral indefinida e então usar o Teorema Fundamen-
tal. Por exemplo, usando o resultado do Exemplo2, temos 
h4
0
√
––––
2x � 1
––
dx � h √––––2x � 1–– dx]40 � 13– (2x � 1)3/2]40
�
1
3
– (9)3/2 
 13– (1)
3/2 
�
1
3
– (27 
 1) � 263––
Outro método, geralmente preferível, consiste em se alterar os limites de integração ao se
mudar a variável. 
REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA AS INTEGRAIS DEFINIDAS Se t
 for contínua em
[a, b] e f for contínua na imagem de u � t(x), então 
hb
a
f (t(x))t
(x) dx � ht(b)
t(a) f (u) du 
DEMONSTRAÇÃO Seja F uma primitiva de f. Então, por (3), F(t(x)) é uma primitiva de
f (t(x))t
(x); logo, pela Parte 2 do Teorema Fundamental, temos 
hb
a
f (t(x))t
(x) dx � F(t(x))]ba � F(t(b)) 
 F(t(a))
Mas, aplicando uma segunda vez o TFC2, também temos 
ht(b)
t(a) f (u) du � f (u)]
t(b)
t(a) � F(t(b)) 
 F(t(a))
EXEMPLO 7 Calcule h4
0
√
––––
2x � 1
––
dx usando (6). 
SOLUÇÃO Usando a substituição da Solução 1 do Exemplo 2, temos u � 2x � 1 e dx � du/2.
Para encontrar os novos limites de integração observamos que 
quando x � 0, u � 2(0) � 1 � 1MMeMM quando x � 4, u � 2(4) � 1 � 9
Portanto, h4
0
√
––––
2x � 1
––
dx � h9
1
1
2
– √
––
u du � 12– � 
2
3
– u3/2]91
� 
1
3
– (93/2 
 13/2) � 263––
Observe que quando usamos (6) não retornamos à variável x após a integração. Simples-
mente calculamos a expressão em u entre os valores apropriados de u. 
6
y
x0
1
2
3
4
y
u0
1
2
3
91
FIGURA 2
� A interpretação geométrica do Exemplo 7
está na Figura 2. A substituição u � 2x � 2 
expande o intervalo [0, 4] por um fator de
2 e translada-o para a direita em uma
unidade. A Regra da Substituição mostra que
as duas áreas são iguais.
� Essa regra diz que quando
usamos uma substituição em uma integral
definida, devemos colocar tudo em
termos da nova variável u, não somente x e
dx, mas também os limites de integração. 
Os novos limites de integração são os 
valores de u que correspondem a x � a
e x � b.
Cal_05:Layout 1 22.06.09 13:23 Page 379
380M||||MCÁLCULO
EXEMPLO 8 Calcule h2
1
. 
SOLUÇÃO Seja u � 3 
 5x. Então, du � 
5 dx, de modo que dx � 
du/5. Quando x � 1, 
u � 
2, e quando x � 2, u � 
7. Assim 
h2
1
� 
 h
7
2
� 
 [
 ]
7
2 
� ]
7
2
� (
 � )�
EXEMPLO 9 Calcule he
1
dx. 
SOLUÇÃO Vamos fazer u � ln x, pois sua diferencial du � dx/x ocorre na integral. Quando 
x � 1, u � ln 1 � 0; quando x � e, u � ln e � 1. Assim 
he
1
dx � h1
0
u du � ]1
0
�
SIMETRIA 
O próximo teorema usa a Regra da Substituição para Integrais Definidas (6) para simpli-
ficar o cálculo de integrais de funções que possuam propriedades de simetria. 
INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS Suponha que f é contínua em [
a, a]. 
(a) Se f for par [ f (
x) � f (x)], então h
a
a
f (x) dx � 2 h0a f (x) dx. 
(b) Se f for ímpar [ f (
x) � 
f (x)], então h
a
a
f (x) dx � 0. 
DEMONSTRAÇÃO Dividimos a integral em duas: 
h
a
a
f (x) dx � h0
a
f (x) dx � h0a f (x) dx � 
h0
a f (x) dx � h0a f (x) dx
Na primeira integral da última igualdade fazemos a substituição u � 
x. Então, du � 
dx,
e quando x � 
a, u � a. Portanto, 
h0
a f (x) dx � 
h0a f (
u)(
du) � h0a f (
u) du 
8
7
x0
y
0,5
1 e
y �
ln�x
x
1
	
2
u2
	
2
ln x
	
x
ln x
	
x
1
	
14
1
	
7
1
	
2
1
	
5
1
	
5u
1
	
u
1
	
5
du
	
u2
1
	
5
dx
	
(3 
 5x)2
dx
	
(3 
 5x)2
FIGURA 3
� Uma vez que a função f (x) � (ln x)/x
no Exemplo 9 é positiva para x � 1,
a integral representa a área da região
sombreada na Figura 3.
� A integral no Exemplo 8 é uma 
abreviação para
h2
1
dx
1
	
(3 
 5x)2
Cal_05:Layout 1 22.06.09 13:23 Page 380